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Unidad i jorge m

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  1. 1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO ESCUELA DE INGENIERIA CABUDARE ESTADO LARA MATEMATICA II INTEGRAL DEFINIDA JORGE MENDOZA INTEGRAL DEFINIDA RESUMEN DEL TEMA (PARTE PRÁCTICA)
  2. 2. 1.-INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integral definida surge al intentar calcular el área encerrada bajo una función continua , es decir, nuestro objetivo es calcular el área encerrada entre el eje X, dos rectas paralelas al eje Y x = a y x = b , y la función continua: Definición: Sea f una función continua en [a,b] tal que f(x) ≥ 0 en el intervalo. El área encerrada entre la gráfica de f, el eje X y las abcisas x = a y x=b, la llamaremos integral definida de f(x) entre a y b y se designa por f x dx a b ( )∫ . Hay que hacer notar que el resultado de f x dx a b ( )∫ no depende de la variable x ya que se trata de un valor numérico puesto que es el resultado de calcular un área. Así f x dx a b ( )∫ = f t dt a b ( )∫ . 2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 1. f x dx a a ( )∫ = 0 cualquiera que sea f . Esta claro que su valor es 0 ya que no existe un recinto del que podamos calcular un área. 2. Si f(x) > 0 y continua en [a,b], entonces f x dx a b ( )∫ > 0 y si f(x) < 0 y continua en [a,b], entonces f x dx a b ( )∫ < 0. 3. Si a < b < c y f es continua en [a,c], entonces : f x dx a b ( )∫ + f x dx b c ( )∫ = f x dx a c ( )∫ Las propiedades 2 y 3 nos dan la clave para calcular el área bajo una función que cambia de signo en el intervalo dónde lo estamos calculando, así en el siguiente ejemplo si calculamos directamente f x dx( ) 2 9 ∫ obtendremos 5-3+1 = 3 u2 lo cuál es falso ya que el área correspondiente a la parte negativa también
  3. 3. se debe sumar y no restar. Para evitar esto debemos calcular la integral en cada uno de los intervalos de forma que la función sea siempre positiva o siempre negativa y cambiar de signo a la que le corresponde la parte negativa: Área = f x dx( ) 2 5 ∫ - f x dx( ) 5 8 ∫ f x dx( ) 8 9 ∫ = 5+3+1=9 u2 . 4. f x dx a b ( )∫ + g x dx a b ( )∫ = ( ( ) ( ))f x g x dx a b +∫ 5. K· f x dx a b ( )∫ = K f x dx a b • ( )∫ Para K un número real cualquiera. 6. Si para cada x ∈ [a,b] se cumple que f(x) ≤ g(x), entonces f x dx a b ( )∫ ≤ g x dx a b ( )∫ . 7. Si f es una función continua en [a,b], entonces existe c ∈ [a,b] tal que: f x dx a b ( )∫ = f(c) (b-a) (Teorema del valor medio del cálculo integral) 3. LA INTEGRAL Y SU RELACIÓN CON LA DERIVADA Función área: Dada una función f continua en [a,b] podemos calcular f t dt a x ( )∫ para cualquier x ∈ [a,b] (corresponderá al área comprendida entre a y x). Por tanto podemos considerar la función F(x) = f t dt a x ( )∫ , que asigna a cada x ∈ [a,b] el valor del área bajo f(x) entre a y el punto x. Teorema fundamental del cálculo integral: Si f es una función continua en [a,b], entonces F(x) = f t dt a x ( )∫ con x ∈ [a,b], es derivable y además F´(x) = f(x). Regla de Barrow: Si f(x) es una función continua en [a,b] y G(x) es una primitiva suya, entonces : f x dx a b ( )∫ = G(b) -G(a) EJEMPLO Queremos calcular ( )x x dx2 1 3 +∫ : 1. Calculamos una primitiva de f(x) : ( )x x dx2 +∫ = x x3 2 3 2 + = G(x) 2. Calculo G(1) = 5/6 y G(3) = 27/2
  4. 4. 3. Calculo: ( )x x dx2 1 3 +∫ = x x3 2 3 2 + ]x x = = 1 3 = 27/2 -5/6 = 76/6 =38/3 u2 4. CÁLCULO DE ÁREAS MEDIANTE INTEGRALES A) CÁLCULO DEL ÁREA ENCERRADA BAJO UNA FUNCIÓN ENTRE DOS PUNTOS: EJEMPLO : Nos piden calcular el área comprendida entre f(x)= x3 -9x , los puntos de abcisa x=-2, x=3 y el eje X. Para ello calcularemos: ( )x x dx3 2 3 9− − ∫ Si aplicamos directamente la regla de Barrow obtendremos un resultado erróneo ya que no hemos comprobado si existen tramos negativos de la función en el intervalo (-2, 3) . Para calcular el área pedida seguiremos los siguientes pasos: 1. Resolvemos la ecuación x3 -9x = 0 para calcular dónde corta al eje X. El resultado son los puntos -3, 0 y 3. 2. Seleccionamos las raíces afectadas en nuestro problema, que son las que pertenezcan al intervalo [-2,3] : en nuestro caso 0 y 3. 3. Descomponemos Área = | ( )x x dx3 2 0 9− − ∫ | +| ( )x x dx3 0 3 9−∫ | 4. Calculamos una primitiva de x3 - 9x : G(x) = x4 /4-9x2 /2. 5. Calculamos cada una de las integrales definidas ( )x x dx3 2 0 9− − ∫ = 0 -(4- 18) =14 u2 y ( )x x dx3 0 3 9−∫ = 81/4 - 81/2 -0 = -81/4 y ya podemos concluir que el área buscada es 14 + 81/4 = 137/4 u2 B) ÁREA COMPRENDIDA ENTRE DOS CURVAS El área comprendida entre dos curvas f y g es igual al área de f menos el área de g entre los puntos de corte de f y g.
  5. 5. En el dibujo tenemos f(x) = -x2 +6x -4 y g(x) = x . Calculamos los puntos de corte y resultan x =1 y x = 4 y calculamos f(x)-g(x) = -x2 +5x -4 y calculamos el área comprendida entre 1, 4 bajo f-g: Resolvemos -x2 +5x -4=0 y resulta 1 y 4 que coinciden con los extremos de la integral definida . Calculamos   ]− + − = − + − = − + − − − + − =∫ x x dx x x x u2 3 2 1 4 2 1 4 5 5 3 5 2 5 64 3 40 20 1 3 5 2 5 3 2 ) ( ) B) VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN Un trozo de curva y = f (x) en el intervalo [a, b], se hace girar alrededor del eje X y se engendra un cuerpo de revolución: El volumen del cuerpo será igual a Π f x dx a b 2 ( )∫
  6. 6. En el dibujo tenemos f(x) = -x2 +6x -4 y g(x) = x . Calculamos los puntos de corte y resultan x =1 y x = 4 y calculamos f(x)-g(x) = -x2 +5x -4 y calculamos el área comprendida entre 1, 4 bajo f-g: Resolvemos -x2 +5x -4=0 y resulta 1 y 4 que coinciden con los extremos de la integral definida . Calculamos   ]− + − = − + − = − + − − − + − =∫ x x dx x x x u2 3 2 1 4 2 1 4 5 5 3 5 2 5 64 3 40 20 1 3 5 2 5 3 2 ) ( ) B) VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN Un trozo de curva y = f (x) en el intervalo [a, b], se hace girar alrededor del eje X y se engendra un cuerpo de revolución: El volumen del cuerpo será igual a Π f x dx a b 2 ( )∫

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