1. 1 Minimizar la función F(x,y)=x+4y sobre la región delimitada por el sistema:
x  2y  1 
 
3x  2y  2
 
x  0 
y  0
 

Solución:
Es una región abierta. Los puntos críticos son A(0,1), B(0,5; 0,25) y C(1,0). El valor mínimo se tiene para C.
2 Un almacén de ropa tiene 70 camisetas, 120 camisas y 110 pantalones. Pone a la venta el lote A (2 camisas,
1 pantalón y una camiseta) que se vende a 36 euros y el lote B (1 camisa, 2 pantalones y una camiseta) que
se vende a 42 euros. Calcular el número de lotes que debe hacer de cada clase para que el beneficio sea
máximo y calcularlo.
Solución:
Hay que maximizar F(x,y)=36x+42y con las siguientes condiciones:
2 x  y  120
 
x  2 y  110
x  y  70 
 
Puntos críticos en A(0,55), B(30,40), C(50,20) y D(60,0). La mejor es B
3 Un comerciante acude a un mercado a comprar naranjas con 500 euros y una furgoneta de 700 kgs de
capacidad. Las del tipo A las compra a 0,5 euros y las vende a 0,8 y las del tipo B las compra a 0,58 y las
vende a 0,9. Hallar el reparto de la compra para que el beneficio sea máximo.
Solución:
Hay que maximizar F(x,y)=0,3x+0,32y con las condiciones siguientes:
0,5 x  0,58 y  500
 
x  y  700 
Puntos críticos en A(700,0) y B(0, 700). Mejor es B
4 Maximizar la función F(x,y)=2350x-2690y sobre la región delimitada por el sistema:
x  y  100
x  3y 
 
 
x  0 
y  0
 

Solución:
La región es el triángulo O(0,0), A(100,0) y B(75,25). El valor máximo está en A.
5 Maximizar la función F(x,y)=6x+y sobre la región delimitada por el sistema:

2.  2x  9y  0
5x  y  47 
 
 
x  2y  22 
x  0
 

Solución:
La región es un cuadrilátero de vértices A(0,11), B(8,7), C(9,2) y O(0,0). El valor máximo es 56, que se obtiene en
el punto C.
6 Un club quiere organizar un viaje para 200 socios. Contratan una agencia que dispone de 4 microbuses de
25 plazas, 5 autobuses de 50 plazas y sólo 6 conductores. El alquiler de los autobuses es de 192 euros y el
de los microbuses 84. ¿Cómo debe hacerse el viaje para que el coste sea mínimo?
Solución:
F(x,y)=192x+84y. Las condiciones son las siguientes:
50 x  25 y  200
 
0  x  4 
 
0y5 
x  y  6
 

Puntos críticos A(2,4) y B(4,0). Mínimo en A
7 Un fabricante de salchichas utiliza 500 kgs de ternera, 300 kgs de cerdo y 400kgs de relleno. Las salchichas
del tipo A llevan 1 kg de ternera por paquete y las del tipo B llevan 500grs de cerdo, 250 grs de ternera y
250 de relleno. El beneficio es de 0,42 euros en las de tipo B y 0,48 en las de tipo A. Calcular el número de
paquetes de cada clase para que el beneficio sea máximo.
Solución:
Hay que maximizar F(x,y)=0,48x+0,42y con las condiciones siguientes:
 y 
x  4  500 
 
x  0
 

 y 
0  4  250
 
0  y  300 

 2 

Valores críticos A(350,600) y B(500,0). Máximo en A
8 Maximizar la función F(x,y)=2x+y sobre la región delimitada por el sistema:

3. 5x  7y  35 
6x  y  42 
 
 
3x  2y  36 
 2x  3y  15
 
Solución:
La región es un cuadrilátero de vértices A(7,0), B(8,6),C(6,9) y D(0,5). El valor máximo sale para el punto B.
9 Minimizar la función F(x,y)=20000x+16000y sobre la región delimitada por el sistema:
6x  2y  12 
2x  2y  8 

 

4x  12y  24
0  x  7 
 
0  y  7
 

Solución:
La región es un heptágono de vértices A(3,1), B(6,0), C(7,0), D(7,7), E(0,7), F(0,6) y G(1,3). El valor mínimo se
toma en el punto G.
10 Maximizar la función F(x,y)=4x+5y sobre la región delimitada por el sistema:
4x  3y  34
2x  y  2 
 
 
x  0 
y  0
 

Solución:
La región es un cuadrilátero de vértices A(0, 8,5), O(0,0), B(1,0) y C(4,6). La maximiza C
11 Un supermercado oferta el aceite C a 1,5 euros la botella y el D a 0,75 con las condiciones de que compre 6
botellas como mínimo y de que la cantidad de C esté comprendida entre la mitad y el doble que la de D.
Calcular cual será la mejor compra si disponemos de 18,75 euros.
Solución:
Maximizar F(x,y)=1,5x+0,7y con las siguientes condiciones:
 
1,5 x  0,7 y  18,75
 
x  y  6 
y 
  x  2y 
2 
Los valores críticos son A(6,12) y B(10,5). La mejor es A
12 Una fábrica de mermelada dispone de 400 kgs de azúcar y 900 de fruta. La lata A requiere 5 kgs de azúcar y

4. 10 de fruta y la lata B 1 kg de azúcar y 15 de fruta. Calcular la forma de envasar para que la ganancia sea
máxima, sabiendo que en la lata A se ganan 12 euros y en la B 6.
Solución:
Hay que maximizar F(x,y)=12x+6y con las siguientes condiciones:
5 x  y  400 
 
10 x  5 y  900
 220 100 
B , 
 3 3 
Los puntos críticos son A(0,180), y C(80,0). La A y la B.
13 Un orfebre tiene 1 kg de oro. Le encargan medallas de 2 tamaños con la condición de que el número de
pequeñas tiene que ser al menos el doble de las grandes y deben contener 50 y 100 grs de oro
respectivamente. El orfebre gana con 3 grandes lo mismo que con 4 pequeñas. Calcular el reparto para que
la ganancia sea máxima.
Solución:
4x y  2 x 
F(x, y)  y  
3 100 x  50 y  1000
Maximizar con las condiciones
Puntos críticos en A(0,20) y B(5,10). Lo mejor es A
14 Una carpintería produce mesas y sillas, que se venden a 12 y 18 euros respectivamente. Cada operario no
puede hacer más de 2 muebles al día, ni puede trabajar más de 10 horas al día. Cada mesa se tarda 2 horas
en hacer y cuesta 2,4 euros. Cada silla se tarda 3 horas y cuesta 1,2 euros. Cada operario dispone de 7,2
euros diarios para material. Calcular cuantas unidades de cada mueble debe fabricar diariamente un
operario para maximizar los ingresos.
Solución:
Hay que maximizar F(x,y)=12x+18y con las condiciones siguientes:
x  y  2 
 
2 x  3 y  10 
2,4 x  1,2 y  7,2
 
Los valores críticos son A(2,0) y B(0,2). Lo mejor es B
15 En un depósito caben 200 bidones, de los cuales siempre debe haber 10 de petróleo y 20 de gasolina como
mínimo, pero siempre 50 bidones como mínimo. Calcular el reparto para que el gasto de almacén sea
mínimo, sabiendo que un bidón de petróleo genera un gasto de 0,12 euros y uno de gasolina 0,18.
Solución:
Hay que minimizar G(x,y)=0,12x+0,18y con las condiciones siguientes:
x  10 
 
y  20 
50  x  y  200
 
Puntos críticos A(10,40) y B(30,20). Mínimo en B
16 En una farmacia se venden dos compuestos adelgazantes. El A contiene 30 mgs de vitaminas y 450
calorías cada 100 gramos. El B contiene 20 mgs y 450 calorías por cada 100 gramos. No se debe tomar
más de 150 mgs de mezcla ni menos de 50. No se debe tomar más de B que de A. No se deben tomar más
de 100 gramos de A. Crear las dosis del compuesto para obtener:
a) El preparado más rico en vitaminas.
El más pobre en calorías.

5. Solución:
a) Hay que maximizar la función F(x,y)=30x+20y con las siguientes condiciones:
50  x  y  150
 
y  x 
0  x  100 
 
Puntos críticos A(25,25), B(50,0), C(100,0), D(100,50) y E(75,75). Es mejor D
b) G(x,y) = 450x + 450y. Son mejores A y B
17 Con 80 kgs de acero y 120 de aluminio se quieren fabricar bicicletas de montaña y de paseo que se
venderán a 200 € y 150 € respectivamente. Para las de montaña se necesitan 1 kg de acero y 3 de aluminio,
mientras que la de paseo lleva 2 kgs de cada metal. Calcular cuantas bicis hay que hacer de cada tipo para
maximizar el beneficio.
Solución:
Hay que maximizar F(x,y)=200x+150y con las siguientes condiciones:
x  2 y  80 
 
3 x  2 y  120
Los puntos críticos son A(0,40), B(20,30) y C(40,0). La B
18 Optimizar F(x,y)=3x+2y en el recinto solución del sistema de inecuaciones
2y  x 
 
 y  2x  3
x  0 
 
Solución:
Pasemos 3x+2y=k por los puntos A(0,0), B(0,-3) y C(2,1). El máximo es el C y el mínimo es el B
19 En una urbanización se van a construir casas del tipo A y del tipo B. La constructora dispone de 10800000
euros y la construcción de A le cuesta 180000 y la de B 120000. Se exige por Urbanismo que no haya más
de 80 casas. Calcular el modo de construcción para un beneficio máximo, si en el tipo A gana 24000 y en el
B 18000 euros.
Solución:
Se trata de maximizar F(x,y)=24000x+18000y con las siguientes condiciones:
0,18 x  0,12 y  10,8
 
x  y  80 
x, y  N 
 
Los puntos críticos son A(0,90), B(20,60) y C(60,0).El mejor es A
20 Un cliente dispone de 18000 euros para un fondo de inversión. El fondo A tiene una rentabilidad del 12% y
una inversión máxima de 7200 euros. El fondo B renta un 8% sin limitación. Desea invertir en B, como
máximo, el doble de lo invertido en A. Calcular como debe hacer la inversión para obtener una ganancia
máxima.
Solución:
Hay que maximizar F(x,y)=0,12x+0,08y con las condiciones siguientes:
x  y  18000
 
x  7200 
y  2 x 
 
Puntos críticos A(6000, 12000) y B(7200, 10800). Inversión B

6. 21 Un ganadero quiere que sus vacas coman un mínimo de 24 unidades del pienso A y 25 del pienso B. En el
mercado está el compuesto C que tiene1 unidad de A y 5 de B y el compuesto D con 4 unidades de A y 1 de
B. El precio de C es 1 euro y el de D 3. Calcular como debe hacer la dieta el ganadero con un coste mínimo.
Solución:
Hay que minimizar la función F(x,y)=x+3y con las siguientes condiciones:
x  4 y  24
 
5 x  y  25
Puntos A(0,6), B(4,5) y C(5,0). Dieta B es la escogida
22 En una fábrica se construyen sillas grandes y pequeñas. Las grandes llevan 4 kgs de madera y las
pequeñas 3.Se necesitan al menos 3 sillas grandes y el doble de pequeñas que de grandes. Se dispone de
60 kgs de madera y se ganan 1,2 euros en las pequeñas y 1,8 en las grandes. Calcular como deben
fabricarse las sillas para que el beneficio sea máximo.
Solución:
Hay que maximizar F(x,y)=1,8x+1,2y con las siguientes condiciones:
4 x  3 y  60
 
y  2 x 
x  3 
 
Los vértices son A(3,6), B(6,12) y C(3, 16) y la solución óptima es B
23 Una empresa de catering debe diseñar un menú con 2 ingredientes que no contenga más de 30 grs de
grasa y al menos 110 kilocalorías por cada 100 gramos. El ingrediente A contiene 35 grs de grasa y 150
kilocalorías cada 100 gramos y el ingrediente B 15 y 100 respectivamente. El coste del A es de 0,9 euros por
cada 100 gramos y el del B 1,2euros cada 100 gramos. Determinar las proporciones de cada ingrediente
para que el coste sea mínimo.
Solución:
Hay que maximizar F(x,y)=0,9x+1,2y con las condiciones siguientes:
35 x  15 y  30 
 
150 x  100 y  110
x  y  1 
 
 3 1 1 4
A ,  y B , 
4 4 5 5
Los valores críticos son . La mejor es A
24 Disponemos de 90 toneladas de P, 90 de Q y 70 de R, que son los ingredientes para la fabricación de dos
tipos de piensos compuestos. El producto A lleva 2 toneladas de P, 1 de Q y 1 de R y se vende a 12 €. El
producto B lleva 1 tonelada de P, 2 de Q y 1 de R y se vende a 10 €. Calcular cuantas toneladas de cada
produto deben facturarse para tener el mayor beneficio.
Solución:
Hay que maximizar F(x,y)=12x+10y con las siguientes condiciones:
2 x  y  90
 
x  2 y  90
x  y  70 
 
Vértices A(0,45), B(30,30) y C(45,0). Sale la B
25 Un químico dispone de 80 litros de A y 120 litros de B. El perfume C se prepara con 3 partes de B y una de
A y el perfume D al 50% de ambos. Los frascos son de 4 litros. El perfume C se vende 30 euros y el D a 36.
Calcular el reparto para una venta máxima.

7. Solución:
Hay que maximizar F(x,y)=30x+36y con las siguientes condiciones:
3 x  2 y  80
 
x  2 y  120 
Vértices A(0,40) y B(20,0). El reparto A
26 Optimizar F(x,y)=y-x en el recinto solución del sistema de inecuaciones
 y   x  4
 y   x  2
 
 
y  x  2 
y  x  2 
 
Solución:
Pasemos y-x=k por los puntos A(2,0), B(3,1), C(1,3) y D(0,2). Los máximos son el A y el B y los mínimos son el C y
el D.
27 Un agricultor tiene 22 has de tierra cultivable, en las que va a sembrar cebada, sin límite, y patatas, con un
límite de 10 has. El coste de la cebada es de 420 euros por ha y 1260 el de la patata. Dispone de 15120
euros y la venta posterior le produce 1320 euros por ha la cebada y 2310 la patata. ¿Cuántas hectáreas ha
de sembrar por cultivo para maximizar el beneficio?.
Solución:
Hay que maximizar F(x,y)=1320x+2310y con las siguientes condiciones:
0  y  10 
 
 x  y  22 
420 x  1260 y  15120
 
A(6,10), B(15,7) y C(22,0). La B
28 Una campaña de publicidad consta de anuncios en televisión a 6000 euros por anuncio y de cuñas en radio
a 600 la cuña. El presupuesto es de 600000 euros y el número de cuñas ha de estar comprendido entre 50 y
100. Si se venden 10000 productos por anuncio y 2000 por cuña, calcular como debe hacerse la campaña
para obtener una venta máxima.
Solución:
Hay que maximizar F(x,y)=10000x+2000y con las siguientes condiciones:
6000 x  600 y  600000
 
50  y  100 
Puntos críticos A(0,100), B(90,100) y C(95,50). La solución es la B.
29 Un comerciante dispone de 500 jamones, 400 botellas y 225 queso para confeccionar lotes de los tipos A y
B. El lote A consta de un jamón y 2 botellas y el lote B de 2 jamones, 1 botella y un queso. Si por cada lote
A gana 12 euros y por cada B 18, calcular como debe distribuir los lotes
Solución:
Hay que maximizar F(x,y)=12x+18y con las siguientes condiciones:
x  2 y  500
 
2 x  y  400
y  225 
 
A(0,250), B(50,225), C(100,200) y D(200,0). Mejor el C

8. 30 Para abonar un terreno se necesitan 8 kgs de nitrógeno y 12 de fósforo como mínimo. Un producto M
cuesta 3 €/kg y contiene un 10% de nitrógeno y un 30% de fósforo. Un producto N cuesta 4 €/kg y contiene
un 20% de cada elemento. Minimizar el gasto.
Solución:
Hay que minimizar F(x,y)=3x+4y con las siguientes condiciones:
0,1x  0,2 y  8 
 
0,3 x  0,2 y  12
Puntos críticos: A(0,60), B(20,30) y C(80,0). La B.
31 Un terreno de 700 metros de perímetro quiere cerrarse con una malla metálica. Disponemos de 15 rollos de
35 y 8 de 55 metros que sólo se venden enteros. Calcular el modo de que sobre el mínimo número de
metros de malla.
Solución:
Hay que minimizar F(x,y)=35x+55y-700 con las siguientes condiciones:
35 x  55 y  700
 
0  x  15 
0  y  8 
 
Puntos críticos A(14,4), B(12,5), C(11,3) y D(9,7). El mejor es D
32 Las 20 chicas y los 10 chicos de un curso necesitan dinero para un viaje.Por las tardes trabajan en equipo.
El equipo del tipo A lo forman una chica y un chico y el del tipo B tres chicas y un chico. El tipo A gana 30
euros y el tipo B 50. Organizar los equipos para que ganen el máximo de dinero.
Solución:
Hay que maximizar F(x,y)=3x+5y con las condiciones siguientes:
x  0 
 
 y0 
 
 x  3 y  20
x  y  10 
 
Puntos críticos A(5,5) y B(10,0). El mejor el A
33 Una fábrica de dulces tiene 200 kgs de polvorones, 130 de mantecadas y 104 de roscones. Se lanzan al
mercado dos tipos de surtidos. El primero se vende a 2,7 euros y lleva 150 gramos de polvorones, 100 de
mantecadas y 80 de roscones. El segundo se vende a 3,36 euros y consta de 200 gramos de polvorones,
100 de mantecadas y 100 de roscones. Si sólo dispone de 1200 cajas, calcular como debe fabricar los
surtidos para ganar lo máximo.
Solución:
Hay que maximizar F(x,y)=2,7x+3,36y con las siguientes condiciones:
150 x  200 y  200000
 
100 x  100 y  130000
 
80 x  100 y  104000 
x  y  1200
 

Vértices A(800,400) y B(920,280). La A es la más conveniente