Este documento presenta los objetivos y marco teórico de un trabajo sobre puentes AC y DC. Los objetivos incluyen demostrar las ecuaciones de equilibrio de los puentes, determinar las condiciones necesarias para el balance, y detallar el procedimiento para obtener las ecuaciones. En el marco teórico se describen puentes como el de Wheatstone, Kelvin, Maxwell y otros, definiendo sus ecuaciones y condiciones de equilibrio. El documento proporciona las bases teóricas para demostrar matemáticamente las ecuaciones de los

1. Universidad de las Fuerzas Armadas
Dispositivos y mediciones
Puentes AC y DC
Docente:
Ing. Alberto Albuja
Alumno:
Galo Candela
NRC:
2293
4 de enero de 2016
´Indice
1. Objetivos 2
1.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1. Demostrar las ecuaciones de puentes AC y DC . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Objetivos especificos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. Determinar las condiciones necesarias para que se produzca el balance en
cada uno de los puentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2. Demostrar las ecuaciones de equilibrio aplicando las condiciones . . . . . 2
1.2.3. Detallar el procedimiento para obtener las ecuaciones de equilibrio de
cada puente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Marco teorico 2
3. Conclusiones: 19
3.1. Primera conclusi´on:
19
3.2. Segunda conclusi´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3. Tercera conclusi´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4. Bibliograf´ıa: 19
1

2. 1. Objetivos
1.1. Objetivo general
1.1.1. Demostrar las ecuaciones de puentes AC y DC
1.2. Objetivos especificos
1.2.1. Determinar las condiciones necesarias para que se produzca el balance en
cada uno de los puentes
1.2.2. Demostrar las ecuaciones de equilibrio aplicando las condiciones
1.2.3. Detallar el procedimiento para obtener las ecuaciones de equilibrio de cada
puente
2. Marco teorico
Puentes DC
Los puentes de DC tienen el objetivo de medir valores desconocidos de resistencias utilizando
patrones que sirven para ajustar el puente a 0 (equilibrio de puente). La configuraci´on puente
consiste en tres mallas. Se disponen de cuatro resistencias, entre ellas la desconocida, de una
fuente de corriente continua y su resistencia interna, y un galvan´ometro (detector de cero).
Puente de Wheatstone
Es utilizado principalmente para la medici´on de precisi´on de resistencias en el rango de Ω
hasta MΩ mediante el equilibrio de los brazos del puente y est´a constituido por 4 resistencias
que forman un circuito cerrado, siendo una de ellas la resistencia bajo medida.
Est´a constituido por cuatro ramas conectadas a una fuente de fuerza electromotriz F.E.M y un
detector de cero, es decir, un galvan´ometro sensible a la corriente.
2

3. Condici´on para el equilibrio
1. Para que el puente este balanceado la diferencia de potencial a trav´es del galvan´ometro
debe ser cero voltios, de tal forma que no haya paso de corriente.
VCD = 0 (1)
Demostraci´on:
Vac = Vad (2)
I1R1 = I2R2 (3)
Debido a que la corriente del galvan´ometro es cero, se genera la siguiente condici´on:
I1 = I3 =
Vc − Vb
R3
(4)
I2 = I4 =
Vd − Vb
R4
(5)
Reemplazando (4) y (5) en (3)
R1
Vc − Vb
R3
= R2
Vd − Vb
R4
(6)
R1
R3
=
R2
R4
(7)
Si definimos a R4 como una resistencia a medir ahora la llamamos Rx, tendriamos la siguiente
f´ormula que relacionan las resistencias patr´on de un puente Wheatstone
Rx =
R2R3
R1
(8)
R3 −→ Rama patr´on
R1 y R2 −→ Ramas de relaci´on
Errores en el puente de Wheatstone
1. Errores limites de la resistencia patr´on y las resistencias de relaci´on.
2. El detector de cero no tenga suficiente sensibilidad.
3. El efecto de calentamiento I2
R puede producir da˜nos en las resistencias del puente, el cambio
de estas resistencias pueden producir errores en la medici´on.
3

4. Puente de Kelvin
Es una modificaci´on del puente de Wheatstone, con la diferencia de que su uso es exclusiva-
mente dedicado a la medici´on de valores de resistencias muy bajos, es decir tiene un incremento
en la exactitud cuando se mide valores de resistencias menores a 1Ω
En el siguiente diagrama Ry representa la resistencia del cable conectado desde R3 a Rx
Demostraci´on:
Si el galvan´ometro se conecta en el punto p, entre myn de tal forma que la relaci´on de la
resistencia n a p y m a p iguale la raz´on de los resistores R1 y R2
Rnp
Rmp
=
R1
R2
(9)
Al conectar el Galvan´ometro al punto m este se sumara a Rx y se obtendr´a (Rx + Rnp)
Al conectar el Galvan´ometro al punto n este se sumara a R3 y se obtendr´a (R3 + Rmp)
La raz´on de equilibrio para el puente se da con la siguiente expresi´on:
(Rx + Rnp) =
R1
R2
(Rx + Rmp) (10)
De esta se puede obtener dos expresiones diferentes:
Rmp =
R2
R1
Rnp (11)
Rnp =
R1
R2
Rmp (12)
Tambi´en se tiene a la vez una 3ra ecuaci´on:
Rmp + Rnp = Ry (13)
Al reemplazar (11) en (13):
4

5. R2
R1
Rnp = Ry − Rnp
Rnp(
R2
R1
+ 1) = Ry
Rnp = (
R1
R1 + R2
)Ry (14)
Y al reemplazar (12) en (13)
R1
R2
Rmp = Ry − Rmp
Rmp(
R1
R2
+ 1) = Ry
Rmp = (
R2
R1 + R2
)Ry (15)
Ahora reemplazando (14) y (15) en (10) se obtiene:
Rx + (
R1
R1 + R2
)Ry =
R1
R2
Rx + (
R2
R1 + R2
)Ry (16)
Al simplificar se obtiene la siguiente relaci´on con la cualquier se tiene el valor de Rx
Rx =
R1
R2
R3 (17)
Puentes AC
Los puentes de AC son mucho m´as versatiles que los puentes de DC. Son usados para medir
valores desconocidos de resistencias AC como inductancias, capacitancias e inductancias mutuas
en funci´on de patrones y relaciones conocidas de elementos. Estos consisten de 4 ramas patr´on,
una fuente de excitaci´on alterna y un detector de cero (Galvan´ometro. Para bajas frecuencias
se puede utilizar la l´ınea de potencia como fuente de excitaci´on; y a altas frecuencias se puede
utilizar un oscilador.
El detector de cero debe responderr a las corrientes de desequilibrio de corriente alterna.
5

6. Condici´on para el equilibrio:
Se cumple cuando:
1. La corriente que pasa por el galvan´ometro es 0, este se convierte en un circuito abierto.
2. La diferencia de potencial entre el nodo B y el nodo A debe ser igual a la diferencia de
potencial entre el nodo B y el nodo C.
VBA = VBC (18)
Puente de Maxwell
Originalmente Maxwell desarrollo el puente Maxwell-Wien con prop´ositos bal´ısticos el cual
fue adaptado por M.Wien para realizar mediciones en corriente alterna.
Es utilizado para medir el valor de una inductancia desconocida en terminos de una capacitancia
conocida.
El puente de maxwell se limita solamente a la medici´on de bobinas con factor de calidad:
1 < Q < 10
Demostraci´on:
Definimos primeramente las ecuaciones de cada rama:
Rama 1:
Y =
1
R1
+ jωC1 (19)
Rama 2:
Z2 = R2 (20)
Rama 3:
Z3 = R3 (21)
Rama 4:
Zx = Rx + jωLx (22)
Reajustando la condici´on de equilibrio del puente se obtiene:
6

7. Zx =
1
Z1
Z2Z3
Zx = Y Z2Z3 (23)
Ahora sustituimos (19) en (23):
Zx = R2R3
1
R1
+ jωC1 (24)
Ahora separamos terminos reales y terminos imaginarios:
Rx =
R2R3
R1
(25)
ωLx = ωC1R2R3 ⇒ Lx = C1R2R3 (26)
Ya hallamos las 2 ecuaciones f´ormulas para encontrar los valores de una resistencia y una
inductancia desconocida, ahora esto lo reemplazamos en la f´ormula del factor de calidad para
obtener una nueva condici´on:
Qx =
ωLx
Rx
(27)
Reemplazando (25) y (26) en (27) se obtiene:
Qx = ωC1R1 (28)
Condiciones para el equilibrio:
Para que se llegue a cumplir el equilibrio se deben cumplir las siguientes condiciones:
1. El equilibrio del puente solo se puede lograr si las resistencia son resistencias variables en el
caso de este puente se usa R1 como variable y su marcador estar´a calibrado en valores de Q.
2. El ´angulo de fase entre dos ramas opuestas debe ser igual al ´angulo del otro par de ramas,
en el caso del puente de Maxwell el ´angulo entre la rama 2 y 3 es 0o
y el ´angulo entre la rama
1 y 4 es 0o
por lo tanto si cumple la condici´on.
El ´angulo de fase de la bobina con Q alto ser´a cerca de 90o
por lo tanto R1 deber´a ser muy
grande.
Puente de Hay
El uso de este puente permite medir valores de inductancias en t´erminos de capacitancia,
resistencia y frecuencia. Su diferencia con el puente de Maxwell es su condesador, ya que este
se encuentra en serie con la resistencia.
Para ´angulos de fase grandes R1 debe tener un valor muy bajo de resistencia, por lo tanto, el
puente de Hay es m´as conveniente para la medici´on de bobinias de Q alto.
7

8. Definimos primero las ecuaciones de cada rama: Rama 1:
Z1 = R1 +
1
jωC1
(29)
Rama 2:
Z2 = R2 (30)
Rama 3;
Z3 = R3 (31)
Rama 4:
Zx = Rx + jωLx (32)
Utilizando la condici´on de equilibrio y reemplazando se tiene la siguiente expresi´on:
R1 +
1
jωC1
[Rx + jωLx] = R2R3 (33)
R1Rx + R1jωLx +
Rx
jωC1
−
Lx
C1
= R2R3
Ahora separamos t´erminos reales y terminos imaginarios, despejamos en funcion de Lx e igua-
lamos ambas ecuaciones:
Parte real:
R1Rx −
Lx
C1
= R2R3 (34)
Parte imaginaria:
R1jωLx +
Rx
jωC1
= 0 (35)
Despejamos ambas ecuaciones para tener dos t´erminos de Lx y las unimos: Ecuaci´on 1:
Lx = (R2R3 − R1Rx) C1 (36)
Ecuaci´on 2:
Lx =
Rx
ω2R1C1
(37)
Igualando las ecuaciones (36) y (37) obtenemos la siguiente relaci´on para Rx
Rx =
R1R2R3C1
2
ω2
1 + R1
2
ω2C1
2 (38)
8

9. De igual forma, de las ecuaciones (34) y (35) despejamos en funci´on de Rx. igualamos y obte-
nemos una soluci´on para la inductanciaLx:
Lx =
R2R3C1
2
1 + R1
2
ω2C1
2 (39)
En estas ecuaciones se nota la presencia de la velocidad angular por lo tanto es necesario que
se requiera la frecuencia de la fuente, y que esta se deba conocer con exactitud. Dando uso
del ´angulo de fase capacitivo lo reemplazamos en la ecuaci´on (39) y obtenemos la siguiente
expresi´on:
Lx =
R2R3C1
1 + 1
Q
2 (40)
Para valores de Q > 10 tendr´a valores de 1/100 por lo tanto este valor es despreciable y la
ecuaci´on quedar´ıa expresada de la siguiente forma:
Lx = R2R3C1 (41)
Puente de Schering
Se utiliza para medir condensadores en t´erminos de una capacidad pura en serie con una
resistencia y se utiliza para condensadores con factores de disipaci´on muy bajos
Condici´on de equilibrio:
La suma de los ´angulos de fase de las ramas 1 y 4 debe ser igual al ´angulo de fase de las
ramas 2 y 3.
Z1Zx = Z2Z3 (42)
9

10. Z1 =
1
Y1
Zx = Z2Z3Y1 (43)
Reemplazamos los respectivos valores de cada impedancia.
Rx −
j
ωCx
= R2 −
j
ωC3
1
R1
+ jωC1 (44)
Ordenamos:
Rx −
j
ωCx
=
R2C1
C3
− j
R2
ωC3R1
(45)
Separamos t´erminos reales y t´erminos imaginarios: Parte real:
Rx =
R2C1
C3
(46)
Parte imaginaria:
−
j
ωCx
= −j
R2
ωC3R1
Cx =
C3R1
R2
(47)
Puente de Wien
Sirve para medir valores de frecuencia, pero a la vez sirve para diversas aplicaciones, como
por ejemplo:
1. Analizador de distorsi´on arm´onica.
2. Osciladores de audio y alta frecuencia.
Definimos primeramente las ecuaciones de rama:
Rama 1:
Z1 = R1 −
j
ωC1
(48)
Rama 2:
Z2 = R2 (49)
10

11. Rama 3:
Y3 =
1
R3
+ jωC3 (50)
Rama 4:
Z4 = R4 (51)
Ahora aplicamos la ecuaci´on para el balance:
R2 = R4 R1 −
j
ωC1
1
R3
+ jωC3 (52)
Ahora realizamos operaciones matem´aticas para tener m´as t´erminos:
R2 =
R1R4
R3
+ jωC3R1R4 −
jR4
ωC1R3
+
R4C3
C1
(53)
Ahora separamos parte imaginaria y parte real
R2
R4
=
R1
R3
+
C3
C1
(54)
ωC3R1R4 =
R4
ωC1R3
(55)
Sabiendo que ω = 2πf Reemplazamos en la ecuaci´on (55) y obtenemos una ecuaci´on para hallar
el valor de la frecuencia:
f =
1
2π
√
C1R3C3R1
(56)
Si se satisface la ecuaci´on que hallamos, y se excita el puente con la frecuencia descrita por la
ecuaci´on el puente queda en equilibrio.
Puente de Owen
El equilibrio del valor resistivo e inductivo de la impedancia desconocida es independiente
entre s´ı si los valores de R3 y C3 son variables.
Por otro lado, el equilibrio del puente tambi´en se puede obtener modificando los valores de R1
y R3 si las capacidades del circuito C2 y C3 son fijas.
El puente de Owen permite determinar el incremento de inductancias en bobinas con n´ucleo
de hierro.
11

12. Aplicamos la condici´on de balance:
Z1Z3 = ZxZ2 (57)
Sustituimos los valores de cada una de las ramas y obtenemos la siguiente ecuaci´on:
jωC2R1 =
Zx
R3 + 1
jωC3
(58)
Despejamos Zx
Zx =
R1C2
C3
+ jωR1R3C2 (59)
Separamos parte real e imaginaria e igualamos, de esta forma obtenemos las dos ecuaciones del
puente:
Rx =
R1C2
C3
(60)
Lx = R1R3C2 (61)
12

13. Resistencias patr´on:
El National Reference Standard de resistencias, consiste en un grupo de diez resistencias de
1Ω de construcci´on especial y selladas en recipiente de doble envolvente para evitar el contacto
con el aire, las cuales se conservan en el National Bureau of Standards.
Los patrones de resistencia utilizados en las medidas de precisi´on est´an construidas con metal
de elevada resistividad, en forma de hilo o de cinta. Generalmente, se utiliza la manganina, se
da uso de esta aleaci´on debido a que si se trata adecuadamente y se protege del aire y de la
humedad, posee una serie de caracter´ısticas adecuadas, como valor estable bajo coeficiente de
temperatura alta.
Existen dos tipos de patr´on de uso general:
1. Reichsastalt
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14. 2. NBS
Se utilizan sus terminales sumergidos en mercurio y est´an sumergidos en un ba˜no de aceite para
disipar el calor y para mantener la temperatura a un valor constante durante las mediciones.
Para mayor precisi´on la disipaci´on de potencia debe mantenerse por debajo de 0.1W aunque
puede alcanzar 1W.
Normas que se deben cumplir en las resistencias patr´on:
1. Una resistencia patr´on se contruye por medio de una aleaci´on de alambre resistente como
la manganina.
2. El informe de calibraci´on que acompa˜na la resistencia especifica su trazabilidad de acuerdo
con los patrones de la NBS e incluye os coeficiente de temperatura α y β
Por ejemplo si un alambre dado para una resistencia proporciona un valor casi constante,
tomando en cuenta que se cuenta con varias temperaturas, el valor exacto de esta resistencia a
cualquier valor de temperatura se puede calcular a partir de la siguiente expresi´on, de las cual
asumiremos una temperatura de 25o
C:
Rt = R25oC + α (t − 25)) + β(t − 25)2
Inductancia:
La inductancia es una medida de la oposici´on a un cambio de corriente de un inductor o
bobina que almacena energ´ıa en presencia de un campo magn´etico y se define como la variaci´on
del flujo magnetico (Φ) y la corriente (I) que circula por la bobina y el n´umero de vueltas (N)
del devanado.
La inductancia depende de las caracter´ısticas f´ısicas del conductor y la longitud del mismo,
si un conductor es enrrollado aparecer´a una inductancia, y se realizan m´as vueltas sobre el
mismo conductor abr´a mucha m´as inductancia, si le llegamos a a˜nadir un n´ucleo de ferrita este
tambi´en aumentar´a su inductancia.
Si se tiene un solenoide, cuyo conductor est´a enrrollado N veces y se conoce el ´area y la longitud
del conductor se puede deducir indirectamente el valor de la inductancia con la siguiente f´ormula
y tomando en cuenta que este se encuentra en el vacio sin someterse al efecto de ning´un otro
diel´ectrico:
L =
µoN2
A
l
(62)
Si este no est´a en el vacio y se encuentra sometido por un diel´ectrico la ecuaci´on se escribe de
la siguiente forma:
L =
µN2
A
l
(63)
14

15. Donde:
L → Inductancia [H]
µ → Permeabilidad del medio
N → N´umero de vueltas del devanado
A → ´Area del conductor
l → Longitud del conductor
Acontinuaci´on se listan algunos valores de Permeabilidad:
Factor de calidad de una bobina
El factor de calidad es un par´ametro tambi´en conocido como factor de selectividad y mide
la relaci´on entre la energ´ıa reactiva que almacena y la energ´ıa que disipa un ciclo completo de
un se˜nal.
Un factor de calidad alto indica una tasa baja de p´erdida de energ´ıa.
Representa una medida de lo aguda que es la resonancia en un circuito oscilador, es decir co-
nectado a una fuente de fem AC.
Para calcular el factor de calidad se utiliza la siguiente f´ormula:
Qx =
ωLx
Rx
(64)
Bobina ideal:
Una bobina ideal tiene solamente car´acter inductivo sea cualquiera la forma en la que este
enrrollado el cable:
Esquema de una bobina ideal:
15

16. Forma toroidal:
Forma solenoidal:
Bobina real:
A diferencia de la bobina ideal presenta una resistencia el´ectrica propia del alambre conductor
y un efecto capacitivo por el movimiento de corriente entre las espiras, debido a los materiales
utilizados.
Esquema de una bobina real:
Inductancia patr´on:
Los valores absolutos de las resistencias patr´on se controlan mediante la inductancia Camp-
bell, la cual tiene una inductancia mutua que se puede determinar mediante medidas geom´etri-
cas de las bobinas de la inductancia. Se puede utilizar un puente para determinar el valor de
la resistencia patr´on en funci´on de la inducci´on mutua.
16

17. Estos patrones inductivos son precisos, muy estables como autoinductancia para uso como re-
ferencia de baja frecuencia, para trabajos normales en laboratorio.
Capacidad el´ectrica:
Tambi´en se denomina capacitancia, es la propiedad que tienen los cuerpos para mantener
una carga el´ectrica. La capacidad es una medida de la cantidad de energ´ıa el´ectrica almacenada
por una diferencial de potencial el´ectrico dado.
La corriente que logra atravesar una placa hacia la otra es debido a la tensi´on aplicada al
condensador que rompe con la oposici´on del diel´ectrico.
As´ı la corriente del condensador viene dada por la siguiente expresi´on:
ic(t) = C
dv
dt
[A] (65)
dv
dt
→ Variacion de la tensi´on con respecto al tiempo.
C → Capacitancia del condensador
Capacitancia:
La capacidad de un condensador para almacenar carga el´ectrica en la superficie de las pla-
cas la otorga la capacitancia, la cual es la relaci´on de carga sobre tensi´on aplicada en sus bornes.
C =
q(t)
v(t)
[F] (66)
17

18. El valor de una capacitancia de un condensador depende de su dise˜no geom´etrico y del material
diel´ectrico, esto viene dado por la siguiente relaci´on:
C = ε
A
d
[F] (67)
Donde:
C → Capacitancia del condensador
A → ´Area de las placas
d → Distancia de separaci´on entre las placas
ε → Permitividad el´ectrica del material, en el caso de ser al vacio quedar´ıa εo
El valor de la permitividad relativa var´ıa seg´un el tipo de material que se va a utilizar:
Condensador ideal:
Solamente tiene su caracter capacitivo:
Condensador real:
Representa una resistencia el´ectrica propia de los terminales de conexi´on y las placas y un
efecto inductivo par´asito asociado tambi´en a los terminales de conexi´on y las placas y una
resistencia el´ectrica propia del diel´ectrico, si se someten a bajas frecuencias estos valores son
omitidos.
18

19. 3. Conclusiones:
3.1. Primera conclusi´on:
Es importante establecer la raz´on por la cual se genera el equilibrio del puente, ya que por
medio de esto podemos deducir facilmente las f´ormulas que nos permitiran mantener el puente
en equilibrio.
3.2. Segunda conclusi´on:
Las ecuaciones de equilibrio ser´an siempre las misma en cuanto no se llegue a cambiar
ning´un elemento perteneciente al circuito puente.
3.3. Tercera conclusi´on:
La resoluci´on paso a paso de las ecuaciones es f´acil si es que se tiene conocimiento de los
casos que intervienen en cada puente para que se puede cumplir con el equilibrio.
4. Bibliograf´ıa:
[1]Instrumentaci´on electr´onica moderna y t´ecnicas de medici´on - Cooper-Helfrick-Capitulo 5
[2]An´alisis de circuitos el´ectricos - Hayt - Ed. 7ma
19