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概要を理解 フェルマーの最終定理(Outline of Fermat's Last Theorem)
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20年前に証明されたフェルマーの最終定理について概要を理解して貰おうと思い制作 授業名:数学の世界 参考書籍:数学ガール フェルマーの最終定理
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概要を理解 フェルマーの最終定理(Outline of Fermat's Last Theorem)
1.
数式を”可能な限り”使わず概要を理解 フェルマーの最終定理 [学籍番号] [名前]
2.
フェルマーの最終定理とは • 1637年頃に予想 • 1995年5月に証明完了 •
証明者は”アンドリュー・ワイルズ” • 証明完了までに約360年かかった 次の方程式は、n≧3で自然数解を持たない。 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 私は驚くべき証明を見つけたが、 それを書き記すには、この余白は狭すぎる。
3.
なぜ余白の書き込みが広まった? • フェルマーの息子、サミュエルが父の書き込みを含めた 『算術』を再版したから • 『算術』を書いたのは3世紀頃の数学者ディオファントス •
17世紀にギリシャ語・ラテン語の対訳として再版したのが バシェ • バシェ版『算術』にフェルマーが書き込みを行った • ディオファントス著、バシェ対訳、フェルマー書き込み付 き『算術』をサミュエルが再版する
4.
これ以降についての補足 • FLT フェルマーの最終定理の頭文字 (Fermat's Last
Theorem) • FLT(n) 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛を示す ex. FLT(3) ⇒ 𝑥3 + 𝑦3 = 𝑧3 • フェルマーの最終定理は証明されるまで 「フェルマー予想」と言われていた →ここではFLTで統一する • “予想”とは証明がされていない状態 証明されると”定理”となる
5.
FLTの歴史-初等整数論編 初めに、𝑥 𝑛 +
𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛に対して個別のnの証明を行った • 1640年、FLT(4)をフェルマー自身で証明 • 1753年、FLT(3)をオイラーが証明 • 1825年、FLT(5)をディリクレとルジャンドルが証明 • 1832年、FLT(14)をディリクレが証明 • 1839年、FLT(7)をラメが証明 3,4,5,7とあるのに、 なぜFLT(6)の証明が存在しない?
6.
FLT(6)の証明 𝑥6 + 𝑦6
= 𝑧6 𝑥2 3 + 𝑦2 3 = 𝑧2 3 𝑋3 + 𝑌3 = 𝑍3 ←𝑥2 = 𝑋, 𝑦2 = 𝑌, 𝑧2 = 𝑍とする よって、FLT(3)が証明できていればFLT(6)も証明可能 n≧5についてFLT(n)を証明したいとき、 素数p=5,7,11,13,…についてFLT(p)を証明すればよい n≧5なのは、特殊な事情から…
7.
特殊な事情… • n=2の時 𝑥2 +
𝑦2 = 𝑧2 ←ピタゴラスの定理(三平方の定理) n=(2の倍数)の時の証明は? もう片方の倍数について証明されていればよい ex. n=6の時 n=3について証明 (6 = 2 ∗ 3) ex. n=10の時 n=5について証明 (10 = 2 ∗ 5) • n=(もう片方の倍数が存在しない数)の時 n=4,8,16,32,… (2 𝑚+1)
8.
特殊な事情… • n=(もう片方の倍数が存在しない数)の時 n=4,8,16,32,… (2
𝑚+1) n=4の時さえ説明すればいい!! ex. 8 = 4 ∗ 2, 16 = 4 ∗ 22, 2 𝑚+1 = 4 ∗ 2 𝑚−1
9.
FLTの歴史-代数的整数論編 • ソフィ・ジェルマンが”定理”を発表 • pと2p+1の両方が奇数の素数ならば ex.)
p=3(7),5(11),11(23),23(57),… • xyz≢0 (mod p) x,y,zはpの倍数ではない ソフィ・ジェルマンの定理 pと2p+1の両方が奇数の素数ならば、𝑥 𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝は自然数解 を持たない (xyz≢0 (mod p)という条件付き)
10.
FLTの歴史-代数的整数論編 • 1847年、ラメとコーシーが証明の先陣争いを始める α =
𝑒 2π𝑖 𝑝 (複素数)である オイラーの公式より、αの絶対値は1、偏角は 2π 𝑝 αは1のp乗根の1つ(代数的整数環) 𝑥2 + 𝑦2が素因数分解可能なことを利用しようとした 𝒙 𝒏 + 𝒚 𝒏 = 𝒛 𝒏の素因数分解 𝑥 𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑥 + α0 𝑦 𝑥 + α1 𝑦 𝑥 + α2 𝑦 … (𝑥 + α 𝑝−1 𝑦) = 𝑧 𝑝
11.
FLTの歴史-代数的整数論編 𝑥2 + 𝑦2が素因数分解可能なことを利用しようとしたが 失敗 代数的整数環では《素因数分解の一意性》が成り立つ とは限らない クンマーの指摘により、争いは終結 代数的整数環では《素因数分解の一意性》は死んだ
12.
では今後どうする? クンマーは理想数を考えた デデキントがイデアルとして集合の形にまとめた イデアルによって《素因数分解の一意性》は復活した クンマーは、正則と呼ばれる素数に関してはFLTを証明し た ここまで250年経過
13.
FLTの歴史-幾何学的数論の時代 • 1955年 谷山豊と志村五郎が”予想”を発表 《楕円曲線》と《保型形式》という2つの世界を結ぶ大き な橋 →この”予想”を”定理”にするのには数論上の重要課 題 しかし、とてつもない難問だった 谷山・志村の予想 すべての楕円曲線はモジュラーである
14.
FLTの歴史-幾何学的数論の時代 • 1985年 ゲルハルト・フライが”予想”を発表 フェルマーの最終定理が谷山・志村の予想に結びついた しかし、難問が難問に帰着されただけであり、 問題が簡単になったわけではない フライ・セール予想 《フェルマーの最終定理が成り立たない》と仮定すると、 谷山・志村の予想に矛盾する判定を作れる
15.
ワイルズさん誕生!! 自宅でたった一人、7年間の研究を行った 大学の講義は続けていたが、FLTの証明を行っていることを 誰も知らなかった • 1993年、証明ができたと宣言 →ミスが発覚 • 1994年、テイラーと共に誤りを訂正 ついにフェルマーの最終定理を証明した
16.
ワイルズさんの証明すべきこと 1986年(ワイルズがFLTの研究を始めた年)の風景 • 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥
𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない
17.
ワイルズさんの証明すべきこと • 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥
𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない 仮定する
18.
ワイルズさんの証明すべきこと • 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥
𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない 仮定する
19.
ワイルズさんの証明すべきこと • 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥
𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない 仮定する
20.
ワイルズさんの証明すべきこと • 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥
𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない 仮定する
21.
ワイルズさんの証明すべきこと • 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥
𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない 仮定する
22.
ワイルズさんの証明すべきこと • 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥
𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない 仮定する 矛盾している
23.
• 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥
𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない 前提が間違っている ワイルズさんの証明すべきこと 矛盾している
24.
• 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥
𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない 前提が間違っている ワイルズさんの証明すべきこと 矛盾している フライ・セール予想は正しい 《フェルマーの最終定理が成り立たない》と仮定すると、 谷山・志村の予想に矛盾する判定を作れる
25.
ワイルズさんの証明したこと • 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • ワイルズの証明したこと 全ての”半安定な”楕円曲線は、モジュラーである なぜこれで十分だった? →フライ曲線が半安定な楕円曲線だったから •
フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である
26.
FLTの証明概要 • ワイルズの証明したこと 【証明済み】全ての半安定な楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥
𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、半安定な楕円曲線である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない 仮定する 矛盾している
27.
参考書籍 結城浩(2008)『数学ガール フェルマーの最終定理』 ソフトバンククリエイティブ
28.
最後に宣伝!! ー作者ー 数式の意味が よくわからないときには 数式はながめるだけにして、 まずは物語を追ってください
Notas do Editor
“最終”についての補足 「算術」には48の書き込みがあった それに関して数学者が証明を行った(成否含め) 「証明できた」⇒証明可、「予想される」⇒否定の証明が含まれた 最後の1つが残った←「証明を発見した」 定理:証明されている 予想:証明されていない状態
FLT(14)は後ほど…
n=10の時も例題として出す
これ以降、続く者はいなかった なぜなら、証明は難しすぎるから FLT(14)の後にFLT(7)なのも、FLT(7)がすぐに証明できなかった為
ソフィ・ジェルマンの変態さ ・大学に男装して入学、主席で卒業 ・ドイツに住むガウスと文通、仏軍が独に攻め入ったときに、将校に助けて貰うようにお願いしたり…
素因数分解→互いに素(複素数)→実数以外に証明不可能(?)
では、この後どうしたか 正則素数 【未証明】無限に存在、素数の約61%が正則
1955年、第二次世界大戦が終わって10年が経つ 数学の国際会議が日本で行われた そこで、谷山志村予想が発表された
小学4年生から大学教授まで楽しめる本 数学を学んでいると、読み返すごとに発見がある 図書館に原作があるので読んでみてね
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