Este documento presenta conceptos básicos de trigonometría. Define las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo como las divisiones de los lados. Explica las propiedades de las razones trigonométricas como sus valores en ángulos notables y ángulos complementarios. Finalmente, proporciona ejercicios de aplicación.

1. Trigonometría

2. TRILCE
9
Capítulo
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO AGUDO - I
1
DEFINICIÓN: Son los resultados que se obtienen al dividir los lados de un triángulo rectángulo.
En el triángulo adjunto, tenemos:
A B
C
a
b
c
a y c : catetos
b : hipotenusa
B : recto
A y C : s agudos
2
2
2
b
c
a 

A + C = 90º
A los resultados así obtenidos se les asigna un nombre asociado a uno de los ángulos agudos del triángulo. Así en el gráfico;
para  tenemos:
a : cateto opuesto (CO) b : hipotenusa (H) c : cateto adyacente (CA)
Luego se definen :
b
a
H
CO
SenA 

b
c
H
CA
CosA 

c
a
CA
CO
TanA 

a
b
CO
H
CscA 

c
b
CA
H
SecA 

a
c
CO
CA
CotA 

Por ejemplo:
13
5
12

5
12
Cot
;
13
12
Cos
12
5
Tan
;
13
5
Sen








* TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULOS NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en los cuales
conociendo las medidas de sus ángulos agudos se pude establecer la proporción en la que se encuentran los lados de
dicho triángulo. Dos de los más usados son :
45º
45º
1
1
2
30º
60º
1
2
3
Mientras que uno aproximado, pero reconocido por sus diversas aplicaciones es el de 37º y 53º.
37º
53º
3
5
4

3. Trigonometría
10
A partir de estos se determinarán otros adicionales como:
22º30'
67º30'
1
4 + 2 2
2 +1
15º
75º
6 - 2
4
6 + 2
18º30'
71º30'
1
10
3
26º30'
63º30'
1
5
2
8º
82º
1
7
16º
74º
7
25
24
5 2
No olvide además:
30º 37º 45º 53º 60º
Sen
2
1
5
3
2
2
5
4
2
3
Cos
2
3
5
4
2
2
5
3
2
1
Tan
3
3
4
3
1
3
4
3
Cot 3
3
4
1
4
3
3
3
Sec
3
3
2
4
5
2
3
5
2
Csc 2
3
5
2
4
5
3
3
2
* PROPIEDADES:
I. Las razones trigonométricas de un ángulo; dependerán de la medida de dicho ángulo y no de los lados del
triángulo rectángulo en que se ubique. Por ejemplo:

A
Q
M
N
P B
C
Iguales
AC
BC
Sen
AN
MN
Sen
AQ
PQ
Sen















II. R. T. Recíprocas: Se nota claramente, de las definiciones de las razones trigonométricas de un ángulo agudo, que
existen tres parejas que son una la recíproca inversa de la otra, por lo que su producto es siempre igual a 1. Estas
parejas son las siguientes:
1
Cot
Tan
1
Sec
Cos
1
Csc
Sen 








Note que los ángulos agudos, deben ser iguales. Por ejemplo si nos dicen que :
Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1; para calcular "x" diremos :
Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1  3x - 10º = x + 30º  x = 20º
III. R. T. de Ángulos Complementarios: Cuando se calculan las razones trigonométricas de los 2 ángulos agudos
de un triángulo rectángulo, se puede notar que existen ciertas parejas de éstas que toman el mismo valor. Esta
característica la vamos a indicar de la siguiente manera:

4. TRILCE
11
Si: son agudos; tales
que: + = 90º
entonces:
 
 
Sen = Cos
Tan = Cot
Sec = Csc
 
 
 
Por ejemplo:
Sen10º = Cos80º
Tan20º = Cot70º
Sec40º = Cos 50º
Cos24º = Sen 66º
Tan = Cot (90º )
Sen( + 10º) = Cos (8 )
 
 0º 
Si: son agudos; tales
que:
entonces:
 
 = 90º
Sen = Cos
Tan = Cot
Sec = Csc
 
 
 
Por ejemplo: hallar "x", si:
Sen (2x + 10º) = Cos3x
2x + 10º + 3x = 90º
5x = 80º x = 16º
Otro ejemplo; hallar "x" si:
Tan (2x + y) = Cot (x - y)
o
2x + y + x y = 90º

3x = 90º x = 30º

5. Trigonometría
12
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Si "  " es la medida de un ángulo agudo y se cumple
que:
3
2
Tg 
 ; calcular: 


 Cot
12
Sen
13
T
a) 12 b) 14 c) 16
d) 18 e) 20
02. En un triángulo rectángulo ABC recto en "C" se cumple
que: 4SenA=7SenB; calcular: TgB
42
A
Sen
65
E 2


a) 10 b) 15 c) 20
d) 25 e) 30
03. El perímetro de un triángulo rectángulo es 150u y la
cosecante de uno de los ángulos agudos es 2,6.
Calcular la longitud del mayor cateto.
a) 20 u b) 30 u c) 40 u
d) 50 u e) 60 u
04. Del gráfico mostrado, calcular: "
Cot
.
Cot
" 



A
B
C
E
F
a
2a
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 3/2
05. Del gráfico mostrado, calcular: "
Tgw
Tg
" 
 , si: ABCD
es un cuadrado.
A
B C
D
E

2a
3a
w
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3
d) 0,4 e) 0,5
06. Del gráfico, calcular: "
Cot
"  , si: 4
,
2
Cot 

A
B C
D
E


a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
07. Del gráfico, calcular: "
Tg
"  , si:
12
5
Tgw 
w

a) 0,5 b) 1 c) 1,5
d) 2 e) 2,5
08. Calcular:
3
Cos
3
6
Sen
6
4
Tg
4
E 





a) 5,5 b) 6,5 c) 7,5
d) 8,5 e) 9,5
09. Calcular:
º
45
Sec
º
30
Tg
2
º
45
Cot
º.
60
Sec
º.
30
Cot
E
2
2
2


a) 2 b) 2,25 c) 2,5
d) 2,75 e) 3
10. Del gráfico, calcular: 
Cot

A
O B
E
F
37º
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11. Si ABC es un triángulo equilátero, calcular: "
Tg
" 
A
B
C
M 8
N
2

a)
5
3
b)
5
3
2
c)
7
3
d)
7
3
2
e)
7
3
3

6. TRILCE
13
12. Del gráfico mostrado, calcular: 
Tan
11
A
B C
D
E

F
45º
37º
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13. Del gráfico mostrado, calcular: "
Cotw
" .
a
4a
45º
w
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 2,5 e) 3
14. Del gráfico mostrado, calcular: "
Tg
"  , si: ABCD es un
cuadrado.
A
B C
D

E F
37º
a) 3/4 b) 3/7 c) 4/7
d) 3/5 e) 3/8
15. Si se cumple que: Sen2x = Cos3x para "x" agudo,
calcular: E = 4Tg(2x+1º)+3Tg(3x-1º).
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
16. Si se cumple que: Sen(3x-17º)Csc(x+13º) = 1
Calcular: E = Csc2x+Cot3x+Sec4x
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
17. Calcular: E = (3Tg10º+8Cot80º)Cot10º
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
18. Calcular: E = (5Sen20º+3Cos70º)(5Csc20º-2Sec70º)
a) 20 b) 22 c) 24
d) 26 e) 28
19. Sabiendo que: Tg(3x-10º)Tg40º = 1
Calcular: E = 3Sec3x+5Sen(2x-3º)
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
20. Si: SenxSecy = 1, con x e y agudos.
Calcular: Tgy
.
Tgx
).
3
y
x
(
Cot
).
2
y
x
(
Tg
E



a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 6
21. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden
3 cm y 5 cm. Si el menor ángulo agudo de dicho
triángulo mide "  ".
Halle el valor de: 1
Sen
17
W 2



a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5
d) 4,5 e) 5,5
22. En un triángulo ABC, recto en C, se sabe :
3
2
SecB
SecA 
Calcular :
CtgB
3
CosA
13
E 



a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
23. En un triángulo rectángulo, el Coseno de uno de sus
ángulos agudos es 0,96.
Si su hipotenusa mide 50 m.
Hallar el perímetro de dicho triángulo.
a) 112 m b) 224 m c) 96 m
d) 52 m e) 412 m
24. Calcule el área de la región triangular ABC .
Donde: AC = 36m; si, además
26
CscC
17
CscA 


a) 72 m2 b) 144 m2 c) 108 m2
d) 18 m2 e) 360 m2
25. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338 m.
Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4.
¿Cuánto mide el cateto menor?
a) 13 m b) 33,8 m c) 50 m
d) 56,33 m e) 55 m

7. Trigonometría
14
26. De la figura, hallar
2
)
2
Tan
( 


m
n
2 mn
a) 1 b) 4 c) 2
d) 3 e) 0
27. Determinar la hipotenusa de un triángulo rectángulo,
sabiendo que la suma de sus catetos es 6 m y el
producto de los Senos de los ángulos agudos es 0,22.
a) 3 m b) 4 m c) 5 m
d) 6 m e) 7 m
28. Del gráfico, calcule : 
Tan .
Si: BN = 2AN
A N B
C
45º 
M
a) 0,25 b) 0,5 c) 0,6
d) 0,8 e) 0,75
29. Si en el gráfico : AB = BC.
Calcule: 
Tan
A
B
C
 53º
M
a)
9
2
b)
9
4
c)
3
2
d)
3
1
e)
5
2
30. Del gráfico, obtener 
Tan
M
37º
A
B
O

a)
3
4
b)
4
3
c)
4
5
d)
3
2
e)
5
4
31. Si:
1
n
Cos
2
n
2
Tan
n
3
Csc
f
)
x
( 







Calcular: )
2
(
f
a) 0
2 b) 1
2 c) 2
2
d) 3
2 e) 0
32. Si en el triángulo ABC, equilátero, M, N y P son puntos
medios de AB, BC y AC, respectivamente.
Además: NQ = 2QP
Calcular:





Tan
Tan
5
Tan
7
K
P
A C
B
M N
Q
 

a) 3 b) 4 c) 6
d) 8 e) 14
33. Si:
2
x 


 y 1
)
Tanx
( 2
3
Sen



El valor de "q" es:
x
Ctg
1
x
Tan
1
q
2
2



a) 2 b)
3
2
c) 3
d)
2
1
e)
3
1
34. Del gráfico, calcular: 
Cot
Si: ABCD: cuadrado.
A
B C
D
37º

a) 6 b) 12 c) 9
d) 18 e) 14

8. TRILCE
15
35. Si:
Sen 3x . Cscy = 1
Tan(2x + 20º) = Ctg(y + 10º)
Determinar "y - x"
a) 12º b) 18º c) 20º
d) 24º e) 32º
36. Si: Tgx . Tgy = 1
Determinar:





 






 






 

3
y
x
2
Sec
3
y
x
Tan
2
y
x
Sen
E
a)
3
6
b)
6
6
c) 1
d)
3
5
e)
6
2
37. Calcular:
E = 4Sen20º (Csc20º + 2Sec70º)
a) 12 b) 10 c) 8
d) 6 e) 16
38. Calcule el valor de la expresión:
º
80
Csc
...
º
30
Csc
º
20
Csc
º
10
Csc
º
80
Sec
...
º
30
Sec
º
20
Sec
º
10
Sec
W









a) 1 b) 2 c) 2
d) 3 e) 2
3 
39. Hallar los ángulos agudos  y  tales que:
)
º
90
(
Ctg
)
º
35
3
(
Tan 




º
15
2 



a) 11º y 10º b) 15º y 13º
c) 20º y 17º30' d) 35º y 25º
e) 17º y 16º
40. Siendo:
Sen(2x+y) . Sen(x-y+10º) = Cos (x+2y) . Cos (80º -
x + y)
Calcule:
K = Cot(x+y) . Cot(5x-2y) . Cot(5y-2x)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 3 e)
3
3
41. Se tiene dos circunferencias tangentes exteriormente
con radios R y r.
Calcular el cuadrado de la cotangente del ángulo
formado por la recta tangente a ambas circunferencias
y la recta que une los centros.
a) 2
)
r
R
(
Rr
4

b) 2
)
r
R
(
Rr
4

c) 2
)
r
R
(
Rr
2

d) 2
)
r
R
(
Rr
2

e) 2
)
r
R
(
Rr

42. Se tiene un triángulo rectángulo con catetos a y b.
Hallar su área en términos de "m" si:
6
Sen
2
3
tSec
t
a 2 




3
Cos
2
6
tCsc
t
b 2 




2
2
m
4
Tan
mt
2
t 





 

a) 1
m2
 b)
2
2
2
1
m







 
c)
2
2
2
1
m







 
d)
2
)
1
m
( 2
2 
e) 1
m2

43. En la figura, calcular el valor de x, si se cumple la
siguiente condición:
0
)
3
º
30
(
Ctg
)
º
30
(
Tan 





20m


x
a) m
2
10 b) 10 m c) m
3
5
d) 5 m e) m
3
10
44. Una semicircunferencia de radio )
3
1
(  cm. se divide
en treinta arcos iguales.
Calcular la proyección del arco comprendido entre la
quinta y décima división sobre el diámetro horizontal
en centímetros.
a)
4
1
b)
2
1
c) 1
d)
4
5
e) 2
45. Si para un observador en la Tierra, el Sol aparece bajo
un ángulo de 32' y si la distancia del observador a la
superficie de Sol es 150 millones de kilómetros.
Determinar el radio del Sol en millones de kilómetros
sabiendo que:
Sen16' = 0,00465

9. Trigonometría
16
a) 0,70 b) 0,819 c) 1,395
d) 2,629 e) 1,402
46. En un triángulo isósceles, las medianas trazadas de sus
vértices de ángulos iguales se intersecan
perpendicularmente.
Entonces, el Coseno de uno de los ángulos iguales es:
a)
3
1
b)
2
1
c)
2
3
d)
10
1
e)
3
2
1
47. Dos autos parten simultáneamente desde un punto "P"
en direcciones que forman un ángulo "  " uno a
5 km/h y el otro a 12 km/h.
Calcular el 
Cos sabiendo que al cabo de 1 hora la
distancia desde el punto "P" al punto medio del
segmento que separa ambos autos es de 7 km.
a)
8
5
b)
16
7
c)
80
3
d)
40
9
e)
25
13
48. En el trapecio ABCD : BC // AD.
Si: AB = BC = 8; CD = 15 y AD = 25 y la medida del
ángulo D
A
D̂
C  ; el valor de:
K = CscD + CtgD ; es:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
49. En un triángulo rectángulo ABC )
º
90
B̂
(  señale el
equivalente de:
















 1
2
A
Cot
TanA
1
2
A
Tan
TanA
K
a) A
Sen2
b) A
Cos2 c) A
Tan2
d) A
Cot2
e) A
Sec2
50. Si: 
3 es un ángulo agudo, tal que:
5
2
3
Cot 

Calcule: 


 2
Cos
6
Csc
5
K
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
51. Si los triángulos ABC, CDE y EFG son equiláteros.
Calcule:
Tany
Tanx
Si:
2
EG
3
CE
AC 

A
B
C
D
E
F
M N
x y
G
a)
66
35
b)
77
65
c)
72
55
d)
11
13
e)
7
5
52. Del gráfico, hallar: 
Tan
n
m

A
B C
D
E F p
a)
m
n
p
n


b) p
n
m
n


c)
n
m
p
m


d) p
m
n
m


e) n
p
n
p


53. Si:
Tan(x+10º)+Tan(y+10º)=Cot(x+10º)+Cot(y+10º)
2
)
y
4
º
100
(
Sen
)
º
10
y
4
(
Cos
)
y
x
(
Cos





Calcular:
)
º
10
y
x
(
Cos
y
3
Sec
)
º
10
x
(
Sec
K
2
2





a) 4 b) 8 c) 16
d) 24 e) 32
54. Del gráfico, calcular:



 Tan
5
Cot
3
2
K
Si: CD se dibuja con centro en "E"

60º

C
B
A D
P
Q
E
a) 3 b) 5 c) 7
d) 8 e) 10

10. TRILCE
17
55. En el cuadrado ABCD; calcular:



 Tan
9
Tan
3
K


B C
A D
E
8º
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
56. Sabiendo que:
Tan(40º+x) . Sen(50º-x) = Cos(10º+x) ..... (1)
Tan(2x-5º) . Tany = Tan1º . Tan2º . Tan3º ...... Tan 89º
Calcule:
2
2
2
Csc
)
º
5
y
(
Tan
)
º
5
x
2
(
Sec
W 




)
º
5
x
y
( 

a) 3 b) 5 c) 7
d) 9 e) 11
57. En el cuadrado ABCD, calcular:



 Cos
5
Cos
2
2
W
Si: AE = AF; CM = CN y CF = 3FD
M
A
B C
D
F


N
E
a) 11 b) 13 c) 6
4
d) 19 e) 17
58. Sabiendo que:









 y
2
2
x
3
Cos
)
º
20
y
x
2
(
Sen
1
y
3
4
x
Tan
y
3
2
x
Tan 














Calcule:
y
3
Csc
)
y
x
(
Csc
W 2
2



a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 5
59. Del gráfico calcular:
)
1
Csc
)(
1
Csc
)(
1
Csc
)(
1
Csc
(
W 








O1 O2 O3
   
a) 4 b) 9 c) 16
d) 81 e) 100
60. Del gráfico calcule:








 Cos
Cos
)
1
Sec
)(
1
Sec
(
W
Siendo "A" centro del arco BD.


D T
O
A C
B
a) 1 b) 0 c) 2
d) 3 e)
2
3

11. Trigonometría
18
Claves
Claves
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
e
d
e
c
b
e
c
d
b
b
d
c
b
c
c
a
b
c
e
c
c
e
a
a
d
d
c
e
b
e
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
c
d
e
b
d
a
a
a
e
d
a
d
b
c
a
d
d
d
e
c
b
a
c
e
d
d
e
c
c
c

12. TRILCE
19
Capítulo
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO AGUDO - II
2
* CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados faltantes de un triángulo
rectángulo, en términos de un lado que sí se conoce; y de un ángulo agudo que también se conoce.
Criterio:
conocido)
.(
T
.
R
conocido
Lado
o
desconocid
Lado 

Casos:
1.

A B
C
L



 BC
Tan
L
BC


 AC
L
AC
I)
II)
2.

A B
C
L



 AB
Cot
L
AB


 AC
L
AC
I)
II)
3.

A B
C
L 


 BC
Sen
L
BC



L
AB
I)
II)

13. Trigonometría
20
* SUPERFICIE DE UN TRIÁNGULO: La superficie de un triángulo se puede calcular como el semiproducto de las
medidas de dos de sus lados, multiplicados por el Seno del ángulo que forman dichos lados.
a
b
c
A
B
C
h
2
h
b
SABC


2
aSenC
b
SABC


Sabemos:
pero: h = aSenC
luego:
SenC
2
ab
SABC

SenB
2
ac
SABC
 SenA
2
bc
SABC

Análogamente

14. TRILCE
21
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Hallar el área del triángulo, de la figura mostrada:

K
a) 
 Cos
.
Sen
K2 b) 
 Cos
.
Sen
)
2
/
K
( 2
c) 
 Cos
.
Sen
)
3
/
K
( 2 d) 
 Cos
.
Sen
)
4
/
K
( 2
e) 
 Cos
.
Sen
)
5
/
K
( 2
02. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se sabe que
los ángulos congruentes miden "  " mientras que el
lado desigual mide "L". Hallar uno de los lados
congruentes.
a) 
Sec
2
L
b) 
Csc
2
L
c) 
Tg
2
L
d) 
Ctg
2
L
e) 
Cos
2
L
03. Obtener "x", en:

m
a) mSen  b) mCos  c) mSec 
d) mCsc  e) mTg 
04. Obtener "x"
A
B
O
R

H
x
a) )
Sen
1
(
R 
 b) )
1
Sec
(
R 

c) )
Cos
1
(
R 
 d) )
1
Csc
(
R 

e) )
Tg
1
(
R 

05. En la figura, halla "x".
A
B
C
m n
 
x
a) 

 nCos
mSen b) 

 nCos
mCos
c) 

 nSen
mCos d) 

 nSec
mSec
e) 

 nSec
mSen
06. Halla "x" en:
A C
B
D
x
m

a) 
Tg
mSec b) 
Csc
mCos
c) 
Ctg
mCos d) 
Cos
mSen
e) 
mTg
07. Halla "x":
m
 
x
a) 
 Cot
.
mSen b) 
 Tan
.
mSen
c) 
 Sen
.
mSen d) 
 Cot
.
mCos
e) 
 Tan
.
mCos
08. Hallar "x":
B
A
D
H
C
m
x

a) 
2
mSen b) 
2
mCos
c) 
Cos
mSen d) 
Tg
mSen
e) 
Csc
mSec

15. Trigonometría
22
09. Hallar "x", de la figura:
x
m

a) 
 Cos
.
mSen b) 
 Cos
.
Sen
c) 
mSen d) 
mCos
e) 
mTg
10. Del gráfico, hallar: AC .
B
C A
m n
x y
a) mSenx+nSeny b) mCosx+nSeny
c) nSenx+mCosy d) mCosx+nCosy
e) mSeny+nCosx
11. Del gráfico, hallar "x", si: ABCD es cuadrado.
A B
C
D

x
m
a) )
Sen
1
(
m 
 b) )
Cos
1
(
m 

c) )
Tg
1
(
m 
 d) )
Ctg
1
(
m 

e) )
Ctg
Tg
(
m 


12. Obtener "AB":
A
C
B
R
O

a) )
Ctg
Csc
(
R 

 b) )
Ctg
1
(
R 

c) )
Csc
1
(
R 
 d) )
Sen
1
(
R 

e) 2R+1
13. Hallar "x", siendo "O" centro del sector AOB.
A B
O
R

x
a) 
RSen b) 
RCos
c) )
Sen
1
(
R 
 d) )
Cos
1
(
R 

e) )
Cos
2
1
(
R 

14. Hallar "x".
m

x

a) 
Sen
mSen b) 
Cos
mSen
c) 
Cos
mCos d) 
Sen
mCos
e) 
Ctg
mTg
15. Hallar la distancia mínima del punto "P" a la
circunferencia:
P
2
R
a) 
RCsc b) )
1
Csc
(
R 

c) )
1
Tg
(
R 
 d) )
1
Ctg
(
R 

e) )
1
Csc
(
R 

16. Determine "x" en:

A
C
B
D

m
x
a) 
 Cos
.
mSen b) 
 Sec
.
mSen
c) 
 Ctg
.
mSen d) 
 Ctg
.
mCos
e) 
 Tg
.
mCos

16. TRILCE
23
17. Hallar "x".
A
B
C
D

a
b
x
a) 

 aCos
Sen b) 

 Cos
bSen
c) 

 aCos
bSen d) 

 bCos
aSen
e) 

 bTg
aSec
18. Determine el perímetro del triángulo ABC.

A
B
C
m
a) )
Cos
Sen
1
(
m 



b) )
Tg
Sec
1
(
m 



c) )
Ctg
Csc
1
(
m 



d) )
Csc
Sec
1
(
m 



e) )
Ctg
Tg
1
(
m 



19. Hallar: "x" en:

m
x
a) 
Cos
mCtg b) 
 Cos
.
mTg
c) 
Sen
mTg d) 
mTg
e) 
mSen
20. Del gráfico, hallar: "Ctgx".

x
a)




Sen
Cos
Sec
2
b)




Sen
Cos
Sen
c)




Sen
Cos
Sec
d)




Cos
Sen
Csc
e)




Sen
Cos
Sec
21. Del gráfico, determine "x".

m
x
a) 
 Sen
m b) 
Cos
m c) 
 Sec
m
d) 
 Csc
m e) 
 Tan
m
22. Determinar CD .


A
B
C D
m
a) 

 Sen
mTan b) 

 Cos
mCtg
c) 

 Cos
mTan d) 

 Csc
mTan
e) 

 Sen
mCtg
23. Del gráfico, hallar "x".

m
45°
x
a)
1
Tan
m


b) 1
Ctg
m


c) 
 Ctg
1
m
d)

 Tan
1
m
e) )
Tan
1
(
m 

24. Determine "x" en :


m x
a) 


 Sen
Sen
m b) 


 Cos
Sen
m
c) 


 Sec
Sen
m d) 


 Sec
Cos
m
e) 


 Sen
Cos
m

17. Trigonometría
24
25. Determine "x" en:

m
x
a) 
 2
Sec
m b) 
 2
Cos
m
c) 
 2
Sen
m d) 
 2
Csc
m
e) 


 Csc
Sec
m
26. Si ABCD es un cuadrado, determine "x".
A
B
C
D
x
L

a) 
 2
Sen
L b) 
 2
Cos
L
c) )
Cos
Sen
(
L 


 d) 


 Cos
Sen
L 2
e) 


 2
Cos
Sen
L
27. Del gráfico, hallar "x":
m
x


a) )
1
Sec
(
m 2


 b) )
1
Csc
(
m 2



c) )
1
Tan
(
m 2


 d) )
1
Ctg
(
m 2



e) )
Ctg
Tan
(
m 2
2




28. Del gráfico, hallar "x", si ABCD es un cuadrado.

n
A B
C
D
x
a) 
nSen b) 
nCos c) 
Csc
nTan
d) 
nCsc e) 
nCtg
29. Del gráfico, hallar: ED.

A B
C
D
E m

a) 
mCtg b) 
mSec c) 
2
mSec
d) 
2
mCtg e) 
2
mTan
30. En el gráfico, hallar MP
, en términos de "  " y "  "; "  "
y "  ".


M
N
R P
b
a
a) 



 Sec
)
Cos
b
a
( b) 



 Csc
)
Cos
b
a
(
c) 



 Ctg
)
Tan
b
a
( d) 


 Tan
)
bSec
a
(
e) 


 Csc
)
bSen
a
(
31. En un triángulo BAC, recto en A; la mediana BM y el
cateto AC forman un ángulo agudo x. Luego Tanx es
igual a:
a) 2TanC b) TanB + TanC
c) 2TanB d) TanC + CtgC
e) 2(TanC + TanB)
32. En la figura el área del triángulo ACD es igual al área
del triángulo ABC.
El valor de  será:


A B
C
D
a) 





2
1
ArcTan b) 





2
1
ArcCtg
c) 







2
1
ArcTan d)








2
1
ArcCtg
e) 2
ArcTan

18. TRILCE
25
33. En la región limitada por una circunferencia de radio R
y dos tangentes a ésta; se quiere inscribir otra
circunferencia (de radio menor que R). Si las tangentes
se intersectan en un ángulo de 2a radianes, ¿A qué
distancia de la intersección de éstas, debe encontrarse
el centro de la circunferencia inscrita?
a) 







Sena
1
Sena
1
Sena
R b) 







Sena
1
Sena
1
Sena
R
c)  
Sena
1
R
Sena  d)  
Sena
1
Sena
R 
e)  
Sena
1
Sena
R 
34. En la figura, expresar OB y BC, en términos de x, y, 

O A
B
C
OA = x
AC = y
a) 


 ySen
xCos
OB



 yCos
xSen
BC
b) 


 ySen
xCos
OB



 xCos
ySen
BC
c) 


 ySen
xCos
OB



 yCos
xSen
BC
d) 


 ySen
xCos
OB



 xSen
yCos
BC
e) 


 ySen
xCos
OB



 yCos
xSen
BC
35. En la figura: ABCD es un rectángulo inscrito en la
circunferencia de centro O, 

ARD ; AB
//
RS , AB=a.
Hallar el radio de la circunferencia.
O
A
B C
D
S
R
a) 
 Cos
2
a b)

Cos
2
a
c)

Sen
2
a
d) 
aSen
e) 
 Cos
2
1
a
36. Dado el cuadrado ABCD, se tiene que las áreas de los
triángulos FAE, EDC y CBF son iguales, luego 
Sen
es:
A B
C
D
E
F

a)
6
5
3 
b)
6
5
3 
c)
6
5
3 

d)
6
5
3 
e)
6
5
3 
37. En la figura mostrada, son conocidos:  ,  y h.
Entonces los valores de x e y son dados por:
y
h


x
a)









Tan
Tan
Tan
h
y
;
Tan
Tan
h
x
2
2
b)









Tan
Tan
Tan
h
y
;
Tan
Tan
h
x
c)









2
2
2
2
2
2
2
Tan
Tan
Tan
h
y
;
Tan
Tan
h
x
d) 2
2
2
2
2
)
Tan
Tan
(
Tan
h
y
;
)
Tan
Tan
(
h
x









e) 




 Tan
Tan
h
y
;
Tan
hTan
x 2
38. En la siguiente figura, hallar (x + y) si:
AB = 3 y
16
27
AC 
 



x
y
A
B
C
a) 5,14 b) 5,19 c) 5,29
d) 4,19 e) 3,19

19. Trigonometría
26
39. De la figura hallar:
nz
CtgxTanyTa
Tany
3
Tanz
6
F


y
z
k
k
x
a) 3,15 b) 2,35 c) 4,30
d) 3,00 e) 3,20
40. En un triángulo rectángulo BAC, se cumple que
4
2
CosBCosC  .
Hallar la altura relativa a la hipotenusa sabiendo que
esta mide m
2
6 .
a) m
2 b) m
3 c) 3 m
d) m
5 e) m
7
41. La figura muestra un cuadrado cuya área es 2
m
64 y
tal que PC = BP'.
Hallar: AM
Si: AP = 6 m
M
P
P'
A B
C D
O
6m
a) m
5
12 b) m
3
5
12
c) m
3
5
16
d) m
5
5
12
e) m
3
12
42. En la siguiente figura, G es el baricentro del triángulo
ABC, AD = BD y 3
Cos
Sen
3 



Hallar la tangente del ángulo DCG.
G
A
B
C
D

a) 3 b)
3
2
c)
3
1
d)
2
3
e)
2
1
43. En la figura mostrada, calcular: E = Tanx Ctgy
Si: AB = AD = 1 ; DC = 2
D
A
B
C
x
y
a)
2
1
b)
3
1
c) 2
d)
4
1
e) 1
44. En la figura mostrada, ¿a qué distancia se encuentra el
globo respecto del lago?
H
Lago
Imagen
Globo

a) 
2
HCos b) 
2
HSen
c) 
2
HSec d) 
2
HCsc
e) 
2
HCtg
45. En la figura: DC = 2AB = 2.
Calcular el área del triángulo EFG.
G
A
B
E
F C
D

a) 
Tan
18
1
b) 
Ctg
45
2
c) 
Tan
45
2
d) )
Ctg
Tan
(
18
1 


e) )
Ctg
Tan
(
9
1 


46. En un sector circular, cuyo ángulo central es  , está
inscrito un cuadrado de lado L.
El radio de la circunferencia correspondiente es:
a)
2
1
2 5
2
Ctg
2
Ctg
2
L












 






 

20. TRILCE
27
b)
2
1
2 5
2
Ctg
2
2
Ctg
2
L












 






 
c)
2
1
2 5
2
Ctg
4
2
Ctg
2
L












 






 
d) 











  2
2
Ctg
2
L
e)
2
1
2
2
Ctg
2
L












 
47. Se tiene un triángulo ABC en el que se conocen el lado
AC (opuesto al vértice B, de longitud b), y la bisectriz
de longitud w relativa al vértice B.
Hallar el área del triángulo ABC.
a) 




 

3
C
A
Cos
3
w
b
b) 




 

2
C
A
Cos
2
w
b
c) 




 

2
C
A
Cos
3
w
b
d) 




 

3
C
A
Cos
2
w
b
e) 




 

4
C
A
Cos
2
w
b
48. Se tiene una poligonal ABCD tal que los ángulos ABC
y BCD miden
6
5
y
4
3
, respectivamente.
Hallar la longitud del radio de la circunferencia tangente
a los tres segmentos de la poligonal si cumple que :
m
8
3
Ctg
12
5
Ctg 



y BC = n
a)
m
n
2
b)
m
n
c)
m
2
n
d)
m
n
m
n


e) nm
49. En la figura, el triángulo NST es isósceles de base 6, KH
es el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo
equilátero de lado 6.
Hallar el radio R.
R
K N H T
S

2
L
a) 




 


4
Ctg
3
2 b) 




 


4
Tan
3
2
c) 




 


3
Tan
3
2 d) 




 


4
Tan
3
4
e) 




 


3
Ctg
3
2
50. En la figura mostrada se tiene un cuadrado ABCD con
uno de sus vértices en el origen de coordenadas cuyo
lado tiene la longitud a unidades. Si el segmento DM
divide al cuadrado en un triángulo y en un trapecio
cuyas áreas están en la relación de 1 : 4.
Calcule la tangente del ángulo MDC.
M

A B
C
D
a)
4
1
b)
5
2
c)
3
1
d)
4
3
e)
5
3
51. Dado un polígono regular convexo de n lados, se trazan
dos circunferencias, la primera de radio r que es
tangente a todos los lados del polígono, y la segunda
de radio R que pasa por todos sus vértices.
El valor de la razón
R
r
es :
a)
n
Sen  b)
n
2
Sen  c)
n
2
Sen 
d)
n
Sen
2
1  e)
n
Cos 
52. Un cuadrado MNPQ cuyos lados miden 
 2
2 ,
está inscrito en una circunferencia.
Calcular la distancia del punto Q al punto medio del
arco MN.
a) 
5
,
0 b) 
1 c) 
5
,
1
d) 
2 e) 
2
2

21. Trigonometría
28
53. En la siguiente figura:
A
B
C
c
r

O
La relación 2
2
c
r
4
es equivalente a:
a) 




 

2
Cos
1
2 b)  

 Cos
1
2
c)  

 Sen
1
2 d) 




 

2
Cos
1
2
e) )
Sen
-
)(1
Cos
-
1
(
2 

54. La siguiente figura es un cuadrado, donde Q es punto
medio del lado AB.
Determine 
Csc

A B
C D
Q
a) 2 b)
4
5
c) 3
d) 4 e) 5
2
55. En la figura, hallar "x":

k
x
a) 

 Sen
kSec5 b) 

 Tan
kSec
6
c) 

 7
Sec
kCtg d) 


6
Cos
kTan
e) 

 Cos
kSec5
56. En el cuadrado ABCD, las áreas de los triángulos OAP
,
PDC y CBO son iguales.
Luego 
Csc es:
A B
C D
O
P

a) 5
3
6
 b) 3
5
6

c)
5
3
6

d) 5
3
6

e)
5
3
6

57. En la figura hallar el valor de "h" en función de  ,  y
 . Si : c

 , 

 , 

B̂
h
A B
C
D
a)




Ctg
Ctg
b)




Tan
Tan
c)





Sen
Sen
Sen
d) 



Ctg
Ctg
e)




Sen
Cos
58.En un triángulo ABC, recto en B, la mediana CM y el
cateto BA forman un ángulo agudo  . Entonces, 
Tg
es:
a) 2 TanA b) 2 CtgA
c) 2TanC d) TanA + TgC
e) 2(TanC + CtgA)
59. En la semicircunferencia mostrada, halle:



2
Sen
2
Sen
K
1
3
A B
C
Q
O


P
a) 2 b) 3 c) 4
d)
4
1
e)
3
1

22. TRILCE
29
60. Del gráfico, hallar 
Tan
Si:
n
PB
m
AP 

M
A
O B
P N
a) )
n
m
2
(
n
m
 b) )
n
m
2
(
m
n

c) )
m
n
2
(
m
n
 d)
m
n
2
n
m
2


e)
n
m
2
m
n
2



23. Trigonometría
30
Claves
Claves
b
a
c
c
b
d
a
a
a
d
c
c
d
b
b
c
c
c
c
a
b
e
b
c
d
c
d
c
d
e
a
a
c
b
d
b
e
b
b
d
c
d
c
a
c
b
b
b
b
b
e
b
e
b
b
d
a
a
c
c
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

24. TRILCE
31
ÁNGULOS VERTICALES
Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical que, en la práctica, son formados por una línea visual (o línea de mira)
y una línea horizontal, como resultado de haberse efectuado una observación. Estos resultados se clasifican en: ángulos de
elevación y ángulos de depresión.
(ver gráficos).
Línea Horizontal
Línea Visual

h
 : Ángulo de Elevación
H

Línea Horizontal
Línea Visual
 : Ángulo de Depresión

Consideración: En el gráfico adjunto, " " es
el ángulo bajo el cual se divisa la torre. Note
que deben trazarse las dos visuales; una hacia
la parte alta y la otra hacia la parte baja.
Luego " " es el ángulo formado por las dos
visuales.


ÁNGULOS HORIZONTALES
Son aquellos ángulos ubicados en un plano horizontal que, en la práctica, los vamos a ubicar en la Rosa Náutica.
Rosa Náutica: (compás marino), es un instrumento de orientación que permitirá localizar una ciudad, persona o punto;
respecto de una referencia, mediante el uso de las direcciones :
Dirección
Dirección
Dirección
A
B
C
P
Referencia
Oeste (O) Este (E)
Norte (N)
Sur (S)
42º
40º 30º
Note que dichas direcciones en este caso para A;
B y C; forman con los ejes principales ciertos
ángulos; con quienes se van a denotar dichas
direcciones.
Por ejemplo:
"A" se halla el E30ºN de "P"
"B" se halla al O40ºN de "P"
"C" se halla al S42ºO de "P"
Capítulo
ÁNGULOS VERTICALES
ÁNGULOS HORIZONTALES
3

25. Trigonometría
32
Note que dichas direcciones en este caso para A; B y C; forman con los ejes principales ciertos ángulos; con quienes se van
a denotar dichas direcciones.
Por ejemplo:
"A" se halla el E30ºN de "P" .
"B" se halla al O40ºN de "P" .
"C" se halla al S42ºO de "P" .
30º 66º
24º
10º
Q
N
P
E
O
S
S
R



R"
"
de
N
E66º
al
Está
R"
"
de
E
N24º
al
Está
P



R"
"
de
al
Está
R"
"
de
N
O30º
al
Está
Q



R"
"
de
al
Está
R"
"
de
E
S10º
al
Está
S
Ahora bien, algunas direcciones tienen la particularidad de obtenerse trazando bisectrices sucesivas, a partir de los ejes
principales; por lo que su notación será también particular. Indicaremos lo que ocurre entre el Norte y el Este, y usted
concluye los restantes por analogía.
E E
E
E
O O
O
O
S S
S S
N N
N N




NE
4
1
N
NNE
N
4
1
NE
NE
E
4
1
NE
ENE
NE
4
1
E
En cualquiera de los casos : '
15
º
11

 ó rad
16




26. TRILCE
33
SITUACIONES COMBINADAS
Cuando los enunciados de los problemas mencionan ángulos verticales (de elevación o de depresión) y ángulos horizontales
(uso de direcciones, generalmente), al mismo tiempo, la rosa náutica a emplear asume una posición más real; es decir,
ubicada en un plano horizontal. Por ejemplo, grafiquemos la siguiente situación:
"Desde un punto en tierra, se divisa al Norte lo alto de un poste con un ángulo de elevación "  ". Si luego nos desplazamos
hacia el N60ºE, hasta ubicarnos al Este del poste, el ángulo de elevación para su parte más alta sería "  ". Ahora, note la
representación gráfica:

 60º
N60ºE

27. Trigonometría
34
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Desde un punto de tierra se observa lo alto de un edificio
con ángulo de elevación 37º, si la visual mide 30 m,
determinar la altura de edificio.
a) 3 m b) 12 c) 15
d) 18 e) 24
02. Una persona de 2 m de estatura divisa lo alto de un
poste con un ángulo de elevación de 45º. Si la altura
del poste es de 20 m. ¿A qué distancia de el se halla la
persona?
a) 18 b) 20 c) 22
d) 24 e) 32
03. Desde un punto ubicado a 24 m de una torre, se divisa
su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º.
¿Cuál es la altura de la torre?
a) 24 b) 36 c) 32
d) 42 e) 48
04. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste
con un ángulo de elevación de 37º. Si la altura del
poste es de 30 m. ¿A qué distancia del poste se
encuentra el punto de observación?
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
05. Desde dos puntos separados 42 m se observa la parte
alta de un farol que se encuentra entre ellos con ángulos
de elevación 37º y 45º. Determinar la altura del farol.
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
06. Desde un muro de 6 m de altura se observa la parte
alta y baja un poste con ángulos de elevación y
depresión 60º y 30º respectivamente. Determine la
altura del poste.
a) 15 m b) 24 c) 30
d) 36 e) 48
07. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con
un ángulo de elevación "  " (Tg  =1/4). ¿A qué
distancia de la torre se halla el punto de observación, si
la altura de la torre es 7 m?
a) 14 b) 28 c) 56
d) 21 e) N.A.
08. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste
con un ángulo de elevación de 37º. Si nos acercamos
una distancia igual a la altura del poste, el ángulo de
elevación es "  ". Calcular: "Tg  ".
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
09. Desde un punto ubicado a 15 m de un poste se ve su
parte más alta con un ángulo de elevación de 53º.
Caminamos 3 m en dirección al poste y el ángulo de
elevación para su parte más alta es "  ". Calcular:
"Ctg  ".
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
10. Una hormiga observa la copa de un árbol con un
ángulo de elevación de 37º, luego se acerca 7 m y
observa el mismo punto con un ángulo de elevación
de 53º. Calcular la altura del árbol.
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 20
11. Desde dos puntos separados 52 m se observa lo alto
de un poste con ángulos de elevación 53º y 








5
2
Tg . Si el poste se encuentra entre los dos
puntos. Determine su altura.
a) 12 m b) 16 c) 18
d) 9 e) 11
12. Se observa un poste con ángulo de elevación "  " nos
acercamos "L" y el ángulo de elevación es 45º. Si la
altura de poste es "2 L". Determinar: Tg  .
a) 1/3 b) 2/3 c) 1
d) 1/2 e) 3/2
13. Desde un edificio de 12 m de altura se observa un
automóvil con ángulo con ángulo de depresión "  "








3
1
Tg . Luego se observa una señal más cerca del
edificio con ángulo de depresión 45º. Determine la
distancia entre la señal y el automóvil.
a) 12 m b) 18 c) 24
d) 36 e) 10
14. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste
con un ángulo de elevación de 45º, y desde otro punto
ubicado en la mitad de la distancia que hay entre el
primer punto y el poste, el ángulo de elevación es "  ".
Calcular: "Tg  ".
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 16
15. Desde un punto ubicado a 30 m de una torre se divisa
su parte más alta con un ángulo de elevación "  "
(Tg  =1/3). Si nos alejamos una distancia igual a la
altura de la torre, el ángulo de elevación es "  ".

28. TRILCE
35
Calcular: "Ctg  ".
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
16. Desde las partes superiores del primero, segundo y
tercer piso de un edificio se observa lo alto de otro
edificio con ángulos de elevación  ,  ,  , respectiva-
mente. Si: Tg  -Tg  = 0,1 y Tg  =2,7. ¿Cuántos pisos
tiene el segundo edificio?
a) 10 b) 15 c) 20
d) 30 e) 40
17. Desde lo alto de un edificio de 8 pisos, se ve un punto
en tierra con un ángulo de depresión de 45º. Cuánto
mide cada piso del edificio, si el punto observado se
halla a 24 m del mismo?
a) 2 b) 2,5 c) 3
d) 3,5 e) 4
18. Desde un punto ubicado a 36 m de un edificio de 28 m
de altura, se divisa su parte más alta con un ángulo de
elevación de 53º. Señale la distancia de un punto a la
base del edificio.
a) 20 b) 21 c) 35
d) 32 e) 49
19. Desde el puesto del vigía de un barco que tiene 48 m
de altura se observa que el ángulo de depresión de un
bote es de 30º. Calcular la distancia a la que esta el
barco.
a) 48 b) 48 3 c) 12
d) 24 e) 6 3
20. Desde el pie de un poste se observa la parte más alta
de una torre con un ángulo de elevación de 45º, el
mismo punto es observado desde la parte más alta del
poste con un ángulo de elevación de 37º. Calcular la
longitud del poste si la distancia entre el poste y la torre
es de 120 m.
a) 10 b) 15 c) 20
d) 30 e) 40
21. Desde un punto en Tierra se ve lo alto de un poste con
un ángulo de elevación "  " )
6
1
Tan
( 
 ; y si nos
acercamos 30 m el ángulo de elevación es de 45º.
¿Cuál es la altura del poste?
a) 5 m b) 6 m c) 4 m
d) 8 m e) 12 m
22. Un móvil se desplaza hacia una torre con una velocidad
de 4 m/min; y en un primer momento, observa su parte
más alta con un ángulo de elevación de 37º. Si la torre
mide 192 m, ¿después de qué tiempo el ángulo de
elevación tiene como tangente 8?
a) 29 min b) 48 min c) 1h 12 min
d) 1h 18 min e) 58 min
23. Un niño observa los ojos de su padre con un ángulo
de elevación  , y su padre observa sus pies con un
ángulo de depresión )
º
90
( 
 .
Obtener la relación entre sus alturas.
a) 
 2
Tan
1 b) 
 2
Tan
1
c) 
 2
Cot
1 d) 
 2
Cot
1
e) 1
Tan2


24. Se tiene una torre en el borde de un acantilado; cuyas
partes alta y baja son vistas desde un punto de la
superficie horizontal con ángulos de elevación "  " y
"  ", respectivamente )
Tan
4
Tan
3
( 

 . La altura del
acantilado es de 212,31 m.
¿Cuál es la altura de la torre?
a) 141,54 m b) 28,308 m
c) 159,2325 m d) 70,77 m
e) 35,385 m
25. Subiendo por un camino inclinado, de ángulo "  "
respecto a la horizontal; se observa lo alto de una torre
con un ángulo de elevación " 
2 "; verificándose que la
torre mide 3 m y la visual 7 m.
¿Cuál es el valor de " 
Tan "?
a)
7
3
b
7
6
c)
14
3
d)
7
4
e)
7
2
26. Desde dos puntos ubicados al Sur y al Oeste de una
torre de 24 m de altura, se ve su parte más alta con
ángulo de elevación de 45º y 37º respectivamente.
¿Cuál es la distancia entre los puntos de observación?
a) 32 m b) 36 m c) 56 m
d) 48 m e) 40 m
27. Desde dos puntos ubicados al Sur y Oeste de un poste,
se divisa su parte más alta con ángulos de elevación
"  " y " 

º
90 ", respectivamente. Si la distancia entre
los puntos de observación es el doble de la altura del
poste, calcular: 


 Cot
Tan
P
a) 3 b) 3
2 c) 6
d) 6
2 e) 2
3

29. Trigonometría
36
28. El ángulo de elevación de la cúspide de una torre es de
60º a 72 metros de ella. Estando el ojo del observador
a 3 metros sobre el suelo, la altura de la torre es
aproximadamente.
a) 72 m b) m
3
73 c) 71 m
d) 73 m e) m
3
72
29. Desde el pie de un poste el ángulo de elevación de la
parte más alta de un campanario es 45º. Desde la parte
superior del poste que tiene 9 m de altura, el ángulo de
elevación es de 30º.
¿Cuál es la altura del campanario?
a)
2
3
9
b)
2
1
2
7

c)
1
3
3
5

d)
1
3
3
9

e)
1
3
3
9

30. Un niño está volando su cometa soltándole cuerda, la
misma que se mantiene tensa y haciendo un ángulo 
con la horizontal. A 120 m detrás del niño hay un
hombre. Cuando la cometa se encuentra a 20 m de
altura, el hombre la observa con un ángulo  respecto
a la horizontal.
¿A cuántos metros de altura se encontrará la cometa
para que sea observada por el hombre con un ángulo

2 ?
Considere :
3
1
Tg 

a)
23
637
b)
17
1285
c)
13
1080
d)
19
1561
e)
13
637
31. Una balsa se aproxima hacia un faro. En un
determinado instante, el faro es observado por el
tripulante de la balsa con un ángulo de elevación de
12

. Al recorrer 36m adicionales vuelve a observar,
,
encontrando esta vez un ángulo de
6

.
Encuentre la altura del faro (desprecie la altura del
tripulante que hizo la observación)
a) 10 m b) 15 m c) 12 m
d) 14 m e) 18 m
32. Desde lo alto de un edificio se observa a un automóvil
con un ángulo de depresión de 37º. Dicho automóvil
se desplaza con velocidad constante. Luego que avanza
28 m acercándose al edificio es observado con un
ángulo de depresión de 53º. Si desde esta posición
tarda en llegar al edificio 6 segundos, calcular la
velocidad del automovil.
a) 3 m/s b) 6 m/s c) 7 m/s
d) 12 m/s e) 4 m/s
33. Un avión se encuentra volando horizontalmente a 180
km/h. En cierto instante, el piloto ve una señal en tierra
con un ángulo de depresión de 30º. Dos minutos
después, estando sobre la señal, el piloto observa a
una distancia de 1000 metros un aerostato con un
ángulo de elevación de 60º.
¿A qué altura está volando el aerostato en ese instante?
a) km
3
2 b) km
3
5
,
2 c) km
3
3
d) km
3
5
,
3 e) km
3
4
34. Un barco y un avión viajan en la misma dirección y en
el mismo sentido. En la primera observación desde el
barco se ve al avión adelante con un ángulo de
elevación de 53º, marcando con una boya dicho lugar.
En la segunda observación se le ve con un ángulo de
37º, si la velocidad del avión es 8 veces la del barco.
Calcular la cotangente del ángulo con la que el avión
en la segunda posición observa la boya.
a)
12
17
b)
11
15
c)
17
11
d)
4
3
e)
7
5
35. Dos puntos están ubicados en un mismo nivel del suelo.
Desde uno de ellos se observa el extremo superior de
un poste con un ángulo de elevación  y desde otro
punto se observa el punto medio del poste con un
ángulo de elevación  . Si la suma de las distancias del
poste a cada uno de los puntos es d, calcular la altura
del poste.
a) 

 dTan
2
dTan b) 

 Ctg
Ctg
2
d
2
c) 

 dCtg
dCtg
2 d) 

 Tan
Tan
2
d
2
e) )
Tan
2
Tan
(
d 


36. Dos autos parten simultáneamente desde un punto "P"
en direcciones que forman un ángulo "  " uno a
5 km/h y el otro a 12 km/h.
Calcular el 
Cos sabiendo que al cabo de una hora la
distancia desde el punto "P" al punto medio del
segmento que separa ambos autos es de 7 km.
a)
8
5
b)
16
7
c)
80
3
d)
40
9
e)
25
13

30. TRILCE
37
37. Un niño de estatura "h" está parado sobre la banca y
observa los ojos de su padre; de estatura "H", con un
ángulo de elevación "  " y sus pies con un ángulo de
depresión "  ". Si el padre divisa los pies de su hijo
con un ángulo de depresión "  ".
Hallar:
h
H
a)






Tan
Tan
Tan
Tan
b)






Tan
Tan
Tan
Tan
c)






Tan
Tan
Tan
Tan
d) 





Tan
Tan
Tan
Tan
e)






Tan
Tan
Tan
Tan
38. Desde la parte superior del tercer piso de un edificio de
9, se ve un momento de menor altura, con un ángulo
de elevación "x", su parte más alta y un ángulo de
depresión "y" su base. Si desde lo alto del edificio, la
tangente del ángulo de depresión con la que se ve la
base del monumento, es sextuplo de la tangente del
ángulo con que se ve la parte más alta.
Calcular: E= 4Coty· Tanx
a) 2 b) 4 c) 5
d) 8 e) 6
39. Desde lo alto de un edificio se ven tres puntos en Tierra,
a un mismo lado, con ángulos de depresión  , 45º y


º
90 )
º
45
( 
 . Si el punto intermedio dista del
más alejado, el doble del más cercano, calcular:



 2
Cot
Tan
6
N
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
40. Un poste, una persona y una torre están ubicados del
modo que se mencionan y sus alturas están en la
proporción 3; 1; 5. Si de lo alto del poste se divisa lo
alto de la persona con un ángulo de depresión "  ";
mientras que la persona divisa lo alto de la torre con un
ángulo de elevación  , desde lo alto de la torre se ve
la base del poste con un ángulo de depresión "  ". Si
se verifica que:




 nCot
mCot
Cot
Calcular: K = m + 2n
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
41. Se tiene un poste PQ ("P" en el suelo) y tres puntos en
la superficie horizontal A, B y C, perfectamente
alineados; desde los cuales se ve "Q" con ángulos de
elevación  ,  y  respectivamente. Si BP es bisectriz
del ángulo C
P̂
A que mide 60º, calcular:





Tan
Tan
Tan
J
a) 2 b) 3
2 c) 3
d) 3 e)
3
3
42. Desde la parte más alta de un árbol de 5 metros de
altura se observa a otros dos de 1 metro y 4 metros de
altura con ángulos de depresión  y )
º
90
( 
 , si estos
están al Este y al Sur del árbol más alto, respectivamente.
Calcular: " 
Tan ", si además desde la parte más alta del
árbol más pequeño, se observa la parte más alta del
árbol de 4 metros con un ángulo de elevación de
)
º
90
( 

a) 4 2
1
b)
2
1
c) 4 2
d) 2 e) 2
2
43. Un barco se encuentra al Sur de un helicóptero, el barco
permanece inmóvil; pero el helicóptero avanza cierta
distancia hacia el Este. Desde el barco se observa al
helicóptero en la segunda posición con un ángulo de
elevación "  ". Si el ángulo de elevación en la primera
posición es de 45º y el helicóptero avanzó 2km, calcular
"  ", si además el helicóptero se encuentra a una altura
de km
2 .
a)
2
1
ArcTan b)
3
1
ArcTan
c)
4
3
ArcTan d) 30º
e) 45º
44. Se tienen tres puntos en tierra A, B y C (AB = BC); y un
poste PQ ("Q" en el suelo, al interior del triángulo ABC),
desde los cuales se ve lo alto del poste con ángulos de
elevación  ,  y  respectivamente.
Si : y
C
Q̂
B
x
B
Q̂
A 


Señale el equivalente de:







2
2 Cot
Cot
Cosy
Cot
Cosx
Cot
J
a) 
Tan b) 
Tan
2 c) 
Cot
2
d) 
Cot
2
1
e) 
Tan
2
1
45. Luciano observa a Luciana en la dirección NE y a
m
2
18 de distancia; a su vez Luciana observa a Lucio
en la dirección E37ºS.
Determine la distancia que separa a Luciano y a Lucio,
si Lucio se encuentra al Este de Luciano.

31. Trigonometría
38
a) 41 m b) 40 m c) 24 m
d) 18 m e) 42 m
46. Desde una ciudad "A" se divisan a otras dos "B" y "C"
en las direcciones O80ºN y E40ºN, respectivamente.
Además desde "B" se divisa a "C" al E50ºS a una
distancia de 173 km.
¿Cuál es la distancia entre "A" y "B"?
a) 100 km b) 200 km c) 150 km
d) 273 km e) 300 km
47. ¿Cuál es la dirección de la bisectriz del menor ángulo
formado por las direcciones N20ºE y S80ºO?
a) N10ºO b) N20ºO c) N30ºO
d) N40ºO e) N50ºO
48. Calcular el menor ángulo que forman la bisectriz de SO
y S
4
1
SO con la bisectriz de SE y S
4
1
SE
a) 50º b) 78º45' c) 77º
d) 67º30' e) 90º
49. Se tiene una torre en el borde de un acantilado, cuyas
partes alta y baja son vistas desde un punto de la
superficie horizontal con ángulos de elevación "  " y
"  " respectivamente )
Tan
4
Tan
3
( 

 . La altura del
acantilado es de 212,31 m.
¿Cuál es la altura de la torre?
a) 141,54 m b) 28,308 m
c) 159,2325 m d) 70,77 m
e) 35,385 m
50. Una persona camina 2
5 (aprox.) al norte de su casa,
luego 13 m en la dirección E
S , si ahora se encuentra
en la dirección NE de su casa.
Hallar: 
Csc
a)
5
13
b)
17
2
13
c)
13
17
d)
13
2
10
e)
17
13
51. Desde dos puntos A y B, situados al Oeste y al Norte de
una torre, se observa la parte más alta de ésta con
ángulos de elevación  y  , respectivamente; y desde
el punto medio de AB, el ángulo de elevación es "  ".
Calcular: 

 Cot
Tan
a)
2
3
b) 1 c) 3
d) 2 e) 3
2
52. Un niño sostiene dos globos. El ángulo de elevación
que tiene en la mano derecha es de 21º y la cuerda
mide "a" metros. El ángulo de elevación del globo que
sostiene en la mano izquierda es de 24º y la cuerda
mide 2
a metros.
¿Cuál es la distancia que hay entre los globos?
a) )
2
1
(  a metros b) )
2
2
(  a metros
c) 5
a
2 a metros d) 5
a a metros
e) a
)
5
2
(  metros
53. "Moshé" divisa los ojos de su padre con un ángulo de
elevación "  " y sus pies con un ángulo de depresión
"  "; mientras que su padre divisa los pies de "Moshé"
con un ángulo de depresión "  ". Sabiendo que las
estaturas de "Moshé" y su padre son "h" y "H"
respectivamente, señale el equivalente de:
H
h
h
H
J 

a)



2
Cot
Cot
Cot
b)



Cot
Cot
Cot2
c)



Cot
Cot
Cot
d) 


Cot
Cot
Cot
e)



Tan
Tan
Tan
54. Desde un punto en tierra, se divisa lo alto de un poste,
con un ángulo de elevación de 10º. Nos acercamos
una distancia " 1
d " y el ángulo de elevación es de 40º;
y si nos desplazamos una distancia " 2
d " hasta
ubicarnos al otro lado del poste, el ángulo de elevación
es de 20º.
Calcular:
2
1
d
d
(Sug. Cos10º = 0,9848)
a) 1,137 b) 1,232 c) 1,321
d) 0,957 e) 0,352
55. Un observador divisa un poste vertical bajo un ángulo
"  " notando que sus visuales son iguales. Se acerca
una distancia igual a las dos terceras partes de la
distancia que inicialmente lo separaba del poste y divisa
a éste. ahora bajo un ángulo "  ".
Calcular "n" en la igualdad.
2
Sen
2
nSen
Sen
Sen
2
2





a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

32. TRILCE
39
56. Una persona camina, por un camino inclinado que
forma un ángulo "x" con la horizontal y observa la parte
superior de una torre con un ángulo de inclinación
"2x". Luego de caminar una distancia de 15 veces la
altura de la torre, observa nuevamente su parte superior
con un ángulo de elevación de "3x".
Calcular: E = Cscx - 15
a) 10 b) 20 c) 12
d) 15 e) 25
57. Se tiene una torre y dos puntos A y B ubicados en
lados opuestos de ella. Desde "A" se divisa un punto
de la torre con un ángulo de elevación "  "; notándose
que la distancia de dicho punto observado a lo alto de
la torre es igual a la visual trazada para dicha
observación; mientras que, desde "B", se divisa un punto
ubicado 1 m, más abajo que al anterior con un ángulo
de elevación "  " . Notándose que la visual trazada es
igual a la distancia del nuevo punto observado a lo alto
de la torre, hallar la altura de la torre.
a)







Tan
Tan
)
1
Tan
)(
1
Tan
(
b)







Sen
Sen
)
1
Sen
)(
1
Sen
(
c)







Sen
Sen
)
Sen
1
)(
Sen
1
(
d)







Cos
Cos
)
1
Cos
)(
1
Cos
(
e)







Tan
Tan
)
1
Tan
)(
1
Tan
(
58. Desde cuatro puntos colineales de la superficie A, B, C
y D se divisa lo alto de una torre PQ ("Q" en el piso)
con ángulos de elevación  ,  ,  y  respectiva-
mente.
Si: º
10
D
Q̂
C
C
Q̂
B
B
Q̂
A 

 y
173648
,
0
º
10
Sen  .
Calcular:











Tan
Tan
Tan
Tan
Tan
Tan
Tan
Tan
J
a) 1,1983 b) 2,2343 c) 1,7124
d) 2,5783 e) 2,8794
59. Desde un punto del suelo, ubicado al O30ºS de una
torre, se divisa su parte más alta con un ángulo de
elevación 53º. De esta ubicación nos desplazamos al
S30ºE hasta ubicarnos al Sur de la torre. Observaríamos
su parte más alta con un ángulo de elevación "  ".
Calcular: 
Tan
a)
3
1
b)
3
2
c)
4
3
d)
2
3
e)
4
1
60.Un reflector situado al ras del suelo ilumina un
monumento bajo un ángulo de 30º. Si trasladamos el
reflector 2 m más cerca del monumento, éste se ve bajo
un ángulo de 45º.
¿Cuál es la altura (y) del monumento y cuál es su
distancia (x) al segundo lugar de iluminación?
a)
3
3
3
2
x
;
3
3
3
2
y




b)
3
3
3
2
x
;
3
3
3
2
y




c)
3
3
3
2
x
;
3
3
3
2
y




d)
3
3
3
2
x
;
3
3
3
2
y




e) 3
3
x
;
3
3
y 




33. Trigonometría
40
Claves
Claves
d
a
c
d
e
b
b
c
a
b
b
b
c
a
d
b
c
e
b
d
b
e
b
b
a
e
c
b
d
c
e
b
b
a
b
c
b
e
d
c
c
c
d
e
e
b
d
b
d
b
c
d
c
a
c
d
b
e
b
c
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
jhsf

34. TRILCE
41
Capítulo
SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR
4
SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR
Denominado también cartesiano, en honor al matemático René Descartes (1596-1650).
Se determina trazando dos rectas numéricas perpendiculares entre sí que se intersectan en un punto "O" y divide al plano en
cuatro semiplanos denominados cuadrantes.
* La recta horizontal se llama eje "x" o eje de abscisas.
* La recta vertical se llama eje "y" o eje de ordenadas.
* El punto "O" se denomina origen de coordenadas.
Cuadrante II Cuadrante I
Cuadrante III Cuadrante IV
y
x
O (0;0)
y
1
x1
y2
x
2
Q( ;y )
x
2 2
P( ;y )
x
1 1
Distancia entre dos puntos del plano cartesiano
Sean )
y
;
x
(
P 1
1
1 y )
y
;
x
(
P 2
2
2 dos puntos del
plano cartesiano, entonces la distancia "d" entre
los puntos 1
P y 2
P está dada por:
2
1
2
2
1
2 )
y
y
(
)
x
x
(
d 



d
P ( ;y )
x
1 1
1
P ( ;y )
x
2 2
2
y
2
y
1
x
1
x
2 x
y
* Radio Vector
Es la distancia del origen de coordenadas a un punto
cualquiera del plano cartesiano.
Si: )
y
;
x
(
P 0
0
es un punto del plano cartesiano el radio
vector se calcula así:
2
0
2
0
y
x
r 

y0
x
y
x
0
r
P( ;y )
x
0 0

35. Trigonometría
42
División de un segmento en una razón dada:
Sea )
y
;
x
(
P 0
0
0 un punto cualquiera sobre un segmento de
extremos )
y
;
x
(
P 1
1
1
y )
y
;
x
(
P 2
2
2
tal que:
)
razón
(
b
a
P
P
P
P
2
0
0
1 
Las coordenadas de 0
P son:
b
a
by
ay
y
b
a
bx
ax
x 1
2
0
1
2
0 





Punto Medio de un Segmento
Las coordenadas del punto medio M del segmento de
extremos )
y
;
x
(
P 1
1
1 y )
y
;
x
(
P 2
2
2
se calcula así:
y
2
x
x
x
0
2
1
0



2
y
y 2
1

Coordenadas del baricentro de un triángulo:
En el triángulo cuyos vértices son )
y
;
x
(
A
1
1
; )
y
;
x
(
B
2
2
y
)
y
;
x
(
C
3
3
, las coordenadas del baricentro están dadas por:







 



3
y
y
y
;
3
x
x
x
G 3
2
1
3
2
1
G: baricentro
x
y
a
b
P ( ;y )
x
0 0
0
P ( ;y )
x
1 1
1
P ( ;y )
x
2 2
2
x
y
M( ;y )
x
0 0
P ( ;y )
1 1 1
x
P ( ;y )
2 2 2
x
x
y
G
A( ;y )
x1 1
B( ;y )
x
2 2
C( ;y )
x
3 3
Área de una región triangular:
Para calcular el área "S" de una región triangular, se colocan las coordenadas de uno de los vértices y seguimos el sentido
antihorario hasta cerrar la figura y volver a colocar el primer vértice escogido, finalmente, se procede como a continuación se
indica.
x
y
A( ;y )
x
1 1
B( ;y )
x
2 2
C( ;y )
x
3 3
S
A
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
B
y
x
y
x
y
x
1
3
3
2
2
1
1
1
3
3
2
2
1
1
3
1
2
3
1
2
















Luego :
2
B
A
S 


36. TRILCE
43
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Determine el radio vector de (2,-3).
a) 5 b) 11 c) 13
d) 17 e) 19
02. Determinar el radio vector de )
7
,
2
( 
a) 3 b) 10 c) 3
d) 4 e) 5
03. Determinar el radio vector del punto medio del
segmento formado al unir los puntos (3,1) y (7,9).
a) 5 b) 2 5 c) 5 2
d) 10 e) 15
04. Si: (-1,2) es el punto medio del segmento formado al
unir los puntos, (-3,-1) y (a,b). Determinar: "a+b".
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
05. Del gráfico, calcular: "d".
d
(3,5)
(5,2)
(-11,1)
a) 37 b) 41 c) 53
d) 61 e) 82
06. Dos vértices consecutivos de un cuadrado son (-7,3) y
(-1,-5), determine su perímetro.
a) 60 b) 40 c) 20
d) 12 3 e) 15 2
07. Se tiene una circunferencia de centro (-3,7) que pasa
por (2,-5), determinar su diámetro.
a) 13 b) 15 c) 26
d) 30 e) 35
08. Si: (4,2) es el punto medio del segmento formado al
unir los puntos (a,-3) y (5,b). Determinar: a
b
E 

a) 2 b) 3 c) 2
d) 3 e) 5
09. Determine el producto de las coordenadas del punto
del segmento formado al unir los puntos (-7,3) y (1,5).
a) 6 b) -6 c) 12
d) -12 e) 15
10. Al unir los puntos A(-5,1), B(-1,7) y C(5,-1). Se forma
un triángulo ABC. Determine la longitud de la mediana
AM , (M en BC ).
a) 47 b) 51 c) 53
d) 57 e) 61
11. Determine las coordenadas del baricentro de un
triángulo que se forma al unir los puntos. A(-1,5); B(3,9)
y C(7,1).
a) (3,2) b) (-7,3) c) (3,5)
d) (5,3) e) (-3,5)
12. En el gráfico, hallar "x+y":
A(-2;3)
B(10;6)
K
2K
P
a) (2,3) b) (2,4) c) (1,3)
d) (-1,2) e) (-2,4)
13. Según el gráfico, halle "p":
2S 3S
A(1;9)
B(-2;5) C(8;10)
a) (1,8) b) (2,7) c) (3,5)
d) (3,7) e) (4,6)
14. Los vértices de un triángulo son A(3,1); B(9,1) y C(3,7).
Determine su área.
a) 36 2
 b) 18 2
 c) 24 2

d) 16 2
 e) 9 2

15. Los vértices de un triángulo son A(1;2), B(3;6) y
C(-1,0). Calcular la longitud de la mediana relativa al
lado AB .
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6

37. Trigonometría
44
16. Determine en el eje "x" un punto que tenga una
distancia de 5 unidades del punto (2,4).
a) (-1,0) b) (1,0) c) (5,0)
d) (6,0) e) a y c
17. Si ABCD es un paralelogramo donde A(3,2), B(1,5),
C(-2,3). Halle el punto D.
a) (0,0) b) (1,7) c) (-1,3)
d) (-2,2) e) (-5,1)
18. Los puntos A(4,-2); B(1,2) y C(5,5) son los vértices de
un triángulo:
a) Isósceles. b) Equilátero.
c) Rectángulo. d) Rectángulo Isósceles.
e) Oblicuángulo.
19. Hallar en el eje de ordenadas un punto A cuya distancia
hasta el punto B(-8,13) sea igual a 17.
a) (0,-1) b) (0,-2) c) (1,2)
d) (2,8) e) (0,-28)
20. Si P(a;a+1) es un punto que equidista de A(2,1) y
B(-6,5). Hallar el valor de "a".
a) 6 b) -6 c) 0
d) 1 e) -1
21. Se tienen dos vértices opuestos de un cuadrado (-5,8)
y (1,2); determinar su centro de gravedad.
a) (-1,3) b) (-2,3) c) (-2,5)
d) (-1,5) e) (1,3)
22. El centro de una circunferencia es (-4, 5 ), determinar
su área si pasa por el origen de coordenadas (usar:
)
7
22
( 
 .
a) 2 2
 b) 3 2
 c) 44 2

d) 66 2
 e) 81 2

23. Si P es punto medio de MN ; M y N son puntos medios
de AC y BC respectivamente, determine el radio vector
del punto P; siendo A(-4,5); B(2,5) y C(6,-3).
a) 7 b) 10 c) 2 3
d) 3 2 e) 15
24. Si (-5,3) es punto medio entre (x,0) y (0,y); calcular:
x
y
E 
 .
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
25. Hallar las coordenadas de un punto "A" cuya distancia
al origen es igual a 13u; sabiendo además que su
ordenadas tiene 7u más que su abcisa.
(Dar la suma de coordenadas).
a) 17 b) 16 c) -17
d) a y b e) a y c
26. Si (2,3) es el punto medio del segmento AB siendo
A(-3,5) y B(a,b). Calcular: a+b.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
27. El segmento que une A=(-2,1) con B=(2,2) se
prolonga hasta C sabiendo que BC=3AB. Hallar las
coordenadas de C.
a) (14,11) b) (11,14) c) (1,7)
d) (14,-11) e) (-14,11)
28. Si un vértice de un triángulo ABC, es A=(1,3) y el
baricentro del triángulo es G=(3,1). ¿Cuál es la suma
de coordenadas del punto medio "M" opuesto al vértice
"A"?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
29. Dados dos vértices consecutivos de un cuadrado
A(3 ; 7) y B(1 ; 4), calcule su área.
a)
2
127 b)
2
137 c)
2
147
d) 2
81 e) 2
100
30. Señale las coordenadas del punto "P" ubicado en el eje
de abscisas que equidista de A(1 ; 5) y B(7 ; 3)
a) 




 0
;
3
7
b 




 0
;
3
8
c) 




 0
;
3
4
d) 




 0
;
2
11
e) 




 0
;
4
11
31. En un triángulo ABC, los vértices son A(3 ; 1), B(1 ; 5)
y C(1 ; 3).
Calcule la longitud de la mediana relativa al lado BC.
a) 5 b) 7 c) 3
2
d) 13 e) 15
32. Si tres vértices consecutivos de un paralelogramo son
A(1 ; 1) , B(1 ; 5) y C(9 ; 7).
Halle la suma de coordenadas del cuarto vértice "D"
opuesto a B.
a) 5 b) 6 c) 9
d) 10 e) 12

38. TRILCE
45
33. Se traza un segmento desde A(1;1) hasta B(3;5). ¿Hasta
qué punto "C" será necesario prolongarlo para que
5
BC
6
AC  ?
(Señale la suma de coordenadas de "C")
a) 35 b) 38 c) 42
d) 23 e) 27
34. En un triángulo ABC se sabe que A(3 ; 5) y el baricentro
es G(1 ; 3). Hallar la suma de coordenadas del punto
medio de BC.
a)  3 b)  5 c)  7
d) 5 e) 7
35. Del esquema mostrado, determine las coordenadas del
punto M.
Si: ABCD es un paralelogramo.
y
x
M
N
B
C(4 ; 9)
D(6 ; 1)
A( 8 ; 5)

a) 




 8
;
2
11
b) ( 6 ; 5)
c) 




 5
;
2
9
d) ( 6 ; 4)
e) ( 5 ; 7)
36. Se tiene el triángulo formado por los vértices A(1;9),
B(6 ; 8) y C(2 ; 4), calcule la superficie del triángulo.
a) 2
35 b) 2
28 c) 2
14
d) 2
24 e) 2
40
37. Si A(-1;3) , B(3;1) y C(2;4), calcule el Seno del ángulo
CAB.
a)
10
3
b)
10
10
c)
5
5
d)
5
2
e)
2
2
38. Del gráfico, halle :
1
2
S
S  .
(10 ; 1)
(5 ; 8)
(6 ; 2)

( 3 ; 1)


S2
S1
a)
2
10 b)
2
5
,
10  c) 2
6

d)
2
5
,
11  e)
2
12
39. Los puntos P(-4;0); )
3
3
;
5
(
Q , R(x;0) son los vértices
de un triángulo rectángulo recto en Q, la suma de los
valores que indican el perímetro y el área del triángulo
es:
a) 24
3
18  b) 3
18
18 
c) 3
24
18  d) 3
12
12 
e) 6
6
12 
40. La base mayor de un trapecio isósceles une los puntos
(-2;8) y (-2;-4). Uno de los términos de la base menor
tiene por coordenadas (3;-2).
La distancia o longitud de la base menor es:
a) 8 b) 6 c) 9
d) 12 e) 10
41. Un cuadrilátero tiene sus vértices en los puntos
coordenados :
A(0;0) , B(2;2) , C(7;2) y D(5;0)
PROPOSICIÓN 1:
Si sólo los valores de las abscisas se multiplican por 2
entonces este cuadrilátero es semejante al original.
PROPOSICIÓN 2:
Si los valores de las abscisas y ordenadas se multiplican
por un mismo número, entonces este cuadrilátero es
semejante al original.
PROPOSICIÓN 3:
Si los valores de las abscisas se multiplican por 2 y las
ordenadas por 3 entonces el área de este nuevo
cuadrilátero es 5 veces mayor que el original.
a) FVV b) FFV c) VFF
d) FFF e) VVF

39. Trigonometría
46
42. Los vértices de un cuadrado son A(0 ; -3); )
b
;
b
(
B 2
1
,
C(3;4), )
d
;
d
(
D 2
1
.
Calcular el área del rectángulo cuyos vértices son los
puntos B, P
, D, Q donde )
b
;
d
(
P 2
1 y )
d
;
b
(
Q 2
1
.
a) 58 b) 29 c) 25
d) 21 e) 19,5
43. En la figura mostrada las coordenadas del punto R son
8)
;
3
6
( .
Hallar la distancia del baricentro de la región triangular
MON al punto R.
y
x
M
30º
O N
R
a) 21
2 b) 21 c) 21
4
d) 21 e) 42
2
44. Si A(-3;4), B(4;5), C(1;-4) son los vértices de un
triángulo. Calcular las coordenadas del circuncentro del
triángulo.
a) (1 ; 1) b) (1 ; -1) c) (2 ; -1)
d) (-3 ; -1) e) (-1 ; -1)
45. Sean los puntos del plano cartesiano:
A(3 ; 10), B(13 ; 2) , C(0 ; a) y D(b ; 0).
Hallar los valores de a y b de tal forma que la suma de
las longitudes de los segmentos AC, CD y DB sea lo
menor posible y dar como respuesta el valor de 12ab.
a) 961 b) 828 c) 780
d) 1020 e) 605
46. Sean los puntos del plano cartesiano A(1;2) B(10;0) y
C(8;4). Desde el punto C se baja la perpendicular CP
al segmento AB, entonces las coordenadas de P son :
a) 


















7
6
2
-
2
;
7
6
9
1
b) 



















85
59
2
2
;
85
59
9
1
c) 


















85
59
2
-
2
;
85
59
9
1
d) 



















13
6
2
2
;
13
6
9
1
e) 



















13
6
2
2
;
13
6
9
1
47. Las coordenadas de los vértices A y B de un rectángulo
ABCD son (12 ; 3) y (4 ; 9), respectivamente. Si el área
de la región rectangular es 2
u
80 , determinar la suma
de las abscisas de los vértices C y D.
a) 25 b)
5
126
c) 26
d)
5
127
e)
5
128
48. Si los puntos (1 ; 6) y (5 ; 2) son los vértices opuestos
de un cuadrado, entonces el área del cuadrado es:
a) No se puede determinar.
b) 50 c) 4
d) 16 e) 8
49. Los puntos A(-2 ; 2), B(0 ; 4), )
C
;
C
(
C 2
1
son los vértices
de un triángulo equilátero.
Si C está en el segundo cuadrante, entonces
)
C
C
(
3 2
1
 vale:
a) - 9 b) - 8 c) - 6
d) - 5 e) 3
2
50. Dados los puntos A(-2;-3) , B(2;1), C(4;-9) y M punto
medio de BC , la distancia de M al segmento AC es:
a) 2 b) 2
2 c) 4
d) 2
4 e) 6
51. En la gráfica, si AC = 5, la suma de las coordenadas de
C es:
x
y
A(1;2) B(4;2)
C(x;y)
O
a) 4 b) 10 c) 8
d) 6 e) 9

40. TRILCE
47
52. Los extremos de la base de un triángulo son los puntos
A(0 ; 0) y B(3 ; 0).
Determinar la ordenada del vértice opuesto 





y
;
2
1
C
de tal manera que la medida del ángulo CAB es igual al
doble de la medida del ángulo CBA.
a) 15 b)
2
15
c)
4
15
d)
6
15
e)
8
15
53. A(a ; b), B(a ; -b), C(-a ; -b), D(-a ; b) son los vértices de
un rectángulo. Si: P(x;y) cumple que 
 6
DP ,

 7
CP y 
 5
BP , entonces el valor de AP es:
a) 
5 b) 
3
2 c) 
3
d) 
4 e) 
2
3
54. En el gráfico: BD = 3AD y EC = 2BE.
Calcule:
1
3
2
h
h
h
W


x
y
A(1;1)
C(8;2)
B(5;5)
h3
h1
h2
E
D
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e)
3
2
55. Del gráfico, calcule "x" si "  " es máximo.
.
x
y
(1;1)
(3;3)
P(x;0)

a) 2 b) 2
2 c) 3
d) 3
2 e) 6
56. A partir del gráfico, calcule:





2
2
2
Sen
Sen
Sen
W



B(3;9)
C(5;7)
A(1;3)
a) 1 b) 2 c) 3
d)
3
2
e)
2
3
57. Del gráfico, halle la suma de coordenadas del punto
"P". Si :
5
DC
3
BD 
S
7S
A(2;0)
C(7;5)
B(3;9)
D
P
a) 8 b) 10 c) 12
d) 16 e) 7
58. De todos los puntos del plano cuya suma de distancia
a los puntos A(1;5) y B(7;5) es igual a 10. Señale la
suma de coordenadas de aquel punto de ordenada
máxima.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
59. Señale las coordenadas del vértice C, del triángulo ABC,
si las coordenadas de los vértices del triángulo formado
al unir los puntos medios de sus lados son:
)
0
;
1
(
AM
 , )
3
;
2
(
BM
 y )
7
;
6
(
CM
C
A
B
x
y
BM
AM
CM
a) (-9 ; -4) b) (-7 ; - 2) c) (-10 ; -5)
d) (-8 ; -5) e) (-6 ; -7)

41. Trigonometría
48
60. Si ABCD es un paralelogramo, halle: 2
1
S
S 
x
y
S1
S2
A(-5;-5)
B(2;-1)
C(x;y)
D(-3;2)
a) 2
4
41  b) 2
2
41  c) 2
2
21 
d) 2
4
21  e) 2
41

42. TRILCE
49
Claves
Claves
c
c
c
d
e
b
c
c
d
c
c
b
b
b
d
e
a
d
a
b
c
d
b
c
e
d
a
d
b
b
d
d
b
c
a
c
e
c
c
a
a
d
a
a
a
c
e
d
e
b
b
b
b
c
e
a
b
d
a
b
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

43. TRILCE
51
Capítulo
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
5
Definiciones Previas:
I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Llamado también en posición canónica o stándar. Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen
del sistema cartesiano y su lado inicial coincide con el eje "x" positivo.
Cuando un ángulo, está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice
que éste pertenece a tal cuadrante.
Lado Final
Lado Inicial
Vértice
 (+)
x
y
Del gráfico :
*  : es un ángulo en posición normal
* 0
;
IIC 



Lado Final
Lado Inicial
Vértice
(-)
x
y

*  : es un ángulo en posición normal
* 0
;
IIIC 



Definición de las Razones Trigonométricas:
Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en posición normal, tomaremos un punto )
y
;
x
(
P 0
0 perteneciente a su
lado final.
x
y
P( )
x ;y
o o
r
x
o
y
o

'
Se define:
o
o
o
o
x
y
Tan
r
x
Cos
r
y
Sen






o
o
o
o
y
r
Csc
x
r
Sec
y
x
Cot






*
2
o
2
o
y
x
r 
 * '
 : se denomina ángulo de referencia

44. Trigonometría
52
Signo de las R.T. en los cuadrantes
Dependiendo del cuadrante al que
pertenezca un ángulo en posición
normal, sus R.T. pueden ser positivas
o negativas. Es así como se obtiene
el cuadro adjunto.
Cosecante
y
Seno
(+)
Cotangente
y
Tangente
(+)
positivas
son
Todas
(+)
Secante
y
Coseno
(+)
Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales
 radianes  (grados) Sen  Cos  Tan  Cot  Sec  Csc 

 2
0 0 0 1 0 N. D. 1 N. D.
2

90º 1 0 N. D. 0 N. D. 1
 180º 0 - 1 0 N. D. - 1 N. D.
2
3
270º - 1 0 N. D. 0 N. D. - 1
Nota: N.D. no definido
Ángulos Coterminales:
Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final.
Ejemplo:

Vértice
Lado
inicial
Lado
final
i) ii)
P( ; )
x x
o o
x
y
Se tiene que :
*  y  : son coterminales
*  y  : son coterminales (están en P
. N.)
Propiedades:
Si  y  son coterminales se cumple que:
I. II.
 
- = 360ºn ; n Z R.T. ( 
) = R.T.( )

45. TRILCE
53
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Del siguiente gráfico, calcular: 


 Cot
12
Sen
10
E
x
y

(1;-3)
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
02. Por el punto )
5
;
2
(
P  pasa el lado final de un ángulo
en posición normal cuya medida es "  ". Calcular:
Cos  .
a) -1/2 b) -2/3 c) -3/4
d) -4/3 e) -3/2
03. Si:
3
2
Sen 

 y 
 IIIC. Calcular:
)
Sec
Tan
(
5
E 



a) -1 b) -2 c) -3
d) 2 e) 3
04. Indicar el signo de cada expresión:
I. Sen200ºTan240º
II. Cos120ºTan100º
III. Sen150ºCos340º
a) +, +, + b) , ,  c) , +, +
d) +, ,  e) +, , +
05. ¿A qué cuadrante pertenece "  ", si: 0
Tan 
 y
0
Cos 
 .
a) IC b) II c) IIIC
d) IV e) IC y IIC
06. De la figura, calcular: "
Tan
" 
x
y

17
(1-x;2x)
a) 1 b) -2 c) -3
d) -4 e) -5
07. Calcular:
270
abCsc
2
180
Cos
)
b
a
(
º
360
Sec
)
b
a
(
E
2
2 



a) 1 b) 2 c) 3
d) -3 e) -2
08. Si: IVC
x  y 0
6
Sen
4
|
Cscx
| 


Calcular: E = Senx + 3 Cosx
a) 1 b) 1/2 c) 1/3
d) 2/3 e) 3/2
09. Si: 3
,
0
Cos


 y IIC


Calcular: 


 Sec
Tan
E 2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10. Si: f(x)=2Sen2x+3Cos3x+4Tan4x.
Calcular: )
2
(
f 
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
11.Una raíz de la ecuación: 0
3
x
2
x2


 es un valor de
"Tan  ", si: IIIC

 . Calcular: )
Cos
Sen
(
10
E 



a) -1 b) -2 c) -3
d) -4 e) -5
12. Si: f(x)=Senx+Cos2x+Tan4x.
Calcular: )
2
(
f 
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
13. Si:  y  son medidas de ángulos coterminales y se
cumple que: Tan  <0 y |Cos  |=-Cos  . ¿A qué
cuadrante pertenece " "?
a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) IC y IIC

46. Trigonometría
54
14. Calcular: 


 Tan
Sen
25
E , a partir de la figura
mostrada:
x
y


(24;7)
(-4;-8)
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
15. Por el punto )
7
;
2
(
P 
 pasa por el final de un ángulo
en posición normal cuya medida es "  ". Calcular:

Csc
7 .
a) 1 b) 2 c) 3
d) -3 e) -2
16. Calcular: 1
Cosx
Senx
E 


a) 0 b) 1 c) 2
d) 2 e) 2 2
17. Si: IV

 , determine el signo de:







Cos
Sen
)
Cos
1
(
Tan
E
a) + b) - c) + ó -
d) - y + e) Todas son correctas
18. Con ayuda del gráfico mostrado, calcular:
)
2
(
Sen
3
)
(
Sen
)
6
(
Cos
3
E













a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4
d) 4/3 e) 3/2
19. De la figura, calcule: "Tan  "
x
y

37º
a) -3/7 b) -4/7 c) -5/7
d) -6/7 e) -7/4
20. Del gráfico, calcule: "
Tan
"  .
x
y
(2;-3)

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4
d) 4/3 e) 3/2
21. De acuerdo al gráfico calcular:



 Cos
Cos
5
K
y
x
(-24;7)
(-4;-3) 

a) 2 b)  3 c)  4
d) 2 e) 4
22. Si el punto Q(8; 5) pertenece al lado final de un ángulo
canónino "  ".
Calcular:



 Cot
Csc
R
a) 0,4 b)  0,4 c) 0,6
d)  0,6 e)  0,3
23. Simplificar:
2
bCos
2
3
aSen
Cos
)
b
a
(
2
Sen
)
b
a
(
L
2
5
2
3
2











 


a) 2a b)  2a c) 4a
d)  4a e)  4b
24. Señale los signos de:
º
260
Tan
º
300
Tan
º
140
Cos
º
140
Sen
M 
 y
º
348
Sen
º
248
Cos
º
116
Tan
º
217
Cos
º
160
Tan
R



a) () No se puede precisar.
b) (+) ; (+)
c) (+) ; ()
d) () ; ()
e) () ; (+)

47. TRILCE
55
25. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda
en:
I. Si: 0
Cos
0
Sen 



 , entonces IV

 .
II. Si: 0
Sec
0
Tan 



 , entonces IIIC

 .
III. Si: 0
Cot
0
Csc 



 , entonces IIC

 .
a) VVF b) VVV c) VFV
d) FFV e) FVV
26. Sabiendo que:
0
Sen 

0
Sec
Tan 


¿A qué cuadrante pertenece el ángulo canónico  ?
a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) No se puede precisar.
27. Señale el cuadrante al que pertenece "  " si:




 Tan
Cos
a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) No se puede precisar
28. Señale Verdadero (V) o Falso, según corresponda en:
I. Si: 180º
;
º
90

 , entonces IIC

 .
II. Si: IIC

 , entonces 180º
;
º
90

 .
III. Si: IIIC

 , es positivo y menor que una vuelta,
entonces 270º
;
º
180

 .
a) VVF b) VFV c) VFF
d) FVV e) VVV
29. Sabiendo que:
3
2
Tan 


IIC


Calcular: 


 Cos
Sen
Q
a)
13
1
b)
13
13
 c)
13
5

d)
13
13
5
e)
13
3
30. Si el lado final de un ángulo canónico "  " pasa por los
puntos P(m+n; n) y Q(n;mn),
Calcular: 


 2
2
Tan
Cot
K
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 12
31. Sabiendo que "  " es un ángulo positivo menor que
una vuelta perteneciente al IIIC señale el signo de:
5
3
Tan
3
2
Cos
2
Sen
Q 





 



a) (+) b) () c) (+) o ()
d) (+) y () e) No se puede precisar.
32. Del gráfico, calcular :
1
Tan
3
E 


y
x
53º

a) 0 b) 1 c)  1
d) 2 e)  2
33. Tomando 236
,
2
5  y sabiendo que:
Ctgx = - 0,5 y que IVC
x  .
¿Cuál es el valor de Cscx?
a)  2,236 b) 2,236 c)  0,4472
d) 1,118 e)  1,118
34. Los cuadrantes en los que el Coseno y Tangente tienen
el mismo signo son:
a) 1º y 2º b) 1º y 3º c) 2º y 3º
d) 2º y 4º e) 1º y 4º
35. Se tienen dos ángulos coterminales tales que el mayor
es al menor como 23 es a 2. Su suma está comprendida
entre 2820º y 3100º.
¿Cuál es la medida del mayor?
a) 2540º b) 2760º c) 2820º
d) 2420º e) 3000º
36. Siendo:
130
1
70
1
28
1
4
1
Sen
5
4 







 Cos
Cos
Calcular:



 Cos
3
Sen
2
K
a) 1 b)  1 c) 2
d)  2 e)  3
37. El valor numérico de la expresión:
Sen180º+2Cos180º+3Sen270º+4Cos270º- 5Sec180º-6Csc270º
es:
a)  4 b) 12 c) 6
d) 16 e) 8

48. Trigonometría
56
38. Indicar los signos de las siguientes expresiones en el
orden F. G. H.
º
338
Ctg
º
215
Csc
º
210
Sen
º
138
Tan
º
285
Sec
F
3
3
2

2
3
2
3
º
336
Tan
º
195
Csc
º
116
Cos
º
115
Ctg
º
260
Sen
G 
3
3
º
298
Sec
º
135
Tg
º
128
Csc
º
340
Ctg
º
195
Sen
H 
a)  , + ,  b)  ,  , + c)  ,  , 
d) + ,  ,  e) + , + , +
39. Si:







 2
Cos
)
2
(
Sen
1
)
3
(
Cos
)
(
f 2
Calcular:
1
3
f
3
f 





 






 

a) 2 b)
2
3
2  c) 5
d) 3
2
3  e)
2
3
3
2 
40. Determinar el signo de S en cada uno de los cuadrantes
(I, II, III, IV).
S = Ctgx + Senx - Cscx
I II III IV
a) + + + +
b) +  + +
c) +  + 
d)  +  +
e) + +  
41. Determinar el signo de:
Q
QCtg
QSec
Sen 4
5
3
a)  ; si Q pertenece al IC.
b) + ; si Q pertenece al IIC.
c) + ; si Q pertenece al IIIC.
d) + ; si Q pertenece al IVC.
e)  ; si Q pertenece al IIC.
42. Dado:
2
2
2
2
q
p
q
p
Cosx



 ; p > q > 0
Calcular Tgx, con x en el segundo cuadrante.
a) 2
2
p
q
pq
2

 b) 2
2
p
q
pq
2

c) 2
2
p
q
pq
2

 d) 2
2
p
q
pq
2

e) 2
2
2
2
p
q
p
q


43. Sabiendo que:
4
1
CosQ 
270º < Q < 360º
Calcular el valor de la expresión:
CtgQ
1
CscQ
SecQ


a) 0,25 b) 0,50 c) 2,50
d) 4,00 e) 4,50
44. Si  es un ángulo del tercer cuadrante, tal que:
8
Ctg
1 2



Calcular: 3
)
Sec
8
( 
a) 63
83
b)
63
83
 c)
63
83
d)
63
3
83
 e)
63
63
86

45. Si el ángulo x es positivo, pertenece al cuarto cuadrante
y es tal que: 

 2
x
0 . Entonces, hallar el signo de
las siguientes expresiones trigonométricas.
I.


















4
x
sec
Co
2
x
Sen
4
x
Tan
II.


















5
x
Cos
4
x
3
Sec
3
x
Cot
III.


















4
x
3
Sec
3
x
2
Tan
3
x
Sen
a) (+) (+) (+) b) () () ()
c) (+) (+) () d) () () ()
e) () () (+)
46. Hallar el signo de las expresiones trigonométricas, en
el orden dado:
3
25
Cos
3
52
Sen 

;
3
22
Cot
5
32
Sen 

;
10
73
Cot
3
205
Sen 





 

a) (+) (+) () b) () (+) ()
c) () (+) (+) d) () () (+)
e) (+) () (+)

49. TRILCE
57
47. Si  es un ángulo en el primero cuadrante y
25
,
0
Sen 
 .
¿Cuál es el valor de 

 2
Ctg
Csc ?
a) 15 b)
19
21
c)
15
19
d)
21
19
e) 19
48. Si 5
,
1
Tg 
 , siendo  un ángulo en el III cuadrante,
el valor de la expresión:
)
Csc
Sec
(
13
1
M 


 es :
a)
6
1
 b)
6
1
 c)
6
1
d)
6
5
 e)
6
1
49. Calcular el Coseno del ángulo  del segundo
cuadrante, tal que
5
3
Sen 
 .
a)
5
4
b)
5
3
c)
3
2

d)
5
4
 e)
3
1

50. Si
3
1
Tan 

 y  está en el segundo cuadrante.
Hallar :





Ctg
2
)
Sen
5
Cos
(
3
K
a) 10 b)
10
10
 c)
10
10
d)
5
10
2 e)
5
10
2

51. En la figura adjunta, hallar:





 Tan
Cos
15
Sen
5
V
24
- 7 0

x
y
a)
35
141
b)
7
29
c)
35
99
d)
7
39
e)
4
1
52. Indicar la alternativa correcta para el signo de las
siguientes expresiones:
I. Sen(361º)  Cos(455º)
II. 




 






 
4
3
Cos
4
3
Sen
III. )
º
315
(
Sec
4
5
Tan 





 
a) + ;  ; + b) + ; + ;  c)  ;  ; +
d) + ;  ;  e) + ; + ; +
53. Sea  un ángulo del tercer cuadrante.
Indicar la alternativa correcta al simplificar:












 Cos
Sen
1
1
E 2
a) 
 2
Sen
2 b) 
 2
Sen
c) 
 2
Cos
1 d) 
2
Sen
e) 
2
Cos
54. Si: Senx = 0,6, ¿cuál es el valor de Cosx, sabiendo que
x es un ángulo del segundo cuadrante?
a) Cosx = 0,8 b) Cosx = 0,6
c) Cosx =  0,7 d) Cosx = 0,9
e) Cosx =  0,8
55. Si "  " y "  " son ángulos cuadrantales, positivos y
menores que una vuelta, tales que: 

 Cos
Cot
Calcule:







Cos
2
Sen
2
Sen
Cos
K
a) 2
2  b) 1
2  c) 1
2 
d) 2
2  e) 1
56. Si  y  son ángulos positivos, que no son agudos;
0
Cos 
 ; 0
Tan 
 ; )
º
360
( 



Sean:
a = )
(
Sen 



b = 
 2
Sen
c = 
2
Sen
Entonces, son positivas.
a) a y b. b) a y c. c) a , b y c.
d) a. e) b y c.

50. Trigonometría
58
57. Si: 3
2
b
a
Tanx 






Calcular el valor de:
IC
x
;
aCosx
b
bSenx
a
E 


a)
3
3
1
3
1
3
1
3
1
a
b
b
a













b)
a
b
b
a 
c)
2
1
2
2
2
2
a
b
b
a








 d)
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
a
b
b
a













e)
3
1
3
3
3
3
a
b
b
a









58. Hallar todos los valores que puede tomar el ángulo 
del primer cuadrante, cuyo ángulo doble está en el
segundo cuadrante, su ángulo triple está en el tercer
cuadrante y su cuádruple en el cuarto cuadrante; pero
inferior a 
2
a)
2
4





b)
2
3





c)
2
12
5 




d)
2
8
3 




e) Faltan datos
59. Si: IIC

 y




 Cos
3 4 2
)
Sen
(
Sen
Calcular: 

 Sen
Tg
a) 143
12
11
 b) 143
12
13
c) 143
12
13
 d) 143
12
9
e) 143
12
11
60. Se tiene dos ángulos que se diferencian en un múltiplo
de 360º. Se sabe que el cuádruple del menor es a la
suma del ángulo menor más el triple del mayor de los
ángulos, como 4 es a 5. Hallar el menor de los ángulos,
si se sabe que está comprendido entre 1080º y 3240º.
a) 1280º b) 2160º c) 3200º
d) 3210º e) 3230º

51. TRILCE
59
Claves
Claves
b
b
a
c
d
d
e
a
e
a
d
b
b
e
d
a
a
e
b
b
c
c
e
d
a
b
d
b
b
c
b
c
e
a
b
d
c
a
c
c
c
b
d
e
c
b
e
a
d
b
d
e
d
e
a
e
d
d
c
b
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

52. TRILCE
61
Capítulo
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
6
OBJETIVO: El objetivo del presente capítulo es:
* Calcular las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que sí lo sea; reconociendo
previamente el caso en que nos ubicamos y el criterio a utilizar.
* Simplificar correctamente expresiones del tipo: Z
n
;
2
n
.
T
.
R 









* Reconocer y aplicar correctamente las propiedades de ángulos cuya suma de medidas es 180º ó 360º
CASOS
I. Ángulos cuyas medidas están en <90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original "  " se descompone como la
suma o resta de un ángulo cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo que sea agudo; para luego aplicar :
)
.(
T
.
R
Co
220
90
R
)
.(
T
.
R
360
180
R
)
(
RT































Donde el signo )
( que deberá anteponerse al resultado dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo original "  "
Por ejemplo; calculemos:
*
2
3
º
30
Cos
)
30
º
90
(
Sen
º
120
Sen
)
(










* 2
1
º
60
Cos
)
º
60
º
180
(
Cos
º
120
Cos
)
(











* 3
º
30
Cot
)
º
30
º
270
(
Tan
º
240
Tan
)
(










* 2
º
30
Csc
)
º
30
º
360
(
Csc
º
330
Csc
)
(











* 
 )
(
Sen
º
170
Sen 




* 
 )
(
Cos
º
200
Cos 




* 
 )
(
Tan
º
260
Tan 




* 
 )
(
Sen
º
320
Sen 




II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º: En este caso, se procede de la siguiente manera:
R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360º
  
q
Residuo

53. Trigonometría
62
Por ejemplo, calculemos:
*
2
3
º
60
Sen
º
2580
Sen 
 * Tan 3285º = Tan45º = 1
2580º 360º
2520º 7
60º
3285º 360º
3240º 9
45º
* Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) = Csc30º = 2
 
1200º 360º
1080º 3
120º

 

 

( )

* Sen 3180º =
Si el ángulo estuviese expresado en radianes, se procede de la siguiente manera:
*
133 4
132 33
1
127 6
126 21
1
1
2
1
Sen
2
Sen133 



2
1
3
1
Cos
3
127
Cos 



*
Es decir, si fuese: 2b
a
;
b
a
.
T
.
R 





 
Se divide: a 2b
q
r este residuo reemplaza al numerador "a"
*
1315 8
51 164
35
3
1345
3
1345
Sen 
*
4
3
Tan
4
1315
Tan 


III. Ángulos de medida negativa: Se procede de la siguiente manera:
Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx
Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx
Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx
Por ejemplo, calculemos:
*
2
2
º
45
Sen
)
º
45
(
Sen 



 *
2
1
º
60
Cos
)
º
60
(
Cos 


* 3
)
º
30
Cot
(
)
º
30
º
90
(
Tan
º
120
Tan
)
º
120
(
Tan
)
(















* Cos (- 200º) =
IV. Ángulos relacionados:
1.












Tany
Tanx
Cosy
Cosx
Seny
Senx
180º
y
x
:
Si
2.

54. TRILCE
63












Tany
Tanx
Cosy
Cosx
Seny
Senx
360º
y
x
:
Si
Por ejemplo, calculemos:
7
6
Cos
7
5
Cos
7
4
Cos
7
3
Cos
7
2
Cos
7
Cos
C 











En esta expresión note que:
7
6
Cos
7
Cos
7
6
7










7
5
Cos
7
2
Cos
7
5
7
2 









7
4
Cos
7
3
Cos
7
4
7
3 









Luego:
7
6
Cos
7
5
Cos
7
4
Cos
7
4
Cos
7
5
Cos
7
6
Cos
C 












Reduciendo, quedaría C = 0

55. Trigonometría
64
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Señale el valor de: Sen120º
a) 1/2 b) -1/2 c)
2
3
d)
2
3
 e)
2
2
02. Hallar: Cos330º
a) 1/2 b) -1/2 c)
2
3
d)
2
3
 e)
2
2
03. Calcule: E = Tg150º.Sen315º
a)
4
6
b)
4
6
 c)
6
6
d)
6
6
 e)
4
2

04. Hallar el valor de: Sen1680º
a) 1 b) -1 c) 1/2
d) -1/2 e)
2
3

05. Determinar el valor de: Cos1200º
a) 1 b) 0 c) 1/2
d) -1/2 e)
2
3
06. Hallar: )
º
45
(
Tg
)
º
60
(
Cos
E 


a) 1/2 b) -1/2 c) 0
d) 1 e) 2
07. Hallar: E = Sen(-30º)+Tg(-53º)
a) 11/6 b) 6/11 c) -11/6
d) 0 e) 1
08. Señale el equivalente de: Cos(180º+x)
a) Cosx b) -Cosx c) Senx
d) -Senx e) -Secx
09. Determinar el equivalente de: Sen(360º-x)
a) -Senx b) Senx c) Cosx
d) -Cosx e) Cscx
10. Determina el equivalente de:
2
].
32
]
Sen 
a) 1 b) -1 c) 0
d) 1/2 e) -1/2
11. Hallar el valor de: Cos1741 
a) 1 b) -1 c) 0
d) 1/2 e) -1/2
12. Hallar:
3
.
17
Tg 
a) 1 b) -1 c) 3
d)  3 e)
3
3

13. Del gráfico, calcule: Tg 
A
C
B
M
45º

a) 1 b) 2 c) -1
d) -2 e) 3/4
14. Del gráfico, hallar: Tg 
A
C
B
37º
D

a) 3/4 b) -3/4 c) 3/7
d) -3/7 e) -4/7
15. Hallar el equivalente de:
)
º
90
x
(
Cos
)
º
180
x
(
Sen
M



a) 1 b) -1 c) Tgx
d) Ctgx e) -Tgx

56. TRILCE
65
16. Si: Sen(-x) + 2Cos(-x) = 2Senx ;
x es agudo
Calcular: M = Sec(-x) + Csc(-x)
a)
2
5
b)
2
5
 c)
6
13
d)
6
13
 e)
5
5

17. Reducir:
)
x
º
180
(
Cot
)
x
º
360
(
Sec
)
x
º
180
(
Cos
)
x
º
270
(
Csc
)
x
º
180
(
Tan
)
x
º
90
(
Sen
A







a) 1 b) 1 c) x
Tan2
d) x
Cot2
e) x
Tan2

18. Simplificar:
)
(
Tan
2
3
Sec
)
2
(
Cot
)
(
Sen
C








 









a) 
2
Tan b) 

2
Tan c) 
2
Ctg
d) 
 2
Ctg e) 1
19. Simplificar:





 








 




x
2
3
Cos
)
x
(
Tan
x
2
3
Tan
)
x
(
Sen
C
a) Cotx b) x
Cot2 c) x
Cot2

d) - Cotx e) x
Cot3
20. Si :
2
A
0 


Evaluar:





 










 

 A
2
3
Tan
)
A
(
Cos
A
2
Sen
F
)
A
(
Csc
)
A
2
(
Ctg
A
2
Sec 














a) 2 SenA b)  2SenA c) 2CscA
d)  2CscA e)  2SecA
21. Calcular:
º
240
Tan
3
1
º
315
Tan
4
1
º
120
Sec
2
M 



a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 2
22. Calcular:
º
300
Cos
º
210
Cos
º
150
Tan
º
240
Sen
º
135
Sen
C



a)
3
6
b)
3
6
 c)
3
6
2
d)
3
6
2
 e)
3
2

23. Calcular:
1
º
4920
Cos
2
)
1
º
3383
Sen
2
)(
1
º
3000
Sec
2
(
U




a)
2
1
b)
2
1
 c)
4
1
d)
4
1
 e)
4
3

24. Marque Ud. la afirmación correcta:
a)  Sen ( 750º) =  0,5
b) 3
5
,
0
)
º
1110
(
Cos 



c)
3
3
)
º
1830
(
Tan



d) 3
)
º
3270
(
Ctg 



e) + Sen2534º = Cos14º
25. Hallar el valor numérico de:
º
225
Ctg
º
330
Tan
º
780
Tan
º
780
Sen
º
330
Tan
º
225
Sen
F
2
2
2
2
2
2





a)
12
31
b)
20
33
c)
44
1
d)
20
33
 e)
12
31

26. Simplificar las expresiones:
)
(
Sen
)
º
360
(
Sen
)
º
180
(
Cos
)
(
Cos
a



















Sen
)
º
90
(
Cos
)
(
Cos
)
º
90
(
Sen
b
a) a = 0 y b =  2
b) a =  1 y b =  2
c) a =  2 y b = 2
d) a = 0 y b = 0
e) a =  1 y b = 2
27. Si: x + y = 180º  y + z = 270º
Calcule el valor de:
Ctgz
Tany
Seny
Senx
J 


57. Trigonometría
66
a) 1 b) 0 c) - 3
d) 2 e) - 5
28. Si: Tanx + Ctgy = 2 ; 

 y
x
Hallar: Ctgx
a) 1
2 
 b) 2
1 c)
2
1
2 

d)
2
2
1 e) 1
2 

29. Simplificar la expresión:
)
º
360
(
Tan
)
º
450
(
Sen
)
º
540
(
Cos
)
º
2160
(
Tan
)
º
90
(
Cos
)
º
180
(
Sen
E













Sabiendo que : 2
Sec2


Entonces E es igual a :
a) 2 b) 1 c)  1
d)  2 e) 0
30. El valor de la expresión:





 














 












 



2
Csc
)
(
Sec
)
2
(
Ctg
6
Tan
)
(
Cos
2
3
Sen
E
Cuando :
6


 es:
a) 1 b)  1 c) 0
d) 2 e)  2
31. Calcular el valor de:
Cos10º+Cos30º+Cos50º+.... +Cos170º
a)
2
1
b) 0 c)
2
3
d) 1 e)
4
3
32. Calcular: 






 







 

términos
20
30
29
Cos
...
30
3
Cos
30
2
Cos
30
Cos
T 








a) 0 b) 1 c) - 1
d) 2 e) - 2
33. El valor de la siguiente expresión:





 





 






 





 
12
7
Cos
12
Sen
12
Cos
12
7
Sen
Es igual a:
a) 0 b) 1 c) - 1
d) 2 e) - 2
34. Simplificar:
)
9
(
Ctg
)
7
(
Csc
)
5
(
Cos
2
9
Sec
2
7
Sen
2
5
Tan
K














 







 







 



a) 0 b)  1 c) 1
d)  2 e) 2
35. En un triángulo ABC se cumple:
Sen (B + C) = CosC
Dicho triángulo es :
a) Escaleno b) Rectángulo
c) Isósceles d) Acutángulo
e) Equilátero
36. En un triángulo ABC, se cumple que:
Cos (A + B) = CosC
Entonces el valor de A + B es :
a)
4

b)
3

c)
3
2
d)
6

e)
2

37. Calcular:
B
Sen
A
Cos 2
2

Si se sabe que A y B son ángulos suplementarios.
a)  1 b)
2
1
 c) 0
d)
2
1
e) 1
38. Si A y B son ángulos complementarios, al simplificar:
)
B
3
A
4
(
Tan
)
B
A
2
(
Cos
)
B
3
A
2
(
Tan
)
B
2
A
(
Sen
E





Se obtiene:
a) 3 b) 2 c) 2

d) 1
 e) 1
39. En un triángulo ABC, cuales de las siguientes
proposiciones se cumplen:
I. SenA = Sen(B+C)
II. CosA = Cos(B+C)
III. SenB = -Sen(A+2B+C)
a) VVV b) VFV c) VFF
d) FVF e) FFF
40. Si :
2
c
b
a 


 y Sen(a + b) = - Senc
¿Cuál de los siguientes resultados es verdadero?
a) 0
4
c
4
2
Cos 





 


58. TRILCE
67
b) 0
4
c
4
Cos 





 


c) 0
2
c
4
Cos 





 

d) 0
4
c
4
Cos 





 

e) 0
)
c
4
(
Cos 


41. Calcule el valor de:
4
175
Sec
4
37
Tan
R 



a) 2
1
 b) 2
2 c) 2

d)  2 e) 2
1
42. El valor que asume la expresión:





 











 















 


6
Csc
)
(
Sec
2
3
Ctg
)
(
Tan
)
2
(
Cos
2
Sen
Cuando :
3


 es:
a)
13
1
3
3 
b)
13
3
3
1
c)
3
1
3
3 
d)
3
1
3
3 
e)
3
3
3
1
43. Sabiendo que:
1
2
77
Cos
2
55
Sen
m 


















Calcular:



 Ctg
Tan
E
en términos de m.
a) 2
m b)
2
m
 c) 2m
d)  m e) m
44. Si : º
1035
º
360
)
k
1
( 


 , Z
k 
El valor de : )
º
5
,
22
(
Sen 
 será:
a)
2
3
2  b)
2
3
2 
c)
2
2
2 

d)
2
2
2 
e)
2
2
2 
45. Qué relación existe entre a y b sabiendo que:
0
4
b
2
a
3
6
Ctg
8
b
3
a
2
Tan 





 








 
a)
2
1
b)
3
1
c)
4
1
d)
5
1
e)
6
1
46. Si : SenA  2CosA = 0
Entonces el valor de:
)
A
º
180
(
Cos
)
A
º
180
(
Csc
)
A
º
360
(
Sen
)
A
º
270
(
Ctg
)
A
º
180
(
Sec
)
A
º
90
(
Tan
E







es:
a)  5 b) 5 c)
4
5
d)
4
5
 e)  4
47. Hallar  sabiendo que está en el tercer cuadrante, es
positivo, mayor que una vuelta y menor que dos vueltas
y:
11
Sen
Cos 



a)
22
75
b)
22
73
c)
22
71
d)
22
69
e)
22
67
48. Si  es la medida de un ángulo agudo tal que:


 Sen
º
1996
Cos
Calcular el valor de:



 15
Sen
15
Csc
E
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 2,5 e) 3
49. Sabiendo que:
Z
k
;
2
k
Tan
M 





 





Z
n
;
(-1)
n
Csc
N n 





 



Calcular:
MN
N
M
E
2
2


a) 
Sen
Tan b) 

 Sen
Tan
c) 
Cos
Ctg d) 

 Cos
Ctg
e) 1


59. Trigonometría
68
50. Del gráfico.
x
a
b
y
Determinar:
Cosb
Cosa
6
b
a
Cos
6
Senb
Sena
3
b
a
Sen
3
K







 







 

a)
2
1
 b)
3
1
 c)
4
1

d)
2
1
e)
3
1
51. Sabiendo que:
 




56
2
n
n
Cotx
2
)
x
)
1
(
!
n
(
Tan
Donde: IC
x 
Calcule: W = Secx . Tanx
a) 3
2 b) 6 c) 2
3
d) 6
2 e)
6
6
52. Si : ABCD: cuadrado
Calcule: 


 Tan
Tan
W
26º30'
P
B C
A D
 
N
M
a) 2 b) 1 c) - 2
d)  1 e)
2
3

53. Del gráfico calcule:
55
Cot
3
W 


Si: OA = OB
A
B
O
2
3
4

a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
54. Del gráfico, hallar " 
Cot " en función de "  ".
Si: AB = BC


B
C
A x
y
a) 1
Tan 
 b) 1
Tan 
 c) 1
Tan 


d) 1
Cot 

 e) 1
Cot 

55. Del gráfico, calcule: 
Cos

r
R
a)
R
2
r
b)
R
2
r
 c)
r
2
R
d)
r
2
R
 e)
r
4
R

56. En un triángulo ABC, se sabe que:
SenC
)
C
B
(
Cos
2
)
B
A
(
Sen 



Calcular:
C
4
Sen
B
4
Sen
A
4
Sen
1
A
2
Cos
C
2
Cos
B
2
Cos
1
W







a) 1 b) 2 c) 4
d)  1 e)
2
1

60. TRILCE
69
57. ¿Cuál es la medida del mayor ángulo "  " que cumple:



 Cos
7
2
Sen
Si es mayor que 3 vueltas, pero menor que 4 vueltas.
a)
14
97
b)
14
101
c)
14
103
d)
14
95
e)
14
99
58. De acuerdo al gráfico, calcule:





 









 










 





6
Tan
4
3
Cos
3
2
Sen
K

 

y
x
a)
12
6
b)
12
3
c)
12
6

d)
12
3
 e)
6
6

59. Reduzca:



























2
79
Cos
5
)
82
(
Sen
4
2
57
Cot
3
)
57
(
Tan
2
G
a) 
Sec
9
5
b) 
 Sec
9
1
c) 
Sec
5
d) 
Csc e) 
 Csc
9
2
60. Señale el signo de cada una de las expresiones:
11
12
Tan
1
7
36
Cos
7
20
Sen
R






8
21
Cot
7
27
Csc
8
25
Sen
H 





5
9
Sec
9
44
Csc
G 



a) (+) ; () ; () b) (+) ; () ; (+)
c) (+) ; (+) ; (+) d) () ; () ; (+)
e) () ; (+) ; (+)

61. Trigonometría
70
Claves
Claves
c
c
c
e
d
b
e
b
a
a
b
d
d
d
b
d
e
d
b
d
d
b
a
c
c
c
d
e
b
d
b
a
a
c
b
e
e
e
b
b
e
a
e
d
c
a
a
b
a
a
b
d
b
e
b
b
d
c
c
b
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

62. TRILCE
71
Capítulo
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
7
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
DEFINICIÓN
Es aquella circunferencia canónica; es decir, con centro en el origen del sistema cartesiano; y con radio igual a la unidad del
sistema. En el gráfico adjunto, destacaremos los siguientes elementos:
A (1; 0) : origen de arcos
B (0; 1) : origen de complementos de arcos
A' (-1; 0) : origen de suplementos de arcos
B' (0; -1) : anónimo
El punto A(1;0) se denomina origen de arcos, ya que a partir de él se van a dibujar arcos orientados, con un signo
asociado, tan igual que en el caso de los ángulos trigonométricos; por ejemplo, en el gráfico:
 : es un arco positivo
(sentido antihorario)
 : es un arco negativo
(sentido horario)
Ahora bien, los puntos "M" y "N" se denominan extremos de arco; y dichos
arcos se denominarán arcos en posición nomal.
Si observamos en la siguiente C.T., notaremos que entre el arco y el ángulo central correspondiente, se cumple que
numéricamente son iguales; lo cual permitirá establecer una relación entre los números reales y el ángulo central
correspondiente, en radianes.
En el sector circular AOM; por longitud de un arco:
AOM = rad
 , esto es:
AOM (en rad) = AM (numéricamente)
Debido a esta relación, a cada arco le corresponde un ángulo central del mismo valor,
pero expresado en radianes.
y
B
x
A
A'
B'
R=1
C.T.
1
x + y =1
2 2
O
y
x
M
B
A' A


B'
N
1
O


y
x
C.T.
A'
O 1
A
M
N
1
rad
rad
B
B'

63. Trigonometría
72
Así mismo, podemos establecer: R.T. (  rad) = R.T. (  ) ; R


Con lo cual queda claro que las Razones Trigonométricas (R.T.) de un número real, son calculables al asociarles un ángulo
cuya medida está expresada en radianes, numéricamente igual considerado.
Es decir; por ejemplo:
Sen 2 = Sen 2 rad
Tan 3 = Tan 3 rad
Cos (-1) = Cos (-1 rad)
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
Son segmentos dirigidos (de medida positiva o negativa) que van a representar el valor numérico de una Razón Trigonométrica
de un cierto número (expresado graficamente como un arco); así como también permitirán analizar las variaciones de estas
R.T., así como su comportamiento.
Para comenzar con el análisis, se recomienda tener en cuenta las siguientes observaciones para la ubicación de arcos.
a) Para arcos representados por números enteros:
x
y
O
C.T.
1,57=
2
3,14=
2 =6,28

O
4,71=
3
2

1
y
x
1
2
3
4 5
6
b) Para arcos con extremos en A, B, A' ó B' ( Z

n )
2
n
2
)
1
n
2
(
2
)
3
n
4
(
:
'
B
2
)
1
n
4
(
:
B
n
)
1
n
2
(
:
'
A
n
2
:
A






























I. Línea Seno.-
Representación: Variación :

2
0

 


2 2
3

 


2
2
3
Sen  0  1 1  0 0  -1 -1  0
Esto es:
1
Sen
1 


 ; R








1
:
mínimo
1
:
máximo
Sen
y
x
A; 0; 2 ; 4 ; ...
 
B':
A'
..., 3
3
2
 
2

2
; ; ; ....
B:

2

2

2
; ; ; ....
y
x
M
N
A' A
B
B'
-1
1
C.T.
(+)
(-)
(-)
Sen
(+)
Sen



64. TRILCE
73
II. Línea Coseno-
Representación: Variación :

2
0

 


2 2
3

 


2
2
3
Cos 1  0 0  -1 -1  0 0  1
Esto es:
1
Cos
1 


 ; R








1
:
mínimo
1
:
máximo
Cos
Observación:
Si consideramos el extremo de un arco cualquiera, notaremos que por ser un punto del plano cartesiano, tiene sus
propias componentes:
Por ejemplo, para "M" se nota que:
abscisa = Cos
ordenada = Sen 
Luego:
M = (Cos ; Sen )
De manera similar, las componentes de N son (Cos ; Sen )
III. Línea Tangente.-
Representación: Variación :

2
0

 


2 2
3

 


2
2
3
Tan  0     0 0     0
Esto es:
 < Tan  < 
No hay máximo, ni mínimo
(-)
Cos
(+)
Cos 

x
y
M
N
B'
B
A
A'
C.T.
1
-1
(-) (+)


y
x
M
N
A' A
B'
B
Cos
Cos
Sen
Sen
Sen
Cos
C.T.
T
P
A'
C.T.
B' N


B
y
x
(+)
(-)
A
Tan 
Tan 
M
O
Consideración:
La L.T. tangente no está definida para arcos cuyo extremo esté en B ó B'; lo cual significa que la R.T. tangente no se define para
todo arco de la forma: Z
n
;
2
)
1
n
2
( 

