Vetores

1. INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CALKINÍ EN EL
ESTADO DE CAMPECHE
EQUIPO Nº 3
INTEGRANTES:
michel carvajal
marcO aNTONiO herrera GÓNGOra
jUaN GONZalO caNUl mOO
jairO marTÍN hUchÍN almeYDa
GilberTO alejaNDrO caN cOcOm
serGiO aNDres ek xiU

2. VECTORES Y SUS
CARACTERÍSTICAS

3. DEFINICIÓN DE VECTORES:
Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier
magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento
orientado, en el que cabe distinguir:
Un origen o punto de aplicación: A.
Un extremo: B.
Una dirección: la de la recta que lo contiene.
Un sentido: indicado por la punta de flecha en B.
Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB.

4. Origen:
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto donde
comienza del vector.
Módulo: Es la longitud del vector, se expresa como un valor numérico.
Dirección: Recta sobre la que se apoya el vector. Esta inclinación se
mide a través del ángulo menor que forma el vector con el eje OX ó un
eje paralelo a éste.
Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo
del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el
vector.

5. El sistema de referencia de los vectores, estará formado por un origen
y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar
la posición de un punto cualquiera con exactitud, este sistema es
conocido como el Sistema de Coordenadas Cartesianas.
Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas
cartesianas, usaremos tres vectores unitarios unidimensionales,
esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y
corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

6.  Magnitudes Escalares
Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las
que las medidas quedan correctamente expresadas por
medio de un número y la correspondiente unidad.
Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre
otras:
Masa
Temperatura
Presión
Densidad

7.  Magnitudes vectoriales
Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar
determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un
sentido y un punto de aplicación.
La fuerza o la velocidad son ejemplos de magnitudes vectoriales, ya
que no quedan bien determinadas con un valor numérico solo.
 Vectores iguales
Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la
misma dirección.
 Vector libre
Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y
sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se
encuentra.

8.  VECTORES COPLANARES
Se encuentran en el mismo plano, es decir, en dos ejes
y
x

9. VECTORES NO COPLANARES.
Si están en diferentes planos, o sea en tres ejes.

10. 2.1.2. Propiedades
de los Vectores.

11. El estudio de los vectores es uno de tantos
conocimientos de las matemáticas que
provienen de la física. En esta ciencia se
distingue entre magnitudes escalares y
magnitudes vectoriales. Se llaman magnitudes
escalares aquellas en que sólo influye su
tamaño. Por el contrario, se consideran
magnitudes vectoriales aquellas en las que, de
alguna manera, influyen la dirección y el sentido
en que se aplican.

12. FIJOS
PROPIEDADES LIBRES DE
PLANO
vectores
PRODUCTO DE
UN VECTOR
SUMA DE
POR UN
VECTORES
NUMERO
REAL

13. VECTORES FIJOS
Un vector fijo del plano es un segmento cuyos extremos
están dados en un cierto orden (se suele decir que es un
segmento orientado). Se representa por AB, siendo los
extremos A y B
A un segmento AB le corresponden dos vectores fijos
distintos: AB y AB.
Se considera como caso singular el vector fijo definido por
un segmento cuyos extremos coinciden. En este caso el
vector fijo se reduce a un solo punto.
Los puntos en los que empieza y termina un vector se
llaman origen y extremo, respectivamente.

14. Módulo, dirección y sentido de
un vector fijo
En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud
del segmento que lo define.
El módulo de un vector fijo AB se representa por |AB| y se
leerá «módulo de AB ».
- Se dice que un vector fijo tiene la misma dirección que
otro si los segmentos que los definen pertenecen a
rectas paralelas.
- Dados dos vectores fijos AB y CD del plano que tengan la
misma dirección, se dice que tienen el mismo sentido si
los segmentos AD y BC (los segmentos que unen el
origen de cada uno con el extremo del otro) tienen un
punto en común. En otro caso se dice que los dos
vectores tienen sentido contrario o sentido opuesto.

15. También se puede decir que dos vectores de la misma
dirección tienen el mismo sentido si la recta definida por
sus orígenes deja a los extremos en el mismo
semiplano.
Estas dos definiciones son válidas en el caso en que los
dos vectores se encuentren en distinta recta. Si los dos
vectores se encontrasen en la misma recta, se buscaría
un vector fijo en una recta paralela que tuviese el mismo
sentido que ambos. Si lo hubiese, se diría que los dos
vectores tienen el mismo sentido. En otro caso se diría
que los dos vectores tienen sentido contrario.

16. Vectores equipolentes
Se dice que dos vectores son equipolentes
si tienen el mismo módulo, la misma
dirección y el mismo sentido.
Si AB y CD son equipolentes, el cuadrilátero
ABCD es un paralelogramo.

17. VECTORES LIBRES DEL PLANO
Un vector libre es el conjunto de todos los
vectores fijos del plano que son
equipolentes a uno dado.
Como todos los vectores fijos del plano
consistentes en un solo punto son
equipolentes, definen un único vector
libre, que recibirá el nombre de vector
cero, r

18. Representantes de un vector
libre
A uno cualquiera de los vectores que
constituyen un vector libre se le denomina
representante del vector libre.
Para representar un vector libre se escribe
uno cualquiera de sus representantes, o
bien se escribe una letra con una flecha
encima.

19. Resultado fundamental
Dados un punto P y un vector libre del
plano, a, existe un único representante de
a con origen en P. Igualmente se puede
encontrar un único representante de a con
extremo en el punto P.

20.  Demostración:
 Para construir un representante de a con origen en P se
traza una recta paralela al vector a que contenga al
punto P.
 En ella, desde P, y con el mismo sentido que a, se mide
una distancia igual al módulo de a, |a|, obteniéndose un
punto Q. El vector fijo PQ es un representante de a.
 Para hallar un representante de a con extremo en P, se
mide la distancia |a| en sentido contrario, obteniendo el
punto Q´. El representante de a es, en este caso, el
vector fijo Q´P.

21. SUMA DE VECTORES
Dados dos vectores libres del plano a y b, se define su
suma como el vector libre construido así:
- Se elige un punto arbitrario del plano, O.
- Con origen en O se busca un representante del vector a.
Se llamará P a su extremo.
- Con origen en P se busca el vector PQ, representante de
b.
- El vector suma a + b viene representado por el vector fijo,
OQ (se une el origen del representante de a con el
extremo del representante de b).

22. Propiedades de la suma de
vectores
 Conmutativa: Dados dos vectores del
plano a y b, a + b = b + a.
 Asociativa: Dados tres vectores a y b y c
del plano, (a + b) + c = a + ( b + c).
 Elemento neutro: Dado a, un vector
cualquiera del plano, a + 0 = 0 + a = a.

23. Es decir, el vector 0 es el elemento neutro de la operación
suma de vectores libres del plano.
Demostración:
Recuérdese que 0 es el vector del plano formado por todos
los vectores fijos cuyo origen coincide con el extremo.
Se elige un punto fijo del plano, O, y con origen en O se
busca el vector OP representante de a.
Los vectores OO y PP son representantes del vector 0.
Así se tiene: a + 0 = OP + PP = OP = a y 0 + a = a

24. Elemento simétrico:
 Dado un vector a del plano, existe otro vector - a, tal
que,
 a + (- a) = (- a) + a = 0. El vector - a recibe el nombre de
simétrico u opuesto de a.
 Demostración:
 Bastará con demostrar una de las dos igualdades:
 Sea PQ un representante de a. Considérese el vector - a
= QP.
 a + (- a) = PQ + QP = PP = 0 y (- a) + a = 0

25. PRODUCTO DE VECTOR POR
NUMERO REAL
Sean a un vector del plano y r un número real. Se define el
producto r · a de la siguiente forma:
a) Si r = 0 ó a = 0, el producto es r· a = 0
b) El caso contrario, es decir, si a ≠ 0 y r ≠ 0, se define:
- El módulo de r · a es | r· a| = |r|.|a|, donde | r| es el valor
absoluto de r.
- La dirección de r · a es la misma que la de a.
- El sentido de r · a es el mismo que el de a si r es positivo,
y contrario si r es negativo.

26. Primeras propiedades del producto de
números por vectores
1 . Dado un vector a se verifica que 1· a = a.
Demostración:
En efecto, |1· a | = |1| | a| = | a|
Por definición 1· a tiene la misma direción que a.
Como 1 es positivo, el sentido de 1· a es el de a.
Por tener el mismo módulo, la misma dirección y
el mismo sentido,los vectores libres a y 1· a
coinciden.

27. 2. Para cualquier vector a, se verifica que (-1)· a = - a
Demostración:
Para verlo conviene recordar que - a tiene el mismo
módulo, la misma dirección y sentido contrario al de a.
Si se concluye que (-1)· a cumple esas tres condiciones,
se tendrá la propiedad dada.
|(-1)· a| = |-1| | a| = 1| a| = | a|
La dirección de (-1)· a es la de a.
El sentido de (-1)· a es opuesto al de a, porque -1 es
negativo.
Así pues (-1)· a tiene módulo, dirección y sentido iguales a
los de - a. Por tanto:
(-1)· a = - a.

28. 3. Sean a y b dos vectores no nulos. Entonces:
Si a y b tienen la misma dirección, existe un
número r tal que a = r · b; y res positivo si a y b
tienen el mismo sentido, y negativo en caso
contrario.
Además, de a = r.b, se deduce que |a| = |r|.|b| Þ |r|
= |a|/|b|
A partir de ahora, para diferenciar números de
vectores, a los primeros se les llamará, a
menudo, escalares.

29. Otras propiedades del producto de escalares
por vectores
1. Dados dos números reales r y s, y un
vector a se tiene:
(r.s) a = r (s. a)
(Debido al extraordinario parecido que tiene
esta propiedad con la propiedad
asociativa del producto de números, a
veces se la denomina propiedad
asociativa.)

30. Propiedad distributiva del producto respecto
de la suma de escalares
Propiedad distributiva del producto respecto
de la suma de vectores

31. ejercicios