1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
MATEMATICA II
EFRAIN PALMA
INTEGRAL DEFINIDA
El rectángulo inscrito sobre el i-esimo termino sub intervalo [xi-1, xi] tiene altura f (xi-1),
mientras que el i-esimo rectángulo circunscrito tiene una altura f(xi). Como la base de
cada rectángulo tiene una longitud ∆x las áreas de estos rectángulos son f (xi-1) ∆x y
f (xi) ∆x.
y
f(xi)
x
a=x0 xi-1 xi xn=b
Al sumar las áreas de los rectángulos inscritos para i = 1, 2, 3 ….. n obtenemos la
subestimación
( ) xxfAn
n
i
i ∆−= ∑=1
1
del área real A
De manera análoga la suma de las áreas de los rectángulos circunscritos es la
sobreestimación
( ) xxfAn
n
i
i ∆= ∑=1
La desigualdad implica que An ≤ A ≤ An , entonces
( ) ( )∑∑ ==
∆≤≤∆−
n
i
i
n
i
i xxfAxxf
11
1
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1
f (xi
-1)

2. Las desigualdades se invierten si f`(x) fuera decreciente. Si el número n de
subintervalos es muy grande, de modo que ∆x sea muy pequeño, entonces la
diferencia entre las áreas An y An de los polígonos inscritos y circunscritos será
muy pequeña. Por tanto ambos valores serán muy cercanos al área real A de la
región R.
( ) ( ) ∆Χ−=− afbfAnAn
Pero ( ) 0→
−
=∆Χ
n
ab , cuando ∞→n
El área de la región R está dada por:
( ) ( )∑ ∆
=
−
∞→
∑
=∞→
=∆Χ=
n
i
i
n
n
i
i
n
xfA xxf
1
1
1
limlim
Al aplicar la fórmula o Ecuación recordemos que n
ab
x
−
=∆ y xiax ∆+=1 para i=0, 1, 2,
…..n pues xi está a i pasos de longitud x∆ a la derecha de a=Χ0
Ejemplos.
1) Determinar el área bajo la gráfica de f(x)=x2
en el intervalo [ ]3,0 .
Solución:
Si dividimos [ 0, 3] en n subintervalos, de la misma longitud.
nnn
ab
x
303
=
−
=
−
=∆ ⇒
n
x
3
=∆
xiaxi ∆+= ⇒
n
ixi
3
0 +=
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2

3. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
Por tanto: ∑ ∑= =
∆=∆
n
i
n
i
ii xxxxf
1 1
2
)()( sustituimos
∑∑ ==
=










 n
i
n
i n
i
nn
i
1
2
2
1
2
2733
aplicando propiedad de sumatorias,
= ∑=
n
i
i
n 1
2
2
27
aplicamos la fórmula de sumatoria






++= nnn
n 6
1
2
1
3
127 23
2 aplicamos límite cuando ∞→n
9
3
1
27
6
1
2
1
3
1
27 2lim =





=





++=
∞→ nn
A
n
pues n2
1
y 2
6
1
n
tienden a cero cuando
∞→n ..
. A = 9u2
y = x2
A = 9u2
Ejemplo:
2) Determine el área bajo la gráfica de f(x):100-3x2
de x=1 a x=5
Solución: El intervalo es [ 1 , 5 ]
nnn
ab
x
415
=
−
=
−
=∆
xiaxi ∆+=






+=
n
ixi
4
1 ⇒
n
i
xi
4
1+= Ahora apliquemos la fórmula
( ) [ ] xxxxf
n
i
n
i
∆−=∆= ∑ ∑= =1 1
2
3100




















+−= ∑= nn
in
i
44
13100
1
2
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3
xi-1 xi
∆x

4. 

















++−= ∑= nn
i
n
in
i
4168
13100
1
2
2












−−−= ∑= nn
i
n
in
i
44824
3100
1
2
2
[ ] 





−−= ∑= nn
i
n
in
i
44824
97
1
2
2
∑=






−−=
n
i n
i
n
i
n1
3
2
2
19296388
∑ ∑ ∑= = =
−−=
n
i
n
i
n
i
i
n
i
nn 1 1 1
2
32
19296
1
388
aplicamos fórmulas correspondientes a cada caso.
⇒ ( ) [ ] ( ) 





++−





+−=∆−=∆ ∑∑ ==
nnn
n
nn
n
n
n
xxxxf
n
i
n
i 6
1
2
1
3
1192
2
1
2
196388
3100 23
3
2
2
1
2
1
Simplificamos (n) 2
3296
64
48
48388
nnn
−−−−−=
2
32144
276
nn
−−= -
Aplicamos límite
276
32144
276 3lim =





−−=
∞→ nn
A
n
A=276 u2
SUMAS DE RIEMANN
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4

5. Las sumas de aproximación en la ecuación ( )∑=
− ∆
n
i
i xxf
1
1 y ( )∑=
∆
n
i
i xxf
1
son ambas de la
forma ( )xxf
n
ni
i ∆∑=
* donde xi
*
es un punto seleccionado en el iésimo subintervalo [ ]ii xx ,1−
a = x0
*
1x x1
*
2x x2 …… xi-1
*
ix xi
*
nx xn = b
Una función f definida en [a , b ] que no necesariamente es continua o positiva. Una
partición P de [ a , b ] es una colección de subintervalos
[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3],….[xn-1, xn] de [a , b] de modo que a = x0 < x1 < x2 < x3 < ….. < xn-1
< xn = b
La NORMA de la partición P es el máximo de las longitudes 1−−=∆ iii xxx de los
subintervalos en P y se denota P .
Para obtener una suma como ( )∑=
∆
n
i
i xxf
1
*
, necesitamos un punto *
ix en el iésimo
subintervalo para cada i, 1 ≤ i ≤ n. Una colección de puntos { }**
3
*
2 ,.....,*, ni xxxxS = donde
*,ix en [ ]ii xx ,1− (para cada i) es una selección para la partición P.
Esto define la suma de Riemann para una función f en un intervalo [a , b ], S una
selección para P, entonces la suma de Riemamn ( )∑=
∆=
n
i
ii xxfR
1
*
En la siguiente gráfica de la función ( ) 562 23
+−= xxxf en el intervalo [0, 3]
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5

6. ,00
,10
,20
,30
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00
X
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
F(x)
,00
,10
,20
,30
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00
X
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
F(x)
,00
,10
,20
,30
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00
X
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
F(x)
Suma según los extremos
izquierdos
( )∑=
− ∆=
n
i
i xxfR
1
1
Según los extremos derechos Según los puntos medios
R=
∑=
∆
n
i
i xxf
1
)(
Rmed =
∑=
∆
n
i
i xmf
1
)(
, 2
1* ii
ii
xx
mx
+
== −
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6

7. LA INTEGRAL DEFINIDA SEGÚN RIEMANN
El matemático alemán G . F. B Riemann (1826 -1866) Proporcionó una definición
rigurosa de la integral.
Definición: La integral definida de la función f de a a b es el número
( ) i
n
i
i
p
xxfI ∆= ∑=→ 1
*
0
lim
Siempre que el límite exista, en cuyo caso decimos que f es integrable en [a, b]. La
ecuación significa que, para cada número ε > 0, existe un número ε > 0 tal que
( ) i
n
i
i xxfI ∆−∑=1
*
< ε
Para cada suma de Riemann asociada con una partición arbitraria P de [a, b] para la que
P < ε
Nota: La palabra límite se usa para denotar el número mínimo y el número máximo del
intervalo [a, b] y no tiene nada que ver con las definiciones de límite dadas
anteriormente.
La notación usual para la integral de f de a a b, debida al filósofo y matemático alemán G.
W Leibniz, es:
Esta notación integral no solo es altamente sugerente, sino que también es útil, en
extremo para el manejo de las integrales. Los números a y b son el limite inferior y el
limite superior de la integral, respectivamente, son los extremos del intervalo de
integración.
La variable x se puede reemplazar por cualquier otra variable sin afectar el significado de
la Ecuación.
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7

8. Así si f es integrable en [a, b] , entonces
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫==
b
a
b
a
b
a
duufdttfdxxf ; ( )xf es el integrando.
La integral dada, de la integral definida, se aplica solamente cuando a < b, pero es
conveniente incluir, cuando a > b y a = b.
* Si a = b ( )∫ =
b
a
dxxf 0
* Si a > b ( ) ( )∫ ∫−=
b
a
a
b
dxxfdxxf
Definición: Se llama integral definida entre a y b de f(x), y se denota ( )∫
b
a
dxxf al área de
la porción del plano limitado por la grafica de la función f(x), el eje x y las rectas x = a y
x = b.
TEOREMA DE EVALUACIÓN DE INTEGRALES
“ Si G es una primitiva de la función continua f en G(b) – G(a) se abrevia generalmente [
G(x) ]a
b
entonces ( ) ( ) ( )aGbGdxxf
b
a
−=∫
Ejemplo: Evaluar
1) [ ] ( ) ( )∫
Π
Π
−−Π−=−=
0
0 0coscoscos xsenxdx
= - (-1) – (-1)
= +1 + 1 = 2
2) ( ) ( )
3
32
0
6
64
0
6
1
2
6
1
6
1 66
2
0
2
0
65
=−=−=





=∫ XdxX
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8

9. 3) ( )∫ 





−−=−− −
9
1
9
1
2/12
2/1
3
2/12
232 x
xx
dxXX
[ ]
( ) ( ) ( )
52
24480
19319219
32
2/12/122
9
1
2/12
=
−−=
−−−−−=
−−= xxx
Propiedades de las Integrales Definidas
Sea f una función integrable en [ ]ba, :
Propiedad 1:
( )∫ =
b
a
dxxf 0 Es decir, si la base del área de la región bajo la curva es cero, el área es
cero.
Propiedad 2:
( )∫
b
a
dxxf > 0 , ∀x ∈ [ ]ba, y f(x) > 0, Es decir, el área de la región bajo la curva
siempre será positiva si f(x) es positiva.
Propiedad 3:
( )∫
b
a
dxxf < 0, ∀x ∈ [ ]ba, y f(x) < 0, Es decir, el área de la región bajo la curva siempre
será negativa si f(x) es negativa.
Propiedad 4:
( )∫
c
a
dxxf = ( )∫
b
a
dxxf + ( )∫
c
b
dxxf , Si f es una función integrable en un intervalo que
contiene los puntos a, b, c talque a < b < c.
Propiedad 5:
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9

10. ( ) ( )[ ]∫ =±
b
a
dxxgxf ( )∫
b
a
dxxf ( )∫±
b
a
dxxg Si f y g son funciones integrables en [a,b].
Propiedad 6:
( ) kdxxKf
b
a
=∫ ∫
b
a
dxxf )( para toda constante k
Propiedad 7:
∫
b
a
dxxf )( = - ∫
a
b
dxxf )( Al intercambiar los limites de integración cambia el signo de la
integral.
Propiedad 8:
∫
b
a
dxxf )( ≥ ( )∫
b
a
dxxg Si f y g son funciones integrables [a,b] y si f(x) ≥ g(x).
Propiedad 9:
( )∫ −=
b
a
abKKdx Es decir, si la función es constante su integral es el producto de la
constante por la diferencia de los límites de integración.
Ejemplos
Calcular la integral definida de las siguientes funciones:
1) ∫
5
2
7dx
Solución : como es una constante, entonces: ∫
5
2
7dx = 7(5-2) = 7(3) = 21 (Por prop. 9)
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10

11. 2) ∫ =
2
0
3
4dxx y ∫ =
2
0
2dxx entonces calcular ( )∫ +−
2
0
3
435 dxxx
Solución:
( )∫ +−
2
0
3
435 dxxx = ∫ ∫∫ +−
2
0
2
0
2
0
3
435 dxxdxdxx
( )∫ ∫ −+−=
2
0
2
0
3
02435 xdxdxx
= 5(4) – 3(2) + 8 Sustituyendo
= 20 – 6 + 8
= 22
3) Calcular el área bajo la gráfica aplicando la integral definida.
4
3
2
1
1 2 3 4 5
Solución:
∫ ==−=
5
1
2
12)4(3)15(33 udx
4) Evalúe
∫ =





+
5
4
32
51
dx
xx
reescribimos ( )∫
−−
+
5
4
32
5 dxxx
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11

12. Solución:
∫ ∫
−−
+
5
4
5
4
32
5 dxxdxx integrando obtenemos
5
4
2
5
4
21
2
51
2
5
1 





−−=





−
+
−
−−
xx
xx
Sustituimos aplicando la definición
( ) ( ) 







−−−







−−= 22
42
5
4
1
52
5
5
1
= 10625.0
160
17
32
5
4
1
50
5
5
1
==++−−
Ejercicios Propuestos
a) ( )∫ −
7
2
3
4 dxxx
R/ = 2025/4
b) ( )∫ +−
6
5
23
1 dyyy
R/ = -1661/12
c) ∫
∏
0
3senZdz
R/ = 6
d) ∫ 





+−
4
1
31
dxx
x
x
R/ = 8.2
e) ∫
e
1
ln y dy
R/ = 1
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12

13. f) ( )∫ −
4
0
2/32/5
57 dxxx
R/ = 192
g) ( )∫−
+
0
1
3
1 dxx
R/ = 1/4
h)
∫
∏
8
0
2
sec tdt
R/ = 1/2
i) ∫
∏ 4/
0
cos xdxsenx
R/ = 1/4
j) ∫
∏
2
0
4
cos dx
x R/ = 4/ ∏
k) ∫
3
1
2/
dxxex R/ = 23.37
l) ∫
+
2
0
12
3 dxxex
R/ = 3/2 e (e2
-1)
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b],
entonces ( )dxxf
b
a∫ = F(b) – F(a); la diferencia F(b) – F(a) se denota por el símbolo
b
axf )]( o por [ ]b
axF )( .
Estrategia para usar el teorema fundamental del cálculo
1. Supuesta conocida una primitiva de f, disponemos de un nuevo recurso para calcular
integrales definidas que no requiere hallar el límite de una suma.
2. Use la siguiente notación para aplicar el teorema fundamental del cálculo
∫
b
a
dxxf )( = ]b
axF )( = F(b) – F(a).
Nota: No es necesario incluir una constante de integración C en la primitiva.
Ocurren los siguientes casos:
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13

14. 1)Si a > b se tiene ( ) ( )∫∫ −=
a
b
b
a
dxxfdxxf
=- [F(a) – F(b)]
= F(b) – F(a)
2) a = b se tiene
∫
a
a
( ) ( ) ( )aFaFdxxf −== 0
Ejemplos
Evaluar
a) ( ) ]∫−
−−=−
3
2
3
2
3
2
5
3
656 x
x
dxx
]3
2
3
52 −−= xx
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ]
( )
45
639
10161554
108215272
25223532
33
=
−−=
+−−−=
+−−−=
−−−−−=
b) ( ) ]∫ +−=+−
0
2
0
2
23
2
2
2
3
3
2
232 x
xx
dxxx
( ) ( ) ( ) ( )














+−−







+−−= 02
2
0
3
3
0
222
2
2
3
3
2
2
2323
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14

15. ( ) ( )
3
10
3
10
1
2
3
16
046
3
8
2
−=






−=






−=






−





+−=
c) ( ) ( ) ( )
∫ ∫ =−=





==
4
4
4
4
2/32/34
4
2/3
2/1
0
2/3
4
3
2/3
4
3
2/3
333
x
dxxdxx
* Aplicación del teorema fundamental del cálculo para hallar un área.
d) Calcular el área de la región acotada por la gráfica f(x) = x2
en el intervalo [ ]3,0 nótese
que y > 2.
Área = ]∫ =
3
0
3
0
3
2
3
x
dxx .
2
33
9
3
0
3
3
u=
−=
Nota: Este ejercicio esta resuelto al inicio de la unidad usando sumatoria.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DEFINIDAS
Si f es continua en el intervalo cerrado [ ]ba, , entonces existe un número “c” en [ ]ba, tal
que ∫ −=
b
a
abcfdxxf ))(()( , c puede ser cualquier punto de [ ]ba, .
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

16. Si despejamos f(c) tendríamos:
∫−
=
b
a
dxxf
ab
cf )(
1
)( obteniéndose así la definición del valor medio de una función en un
intervalo cuyo teorema es:
“Si f es integrable en el intervalo cerrado [ ]ba, , el valor medio de f en [a,b) es
f med ∫−
=
b
a
dxxf
ab
)(
1
”
Ejemplo
a) Halle el valor medio de xxxf 23)( 2
−= en el intervalo [1,4] en este caso a =1, b = 4
f med ( ) [ ]∫ ∫ −=





−=−
−
=
−
=
b
a
xx
xx
dxxxdxxf
ab
4
1
4
1
23
4
1
23
2
3
1
2
2
3
3
3
1
23
14
1
)(
1
( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]
( )( ) ( ) ( )
16
48
3
1
01664
3
1
1144
3
1 2323
=
=−−=
−−−=
GRAFICO
f(x) = 3x2
-2x
x Y
1 1
2 8
3 23
4 40
La figura muestra que el área de la región bajo la grafica de f es igual al área del
rectángulo cuya altura es el valor medio.
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16

17. b) Encuentre un número c que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio para la
siguiente integral definida ∫ −=
3
0
2
))(( abcfdxx
Recordemos que esta ya es un área conocida igual a 9 unidades cuadradas, por tanto
∫ −=
3
0
2
))(( abcfdxx
] ( )
3)(
)(
3
9
)3)((9
)3)((
3
3
03)(
3
3
3
0
3
==
==
==
==
−==
cf
cf
cf
cf
cf
x
Como f(x) = x2
entonces c2
= 3
c = 3 que es valor que satisface la conclusión del teorema.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
En varias ciencias, como las ciencias sociales, frecuentemente aparecen funciones en las
que se conocen de ellas solo su gráfica o algunos puntos de la misma. En estos casos no
es posible calcular la antiderivada de la función para determinar el área de la región
limitada por dicha función. Existe un método que proporciona una aproximación al valor
del área y que se conoce con el nombre de “INTEGRACIÓN NUMÉRICA”. Este método
se utiliza en los casos en que es muy complicado o imposible obtener la antiderivada de
la función.
Para aproximar el área de una región usaremos los siguientes métodos:
1) Método del Trapecio
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17

18. Una forma de aproximar el valor de una integral definida es usar “n” trapecios como lo
muestra la figura:
x = 0 x1 x2 x3 x4 = b
En este método se supone que f es continua y positiva en [ ]ba, de manera que la integral
∫
b
a
dxxf )(
representa el área de la región limitada por la grafica de f y el eje x, entre x=a y x=b.
En primer lugar partimos [ ]ba, en n subintervalos, cada uno de anchura n
ab
x
−
=∆ tales
que a= nxxxx <<< ...210 = b
A continuación formamos un trapecio sobre cada subintervalo como lo muestra la figura
f(x0)
f (x1)
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
18

19. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
x0 x1
n
ab −
donde el área del i-ésimo trapecio =
( )





 −





 +−
n
abxfxf ii
2
)(1
por tanto la suma de las áreas
de los n trapecios es:
Área = [ ])()(...)()(
22
)()(
...
2
)()(
110
110
nn
nn
xfxfxfxf
n
abxfxfxfxf
n
ab
+++




 −
=




 +
++
+−
−
−
[ ]∫ ++++
−
= −
b
a
nn xfxfxfxf
n
ab
dxxf )()(2...)(2)(
2
)( 110 que es la regla del trapecio para
aproximar ∫
b
a
dxxf )(
Ejemplo:
1) Use la regla de los trapecio para estimar ∫
3
0
2
dxx con n=5
Primero calcular 5
3
5
03
=
−
=
−
=∆
n
ab
x
3,4.2,8.1,2.1,6.0,0 543210 ====== xxxxxx
Segundo aplicar la ecuación
= [ ])()(2...)(2)(2)(
2
1210 nn xfxfxfxfxf
n
ab
+++++




 −
−
= [ ])9(2)76.5(2)24.3(2)44.1(2)36.0(20
)5(2
03
+++++
−
= [ ] 18.91852.1148.688.272.0
10
3
=++++ 2
U
y = x2
A = 9.18 u2
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19

20. 2) Use la regla del trapecio para estimar ∫
π
0
senxdx con n=4 y n=8
Cuando n=4 44
0 ππ
=
−
=
−
=∆
n
ab
x
π
πππ
===== 43210 ,
4
3
,
2
,
4
,0 xxxxx
∫ 





++++
−
=
π
π
ππππ
0
2
4
3
2
2
2
4
20
)4(2
0
sensensensensensenxdx
= ( ) ( ) ( ) 896.1
4
12
222
8
222
8
0)
2
2
(2)1(2)
2
2
(20
8
=
+
=+=++=







++++
ππππ
Cuando n=8 88
0 ππ
=
−
=∆x
π
πππππππ
========= 876543210 ,
8
7
,
4
3
,
8
5
,
2
,
8
3
,
4
,
8
,0 xxxxxxxxx
( )∫ 





++++++++
−
=
π
π
ππππππππ
0
8
72
4
32
8
52
2
2
8
32
4
2
8
20
82
0
sensensensensensensensensensenxdx
GRAFICA
como vemos
8
7
8
ππ
sensen = y 8
5
8
3
ππ
sensen =
Por tanto tenemos
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
20

21. 







++++++=
8
72
2
2
2
8
52)1(2
8
32
2
2
2
8
2
16
πππππ
sensensensen






+++=












++





+++=
8
34
8
4222
16
8
52
8
32
8
72
8
2222
16
πππ
πππππ
sensen
sensensensen
Utilizando la calculadora obtenemos 1.974 u2
que se aproxima al área exacta que es 2u2
Ejercicios Propuestos
Aproxime el valor de la integral para el “n” que se especifique usando la regla del
trapecio.
a) ∫
2
0
2
,dxx 4=n
R/ = 8/3 u2
b) ( )∫ −
8
0
2
,4 dxx 4=n
R/ = 416/3 u2
c) ∫
9
4
,dxx 8=n
R/ = 38/3 u2
d) ∫
3
1
2
,
1
dx
x
4=n
R/ = 2/3 u2
e) ∫
1.1
1
2
dxsenx 4=n
R/ = 0.089 ≈ 8.9 * 10-2
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