1. 1 Podemos resolver un triángulo siempre que conozcamos tres de sus seis elementos. Sin embargo, no
encontrarás ningún ejemplo en el que se ofrezca la medida de sus tres ángulos solamente. ¿Por qué?
Solución:
Porque los tres ángulos no bastan para resolver un triángulo, dado que no hay un único triángulo con dichos
ángulos, sino todos los semejantes a él.
2 Las ramas de un compás miden 7 cm. ¿Cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con el
compás abierto en un ángulo de 40º?
Solución:
Quedaría el siguiente dibujo:
r
sen 20º   r  7·sen 20º  2,39 cm
7
Por lo tanto, .
3 Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 10 cm y el perímetro 32 cm. Determina las
medidas de los ángulos del triángulo.
Solución:
El lado desigual del triángulo mide 32 - 2 · 10 = 12 cm, por lo que la altura divide al triángulo isósceles en dos
triángulos rectángulos de hipotenusa 10 cm y uno de sus catetos mide 6 cm.
6 3 3
cosA    A  B  arccos  53º 7' 48' '
10 5 5
C  180º2 · 53º 7' 48' '  73º 44' 24' '
Por tanto, ,y .
4 Resuelve los siguientes triángulos:
a) a = 12 m, b = 7 m, A = 85º.
b) b = 38 m, c = 50 m, a = 42 m.
c) b = 17 m, c = 15 m, A = 48º.
Solución:
12 7  7 sen 85º 
  B  arcsen   35º31'44''
sen 85º senB  12 
a) Por el teorema del seno: .
C = 180º - 85º - 35º31'44'' = 59º28'16''.
12 c 12 sen 59º28'16''
 c   10,38m
sen 85º sen 59º28'16'' sen 85º
Por el teorema del seno: .

2.  382  502  422 
422  382  502  2·38·50cosA  A  arccos   54º59'33''
 2·38·50 
 
b) Por el teorema del coseno: .
42 38  38 sen 54º59'33'' 
  B  arcsen   47º49'21''
sen 54'59'33'' senB  42 
Por el teorema del seno: .
C = 180º - 54º59'33'' - 47º49'21'' = 77º11'6''.
a2  172  152  2·17·15cos 48º  172,74  a  13,14m
c) Por el teorema del coseno: .
13,14 17  17 sen 48º 
  B  arcsen   74º2'22''
sen 48º senB  13,14 
Por el teorema del seno: .
C = 180º - 48º - 74º2'22'' = 57º57'38''.
5 Un faro tiene una altura de 20 m. Desde lo alto del faro el ángulo de depresión de un barco es 35º. ¿A qué
distancia de la base del faro está el barco?
Solución:
Como el ángulo de depresión (ángulo que forma la visual con la horizontal) es de 35º,
20 20
tg 35º  x  28,56m
x tg 35º
.
6 Desde un barco, el ángulo de elevación hasta la luz de un faro a 100 m sobre el nivel del mar es 20º. Calcula
la distancia a la que se encuentra el barco del faro.
Solución:
100 100
tg 20º  x  274,74m
x tg 20º
.
7 Halla x e y en los siguientes triángulos:
a) b)
Solución:
5 5
tg 28º  z  9,40 cm
z tg 28º
a) Si la base del triángulo es z: .
y x
sen 28º   y  9,4 sen 28º  4,41cm cos 28º   x  9,4 cos 28º  8,30 cm
9,4 9,4
Por tanto: y .
x
sen 34º   x  72 sen 34º  40,26m
72
b) Como el ángulo comprendido entre 72 e y es 90º - 56º = 34º, entonces:
y
cos 34º   y  72 cos 34º  59,69m
72
y .

3. 8 Calcula x en el siguiente triángulo:
Solución:
h
sen 59º   h  65 sen 59º  55,72m
65
Llamando h a la altura: .
x  55,72  182  190,34m
2 2
Por el teorema de Pitágoras: .
9 Las torres Kio de Madrid tienen forma de romboide. Si la longitud de la base fuera 40 m, la altura 82 m y el
ángulo que el lado inclinado forma con el suelo 74º, determina a qué distancia de la base del bloque
golpearía el suelo una piedra que se dejara caer desde el borde de la azotea.
Solución:
82 82
tg 74º  x  23,51m
x tg 74º
.
10 Un globo pasa por encima de un observador al ir de un punto A a otro B separados 2 km. Los ángulos de
elevación del globo en esos puntos son 23º y 42º. ¿A qué altura va el globo?
Solución:
Se forma el siguiente triángulo:

tg90  23  h
x
 x  h·tg 67º
  
tg90  42  2  x h·tg 48º  2  h·tg 67º

 htg 48º tg 67º  2  h 
h 2
 0,577km
tg 48º tg 67º
.
11 Calcula los ángulos A, B y C en el siguiente triángulo:
Solución:

4. Por el teorema del coseno:
 882  942  1022 
1022  882  942  2·88·94cosA  A  arccos   68º4'49''
 2·88·94 
 
.
 102  94  88
2 2 2 
882  1022  942  2·102·94cosB  B  arccos   53º9'57''
 2·102·94 
 
.
C = 180º - 68º4'49'' - 53º9'57'' = 58º45'14''.
12 Resuelve un triángulo sabiendo que dos lados miden 5 y 7 m y su ángulo comprendido 37º.
Solución:
a2  52  72  2·5·7cos 37º  a  18,09  4,25 m
El lado a que falta se calcula aplicando el teorema del coseno: .
El ángulo B opuesto al lado de 5 m se calcula aplicando el teorema del seno:
5 4,25  5 sen 37º 
  B  arcsen   45º4'26''
senB sen 37º  4,25 
.
El ángulo que falta es: C = 180º - 37º - 45º4'26'' = 97º55'34''.
13 El alzado de un granero es el que aparece en la figura. Determina su altura máxima.
Solución:
Tomando el triángulo rectángulo que forma medio tejado, y llamando h a su altura:
h
tg(140  90)   h  4 tg 50º  4,77 m
4
de alto tiene el tejado.
Añadiendo los 3 m de la pared, la altura máxima es de 4,77 + 3 = 7,77 m.
14 ¿Qué triángulo tiene área mayor?
Solución:
h1
sen 60º   h1  65 sen 60º  56,29m
65
La altura h1 del primero es: .
En el segundo triángulo, el ángulo A comprendido entre los lados de 65 y 80 m se calcula aplicando el teorema del

5. 80 65  65 sen 60 
  B  arcsen   44º43'13''
sen 60º senB  80 
seno: y por tanto A = 180º - 60º - 44º43'13'' = 75º16'47''.
h2
sen 75º16'47''   h2  65 sen 75º16'47''  62,87m
65
La altura h2 del segundo es: .
El segundo triángulo es el que tiene más área, pues tienen la misma base y el segundo tiene mayor altura.
15 Te encuentras situado en el vértice de un triángulo del que conoces la amplitud del ángulo en que se
encuentra, 56º, y la medida de los dos lados que lo forman, 42 y 52 m. ¿Puedes calcular el área?
Solución:
h
sen 56º   h  42 sen 56º  34,82m
42
Si consideramos como base el lado de 52 m y llamamos h a la altura: ,y
52·34,82
A  905,32m2
2
por tanto el área es .
16 Calcula a y b en el siguiente triángulo:
Solución:
El ángulo que falta es 180º - 49º - 60º = 81º.
a b 12 12 sen 60º 12 sen 49º
  a  10,52m b  9,17 m
sen 60º sen 49º sen 81º sen 81º sen 81º
Por el teorema del seno: y .
17 Dos focos situados en el suelo a una distancia de 250 m iluminan a la vez un helicóptero en vuelo. El
primero emite luz con un ángulo de 32º con la horizontal y el segundo con un ángulo de 48º. ¿A qué altura
está el helicóptero?
Solución:
Si h es la altura y x es la distancia de la proyección del helicóptero con el primer foco, tenemos:
  h
x  tg 32º
h
tg 32º  x
  250 tg 48º
  h  99,97m
tg 48º  h  250  h  tg 48º  h
  1
tg 48º

 250  x  tg 32º  tg 32º
 
.
18 Determinar el área de un terreno triangular cuyos lados miden 70, 60 y 45 m.
Solución:
70  60  45
 87,5 m
2
Por la fórmula de Herón, como el semiperímetro es , el área es
A  87,5·87,5  70··87,5  60··87,5  45  1337,78m2

.

6. 19 Un camión de mudanzas debe transportar un listón de 4,5 m de largo. Si la parte destinada a la carga tiene
forma de ortoedro cerrado de dimensiones 3,5 x 2,5 x 2 m, ¿se podrá transportar el listón?
Solución:
x2  3,52  2,52  22  x  22,5  4,74 m
Hay que calcular la diagonal x del ortoedro: .
Por tanto, sí entra el listón de 4,5 m.
20 En un triángulo B = 72º12'46'' y dos de sus lados miden a = 12 m, c = 7 m . Calcula el área del triángulo sin
determinar más elementos del triángulo. Después usa el teorema del coseno para calcular b.
Solución:
h
sen 72º12'46''   h  12 sen 72º12'46''
12
La altura h se calcula así: , por lo que el área es
7·12 sen 72º12'46''
A  33,99m2
2
.
b  12  7  2·12·7cos 72º12'46''  b  141,68  11,90m
2 2 2
.
21 Desde un pico se ven dos pueblos A y B. Sabiendo que la distancia que los separa es 1400 m y las visuales
desde la cumbre son las del dibujo, determina la altura del pico.
Solución:
Llamando h a la altura del pico y x a la distancia de A a la proyección de la cumbre:
  h
x  tg 27º35'
h
tg 27º35' x
  1400 tg 15º
  h  770,13m
tg 15º  h 1400 

h 
 tg 15º  h 1
tg 15º

 1400  x  tg 27º35' tg 27º35'
 
.
22 Calcula el área del siguiente triángulo:
Solución:
Llamando h a la altura y x a la distancia entre A y el pie de la altura, tenemos:

7.   h
x  tg 50º
h
tg 50º  x
  72 tg 46º
  h  39,38cm
tg 46º  h  
 72  h  tg 46º  h tg 46º
1

 72  x  tg 50º  tg 50º
 
, por lo que el área es
72·39,38
A  1417,68cm2
2
.
23 En un triángulo A = 62º, B = 85º y a = 12 m. Calcula empleando el teorema del seno la medida de b. ¿Cuánto
mide c? ¿Y el área?
Solución:
b 12 12 sen 85º
 b  13,54m
sen 85º sen 62º sen 62º
.
Como C = 180º - 62º - 85º = 33º, entonces:
c 12 12 sen 33º
 c   7,40 m
sen 33º sen 62º sen 62º
.
h 7,40·11,95
sen 85º   h  12 sen 85º  11,95m A  44,215m2
12 2
La altura h sobre el lado c es: , y el área es .
24 Calcula el área del romboide del dibujo:
Solución:
h
sen 62º   h  25·sen 62º  22,07cm
25
Si h es la altura del romboide: .
37 25 25 sen 62º
  senA   0,5966
sen 62º senA 37
Si A es el ángulo que forma la diagonal con la base:
 A  arcsen 0,5966  36º 37' 33' '
.
B  180º62º36 º37' 33' '  81º 22' 27' '
Si B es el ángulo que forma la diagonal con el lado oblicuo: .
b  25  37  2·25·37cos 81º22'27''  1716,53 b  41,43cm
2 2 2
Si b es la base del romboide: .
2
Por último, el área es b · h = 41,43 · 22,07 =914,3601cm .
25 Calcula a en el siguiente triángulo:

8. Solución:
x
cos 38º   x  85 cos 38º  66,98cm
85
Si llamamos x a la distancia entre A y el pie de la altura: , por lo que AB =
66,98 + 94 = 160,98 cm.
a2  160,982  852  2·160,98·8 cos 38º  a  11574,39  107,58cm
5
Por el teorema del coseno: .