1. Limites
El límite de una función f(x) en el punto xₒ es el valor al k acercan las imágenes
en cuanto las originales (x) se acercan al valor xₒ esdecir al k tienden las
imágenes cuando los originales tienden a xₒ.
Concepto de límite
Cuando una variable x se aproxima cada vez mas y mas a una constante a de
tal manera que la diferencia x-a en valor absoluto, puede ser tan pequeña como
se quiera, se dice que la constante a es el límite de la variable x.
Límite de la función f(x)=x²
1x
D (-∞, ∞)
f(x)
1.0
R (0, ∞)
3.61
1.00
3.96
1.000
3.996
1.0000
3.99960001
2
en xₒ=2
4
Se dice k la función f(x) tiene como límite L cuando x tiende a x, si fijando un
numero real positivo mayor que 0 existe un numero positivo dependiente del
número real talque para todos los valores distintos de xₒ que cumplan la
condición de valor |x-x|<ıR.
Podemos definir el concepto de limite con la siguiente formula
Limite f(x)=L
X
Xₒ
Limites laterales
Diremos que el límite de una función f(x) cuando X
Limite f(x)=L
a por la izquierda es L
2. X
aˉ
Diremos que el límite de una función f (x) cuando x
a+ por la derecha es L
Limite f(x)=L
X
a+
Ejemplo 1
X² si x<2
F(x)=
4 si x>2
Lim f(x) = x²
X
lim f(x) =4
2ˉ
F(x)=4
X
2+
f(x)=4
L=a
X
a la derecha
2
es L=4
3. Ejemplo 2
-1 si x<0
F(x)=
0 si x=0
1 si x>0
Lim f(x) =-1
lim f(x) =0
X
x
0
lim f(x) =1
o
x
0
Nota: como no coinciden los limites laterales
La función no tiene límite en x=0
Propiedades de los límites
1) Si b y c son números reales y n es un entero, entonces decimos que limite de
b=b
X
b
b es una constante
Ejemplo
Lim 4=4
Lim 8=8
X
X
6
4
4. 2) lim x=c
X
c
Ejemplo
Lim x=3
X
3
3) lim x = c
X
c
Ejemplo
Lim x³ = (2)³ = (2)(2)(2)=8
X
2
4) si b y c son números reales n es un entero positivo y f y g son funciones que
tienen límite cuando
X
c entonces se cumplen las siguientes propiedades.
1.- múltiplo escalar
Lim (b (f(x)) = b (lim f(x))
X
c
2.- suma o diferencia
Lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)
X
c
x
c
x
c
3.- producto
Lim (f(x) o g(x)) = (lim f(x)) (lim g(x))
X
c
x
c
4. – cociente
Lim F(X)/g(X) = lim f(x)/ lim g(x)
5. X
c
x
c
5.- potencia
Lim (f(x)) = (lim f(x))
X
c
x
c
Infinitésimos
Diremos que una función y=f(x) es infinitamente pequeña, infinitesimal o
infinitésimo cuando x
a o bien cuando x
∞ si y solo si lim f(x)=0
De la definición de límite se deduce:
Si lim f(x)=0, entonces parea cualquier numero Ɛ ,
Por pequeño que sea, existe un número xₒ R tal que para cada x> xₒ se
ϵ
verifica que |f(x)| <Ɛ
Ejemplo
a) 1/x es un infinitésimo cuando x
∞
b) senx es un infinitésimo cuando x
0
c) tgx-1 es un infinitésimo cuando x
π/4
d) lnx es un infinitésimo cuando x
1
Propiedades
1.- Si la función y=g(x) es suma de una constante b y de n infinitésimo f(x)
cuando x tiende a, es decir y=b+f(x), entonces lim g(x)=b y recíprocamente si
limg(x) =b, entonces se puede escribir como g(x)=b+f(x), siendo f(x) un
infinitésimo cuando x
a
El resultado es análogo para x
∞
2.- la suma algebraica de un numero finito de infinitésimos (cuando x
X
∞
ao
6. 3.- el producto de una función acotada por un infinitésimo es otro infinitésimo.
En partícula el producto de dos infinitésimos es otro infinitésimo (cuando x
ao
x
∞
4.- El cociente entre un infinitésimo y una función no nula (cuando x
x
∞) es otro infinitésimo (cuando x
a ox
∞)
ao
Infinitésimos comparables
Dos infinitesimos f(x) y g(x) cuando x
si existe lim f(x)/g(x)=k
X
a se dice que son comparables si y solo
a
Además:
i) si k≠0∞ se dice que f(x) o g (x) son infinitésimos del mismo orden
ii) si k = 0 <=>limg(x)/f(x)=∞ se dice que f (x) es un infinitésimo de mayor orden (
u orden superior ) que g(x)(f(x) tiende a 0 “con más rapidez ”), o bien que g(x) es
un infinitésimo de menor orden ( u orden inferior ) que f (x)
Analógicamente para x
∞
Infinitésimos equivalentes
Se dice que dos infinitésimos f(x) y g(x) cuando x
a son equivalentes si y solo
si lim f(x)/g(x)=1. Escribiremos en este caso f≈g cuando x
a
Analógicamente para x
∞
Teorema 1
La suma de dos infinitésimos de distinto orden es otro infinitésimo equivalente a;
de orden inferior (cuando x
aox
∞).
Demostración supongamos que f(x) y g(x) x son infinitésimos cuando x
que es de mayor orden que f, entonces
ay
lim f(x)+g(x)/f(x)= lim(1+(g(x)/f(x)=1+lim g(x)//f(x)=1+0=1
x
a
x
a
Luego f(x)+g(x)=f(x) cuando x
x
a
a. (analógicamente se aprobaría para x
∞
7. Ejemplo p(x)=5x³-4x²+2x es un infinitésimo cuando x
f(x)=2x ya que
0 que es equivalente a
lim p(x)/f(x)=lim (5x³-4x²+2x/2x)= lim (5x³/2x-4x²/2x+2x/2x)=lim5/2x²-4/2x+1)=1
x
0
x
0
x
0
x
0
Luego 5x³-4x²+2x ≈ 2x
Teorema 2
El limite cuando x
a de toda expresión de la forma E(x) f(x) donde f(x) es un
infinitésimo cuando x
a, no varia si se sustituye f(x) por un infinitésimo
equivalente p(x) que cumpla la condición de ser no nulo en un cierto tono
reducido de a
Demostración
lim(E(x)f(x))=lim(E(x)f(x)(p(x)/p(x))=lim(E(x)p(x)(f(x)/p(x))=lim(E(x)p(x))limf(x)/p(x)
x
a
x
a
x
= lim (E(x)p(x))
X
a
(Analógicamente se probaría para x
∞).
a
x
a
