1. 1 En una división por el método de Ruffini se han borrado algunos de los coeficientes, quedando:
1 0 9 0 2 6
     
    2 
Si sabemos que la división es exacta, ¿puedes reconstruirla, y escribir los polinomios dividendo, divisor y
cociente?
Solución:
Como la división es exacta, el último coeficiente de la tercera fila es cero, y el que está encima de él debe ser 6.
Entonces el coeficiente del divisor, el primero de la segunda fila debe ser 3, pues, al multiplicarlo por 2 resulta
6.
Ahora, solamente consiste en continuar con el método.
Los polinomios pedidos son:
D( x )  x 5  9x 3  2x  6, d ( x )  x  3, C( x )  x 4  3x 3  2 y R( x )  0
2 Calcula la siguiente potencia:
(3 x  2)y  x (3y  5)3
Solución:
En primer lugar, operamos en la base y simplificamos: 3xy  2y  (3xy  5x) = 5x  2y.
(5 x  2y )3  (5 x  2y )(5 x  2y )2  (5 x  2y )(25 x 2  20 xy  4y 2 ) 
125 x 3  100 x 2 y  20 xy 2  50 x 2 y  40 xy 2  8y 3  125 x 3  150 x 2 y  60 xy 2  8y 3 .
3 Divide los siguientes polinomios:
a) (6 x 3  3 x 2  9 x ) : 3 x
b)  4 x 6  4 x 4  6 x 5  : 2 x 3
Solución:
a) Cada monomio del polinomio es divisible por el monomio, resultando:
2x2  x  3
.
b) Cada término del polinomio es divisible por el monomio. Obtenemos:
2x 3  2x  3 x 2 .
4 Efectúa los siguientes productos y reduce los términos semejantes:
(x  2) (2x + 1)  (x  1) (x + 2)
2
a)
b) (x + 2y) (3x  y + 3xy  1)
Solución:
a) 2x 2  x  4 x  2  ( x 3  2x 2  x  2)   x 3  2x
b) 3 x 2  xy  3 x 2 y  x  6 xy  2y 2  6 xy 2  2y  3 x 2 y  6 xy 2  3 x 2  5 xy  2y 2  x  2y
5 Efectúa las siguientes divisiones utilizando el método de Ruffini:

2. a) ( x 4  3 x 2  5 x  8) : ( x  2)
b) ( x 6  3 x 4  5 x 2  4) : ( x  2)
Solución:
a) 1 0 3 5 8
2 2 4 2 6
C( x ) 1 x 3  2 x 2  x  3 y R( x  14
 2 1 3 ) 14
b) 1 0 3 0 5 0 4
2 2 4 2 4 2 4
1 2 1 2 1 2 0
C( x )  x 5  2x 4  x 3  2x 2  x  2 y R( x )  0
, R(x) = 0.
6 Divide los siguientes polinomios:
(2 x 3  4 x 2  3) : ( x 2  2).
Solución:
2x 3  4 x 2  0 x  3 x2  2
2x
3
+ 4x 2x + 4
4x 2  4x  3
4x
2
+8
4x + 5
Es decir: C(x) = 2x + 4, R(x) = 4x + 5.
3 2 2
7 Nos dicen que al efectuar la división (2x + 5x + 3x + 2) : (x + 3x + 1), se ha obtenido como cociente C(x) =
2x  1 y como resto R(x) = 4x + 3. Comprueba si son correctos los resultados sin efectuarla.
Solución:
Utilizamos la ley de la división entera para comprobar si son correctos los cálculos:
D(x) = C(x) d(x) + R(x) = (2x  1) (x + 3x + 1) + 4x + 3 = 2x + 6x + 2x  x  3x  1 + 4x + 3 = 2x + 5x +3x + 2
2 3 2 2 3 2
La última expresión coincide con el dividendo, luego son correctos los cálculos.
8 Calcula las siguientes potencias:
a) ( xy )2 ( x 2 y )3
2 x  25 
4 2
b)
Solución:
a) (  xy )2 ( x 2 y )3  ( 1)2 x 2 y 2 x 6 y 3  x 8 y 5
2 x  25    24 x   2  24 x  25   25   28 x  210 x  210
4 2 2 2
b)

3. 9 Efectúa las siguientes operaciones:
a) 2 x 4  (3 x 3  ( x 2  2 x ))  1
b) ( x 3  x  1)  (( x 2  x  1)  ( x 3  x 2  1))  ( x 3  x 2  x )
Solución:
a) 2x 4  3 x 3  x 2  2x  1
b) x 3  x  1  x 2  x  1  x 3  x 2  1  x 3  x 2  x  3x 3  3x 2  3x  3
10 1 3 2
Si dividimos el monomio M entre 3x2 y obtenemos como cociente x y ,
2
calcula el monomio M.
Solución:
El monomio M, el dividendo, es el producto del cociente por el divisor:
1 3
M  3x 2 y  x 3 y 2  x 5 y 3
2 2
11 Calcula las siguientes potencias y reduce los términos semejantes:
( x  3)2  (2 x  5)2  (4  3 x )2 .
Solución:
Desarrollamos los tres binomios y agrupamos los términos.
( x  3)2  (2x  5)2  (4  3x )2  x 2  6 x  9  4 x 2  20 x  25  (16  24 x  9 x 2 )  4 x 2  38 x  18
12 Efectúa las siguientes operaciones:
a) ( x 3  2 x 2  8)  ( x 4  3 x 3  5)  ( x 4  4 x 2  5 x )
b) 10a2 b  3ab2  (a2 b  2ab2 )  (a2 b  5ab2 )
Solución:
a) x 4  x 4  4 x 3  6 x 2  5 x  3  4 x 3  6 x 2  5 x  3
b) 10a2 b  3ab2  a2 b  2ab2  a2 b  5ab2  10a2 b  10ab2
13 Efectúa las siguientes divisiones utilizando el método de Ruffini:
a) (2 x 5  9 x 3  20 x 2  13) : ( x  3)
b) (3 x 4  6 x 3  10 x 2  9) : ( x  3)
Solución:
a) 2 0 9 20 0 13
3 -6 18  27 21  63

4. C( x )  2x 2  6 36 9x 2 9 7x 7 y21( x   50
4
x   21 R ) 50
b) 3  6  10 0 9
3 9 9 3 9
C( x )  3x 3  3x 23 x  3 y  ( x )  00
3 1 R3
14 El siguiente esquema corresponde a la división de dos polinomios utilizando el método de Ruffini. Escribe
los polinomios dividendo, divisor, cociente y resto, y compruébala con la regla fundamental de la división
3 0 0 0 2 1
1 3 3 3 3 5
3 3 3 3 5 4
Solución:
Los polinomios son:
D( x )  3x 5  2x  1 d ( x )  x  1
, , C( x )  3x 4  3x 3  3x 2  3x  5 y R( x )  -4
Se debe cumplir: D(x) = C(x) d(x) + R(x). Operamos:
(3 x 4  3 x 3  3 x 2  3 x  5)( x  1)  ( 4)  3 x 5  3 x 4  3 x 3  3 x 2  5 x  3 x 4  3 x 3  3 x 2  3 x  5  4 
3 x 5  2x  1.
que, efectivamente, es el dividendo.
15 Efectúa los siguientes productos y reduce los términos semejantes:
a) (x + y) (x + z)  (x- y) (x  z)
b) (2x + y  2z) (2x  y + 2z)
Solución:
a) x2 + xz + xy + yz - (x2 - xz - xy + yz) = 2xy + 2xz
b) 4 x 2  2xy  4xz  2xy  y 2  2yz  4xz  2yz  4z 2  4x 2  y 2  4yz  4z 2
16 1 3 3 1 2
Dados los polinomios P ( x )  x  x  2 y Q( x )  x 2  x  5. Calcula:
2 2 3 3
a) 4P(x) + 3Q(x)
b) 2P(x)  6Q(x)
Solución:
1 3  1 2 
a) 4  x 3  x  2   3  x 2  x  5   2x 3  x 2  4 x  23
2 2  3 3 
1 3 3  1 2 2 
b) 2  x  x  2   6  x  x  5   x 3  2x 2  7 x  26
2 2  3 3 
17 El cociente entre un polinomio y el monomio 3x3 es C(x) = 2x3 + 3x2  x + 1, y el resto es R(x) = 2x2  x + 1.
¿De qué polinomio se trata?
Solución:

5. La relación fundamental de la división nos da el polinomio pedido:
D(x) = C(x) d(x) + R(x)
(2x 3  3x 2  x  1)(3x 3 )  (2x 2  x  1)  6x 6  9x 5  3x 4  3x 3  2x 2  x  1
18 Halla el polinomio que hay que restar a P ( x )  x 5  3 x 3  5 x 2  1, para
obtener Q( x )  2 x 5  4 x 4  5 x 2  3.
Solución:
Nos piden R(x) para que P(x)  R(x) = Q(x).
Despejamos y sustituimos los polinomios:
R( x )  P( x )  Q( x )  x 5  3x 3  5x 2  1  (2x 5  4x 4  5x 2  3)  x 5  4x 4  3x 3  4
19 Efectúa las siguientes divisiones, indicando el cociente y el resto:
a) (18 x 6  27 x 5  9 x 4  6 x 3  8) : 3 x 3
b) (24 x 4  12 x 3  6 x 2  2 x  8) : 2 x 2
Solución:
a) No es necesario el esquema de la división, se observa que todos los términos del polinomio son divisibles por
el
monomio salvo el término independiente, luego:
C( x )  6x 3  9x 2  3x  2 y R( x )  8
b) Razonando como en el apartado anterior, tenemos:
C( x )  12x 2  6x  3 y ( x )  2x  8
20 Dividiendo por el método de Ruffini, comprueba que las siguientes divisiones son exactas:
a) ( x 4  34 ) : ( x  3)
b) ( x 5  35 ) : ( x  3)
Solución:
3
4
a) 1 0 0 0
3 3 3
2 3 4
3 3
3 3
2 3
1 3 0
5
b) 1 0 0 0 0 3
3 3 3 3
2 3 4 5
3 3
3 3
2 3 4
1 3 3 0
Luego, en ambos casos es correcta la afirmación.
21 Utilizando el método de división de Ruffini, calcula el valor de a para que el resto de la siguiente división
sea 25:
(x 4  6x3  4x2  a) : (x  5).
Solución:

6. La división por Ruffini es:
1 6 4 0 a
5 5 5 5  25
1 1 1 5 a  25
Igualamos el resto a 25: R(x) = a  25 = 25, luego, a = 50.
22 Efectúa las operaciones P + Q  3R y P  2 (Q  R), siendo:
3 4 1 4 2 3
P x  2x 2  x 3 , Q x  3x  3x 3 , R  x 2  2x  x
2 2 3
Solución:
3 4 1
a) P  Q  3R  x  2x 2  x 3  x 4  3 x  3 x 3  3 x 2  6 x  2x 3  2x 4  x 2  3 x
2 2
3 1 2  3 14 3
b) P  2 Q  R   x 4  2x 2  x 3  2  x 4  3 x  3 x 3  x 2  2x  x 3   x 4  2x 2  x 3  x 4  x  2x 2  2x 
2  2 3  2 3
1 4 17 3
x  x  4 x  2x
2
2 3
23 Dados los polinomios P ( x )  3 x 3  4 x 2  8, Q( x )  x 3  2 x 2  5 x  7 y R ( x )  3 x 3  8 x  11.
Calcula un polinomio S(x) que sumado con el opuesto de R(x) resulte un polinomio igual
a dos veces la dieferencia entre P(x) y Q(x).
Solución:
Planteamos la condición del enunciado: S(x) + ( R(x)) = 2(P(x)  Q(x))
Despejando el polinomio pedido: S(x) = 2P(x)  2Q(x) + R(x)
Sustituyendo:
S( x )  6x 3  8x 2  16  2x 3  4x 2  10x  14  3x 3  8x  11  7x 3  12x 2  2x  13
24 x 4  3 x 3  3 x 2  5 x  2.
Dados los polinomios P y Q , hallar a y b para que su suma sea:
P ( x )  x 4  ax 3  2 x  8 y Q( x )  2 x 3  3 x 2  bx  6
Solución:
Sumamos los polinomios:
P( x )  Q( x )  x 4  (a  2)x 3  3x 2  (b  2)x  2  x 4  3x 3  3x 2  5x  2
Igualamos los coeficientes de igual grado: a + 2 = 3  a = 1, b  2 = 5  b = 3
25 Utilizando el método de división de Ruffini, calcula el valor de a para que el polinomio cociente de la
siguiente división no tenga término independiente:
(x 4  2x3  x2  ax  5) : (x  3)
¿Cuánto vale el resto?
Solución:
La división por Ruffini es:
1 2 1 a 5

7. 3 3 3  6 18 3a
1 1 2 a  6 23 3a
El polinomio cociente es:
C( x )  x 3  x 2  2x  a  6
Se pide: a  6 = 0, luego, a = 6.
El resto pedido es: R(x) = 23  3a = 5.
26 Calcula el valor de a para que la división sea exacta.
(2 x 4  6 x 3  x 2  3 x  a) : (2 x 2  1)
Solución:
Realizamos 3la división:
2x 4  6 x  x 2  3 x  a 2x 2  1
2x 4  x2 x2  3 x
 6x 3  0x 2  3x  a
6x 3  3x
a
Para que R(x) sea nulo, a = 0.
27 Efectúa las operaciones que se indican, y reduce los términos semejantes:
a) (2 x  y )   x  (3 x  2y )  ( x  2y )
b)  x 2  ( x 3  x  2)  2( x 4  2 x 3  5)
Solución:
a) 2x  y  x  3 x  2y  x  2y   x  y
b) ( x 2  x 3  x  2  2x 4  4 x 3  10)  2x 4  5 x 3  x 2  x  8
28 En una división por el método de Ruffini se han borrado algunos de los coeficientes, quedando:
2 1 0 5 3
    
 3   
¿Puedes reconstruir la división, y escribir los polinomios dividendo, divisor, cociente y resto?
Solución:
Según la regla de Ruffini, el número del segundo cuadro de la segunda fila es un 4, y el primero de la tercera fila es
un 2. Éste por el primero de la segunda fila debe darnos 4, luego, el primero de la segunda fila es 2. Ahora,
solamente4 esx 3  5x  3,con x )  x  2, C( x ) polinomios2pedidos son: x )  11
D( x )  2x  continuar d ( el método. Los  2x 3  3x  6x  7, R(
29 Efectúa los siguientes productos y reduce los términos semejantes:
 1
a) (2 x  4)  x 2    (2 x  4)(1  x 2 )
 2
b) ( x  y )( x 2  xy  1)  ( x  y )( xy  y 2  1)

8. Solución:
a) El primer paréntesis es factor común:
 1   1
(2x  4)  x 2   1  x 2   (2x  4)  2x 2    4 x 3  8 x 2  x  2
 2   2
b) El primer paréntesis es común:
( x  y )( x 2  xy  1  xy  y 2  1)  ( x  y )( x 2  2xy  y 2 )  x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3
30 Calcula el cociente y el resto en las siguientes divisiones, utilizando el método de Ruffini:
 1
a) (4 x 3  8 x 2  x  2) :  x  
 2
 2
b) (3 x  2 x  x  x  1) :  x  
4 3 2
 3
Solución:
4 8 1 2
1/2 2 3 2
4 6 4 0
C( x )  4x 2  6x  4, R(x)  0
3 2 1 1 1
2/3 2 2/3 2/9
0
7
C( x ) 3 x  0  1 3, R( x )  7/9
3 3
x 1 1/3
9
31 En una división de polinomios el cociente es x 2  x  2, y el resto es R( x )  4 x  4.
Si el dividendo es el polinomio x 4  x 2 , ¿qué polinomio es el divisor?
Solución:
C( x)d( x)  x4  x2  (4x  4).
De la relación fundamental de la división: D(x) = C(x) d(x) + R(x), obtenemos:
Dividiendo la última expresión por el polinomio cociente, obtenemos el divisor:
x 4  0x 3  x 2  4x  4 x4  x2
x 4  x 3  2x 2 x2  x  2
 x3  x 2  4 x  4
 x3  x2  2x
2x2  2x  4
 2x2  2x  4
0
El polinomio divisor es: d ( x )  x 2  x  2
32 El volumen de un ortoedro viene dado por el polinomio V(x) = x 3 + 2x2  x  2, y su altura por H(x) = x  1.
¿Qué polinomio nos da el área de la base? Si uno de los lados de la base es x + 2, ¿qué polinomio nos da el

9. otro lado?
Solución:
La base pedida será el cociente entre el volumen y la altura dados:
x 3  2x 2  x  2 x 1
x  x
3 2
x 2  3x  2
3x 2  x  2
3x 2  3x
2x 2
 2x +2
0
La base, por tanto es: B( x )  x 2  3x  2.
Si uno de los lados del rectángulo base es x + 2, de nuevo el cociente nos da el otro:
x 2  3x  2 x 2
x 2  2x x+1
x+2
x 2
0
Las tres aristas del ortoedro son: x + 1, x + 2 y x  1.
33 Divide los siguientes polinomios:
(x6  4x 4  2x3  4x) : (x3  2x  1)
.
Solución:
x 6  0 x 5  4 x 4  2x 3  0 x 2  4 x  0 x 3  2x  1
x 6  2x 4  x3 x3  2x  1
2x 4  x3  0x2  4x  0
2x 4  4 x 2  2x  0
0x4  x3  4x2  2x  0
x3  2x  1
4x 2
1
Es decir, C( x )  x 3  2x  1 y R( x )  4x 2  1
34 Utilizando el método de división de Ruffini, calcula el valor de a para que la siguiente división sea
exacta:
(3 x 4  2 x 3  8 x 2  x  a) : ( x  2)
Solución:
La división por Ruffini es:
3 2  8 1 a
2 6 8 0 2
3 4 0 1 a+2
Para que sea exacta: R(x) = a + 2 = 0, luego a =  2.
35 Efectúa las operaciones PQ + 2PR + QR, siendo:
P ( x )  3 x 2  x  1, Q( x )  x 2  5 x  1, R( x )  2 x 2  5 x  5

10. Solución:
Si sacamos factor común podemos mitigar el cálculo laborioso que se nos pide:
PQ  PR  PR  QR  P (Q  R )  R(P  Q)  (3x 2  x  1)(3x 2  4)  (2x 2  5 x  5)(4 x 2  6 x )  9 x 4  3 x 3  3 x 2 
12x 2  4 x  4  8 x 4  12x 3  20 x 3  30 x 2  20x 2  30x  17x 4  5x 3  5x 2  34x  4
36 Efectúa los siguientes productos notables:
a)  2 x 2  3y 3  2 x 2  3y 3 
 2 1  2 1
b)  x  y   2   x  y   2 
  
Solución:
a) Se trata del producto de una suma por una diferencia:
       3y 
2
3 2
2 x 2  3y 3 2 x 2  3y 3  2x 2  2x 4  9y 6
b) El paréntesis es uno de los términos de la suma por la diferencia.
2
 2 1  1  1
 x  y     x 2  y      x 2  y      x 4  2 x 2 y  y 2 
2 1
 2  2 2 4
37 En una división por el método de Ruffini se han borrado los números de la primera fila, quedando:
    
2 4 8 8 10
2 4 4 5 15
¿Puedes reconstruir la primera fila, y escribir los polinomios dividendo, divisor, cociente y resto?
Solución:
Según la regla de Ruffini, los números de la primera fila son los de la tercera menos los de la segunda.
También podemos calcularlos con la relación fundamental de la división:
D( x )  C( x )d ( x )  R( x )  (2x 3  4 x 2  4x  5)( x  2)  15  2x 4  4 x 2  13 x  25
38 Efectúa la siguiente potencia y reduce los términos semejantes:
3
 x  x 
 2  2y   2  2y  
  
Solución:
La base de la potencia es el producto de una suma por una diferencia:
2
x  x  x
  2y   2y      4y
2
 2  2   2
La potencia pedida es:

11. 3
 x2   x2  x 4 
  4y 2     4y 2   2x 2 y 2  16y 4  
 4   4  16 
x6 x4y 2 x4y 2 x 6 3x 4 y 2
   4x y 
2 4
 8 x y  64y 
2 4 6
  12x 2 y 4  64y 6
64 2 4 64 4
39 Calcula a y b para que la siguiente división sea exacta:
(4 x 3  6 x 2  ax  b) : (2 x 2  1).
Solución:
Efectuamos la división arrastrando los coeficientes a y b, para igualar el resto de la misma a cero:
4x 3  6x 2  ax b 2x2  1
4x 3  2x 2x  3
6x2  (a  2)x  b
6x 2 3
(a+2)x+ (b+3)
Para que la división sea exacta: a + 2 = 0  a =  2, y b + 3 = 0 b =  3.
40 Divide los siguientes polinomios:
(9 x 4  4 x 2  4 x  1) : (3 x 2  2 x  1).
Solución:
9x 4  0x 3  4x 2  4x  1 3 x 2  2x  1
9x 4  6x 3  3x 2 3x 2  2x  1
6x 3  7 x 2  4 x  1
 6x3  4x2  2x
 3x2  2x  1
 3x2  2x  1
0
Es decir: C(x) = 3x + 2x  1, R(x) = 0, la división es exacta.
2
41 Hallar un polinomio S(x) que al sumarlo con P(x)=3x 3  2 x 2  2 x  3, resulte un
1 1
polinomio cuyos coeficientes sean los del a suma de Q( x )  x 3  x 
2 2
y el opuesto de P(x) multiplicados por dos.
Solución:
Planteamos la condición del enunciado: S(x) + P(x) = 2 (Q(x) - P(x))
Despejando el polinomio pedido: S(x) = 2Q(x)  3P(x)
Sustituyendo:
S( x )  2x 3  x  1  9x 3  6x 2  6x  9  7x 3  6x 2  5x  8

12. 42 3
¿Cuál es el dividendo de una división de polinomios, si el divisor es 2x + , el
2
5 1
cociente 4x 2 + 6x + y el resto ?
2 4
Solución:
La relación fundamental de la división nos da el dividendo pedido:
 5  3 1 15 1
D( x )  C( x )d ( x )  R( x )   4 x 2  6 x   2x     8 x 3  6 x 2  12x 2  9 x  5 x    8 x 3  18 x 2  14 x  4
 2  2 4 4 4
43 Efectúa las siguientes potencias:
  x 2 y 3 z 
2
a)
 
b) (2 x 2  x  23 )2
Solución:
  x 2 y 3 z   ( 1)3 x 2·3 y 3 z  2  ( 1)2 x12 y 6 z 2  x 12 y 6 z 2
2
a)    
 
b) (2x  x  2 )(2x  x  2 )  4 x 4  2x 3  24 x 2  2x 3  x 2  23 x  24 x 2  23 x  26  4 x 4  4 x 3  33 x 2  16 x  64
2 3 2 3
44 Calcula a para que la siguiente división sea exacta:
(4x3  6x2  ax  6) : (2x  3).
Solución:
Efectuamos la división arrastrando el coeficiente a:
4x 3  6x 2  ax  6 2x+3
a
4 x 3  6 x 2 2x 2 
2
ax  6
3
 ax  a
2
3
6 a
2
Para que la división sea exacta:
3
 6  a  0  a  4
2
.
El cociente sería: C( x )  2x 2  2
.
45 Halla a y b para que sea correcta la siguiente igualdad:

13. (2 x 3  2 x  3)(ax  b)  6 x 4  4 x 3  6 x 2  13 x  6
Solución:
Tenemos que multiplicar e igualar los coeficientes de igual grado de ambos polinomios:
(2x 3  2x  3)(ax  b)  2ax 4  2bx 3  2ax 2  (2b  3a)x  3b  6x 4  4x 3  6x 2  13x  6
2a  6

2b  4


2a  6

2b  3a  13

 3b  6

Igualando los coeficientes de igual grado :
En la primera, obtenemos a = 3; y en la segunda, b = 2; que también verifican las demás.
46 Halla a para que sea correcta la siguiente igualdad:
(2 x 2  ax  4)( x 2  ax  1)  2 x 4  9 x 3  3 x 2  15 x  4
Solución:
Tenemos que multiplicar e igualar los coeficientes de igual grado de ambos polinomios:
(2x 2  ax  4)( x 2  ax  1)  2x 4  2ax 3  2x 2  ax 3  a2 x 2  ax  4x 2  4ax  4  2x 4  3ax 3  (a2  6)x 2  5ax  4 
 2x 4  9 x 3  3 x 2  15 x  4
3a  9

Igualando los coeficientes de igual grado: a2  6  3
5a  15

En la primera a = 3, que también verifica las otras.
47 Calcula el valor de a para que el resto de la división (2x5  7x3 + 7x + a) : (x2  2) tenga los coeficientes
iguales.
Solución:
Realizamos la división:
2x 5  0 x 4  7 x 3  0 x 2  7 x  a x2  2
2x 5  4x 3 2x 3  3 x
3x 3  0x 2  7x  a
3x 3  6x
x +a
Para que los coeficientes de R(x) = x + a sean iguales: a = 1.
48 Una empresa tiene dos centros de montaje, A y B, de cierto producto industrial. El número de unidades
montadas en una jornada en el centro A está dado por  4t + 64t, donde t es el número de horas trabajadas,
2
y la producción de B es  t + 15t + 2t unidades en una jornada de t horas de trabajo. ¿Qué expresión da la
3 2
producción total? ¿Cuántas unidades monta la empresa durante 4 horas de trabajo? ¿Cuántas unidades se
montan en la cuarta hora de trabajo? ¿Cuándo se trabaja con más eficacia, en la primera hora o en la
cuarta?

14. Solución:
El número total de unidades montadas por la empresa lo dará la suma de los dos polinomios:
(4t 2  64t )  (t 3  15t 2  2t )  t 3  11t 2  66t
En cuatro horas de trabajo la producción es:
43  11 16  66  4  376 unidades.
En las tres primeras horas de trabajo se han montado:
27 + 99 + 198 = 270 unidades.
Luego en la cuarta hora se han montado:
376  270 = 106 unidades.
En la primera hora de trabajo se montaron:
1 + 11 + 66 = 76 unidades, luego, el rendimiento es superior en la cuarta hora.
49 Halla el binomio ax + b por el que se ha dividido P(x) = 3x3  7x2  9x + 9, sabiendo que el resultado exacto
ha sido: 3x + 2x  3.
2
Solución:
El dividendo es igual al cociente por el divisor cuando la división es exacta. Por lo tanto, ponemos:
(3x 3  7x 2  9x  9)  (3x 2  2x  3)(ax  b)  3ax 3  (2a  3b)x 2  (2b  3a)x  3b
3a  3
2a  3b  7

Igualanando los coeficientes de igual grado: 
2b  3a  9
3b  9

En la primera, obtenemos a = 1; y en la última, b = 3. Valores que verifican las otras dos ecuaciones. El
binomio, por lo tanto, es: x  3.
50 Dado el polinomio P(n) = n (n + 1) (2n + 1), justifica que P(n + 1)  P(n) es un múltiplo de 6.
Solución:
La expresión para P(n+1) es:
P(n+1) = (n + 1) (n + 2) (2n + 3).
Y la diferencia que plantea el problema:
P(n+1)  P(n) = (n + 1) (n + 2) (2n + 3)  n (n + 1) (2n + 1)
Sacando factor común y operando:
(n  1) (n  2) (2n  3)  n(2n  1)  (n  1)(2n 2 7n  6  2n 2  n )  6(n  1)(n  1)
Es decir, seis veces el cuadrado de un número, luego, es múltiplo de 6.
51 Calcula a, b y c para que sean correctas las siguientes divisiones indicadas:
a) (2ax 5  bx 3  2cx 2 ) : (3 x 2 )  4 x 3  5 x  1
b) (ax 2 y 3  3bx 2 y 2  cxy 3 ) : (2 xy 2 )  xy  2 x  3y
Solución:
a) Los exponentes de la x de los distintos términos nos los dan ajustados, solamente hay que igualar los
coeficientes de
igual grado:
2a b 2c 3
 4  a  6,  5  b  15,  1  c 
3 3 3 2

15. 2
b) Como anteriormente, debemos igualar los coeficientes en la división de cada monomio del polinomio por 2xy :
a 3b 4 c
 1  a  2,  2  b  ,  3  c  6
2 2 3 2
52 Completa las siguientes expresiones para que sean cuadrados perfectos:
a) 25 x 2  ...  36
b) x 4  18 x 2  ...
c) ...  40 x  25
Solución:
a) (5 x )2  ...  62. Falta el doble del producto de los términos 2  5 x  6  60 x, para tener (5 x  6)2 .
b) ( x 2 )2  2  9  x 2  ... Falta el cuadrado de 9 parta tener el cuadrado (x 2  9)2 .
c) ...  2  5  4 x  (5)2 . Falta el cuadrado de 4 x para tener el cuadrado (4 x  5)2 .
53 Dados los polinomios P(x) = 3x3 + 2x2  5, Q(x) = 4x3 + 3x + a y R(x) = x2 + bx + 2, sabemos que la suma de
P(x) con dos veces el opuesto de Q(x) menos R(x) solamente tiene términos de grado 3 y de grado 2.
Calcula a y b.
Solución:
Planteamos la condición del enunciado:
P(x) + 2 [(Q(x)  R(x)] = P(x)  2Q(x) + 2R(x),
no tiene términos de grado uno ni independiente.
Sustituyendo:
3x 3  2x 2  5  8x 3  6x  2a  2x 2  2bx  4  5x 3  4x 2  (2b  6)x  1  2a
Igualando a cero el coeficiente de x y el independiente:
2b  6 = 0  b = 3, 1 + 2a = 0  a = 1/2.