Dokumen tersebut membahas tentang integral permukaan. Integral permukaan digunakan untuk menghitung luas permukaan, massa, gaya gravitasi, dan aplikasi lainnya seperti aliran fluida. Dokumen ini memberikan definisi integral permukaan, contoh soal beserta penyelesaiannya, serta beberapa aplikasi integral permukaan dalam kehidupan sehari-hari seperti menghitung gaya tekanan pada bendungan.

1. KALKULUS LANJUT
INTEGRAL PERMUKAAN

2. KALKULUS LANJUT
PENDAHULUAN
1.Latar Belakang
Untuk memenuhi kebutuhan dengan memperkaya teori integral
melalui pengenalan bagian permukaan sebagai domain, dimana
permukaan-permukaan tersebut dianggap melekat dalam ruang
tiga dimensi.
2.Tujuan
Untuk mengkaji materi mengenai integral permukaan,
mengetahui bagaimana aplikasi dari integral permukaan, serta
untuk memenuhi tugas matakuliah kalkulus lanjut

3. KALKULUS LANJUT
PENDAHULUAN
3.Ruang Lingkup
Mengenai integral permukaan, contoh penyelesaian masalah-
masalah yang berkaitan dengan integral permukaan, dan
aplikasi integral permukaan dalam kehidupan sehari-hari.
4.Manfaat
1. Dapat memahami materi mengenai integral permukaan
2. Dapat mengetahui bahwa integral permukaan memiliki
peran penting dalam kehidupan sehari-hari.

4. KALKULUS LANJUT
TINJAUAN PUSTAKA
Definisi
Pembahasan
Contoh soal dan penyelesaian
Aplikasi yang berkaitan dengan integral
permukaan

5. KALKULUS LANJUT
Definisi
Perhatikan Gambar

6. KALKULUS LANJUT
Definisi
F(x,y) atau g (x,y,z) = 0

7. KALKULUS LANJUT
Pembahasan
Satuan n di sebarang titik dari S disebut
satuan normal positif jika arahnya ke atas

8. KALKULUS LANJUT
Pembahasan
Berkaitan dengan permukaan kecil dS dari
permukaan S dapat dibayangkan adanya vector
dS yang besarnya sama dengan dS dan arahnya
sama dengan n.
Maka :
dS = n dS

9. KALKULUS LANJUT
Pembahasan
Integral Permukaan yang disebut flux dari A
terhadap S. :
A.ds A.n ds
s
Integral permukaan lainnya adalah :
dS , n dS A x dS
,
φ = Skalar fungsi

10. KALKULUS LANJUT
Pembahasan
jika F adalah tegak lurus ( normal ) terhadap
bidang singgung ( dan karenanya terhadap S )
persamaan vektor satuan berlaku
F r r r r Sehingga
F x y v1 v2
F Fx i Fy j Fz k

11. KALKULUS LANJUT
Pembahasan
Menghitung integral permukaan akan lebih
sederhana dengan memproyeksi-proyeksikannya.
Misal :
S mempunyai proyeksi R pada bidang xy,
 dx dy
Maka ˆ
A . n dS A.n
s s n.k

12. KALKULUS LANJUT
Pembahasan
Diproyeksikan pada bidang xz
dx dz
A . n dS A.n
s s n. j
Diproyeksikan pada bidang yz
dy dz
A . n dS A.n
s s n .i

13. KALKULUS LANJUT
Contoh Soal
Hitunglah A . n dS dengan A xy ˆ x 2 ˆj (x z) k
i ˆ
s
dan S adalah bagian dari bidang 2x + 2y + z = 6
yang terletak dikuadran pertama dan n unit vektor
tegak lurus S

14. KALKULUS LANJUT
Penyelesaian
Jawab
Normal pada S mempunyai persamaan :
( 2x 2y z 6) 2i 2j k
2i 2j k 2 2 1
n= = i j k
22 22 12
3 3 3
A.n= { xy i x j (x
2
z) k } = 2 i 2 j 1 k
3
1
[ 2xy 2x 2 ( x z)]
3
1
[ 2xy 2x 2 x 2y 6 ]
3

15. KALKULUS LANJUT
Penyelesaian
 dx dy
ˆ
A . n dS A.n
s s n.k
 1 dx dy
ˆ
A . n dS ( 2xy - 2x 2 - x - 2y 6 )
s s
3 n.k
 1 dx dy
ˆ
A . n dS ( 2xy - 2x 2 - x - 2y 6 )
s
3 R
1
3 3 x
3
( 2xy 2x 2 x 2y 6 ) dydx
0 y 0
3
3- x
(xy2 2x 2 y xy y 2 6y ) 0
dx
0
27
6,75
4

16. KALKULUS LANJUT
Soal
Bagaimana dengan yang ini ??
Hitunglah A . n dS dengan A 18z ˆ 12 ˆ 3y k
i j ˆ
s
dan S adalah bagian dari bidang 2x + 3y + 6z =12
yang terletak di kuadran pertama.

17. KALKULUS LANJUT
Aplikasi Integral Permukaan
1. Massa shell (massa suatu permukaan)
massa total shell diungkapkan melalui integral
permukaan fungsi skalar dengan rumus :
m ( x, y, z )dS

18. KALKULUS LANJUT
Aplikasi Integral Permukaan
2.pusat massa dan momen inersia dari shell
fungsi kepadatan kontinu µ(x,y,z) Koordinat pusat
massa dari shell yang didefinisikan oleh rumus
M yz M xz M xy
Xc , yc , zc ,
m m m
Momen inersia dari cangkang tentang xy-, yz,
dan xz-pesawat didefinisikan oleh rumus
2 2 2
Ix z ( x, y, z)dS , I y ( x ( x, y, z)dS , I z y ( x, y, z)dS
s

19. KALKULUS LANJUT
Aplikasi Integral Permukaan
3.Gaya gravitasi dan Gaya tekanan
Misal m menjadi massa di
titik (x 0, y 0, z 0) luar
permukaan S Kemudian gaya
tarik-menarik antara
permukaan S dan massa m
diberikan oleh
r
F Gm ( x, y , z ) 3
dS
s r
dimana r ( x x0 , y y0 , z z0 )
G =konstanta gravitasi , ( x, y, z ) =fungsi kepadatan

20. KALKULUS LANJUT
Aplikasi Integral Permukaan
4. Aliran fluida dan aliran massa seluruh permukaan
Menurut definisi, tekanan diarahkan ke arah yang
normal S di setiap titik. Oleh karena itu, dapat
ditulis
F p(r )d S p ndS
s s

21. KALKULUS LANJUT
Aplikasi Integral Permukaan
5. Muatan listrik didistribusikan melalui permukaan
•Cairan Flux dan Flux Massa
 
v (r )dS
s
•Permukaan Mengisi
Q ( x, y )dS
s

22. KALKULUS LANJUT
Aplikasi Integral Permukaan
6.Hukum Gauss
 
D.dS Qi
s i
  
Dimana D 0 E, E
adalah besarnya kekuatan
medan listrik
F
adalah permitivitas ruang bebas.
12
0 8,85 10
m

23. KALKULUS LANJUT
Contoh Soal Aplikasi
Mengevaluasi kekuatan tekanan yang bekerja
pada bendungan sketsa pada Gambar, yang
mempertahankan reservoir air lebar W dan
kedalaman H.

24. KALKULUS LANJUT
Penyelesaian Soal Aplikasi
Jawab :
Di bawah kondisi kesetimbangan hidrostatik,
tekanan pengukur pada permukaan bendungan
tergantung pada z diberikan oleh rumus
p( z ) g ( H z)
  W H  z2
H
gWH 2 
F pndS g (H z ).( i )dydz g ( i).W . Hz i
s
0 0 2 0
2
 
Vektor menunjukkan arah
i gaya F ,
nilai absolut gaya :  2
gW H
F
2

25. KALKULUS LANJUT
Daftar Pustaka
Danang-Mursita. 2007. Matematika Dasar.Bandung : Rekayasa Bandung
Spiegel Phd,MR, Wrede Phd,R.2006.Kalkulus Lanjut.Jakarta : Erlangga
Wikipedia. 2012. http://www.integral-garis-dan-permukaan.ac.id
Tanggal Akses : 5 Desember pukul 16.51
Wikipedia. 2013. http://www.math24.net/physical-application-of-
surfuce-integrals.html Tanggal Akses : 1Januari pukul 14.16
Wikipedia. 2012. http://www.Sub_sub_17-5_Integral_Permukaan.ac.id
Tanggal Akses : 5 Desember pukul 16.38