Tomado de la página de Colombia Aprende http://aprende.colombiaaprende.edu.co/es/bancodecontenidos

1. 1
ECUACIONES E INECUACIONES: EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE REPRESENTAN
Argumentación con el lenguaje matemático de situaciones del
entorno en las que puede hacer uso de las ecuaciones
Figura 1. El mago
Traducir lenguaje informal en ecuaciones y resolverlas
Objetivos de aprendizaje
Representar en lenguaje formal situaciones de su diario vivir
1. ¿Lo que echa el gran Bartini en el sombrero en qué tipo de lenguaje está?
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2. ¿Cómo pudo llegar el gran Bartini a la respuesta?
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2. 2
Actividad 1
Interpreta expresiones algebraicas en un contexto
El trabajo realizado hasta ahora sobre la conversión del lenguaje común al lenguaje algebraico
será de gran ayuda para el planteamiento de ecuaciones de problemas con situaciones cotidianas.
En algunas ocasiones las ecuaciones son tan sencillas que podemos resolverlas por tanteo, es decir,
dándole un valor a la variable, el cual es producto del cálculo mental y garantiza que se cumpla la
igualdad.
Ejercicio 1
Determina por tanteo, cuál es el valor de X, que permite que se cumpla la igualdad (no uses lápiz
ni calculadora). Escribe el valor de X en el espacio al frente de cada ecuación.
a) X+4=7 _________________
b) X-12=24 _________________
c) 7-x=5 _________________
d) 16+x =30 _________________
e) 12-x=20 _________________
f) -6-X=-10 _________________
g) 3x = 15 _________________
h) x/4 = 8 _________________
i) (3/2)x = 15 _________________
j) -12+x=-22 _________________
k) 2x+32=20 _________________
l) 3X+7 =16 _________________
m) -2+5x+4= -13 _________________
n)Lasiguienteecuación¿puedesresolverlaportanteo?12X+10-3X=5(X)+100/2 _________________
Ejercicio 2
Ahora resuelve los siguientes problemas:
a) Carlos tiene 120 canicas y 10 cajas iguales para almacenarlas ¿Cuantas canicas puede almacenar
en cada una? ____________________________________________________________________________________
b) La suma de las edades de Juan y Diana es 25 años. Si Juan tiene 15 años, ¿cuántos años tiene
Diana? __________________________________________________________________________________________
c) Se tiene una pared para enchapar de 5m de base por 2m de alto, y los baldosines para enchaparla
tienen 25cm de alto y 10cm base ¿Cuántos baldosines se necesitarán para enchapar la pared?
_________________________________________________________________________________________________
d) Se han utilizado 130m de alambre para cercar una parcela de 1000m2 ¿Cuáles son sus dimensiones?
_________________________________________________________________________________________________

3. 3
No siempre encontraremos ecuaciones o problemas que podamos resolver por tanteo o de una
manera rápida, por eso, en este documento veremos más adelante, uno de los procesos por
los cuales podemos solucionar ecuaciones y problemas más complejos.
Ahora, teniendo en cuenta lo que has aprendido en temas anteriores sobre la conversión del lenguaje
común al lenguaje algebraico y viceversa, resuelve los siguientes ejercicios, lo cual te servirá como
herramienta importante para el planteamiento de ecuaciones y solución de problemas.
Ejercicio 3
Une con flechas los enunciados de la columna de la izquierda con las expresiones algebraicas de la
derecha, que corresponda.
La edad de maría x- y
El cuádruple de un número a/10
La décima parte del dinero que poseo Z2
La edad de mi padre al cuadrado 4Y
La diferencia entre la edad de Carlos y Mario b
Ejercicio 4
Las siguientes expresiones algebraicas preséntalas en dos contextos diferentes que se identifiquen
con esta, los cuales pueden ser: numérico, edades, dinero, animales, entre otros.
Participa del espacio en clase que el docente dirigirá para que socialices tus respuestas y con tus
compañeros aclares dudas.
A partir de las expresiones algebraicas podemos construir ecuaciones
X + 2 = 5
X = 3
Una ecuación es una igualdad que muestra
la equivalencia entre dos cantidades, donde
hay valores que no se conocen y para resolverla
se deben encontrar dichos valores.
Figura 2. La maestra
Expresión algebraica Contexto 1 Contexto 2
3x+x
4(x+y)
(2x+5) /3
3x+5y= 55
9s+t/3

4. 4
Propiedad de las igualdades
Propiedad uniforme
a) Supongamos que una igualdad es una balanza en equilibrio, en este caso 6+4 = 10
6+4=10
Ahora digamos que al lado derecho de la balanza le agregamos una pieza de 3g.
6+4≠ 10+3
La balanza se desequilibra, y la igualdad deja de ser igualdad. Para poder ubicarla nuevamente en
equilibrio debemos sumarle el mismo peso al otro lado y la balanza queda nuevamente en equilibrio,
es decir vuelve a ser una igualdad. Lo anterior también es válido cuando restamos, multiplicamos o
dividimos el peso de un solo lado de la balanza: se desequilibra la balanza y se pierde la igualdad.
6g 4g 10g
6g 4g
10g 3g
Figura 3. Balanza en equilibrio
Figura 4. Balanza en desequilibrio

5. 5
6+4+3=10+3, entonces 13=13
b) Ahora observemos la siguiente balanza con la igualdad x + 4 – 3 = 10.
Realiza las operaciones que debas hacer para que puedas dejar sola la x aplicando lo visto en el
ejemplo a.
Escribe el valor que corresponda en cada recuadro y el signo que corresponde, buscando eliminar
los valores que acompañan la x , mientras la balanza continua en equilibrio.
6g 4g
10g 3g
3g
X +4 10-3
Figura 5. Balanza en equilibrio 2
Figura 6. Balanza en equilibrio 3

6. 6
x+ 4- 3 10
x
3 -4 4
2x+ 3 15
x
x
3 -4 4
x2x+ 3 15
Figura 7. Balanza en equilibrio 4
Figura 12. Balanza en equilibrio 9
Figura 10. Balanza en equilibrio 6
Figura 8. Balanza en equilibrio 5
Figura 13. Balanza en equilibrio 10
Figura 9 Balanza en equilibrio 7 Figura 11. Balanza en equilibrio 8
=
Respuesta final X= ______
c) Continuando con el ejercicio de la balanza, halla el valor de x en la ecuación 2X+3=15 teniendo
en cuenta lo que venimos haciendo desde el primer ejercicio, es decir, toda operación que hagas en
un lado debes hacerla en el otro, y siempre apuntando a dejar la x sola.
Respuesta final X= ______
d) Halla el valor de x en la ecuación -4=4 continuemos con el ejercicio de la balanza.
x
3

7. 7
x
3
.
. x
Figura 15. Balanza en equilibrio 11 Figura 14. Balanza en equilibrio 12
Respuesta final = ______
Ejercicio 5
Teniendo en cuenta lo visto anteriormente sobre la propiedad uniforme, solucionemos los siguientes
ejercicios aplicando dicha propiedad.
a) Si tenemos la ecuación: X + 10 = 27, y aplicamos la propiedad uniforme para resolver la ecuación,
nos queda:
X + 10 -10 = 27 -10, lo que es igual a:
X+0 = 17, es decir que:
X=17
Podemos resumir que la propiedad uniforme indica que:
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
En cada paso del desarrollo de los ejercicios b, c, d, se aplicaron operaciones y estas mismas se
hacían al otro lado de la balanza para que ella quedara en equilibrio. ¿Cuál era el objetivo final de
aplicar estas operaciones?
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____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
¿Por qué y para qué sumamos - 10 a ambos lados?
____________________________________________________________________________________________________

8. 8
b) Si tenemos la ecuación: X – 8 = 36 y aplicamos la propiedad uniforme para resolver la ecuación,
nos queda:
X-8+8=36+8, lo que es igual a:
X-0=36+8, es decir que:
X=44
c) Si tenemos la ecuación: 3x+12= 18, y aplicamos la propiedad uniforme para resolver la ecuación,
nos queda:
3x+12-12= 18-12, lo que es igual a:
3x + 0 = 6, es decir que:
3x = 6. Aplicando nuevamente la propiedad uniforme, tenemos:
3x/3= 6/3, es decir que:
X=2 solución de la ecuación
e) Para la siguiente solución de una ecuación, describe, donde se solicite, lo que se hizo en cada
paso.
Dada la ecuación: 12X+10-3X=5(X)+100/2, los pasos para su desarrollo serían:
• (12x -3x) +10=5x+100/2, en este paso se agruparon los términos semejantes en un lado de la
ecuación
d) Si tenemos la ecuación: = 3, y aplicamos la propiedad uniforme para resolver la ecuación,
nos queda:
x/7• 7= 3•7, lo que es igual a:
X=21
¿Por qué y para qué sumamos 8 a ambos lados?
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¿Por qué y para qué se dividió por 3 a ambos lados?
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¿Por qué y para qué multiplicamos por 7 en ambos lados?
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x
7
• 9x+10=5x+50
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____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________

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f) Con base en los ejercicios anteriores, responde:
• 9x-5x+10=5x-5x+50
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____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
• 4x+10-10=50-10
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____________________________________________________________________________________________________
• 4x=40
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____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
• 4x/4=40/4
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• X=10
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• Concluye cuál es la finalidad cada vez que se utilizó la propiedad uniforme.
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• Con tus palabras, indica en qué consiste despejar la incógnita.
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• Si tenemos la siguiente ecuación a•x=b, y decimos que a = 0 tendremos: 0x=b, entonces 0 = b.
¿Qué concluyes de este resultado?
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• Si tenemos la siguiente ecuación x/a =b, donde x=10 y a= 2, entonces cuánto vale b? b vale 5,
ya que 10÷2= 5 porque 5 •2 = 10. Ahora si a= 0 y x sigue
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siendo 10, ¿cuánto vale b? ¿Qué número multiplicado por 0 te daría 10? Escribe una conclusión
sobre esto.
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Actividad 2
Expresa el planteamiento de ecuaciones y soluciona problemas
Ejemplo
La edad de Juana es 15 años mayor que Martín. Si en 7 años la suma de sus edades será 63 años
¿Qué edad tienen actualmente?
a.¿Qué de esta situación es lo que no conocemos?
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b. Determinemos las incógnitas.
X= edad de Martín del cual no nos dan ningún dato.
X+15= edad de Juana.
¿Por qué X+ 15?
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c. Ahora se plantea las ecuación: X+7+(x+15+7) = 63
¿Por qué sumamos 7 a ambas edades?
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d. Ahora resuelve las siguientes ecuaciones. Da una corta descripción de lo que se hace en cada
paso.
• X+7+x+15+7
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• 2x+29 - 29= 63 -29
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• 2x =34
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• 2X/2=34/2
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• X=17 esta es la edad de
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• ¿Cómo hallo la edad de Juana? y ¿Cuál es su edad?
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e. Ahora comprobemos que el valor de X cumple la igualdad o ecuación. Si X= 17, entonces cal-
cula el valor numérico de la expresión.
• X+7+x+15+7= 63
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• ¿Si cumple la igualdad? (sustenta tu respuesta)
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f. Ahora comprueba si el valor de x es solución para la situación problema.
Se dijo que en 7 años la edad de los dos sumaria 63 años miremos si se cumple.
Edad de Martín 17 + 7 = 24
Edad de Juana 17 +15 +7 =39 entonces 24+39= 63. Si es solución al problema
Ahora resuelve los siguientes ejercicios.
Analiza los siguientes enunciados y después resuelve los ejercicios.
a. La estatura de Luz es 10 cm mayor que la estatura de Ana y ambas estaturas suman 280cm.
¿Cuál es la estatura de cada uno?
b. Catalina compro un bolso, una cartera, y una billetera por $168.000. El bolso costo el triple de
la billetera y la cartera $7000 menos que el bolso ¿Cuánto costó cada artículo?
c. Para elegir al presidente de la junta directiva, se realizó una votación en la cual se registró un
total de 853 votos. El Dr. Pérez obtuvo 69 votos más que la Dra. López y 82 menos que el Dr. Cano
¿Cuantos votos obtuvo cada candidato?
d. La edad de un padre es el triple de la edad de su hija. Pero la edad que tenía el padre hace 9
años era el doble de la edad que tendrá su hija dentro de 7 años ¿Qué edad tienen padre e hija?
Ejercicio1
Escribe las ecuaciones que representan cada dialogo y los datos solicitados:
a) Expresión ____________________ Edad de Ana __________ Edad de Luz __________
b) Expresión ____________________ Costo: bolso __________ Billetera __________ Cartera __________
c) Expresión ____________________ Votos: Pérez __________ López __________ Cano __________
d) Expresión ____________________ Edad Padre __________ Edad hija __________

13. 13
Realiza aquí tus cálculos

14. 14
Realiza aquí tus cálculos

15. 15
Realiza aquí tus cálculos
Ejercicio 2
Ahora comprueba para cada expresión, si las respuestas obtenidas en el ejercicio 2 permiten
que se cumpla la igualdad de la expresión algebraica (calcula el valor numérico de la expresión
y compáralo con la igualdad).
Para ello tienes como herramienta el trabajo hecho con el valor numérico de una expresión.

16. 16
Realiza aquí tus cálculos

17. 17
Realiza aquí tus cálculos
Ejercicio 3
Ahora argumenta si las respuestas son soluciones para los respectivos problemas, como se hizo en
el ejemplo al inicio de la actividad.

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Hoy aprendimos que:
• Una ecuación es una igualdad que muestra la equivalencia entre dos cantidades, donde hay
valores que no se conocen, y para resolver la ecuación se deben encontrar dichos valores. Ejemplo
3x + 25 = 2
• Para dar solución a las ecuaciones se debe contemplar la propiedad uniforme de las igualdades,
la cual sirve para despejar la incógnita y además propone que si sumamos, restamos, multiplicamos
o dividimos la misma cantidad, a ambos lados de una igualdad, esta se mantiene.
• Para solucionar problemas a través de ecuaciones es conveniente tener en cuenta los siguientes
pasos:
3 + Ax + A =
Ax x xA3 3 3
2 . 32 . x =
x 3
3X =
x 3
3X =
Figura 16. Ley uniforme
Figura 17. Pasos para solucionar problemas con ecuaciones
Interpretar
el enunciado
Identificar
incógnitas
Plantear la
ecuación
Dar solución
a la ecuación
Verificar que la
respuesta cumpla
las condiciones del
problema
Comprobar que el
resultado satisfaga
la igualdad

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Q1. Solucionar los siguientes problemas y verifica si los resultados de la incógnita son solución para
la ecuación del problema.
A) La edad de Estrella es cuatro veces la edad Luna .Si ambas edades suman 75 años ¿Qué edad
tiene cada una?
B) Mario desea vender un vehículo, una moto y una bicicleta por $12.600.000. El coche vale 3 veces
más que la moto y la moto 5 veces más que la bicicleta. ¿Cuánto vale cada vehículo?
C) La suma de las edades de 3 jóvenes es de 45 años. El mayor tiene 5 años más que el mediano
y éste 2 años más que el menor. ¿Cuál es la edad de cada uno?
D) Se desea distribuir una suma de $40000 entre 3 personas de modo que la primera reciba $600
más que la segunda y ésta $200 más que la tercera. ¿Cuánto le tocará a cada una?
Realiza aquí tus cálculos

20. 20
Realiza aquí tus cálculos

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Lista de figuras
Figura 1. El mago
Figura 2. La maestra
Figura 3. Balanza en equilibrio
Figura 4. Balanza en desequilibrio
Figura 5. Balanza en equilibrio 2
Figura 6. Balanza en equilibrio 3
Figura 7. Balanza en equilibrio 4
Figura 8. Balanza en equilibrio 5
Figura 9. Balanza en equilibrio 7
Figura 10. Balanza en equilibrio 6
Figura 11. Balanza en equilibrio 8
Figura 12. Balanza en equilibrio 9
Figura 13. Balanza en equilibrio 10
Figura 14. Balanza en equilibrio 12
Figura 15. Balanza en equilibrio 11
Figura 16. Ley uniforme
Figura 17. Pasos para solucionar problemas con ecuaciones