4. Introducción
A lo largo de nuestros estudios hemos revisado vectores y sabemos que un vector es un
segmento orientado caracterizado por una dirección, un sentido y un módulo. Sin embargo, el
concepto de espacio vectorial, en definitiva, de vector, es mucho más amplio y no sólo se reduce
al de “segmento orientado” sino que a la luz del siguiente tema veremos que otros conjuntos
comparten todas las propiedades de las operaciones con vectores de R2 y R3 con lo cual
también los llamaremos vectores. Así, en este tema, veremos que el conjunto de los polinomios
de grado menor o igual que dos con las operaciones de suma de polinomios y la multiplicación
de un número por un polinomio, es un espacio vectorial (con lo cual un polinomio es un vector).
También las matrices de 2 filas y 3 columnas es un espacio vectorial con la suma de matrices y
multiplicación de un número por una matriz (por tanto, una matriz 2 × 3 también es un vector) y
otros muchos conjuntos también cumplen las propiedades de ser un espacio vectorial, con lo
cual sus elementos se pueden llamar vectores. Sin embargo, por gran importancia,
comenzaremos estudiando con detalle los espacios vectoriales de la forma K^n (donde K = Q, R
o Zp, con p primo) y veremos como otros espacios vectoriales se pueden estudiar a partir de
ellos.
5. Objetivo
Comprender la importancia
de los espacios y
subespacios vectoriales, a
través de sus aplicaciones
en la vida cotidiana y
específicamente en la
carrera de ingeniería en
telecomunicaciones.
6. Fundamentación Teórica
Definición espacio vectorial
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados
vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el
producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que
se dan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los
vectores u, v y w en V y todos los escalares α y β reales.
Llamamos u + v a la suma de vectores en V, y αv al producto de un
número real α por un vector v ∈ V.
7. Propiedades
○ 1. u + v ∈ V
○ 2. u + v = v + u
○ 3. (u + v) + w = u + (v + w)
○ 4. Existe un vector nulo 0v ∈ V tal que v + 0v= v
○ 5. Para cada v en V, existe un opuesto (–v) ∈ V tal
que v + (–v) = 0
○ 6. αv ∈ V
○ 7. α (u + v) = αu + αv
○ 8. (α + β) v = αv + βv
○ 9. α (βv) = (αβ) v
○ 10. 1v = v
8. Definición Subespacio vectorial
Un subespacio vectorial es el subconjunto de un
espacio vectorial, que satisface por sí mismo la
definición de espacio vectorial con las mismas
operaciones (suma de vectores y producto por un
escalar) definidas en V (Wilkimedia, 2003).
9. Aplicaciones de
espacios y subespacios
vectoriales
El saber que algo es un espacio vectorial
permite saber qué reglas cumplen sus
elementos, y cómo se relacionan entre sí.
Sabes que si sumas vectores saldrá otro
vector, otro elemento, que también
cumple las mismas reglas que los
originales.
10. ¿Cuáles podrían ser las aplicaciones de espacio y
subespacio vectorial en ciencia y tecnología?
Puedes descomponer una onda en "elementos" que son a su vez ondas.
El descomponer un espacio vectorial en subespacios permite centrarte
en conjuntos más simples de elementos, en lugar de en todo el espacio.
Puedes encontrar qué elementos básicos del espacio vectorial son los
que dan lugar por combinación lineal a cualquier otro elemento.
Por ejemplo, en las telecomunicaciones los campos eléctricos y
electromagnéticos son espacios vectoriales, estos campos pueden
descomponerse en "ondas electromagnéticas", que no dejan de ser las
bases del espacio vectorial de todas las posibles ondas (las frecuencias
se suman linealmente). Los movimientos en el espacio n-dimensional
pueden descomponerse en una serie de operaciones básicas
(oscilaciones o ciclos por segundos), cada una correspondiente a un
subespacio del espacio n-dimensional.
11. Otro ejemplo
Otro ejemplo es el funcionamiento de los
smartphones 4G depende de la capacidad
de los teléfonos en la velocidad que llevan a
cabo ciertas transformaciones (DFT/IDT) en
ciertos subespacios 1024 (por ejemplo)
dimensiones del espacio de funciones
(periódicas) (Escarcha, 2012).
12. Desarrollo
FUNCIÓN
01 3 polinómicas y determinar si son l.i o l.d
TEOREMA WRONSKIANO
𝐹 2𝑥3
+ 5𝑥2
; 𝑥4
+ 6𝑥2
; 3𝑥2
2𝑥3
+ 5𝑥2
𝑥4
− 6𝑥2
3𝑥2
6𝑥2
+ 10𝑥 4𝑥3
+ 12𝑥 6𝑥
12𝑥 + 10 2𝑥2
+ 12 6
14. Desarrollo
FUNCIÓN
02
Dos funciones compuestas, producto, división,
trigonométricas, exponenciales, hiperbólicas,
polinómicas y determinar si son li o ld con el
teorema del Wronskiano
TEOREMA WRONSKIANO
𝐹 5𝑥+1
; 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
Encontramos las derivadas de las funciones
𝑦 = 5𝑥+1
ln(𝑦) = 5𝑥+1
ln 𝑦 ′
= ( 𝑥 + 1 ∗ ln(5) )’
𝑦′
𝑦
= ln 5
𝑦′
= ln 5 ∗ 𝑦
𝑦′
= ln( )
5 ∗ 5𝑥+1
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
𝑦 = cos 5𝑥 ∗ 5
𝑦 = 5 ∗ cos(5𝑥)
15. TEOREMA WRONSKIANO
5𝑥+1
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
5𝑥+1
∗ ln(5) 5 ∗ cos(5𝑥)
Calculamos su determinante
5𝑥+1
∗ 5 cos 5𝑥 − 5𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∗ 5𝑥+1
∗ ln 5
Simplificando
= 5𝑥+2
∗ cos( )
5𝑥 − ln( )
5 ∗ 5𝑥+2
∗ sen(𝑥)
El wronskiano es diferente de 0; (w)≠0 por ende las
funciones son LINEALMENTE INDEPENDIENTES
16. Conclusión
Las aplicaciones de los espacios y subespacios vectoriales en la
ingeniería en telecomunicaciones son varias que talvez no son tan
obvias, es decir, que no se las puede percibir fácilmente pero ahí están
presentes como en los dos ejemplos antes mencionados y sus
funciones son es muy relevantes ya que en estos casos nos sirven para
varios procesos tecnológicos.
17. Bibliografía
Escarcha. (2012). I-Ciencias. Obtenido de Aplicaciones de la vida real de algebra lineal:
https://www.i-ciencias.com/pregunta/106572/aplicaciones-de-la-vida-real-de-
espacios-vectoriales-generales
Morales, G. (09 de Marzo de 2015). Habilidades de comunicación en la ingeniería. Obtenido
de Aplicación de los espacios vectoriales:
http://geronimomoraleshhcc.blogspot.com/2015/03/aplicacion-de-espacios-
vectoriales-en.html
Pustilnik. (22 de Septiembre de 2016). Espacios y subespacios vectoriales. Obtenido de
Algebra y Geometría Analítica: https://aga.frba.utn.edu.ar/blog/2016/09/22/espacios-
y-subespacios-vectoriales/
Wilkimedia. (02 de Noviembre de 2003). Wikipedia. Obtenido de Subespacio vectorial:
https://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorial
