Unidad 1

unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 1
Unidad 1: Solución de sistemas
Unidad 1: Solución de sistemas
de ecuaciones
de ecuaciones
“
“El primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propia
El primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propia
ignorancia”
ignorancia”
Siddhartha
Siddhartha

APUNTES BASICOS DE
APUNTES BASICOS DE
MATEMATICAS 3
MATEMATICAS 3
► A MANERA DE EXPLICACION:
A MANERA DE EXPLICACION:
Con los contenidos de cada una de las unidades de las que consta la
Con los contenidos de cada una de las unidades de las que consta la
materia de matemáticas tres, continuamos lo que se puede considerar el
materia de matemáticas tres, continuamos lo que se puede considerar el
tronco de los conocimientos matemáticos con los que los alumnos deben
tronco de los conocimientos matemáticos con los que los alumnos deben
ir acompañados para cursar el siguiente año escolar, y así tener mayor
ir acompañados para cursar el siguiente año escolar, y así tener mayor
oportunidad de cursar la especialidad que pretendan seleccionar en el
oportunidad de cursar la especialidad que pretendan seleccionar en el
momento que les corresponda.
momento que les corresponda.
Este libro de apuntes básicos de matemáticas tres pretende ser el
Este libro de apuntes básicos de matemáticas tres pretende ser el
material didáctico a utilizar (bueno lo proponemos) por parte del profesor
material didáctico a utilizar (bueno lo proponemos) por parte del profesor
en el salón de clase, con el fin de cumplir con los propósitos, aprendizajes
en el salón de clase, con el fin de cumplir con los propósitos, aprendizajes
y contenido temático del programa de la materia y además para ir
y contenido temático del programa de la materia y además para ir
cubriendo (ayudando a resolver podría ser ) la gran dificultad a la que
cubriendo (ayudando a resolver podría ser ) la gran dificultad a la que
tenemos que enfrentarnos en el salón de clase, al no contar con
tenemos que enfrentarnos en el salón de clase, al no contar con
suficientes problemas tipo, así como propuestas didácticas variadas para
suficientes problemas tipo, así como propuestas didácticas variadas para
el trabajo con el alumno, al poner en practica los programas ajustados,
el trabajo con el alumno, al poner en practica los programas ajustados,
después de hacer la revisión de los programas del plan de estudios
después de hacer la revisión de los programas del plan de estudios
actualizado (PEA).
actualizado (PEA).

► A LOS PROFESORES:
A LOS PROFESORES:
Les hacemos llegar este libro para que lo utilicen en la atención a los
Les hacemos llegar este libro para que lo utilicen en la atención a los
grupos que tienen asignados de esta materia, y lo hagan verificando que
grupos que tienen asignados de esta materia, y lo hagan verificando que
cumple tanto con el contenido como con los propósitos y que permite
cumple tanto con el contenido como con los propósitos y que permite
alcanzar los aprendizajes planteados en la misma.
alcanzar los aprendizajes planteados en la misma.
Solicitamos al mismo tiempo, si tienen a bien, hacemos llegar los
Solicitamos al mismo tiempo, si tienen a bien, hacemos llegar los
comentarios que consideren pertinentes para incluirlos en las próxima
comentarios que consideren pertinentes para incluirlos en las próxima
revisión, para tener oportunidad de mejorarlos, y de esta forma contar
revisión, para tener oportunidad de mejorarlos, y de esta forma contar
con materiales que nos permitan a todos, desarrollar las unidades de las
con materiales que nos permitan a todos, desarrollar las unidades de las
materia tratando de cumplir lo expuesto en los programas como son:
materia tratando de cumplir lo expuesto en los programas como son:
propósitos, tanto de la materia como de cada unidad, así como también
propósitos, tanto de la materia como de cada unidad, así como también
nos permitan alcanzar en los alumnos los aprendizajes fundamentales.
nos permitan alcanzar en los alumnos los aprendizajes fundamentales.
Las graficas de la solución de los problemas se realizaron con los
Las graficas de la solución de los problemas se realizaron con los
softwares Geolab y Winplot, se recomienda el uso de estos software en la
softwares Geolab y Winplot, se recomienda el uso de estos software en la
verificación de los problemas que los alumnos deben resolver. En el
verificación de los problemas que los alumnos deben resolver. En el
apéndice se expone una explicación para la utilización del software
apéndice se expone una explicación para la utilización del software
Geolab.
Geolab.

► A LOS ESTUDIANTES:
A LOS ESTUDIANTES:
Ponemos en tus manos este libro para que al leerlo detenidamente y
Ponemos en tus manos este libro para que al leerlo detenidamente y
al
al
analizarlo, adquieras con el, los aprendizajes que te permitan la
analizarlo, adquieras con el, los aprendizajes que te permitan la
preparación necesaria y suficiente para tu desarrollo y continuidad en
preparación necesaria y suficiente para tu desarrollo y continuidad en
tu
tu
formación matemática en la Escuela Nacional del Colegio de Ciencias
formación matemática en la Escuela Nacional del Colegio de Ciencias
y
y
Humanidades, la Universidad, y en tu vida cotidiana. Es importante
Humanidades, la Universidad, y en tu vida cotidiana. Es importante
que
que
cuando resuelvas los problemas tengas a la mano un cuaderno, para
cuando resuelvas los problemas tengas a la mano un cuaderno, para
que
que
realices las operaciones pertinentes.
realices las operaciones pertinentes.
► RECONOCIMIENTOS:
RECONOCIMIENTOS:
Deseamos agradecer al Prof. Asesor Técnico del C.C.H Vallejo Marte
Deseamos agradecer al Prof. Asesor Técnico del C.C.H Vallejo Marte
Adolfo Pérez Botello, así como a Marco Antonio Chalini Morales,
Adolfo Pérez Botello, así como a Marco Antonio Chalini Morales,
quienes
quienes
leyeron el manuscrito y revisaron las imágenes.
leyeron el manuscrito y revisaron las imágenes.

UNIDAD 1:
UNIDAD 1:
SOLUCION DE SISTEMAS DE
SOLUCION DE SISTEMAS DE
ECUACIONES
ECUACIONES
► PROPOSITOS:
PROPOSITOS:
* Ampliar el concepto de Sistema de Ecuaciones y extender los
* Ampliar el concepto de Sistema de Ecuaciones y extender los
procedimientos algebraicos de solución.
procedimientos algebraicos de solución.
* Reafirmar el significado algebraico y grafico de la solución de
* Reafirmar el significado algebraico y grafico de la solución de
un sistema. Proporcionar una herramienta para el manejo del
un sistema. Proporcionar una herramienta para el manejo del
método analítico.
método analítico.
* Avanzar en la practica de la operatividad algebraica
* Avanzar en la practica de la operatividad algebraica.
.
APRENDIZAJES:
APRENDIZAJES:
AL FINALIZAR LA UNIDAD EL ALUMNO DEBE:
AL FINALIZAR LA UNIDAD EL ALUMNO DEBE:
*
* Reconocer cuando un sistema de ecuaciones es lineal o (no)
Reconocer cuando un sistema de ecuaciones es lineal o (no)
de otro tipo, y cuales son sus incógnitas.
de otro tipo, y cuales son sus incógnitas.

* Recordar el método de reducción para resolver un sistema de 2
* Recordar el método de reducción para resolver un sistema de 2
ecuaciones con 2 incógnitas, y comprenderá la forma en que se
ecuaciones con 2 incógnitas, y comprenderá la forma en que se
extiende a un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
extiende a un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
* Reafirmar el concepto de sistemas equivalentes y comprenderá
* Reafirmar el concepto de sistemas equivalentes y comprenderá
que en los métodos algebraicos de resolución de un sistema de
que en los métodos algebraicos de resolución de un sistema de
ecuaciones, se recurre a transformarlos a sistemas equivalentes
ecuaciones, se recurre a transformarlos a sistemas equivalentes
de mayor simplicidad, hasta llegar a alguno que contiene una
de mayor simplicidad, hasta llegar a alguno que contiene una
ecuación con una sola incógnita, de convertir una situación
ecuación con una sola incógnita, de convertir una situación
desconocida o difícil, a otra conocida o mas simple.
desconocida o difícil, a otra conocida o mas simple.
* Distinguir cuando un sistema de ecuaciones de 3 por 3 o de 4 por
* Distinguir cuando un sistema de ecuaciones de 3 por 3 o de 4 por
4, esta escrito en forma triangular y explicar que ventajas aporta
4, esta escrito en forma triangular y explicar que ventajas aporta
esta forma para resolverlo.
esta forma para resolverlo.
* Dado un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3, utilizar el
* Dado un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3, utilizar el
método de suma y resta para transformarlo a la forma triangular,
método de suma y resta para transformarlo a la forma triangular,
y a partir de ahí, obtener su solución.
y a partir de ahí, obtener su solución.
*A través de un sistema de ecuaciones escrito en forma triangular,
*A través de un sistema de ecuaciones escrito en forma triangular,
identificar si este es independiente y compatible, dependiente y
identificar si este es independiente y compatible, dependiente y
compatible, o bien si es incompatible.
compatible, o bien si es incompatible.

* En el caso de los sistemas de 2 por 2, ya sea que ambas
* En el caso de los sistemas de 2 por 2, ya sea que ambas
ecuaciones sean lineales o incluyan cuadráticas, explicar a
ecuaciones sean lineales o incluyan cuadráticas, explicar a
partir de una grafica, que significa que el sistema tenga una,
partir de una grafica, que significa que el sistema tenga una,
ninguna o una infinidad de soluciones.
ninguna o una infinidad de soluciones.
* Para sistemas de ecuaciones de 2 por 2 con ambas ecuaciones
* Para sistemas de ecuaciones de 2 por 2 con ambas ecuaciones
cuadráticas (parábolas y/o circunferencias), trazar un bosquejo
cuadráticas (parábolas y/o circunferencias), trazar un bosquejo
que ilustre como pueden estar colocadas las graficas para que
que ilustre como pueden estar colocadas las graficas para que
el sistema tenga cero, una, dos , tres o cuatro soluciones.
el sistema tenga cero, una, dos , tres o cuatro soluciones.
* Aplicar el método de sustitución para resolver sistemas de dos
* Aplicar el método de sustitución para resolver sistemas de dos
ecuaciones en los que una de ellas o ambas son cuadráticas.
ecuaciones en los que una de ellas o ambas son cuadráticas.
* Apreciar que el algebra es útil para obtener información a cerca
* Apreciar que el algebra es útil para obtener información a cerca
del comportamiento de algunos objetos matemáticos, como es
del comportamiento de algunos objetos matemáticos, como es
el caso de saber si dos graficas se intersectan o no, cuantas
el caso de saber si dos graficas se intersectan o no, cuantas
veces y en donde.
veces y en donde.
* Resolver problemas que involucren sistemas de ecuaciones de
* Resolver problemas que involucren sistemas de ecuaciones de
los tipos estudiados en esta unidad.
los tipos estudiados en esta unidad.
* Interpretar en el contexto del problema proporcionado, el
* Interpretar en el contexto del problema proporcionado, el
sentido de la solución hallada.
sentido de la solución hallada.

► CONTENIDO TEMÁTICO:
CONTENIDO TEMÁTICO:
* Situaciones que dan lugar a sistemas de ecuaciones lineales
* Situaciones que dan lugar a sistemas de ecuaciones lineales
* Sistemas de ecuaciones lineales, 2x2 y 3x3
* Sistemas de ecuaciones lineales, 2x2 y 3x3
a) Con solución única
b) Con infinidad de soluciones
c) Sin soluciones
c) Sin soluciones
* Sistemas de Ecuaciones Equivalentes
* Sistemas de Ecuaciones Equivalentes
a) Concepto
a) Concepto
b) Forma Triangular
b) Forma Triangular
c) Métodos de resolución no lineales 2x2
c) Métodos de resolución no lineales 2x2
* Sistemas de ecuaciones no lineales 2x2
* Sistemas de ecuaciones no lineales 2x2
a) Con una ecuación lineal y otra cuadrática
a) Con una ecuación lineal y otra cuadrática
b) Con ambas ecuaciones cuadráticas
b) Con ambas ecuaciones cuadráticas
c) El significado grafico de su solución
c) El significado grafico de su solución
d) Método de substitución
d) Método de substitución
* Problemas de Aplicación
* Problemas de Aplicación

UNIDAD 1: SOLUCION DE
UNIDAD 1: SOLUCION DE
SISTEMA DE ECUACIONES
* PROPOSITOS:
* PROPOSITOS: Ampliar el concepto de sistemas de ecuaciones y
Ampliar el concepto de sistemas de ecuaciones y
extender los procedimientos algebraicos de solución. Reafirmar el
extender los procedimientos algebraicos de solución. Reafirmar el
significado algebraico y grafico de la solución de un sistema.
significado algebraico y grafico de la solución de un sistema.
Proporcionar una herramienta para el manejo del método analítico.
Proporcionar una herramienta para el manejo del método analítico.
Avanzar en la practica de la operatividad algebraica.
Avanzar en la practica de la operatividad algebraica.
* APRENDIZAJES:
* APRENDIZAJES:
- Reconocer cuando un sistema de ecuaciones es lineal o de otro tipo
- Reconocer cuando un sistema de ecuaciones es lineal o de otro tipo
y cuales son sus incógnitas.
y cuales son sus incógnitas.
- Recordar el método de reducción para resolver un sistema de dos
- Recordar el método de reducción para resolver un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas.
ecuaciones con dos incógnitas.
* TEMATICA:
* TEMATICA:
c) Sin solución
c) Sin solución
9

INTRODUCCION
INTRODUCCION
Los métodos de solución de los sistemas de ecuaciones simultaneas que se
Los métodos de solución de los sistemas de ecuaciones simultaneas que se
abordan actualmente en el estudio de las matemáticas de nivel medio superior,
abordan actualmente en el estudio de las matemáticas de nivel medio superior,
han experimentado un proceso de estructuración en sus formas y contenidos a
han experimentado un proceso de estructuración en sus formas y contenidos a
lo largo de la Historia de las matemáticas, pues hay que recordar que muchos
lo largo de la Historia de las matemáticas, pues hay que recordar que muchos
investigadores de diferentes culturas universales han coadyuvado en esta tarea.
investigadores de diferentes culturas universales han coadyuvado en esta tarea.
Hoy conocemos de diferentes fuentes históricas que los egipcios, entre 2200 y
Hoy conocemos de diferentes fuentes históricas que los egipcios, entre 2200 y
1700 a. de c. sentaron bases teóricas dignas de tomar en cuenta para el
1700 a. de c. sentaron bases teóricas dignas de tomar en cuenta para el
desarrollo de esta clase de ecuaciones y aun con ciertas limitaciones en el
desarrollo de esta clase de ecuaciones y aun con ciertas limitaciones en el
desarrollo de su algebra, llegaron a plantear y resolver problemas notables; que
desarrollo de su algebra, llegaron a plantear y resolver problemas notables; que
con el uso del lenguaje algebraico actual corresponde a un sistema como este:
con el uso del lenguaje algebraico actual corresponde a un sistema como este:
X2+Y2=50
X2+Y2=50
Y=(2/3)X
Y=(2/3)X
Mencionemos también que algunos matemáticos pertenecientes a la cultura
Mencionemos también que algunos matemáticos pertenecientes a la cultura
China en un libro que lleva por nombre “La aritmética en nueve secciones”,
China en un libro que lleva por nombre “La aritmética en nueve secciones”,
escritos en el año 2006 a. de c. dieron a conocer una colección de problemas
escritos en el año 2006 a. de c. dieron a conocer una colección de problemas
sobre agricultura e ingeniería, así como las reglas para resolver algunos
sobre agricultura e ingeniería, así como las reglas para resolver algunos
sistemas de ecuaciones lineales. Estos procedimientos son muy semejantes a
sistemas de ecuaciones lineales. Estos procedimientos son muy semejantes a
los actuales como el método de eliminación por suma y resta, el método de
los actuales como el método de eliminación por suma y resta, el método de
Gauss – Jordan y el método de la regla de Cramer.
Gauss – Jordan y el método de la regla de Cramer.

SITUACIONES QUE DAN LUGAR A
SITUACIONES QUE DAN LUGAR A
SISTEMAS DE ECUECIONES
SISTEMAS DE ECUECIONES
LINEALES DOS POR DOS
LINEALES DOS POR DOS
En la unidad 4 de matemáticas 1 se estudiaron los métodos
En la unidad 4 de matemáticas 1 se estudiaron los métodos
para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos
para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos
ecuaciones con dos incógnitas, algunas de estas técnicas, por
ecuaciones con dos incógnitas, algunas de estas técnicas, por
ejemplo de eliminación y sustitución las recordaremos con
ejemplo de eliminación y sustitución las recordaremos con
algunos problemas que nos conduzcan a un sistema de
algunos problemas que nos conduzcan a un sistema de
ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.
ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Escribe en tu cuaderno el nombre de los métodos que
Escribe en tu cuaderno el nombre de los métodos que
aprendiste en tu curso de matemáticas 1 y resuelve el
aprendiste en tu curso de matemáticas 1 y resuelve el
siguiente problema con el método que recuerdes.
siguiente problema con el método que recuerdes.

Problema 1.1
Problema 1.1
Un químico tiene dos soluciones con acido, cada una contiene un
Un químico tiene dos soluciones con acido, cada una contiene un
cierto porcentaje de acido nítrico. Si una solución tiene el 4% de
cierto porcentaje de acido nítrico. Si una solución tiene el 4% de
acido nítrico y la otra el 14% del mismo acido, ¿Qué cantidad de
acido nítrico y la otra el 14% del mismo acido, ¿Qué cantidad de
cada solución debería mezclarse para obtener 20 litros de una
cada solución debería mezclarse para obtener 20 litros de una
solución que contenga el 12% de acido nítrico?
solución que contenga el 12% de acido nítrico?
Solución:
Solución:
Comprenderemos el problema ilustrándolo con figuras que
Comprenderemos el problema ilustrándolo con figuras que
muestren la realidad del problema, para identificar cuales son los
muestren la realidad del problema, para identificar cuales son los
datos y cuales las incógnitas.
datos y cuales las incógnitas.
Solución X Solución Y 20 litros con el 12 %
4% de acido nítrico 14% acido nítrico de acido nítrico

DATOS:
DATOS:
x+y=20------------------------(1)
x+y=20------------------------(1)
.04x+.14y=.12(20)------------(2)
.04x+.14y=.12(20)------------(2)
Incógnitas: ¿ Cuantos litros de solución “x” con una concentración del 4% de
Incógnitas: ¿ Cuantos litros de solución “x” con una concentración del 4% de
acido nítrico así como cuantos litros de solución “y” con una concentración del
acido nítrico así como cuantos litros de solución “y” con una concentración del
14%, se necesitan para obtener una solución de 20 litros con una
14%, se necesitan para obtener una solución de 20 litros con una
concentración del 12% de acido nítrico?
concentración del 12% de acido nítrico?
Para llegar a la respuesta podemos resolver el sistema por el método de suma
Para llegar a la respuesta podemos resolver el sistema por el método de suma
y resta:
y resta:
A la ecuación (1) la multiplicaremos por -.40 y la sumamos a la ecuación (2).
A la ecuación (1) la multiplicaremos por -.40 y la sumamos a la ecuación (2).
-.04(x+y=20)
-.04(x+y=20)
.04x+.14y=2.4
.04x+.14y=2.4
.1y=1.6
.1y=1.6
y=16
y=16

Sustituyendo en la ecuación (1) este valor
Sustituyendo en la ecuación (1) este valor
x+16=20
x+16=20
X=4
X=4
Podemos decir que se necesitan 4 litros de solución con una concentración de
Podemos decir que se necesitan 4 litros de solución con una concentración de
acido nítrico del 4% y 16 litros de solución con una concentración del 14%
acido nítrico del 4% y 16 litros de solución con una concentración del 14%
del mismo acido. Esto lo podemos verificar si sustituimos estos valores en el
del mismo acido. Esto lo podemos verificar si sustituimos estos valores en el
sistema original.
sistema original.
4+16=20 (1)
4+16=20 (1)
.04(4)+.14(16)=.12(20) (2)
.04(4)+.14(16)=.12(20) (2)
PROBLEMA 1.2
PROBLEMA 1.2
El costo de tres camisetas y cinco pantalones es de $465 pesos. El costo de
El costo de tres camisetas y cinco pantalones es de $465 pesos. El costo de
dos camisetas y un pantalón es de $226. ¿Cuál será el costo de una camiseta
dos camisetas y un pantalón es de $226. ¿Cuál será el costo de una camiseta
y un pantalón?
y un pantalón?

unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones
Solucion:
Solucion:
Identificaremos los datos y las incógnitas con algunos
Identificaremos los datos y las incógnitas con algunos
esquemas que nos ilustren el problema.
esquemas que nos ilustren el problema.
Denotemos el costo de una camisa por la variable x, el costo de un
Denotemos el costo de una camisa por la variable x, el costo de un
pantalón por la variable y.
pantalón por la variable y.
Incógnitas: cuanto es el costo de una camisa y cuanto es el costo de
Incógnitas: cuanto es el costo de una camisa y cuanto es el costo de
un pantalón.
un pantalón.
15
3x ┼ 5 y
2x ┼ y

Planteando un sistema de ecuaciones lineales, se tiene:
Planteando un sistema de ecuaciones lineales, se tiene:
3x+5y =465 (1)
3x+5y =465 (1)
2x+y=226 (2)
2x+y=226 (2)
Aplicando el método de suma y resta, resolveremos este sistema.
Aplicando el método de suma y resta, resolveremos este sistema.
Eliminemos la variable y multiplicando la ecuación (2) por -5 y
Eliminemos la variable y multiplicando la ecuación (2) por -5 y
sumemos con la ecuación (1):
sumemos con la ecuación (1):
3x+5y=465
3x+5y=465
-10x-5y=-1130
-10x-5y=-1130
-7x+0=-665
-7x+0=-665
Considerando la ecuación: -7x= -665 despeja la variable x; realiza las
Considerando la ecuación: -7x= -665 despeja la variable x; realiza las
operaciones en tu cuaderno.
operaciones en tu cuaderno.
Debes encontrar la siguiente solución.
Debes encontrar la siguiente solución.
x=95
x=95
Sustituyendo este valor de x=95 en la ecuación (1), encuentra el valor de
Sustituyendo este valor de x=95 en la ecuación (1), encuentra el valor de
3(95)+5y=465
3(95)+5y=465
16

Debes llegar al siguiente resultado.
Debes llegar al siguiente resultado.
y=36
y=36
Concluimos que el costo de una camisa es de $95 y el costo de un
Concluimos que el costo de una camisa es de $95 y el costo de un
pantalón es de $36. Para asegurarnos que se resolvió correctamente el
pantalón es de $36. Para asegurarnos que se resolvió correctamente el
problema, sustituimos estos valores en el sistema de ecuaciones
problema, sustituimos estos valores en el sistema de ecuaciones
planteado anteriormente y observaremos que en ambas ecuaciones la
planteado anteriormente y observaremos que en ambas ecuaciones la
igualdad se cumple:
igualdad se cumple:
3x+5y=465 (1)
3x+5y=465 (1)
2x+y=226 (2)
2x+y=226 (2)
Sustituimos x = 95; y = 36, en la ecuación (1):
Sustituimos x = 95; y = 36, en la ecuación (1):
3x+5y=465
3x+5y=465
3(95)+5(36)=465
3(95)+5(36)=465
285+180=465
285+180=465
465=465
465=465

Hacemos lo mismo en la ecuación (2):
Hacemos lo mismo en la ecuación (2):
2x+y=226
2x+y=226
2(95)+36=226
2(95)+36=226
190+36=226
190+36=226
226=226
226=226
Problemas:
Problemas:
Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno con el
Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno con el
método de suma y resta, realiza algunos esquemas con el fin
método de suma y resta, realiza algunos esquemas con el fin
de identificar correctamente cuales son tus datos y cuales
de identificar correctamente cuales son tus datos y cuales
son tus incógnitas, verifica en cada problema si tu solución
son tus incógnitas, verifica en cada problema si tu solución
es correcta y escribe una solución para cada uno de los
es correcta y escribe una solución para cada uno de los
problemas.
problemas.

1)
1) En un supermercado Juan compro 5 kg. De naranjas y 4 kg. De
En un supermercado Juan compro 5 kg. De naranjas y 4 kg. De
plátanos, y pago 57 pesos, por otros 2 kg. De naranjas y 6 kg. De
plátanos, y pago 57 pesos, por otros 2 kg. De naranjas y 6 kg. De
plátanos pago 60 pesos. Encuentra el precio de 1 kg. De naranja
plátanos pago 60 pesos. Encuentra el precio de 1 kg. De naranja
y un kilogramo de plátanos.
y un kilogramo de plátanos.
Sol.Preciodelkilodenaranjas:4.64
Sol.Preciodelkilodenaranjas:4.64
Precio del kilo de plátanos: 8.45
Precio del kilo de plátanos: 8.45
2)
2) El perímetro de un rectángulo es de 64 metros. Si el largo del
El perímetro de un rectángulo es de 64 metros. Si el largo del
rectángulo es el triple del ancho: Construye un sistema de dos
rectángulo es el triple del ancho: Construye un sistema de dos
ecuaciones de 2 por 2, para determinar el largo y el ancho del
ecuaciones de 2 por 2, para determinar el largo y el ancho del
rectángulo.
rectángulo.
Sol. Ancho : 20
Sol. Ancho : 20
Largo :48
Largo :48

3)
3) Se tiene un cable conductor de energía de 60 metros de largo, para
Se tiene un cable conductor de energía de 60 metros de largo, para
conectar equipos en una planta termoeléctrica. Si con el cable se
conectar equipos en una planta termoeléctrica. Si con el cable se
forma un rectángulo:
forma un rectángulo:
¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo, si el largo del
¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo, si el largo del
rectángulo que se forma es el doble que su ancho?
rectángulo que se forma es el doble que su ancho?
Sol. Ancho :20
Sol. Ancho :20
Largo :48
Largo :48
4)
4) En un supermercado Juan compro 5kg. De toronjas y 4 kg. De
En un supermercado Juan compro 5kg. De toronjas y 4 kg. De
duraznos, y pago 30 pesos, por otros 2 kg. De toronjas y 6 kg. De
duraznos, y pago 30 pesos, por otros 2 kg. De toronjas y 6 kg. De
duraznos, pago 23 pesos. Encuentra el precio de 1 kg. De toronjas y
duraznos, pago 23 pesos. Encuentra el precio de 1 kg. De toronjas y
duraznos.
duraznos.
Sol. kg. de toronjas = 4 pesos
Sol. kg. de toronjas = 4 pesos
kg. de duraznos = 2.5 pesos
kg. de duraznos = 2.5 pesos
20
20

Recuerda que no todos los sistemas lineales tienen solución: cuando
Recuerda que no todos los sistemas lineales tienen solución: cuando
un sistema de ecuaciones tiene solución se dice que es consistente
un sistema de ecuaciones tiene solución se dice que es consistente
e independiente ( las rectas se intersecan), cuando no tiene solución
e independiente ( las rectas se intersecan), cuando no tiene solución
se llama inconsistente ( las rectas son paralelas), cuando tiene una
se llama inconsistente ( las rectas son paralelas), cuando tiene una
infinidad de soluciones se dice que el sistema es dependiente ( las
infinidad de soluciones se dice que el sistema es dependiente ( las
rectas coinciden). Considerando un sistema general de dos
rectas coinciden). Considerando un sistema general de dos
ecuaciones lineales con dos variables.
ecuaciones lineales con dos variables.
a
a1
1x+b
x+b1
1y=c
y=c1
1
a
a2
2x+b
x+b2
2y=c
y=c2
2
En donde a
En donde a1
1,b
,b1
1,c
,c1
1,a
,a2
2,b
,b2
2,c
,c2
2 son números reales.
son números reales.
Las graficas de cada una de estas ecuaciones son rectas; se hará
Las graficas de cada una de estas ecuaciones son rectas; se hará
referencia a ellas como
referencia a ellas como
Si se grafican dos ecuaciones lineales en el mismo sistema de
Si se grafican dos ecuaciones lineales en el mismo sistema de
coordenadas rectangulares ocurrirá una de las tres siguientes
coordenadas rectangulares ocurrirá una de las tres siguientes
alternativas siguientes:
alternativas siguientes:
21
21

1) Las rectas coinciden; por consiguiente, el sistema de
1) Las rectas coinciden; por consiguiente, el sistema de
ecuaciones tiene un numero infinito de soluciones. Por ello se
ecuaciones tiene un numero infinito de soluciones. Por ello se
dice que el sistema es dependiente.
dice que el sistema es dependiente.
2) Las rectas son paralelas; por consiguiente, el sistema de
2) Las rectas son paralelas; por consiguiente, el sistema de
ecuaciones no tiene ninguna solución. Por ello se dice que el
ecuaciones no tiene ninguna solución. Por ello se dice que el
sistema es inconsistente.
sistema es inconsistente.
3) Las rectas se intersecan en exactamente en un punto. Por
3) Las rectas se intersecan en exactamente en un punto. Por
ello se dice que el sistema es consistente e independiente.
ello se dice que el sistema es consistente e independiente.
Los siguientes sistemas de ecuaciones y sus graficas
Los siguientes sistemas de ecuaciones y sus graficas
correspondientes ilustran estos tres casos.
correspondientes ilustran estos tres casos.
2x-y=-3 x+2y=4 x+2y=4
2x-y=-3 x+2y=4 x+2y=4
4x-2y=-6 x+2y=8 2x-y=3
4x-2y=-6 x+2y=8 2x-y=3

APLICANDO EL METODO DE SUMA Y
APLICANDO EL METODO DE SUMA Y
RESTA: CUANDO EL SISTEMA ES
RESTA: CUANDO EL SISTEMA ES
CONSISTENETE Y TIENE UNA
CONSISTENETE Y TIENE UNA
SOLUCION
SOLUCION
Rectas que coinciden
Sistemas dependientes
Numero infinito de
soluciones
Rectas paralelas
Sistemas inconsistentes
Sin solución
Rectas que se
intersecan
Sistemas inconsistentes
e independientes
Exactamente una
solución

.
.
Problema 1.3:
Problema 1.3:
A continuación resolveremos el siguiente sistema de ecuaciones y construiremos
A continuación resolveremos el siguiente sistema de ecuaciones y construiremos
su grafica.
su grafica.
x-y=-5 (1)
x-y=-5 (1)
x+2y=4 (2)
x+2y=4 (2)
Solución del problema:
Solución del problema:
Escribe en tu cuaderno cuales serian tus datos en la solución del problema:
Escribe en tu cuaderno cuales serian tus datos en la solución del problema:
Escribe en tu cuaderno, cual es la incógnita en la solución del problema:
Escribe en tu cuaderno, cual es la incógnita en la solución del problema:

Resolveremos el sistema de ecuaciones:
Resolveremos el sistema de ecuaciones:
Si multiplicamos la ecuación (1) por -1 tendremos que en ambas
Si multiplicamos la ecuación (1) por -1 tendremos que en ambas
ecuaciones respecto a la variable x, coeficientes que solo difieren en el
ecuaciones respecto a la variable x, coeficientes que solo difieren en el
signo, posteriormente sumamos.
signo, posteriormente sumamos.
-x+y=5
-x+y=5
x+2y=4
x+2y=4
0x+3y=9
0x+3y=9
De la ecuación: 3y = 9 despeja la variable y, en tu cuaderno
De la ecuación: 3y = 9 despeja la variable y, en tu cuaderno
y=3
y=3
Sí sustituimos este valor en la ecuación (2) obtendremos el valor de la
Sí sustituimos este valor en la ecuación (2) obtendremos el valor de la
variable
variable
x+2y=
x+2y=
x+2(3)=4
x+2(3)=4
Despeja la variable, debes llegar al resultado: x = -2
Despeja la variable, debes llegar al resultado: x = -2

Podemos concluir que: el punto en donde se intersecan estas
Podemos concluir que: el punto en donde se intersecan estas
dos rectas es P (-2 , 3).
dos rectas es P (-2 , 3).
Como se observa en la grafica.
Como se observa en la grafica.
Realiza la grafica en tu cuaderno identificando cual es la
Realiza la grafica en tu cuaderno identificando cual es la
ecuación de cada una de las rectas.
ecuación de cada una de las rectas.
26
26

EL METODO DE ELIMINACION:
EL METODO DE ELIMINACION:
CUANDO EL SISTEMA ES
CUANDO EL SISTEMA ES
INCONSISTENETE, ES DECIR NO
INCONSISTENETE, ES DECIR NO
TIENE SOLUCIÓN.
TIENE SOLUCIÓN.
Problema 1.4
Problema 1.4
Resuelve el siguiente problema de ecuaciones lineales y realiza una grafica.
Resuelve el siguiente problema de ecuaciones lineales y realiza una grafica.
-2x+2y=5 (1)
-2x+2y=5 (1)
x-y=1 (2)
x-y=1 (2)
Solución:
Solución:
Recordaremos que para resolver un problema debemos tener muy presente, cuales son los datos,
Recordaremos que para resolver un problema debemos tener muy presente, cuales son los datos,
escríbelos en tu cuaderno:
escríbelos en tu cuaderno:

Escribe en tu cuaderno, cuales son las incógnitas:
Escribe en tu cuaderno, cuales son las incógnitas:
Solución del sistema de ecuaciones:
Solución del sistema de ecuaciones:
Podemos obtener coeficientes que difieren solo en el signo a la
Podemos obtener coeficientes que difieren solo en el signo a la
variable “x” y la variable “y” si multiplicamos la segunda ecuación
variable “x” y la variable “y” si multiplicamos la segunda ecuación
por (2), al sumarlas observamos que tenemos una ecuación falsa.
por (2), al sumarlas observamos que tenemos una ecuación falsa.
-2x+2y=5
-2x+2y=5
2x-2y=2
2x-2y=2
0=7 Ecuación falsa
0=7 Ecuación falsa
Como no hay valores de las variables: “x” e “y” para los cuales 0=7
Como no hay valores de las variables: “x” e “y” para los cuales 0=7
el sistemas es inconsistente y no tiene solución, entonces las rectas
el sistemas es inconsistente y no tiene solución, entonces las rectas
correspondientes al sistema original son paralelas.
correspondientes al sistema original son paralelas.

Las líneas correspondientes a las dos ecuaciones dadas en
Las líneas correspondientes a las dos ecuaciones dadas en
este sistema se muestran en la siguiente figura. Observa que
este sistema se muestran en la siguiente figura. Observa que
las dos líneas son paralelas.
las dos líneas son paralelas.

EL METODO DE SUMA Y RESTA:
EL METODO DE SUMA Y RESTA:
CUANDO EL SISTEMA TIENE
CUANDO EL SISTEMA TIENE
MUCHAS SOLUCIONES.
MUCHAS SOLUCIONES.
Problema 1.5
Problema 1.5
Resuelve el sistema lineal por el método de eliminación o suma
Resuelve el sistema lineal por el método de eliminación o suma
y resta y construye la grafica correspondiente
y resta y construye la grafica correspondiente
3x-2y=6
3x-2y=6
-6x+4y=-12
-6x+4y=-12
Solución:
Solución:
Para resolver el problema debemos tener presente que los
Para resolver el problema debemos tener presente que los
datos de el problema son: el sistema de ecuaciones que
datos de el problema son: el sistema de ecuaciones que
debemos resolver por el método de eliminación.
debemos resolver por el método de eliminación.

Escribe en tu cuaderno cuales son las incógnitas:
Escribe en tu cuaderno cuales son las incógnitas:
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
Podemos obtener coeficientes en la variable “y” así como en la
Podemos obtener coeficientes en la variable “y” así como en la
variable “x” que difieran solo en el signo, si multiplicamos la
variable “x” que difieran solo en el signo, si multiplicamos la
primera ecuación por 2, posteriormente sumamos con la
primera ecuación por 2, posteriormente sumamos con la
ecuación (2).
ecuación (2).
6x-4y=12
6x-4y=12
-6x+2y=-12
-6x+2y=-12
0=0
0=0
31
31

Observemos que obtenemos una igualdad, esto significa que
Observemos que obtenemos una igualdad, esto significa que
las dos rectas son equivalentes (tienen el mismo conjunto
las dos rectas son equivalentes (tienen el mismo conjunto
solución), el sistema tiene infinidad de soluciones, podemos
solución), el sistema tiene infinidad de soluciones, podemos
decir que el conjunto de soluciones esta formado por todos los
decir que el conjunto de soluciones esta formado por todos los
puntos ( x , y ) que se encuentren en la línea 3x – 2y =6
puntos ( x , y ) que se encuentren en la línea 3x – 2y =6
como se muestra en la figura.
como se muestra en la figura.

Problema 1.6
Problema 1.6
Problema : Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método
Problema : Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método
de sustitución.
de sustitución.
x+2y=4.
x+2y=4. .
. .
. .(1)
.(1)
2x-y=3.
2x-y=3. .
. .
. .(2)
.(2)
Realiza las operaciones en tu cuaderno.
Realiza las operaciones en tu cuaderno.
Recuerda el método, puedes despejar de la ecuación (1) la variable x, y
Recuerda el método, puedes despejar de la ecuación (1) la variable x, y
sustituirla en la ecuación (2) y así conocer el valor de la variable de x, la
sustituirla en la ecuación (2) y así conocer el valor de la variable de x, la
solución del problema se ilustra con la siguiente grafica, contesta en tu
solución del problema se ilustra con la siguiente grafica, contesta en tu
cuaderno las siguientes preguntas:
cuaderno las siguientes preguntas:
1)
1) Escribe la solución que encontraste y localiza esta solución en la grafica.
Escribe la solución que encontraste y localiza esta solución en la grafica.
2)
2) Este sistema es consistente o inconsistente
Este sistema es consistente o inconsistente
3)
3) Explica que significa que un sistema sea consistente o inconsistente
Explica que significa que un sistema sea consistente o inconsistente
4)
4) Verifica la solución
Verifica la solución

Problemas
Problemas
Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas por estos
Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas por estos
dos métodos, dibuja un esquema con el fin de que
dos métodos, dibuja un esquema con el fin de que
identifiques correctamente cuales son tus datos y cuales son
identifiques correctamente cuales son tus datos y cuales son
tus incógnitas y cuando termines de resolver cada uno de los
tus incógnitas y cuando termines de resolver cada uno de los
problemas verifícalos:
problemas verifícalos:
Recomendación:
Recomendación: Estos problemas se sugiere sean resueltos
Estos problemas se sugiere sean resueltos
por equipos según lo indique el profesor.
por equipos según lo indique el profesor.
34
34

1) La suma de dos números es 44 y su diferencia es 20. ¿Cuáles son los
1) La suma de dos números es 44 y su diferencia es 20. ¿Cuáles son los
números?
números?
Sol. 12, 32
Sol. 12, 32
2) Dos ángulos son suplementarios, de tal manera que el primero es igual a
2) Dos ángulos son suplementarios, de tal manera que el primero es igual a
7 veces el segundo mas 4º. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos?
7 veces el segundo mas 4º. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos?
3) Un químico tiene una solución acida al 25% y otra al 50%. ¿Qué volumen
3) Un químico tiene una solución acida al 25% y otra al 50%. ¿Qué volumen
de cada una debe utilizarse para preparar 25 litros de una solución acida
de cada una debe utilizarse para preparar 25 litros de una solución acida
al 40% ?
al 40% ?
Sol. 10 litros de solución al 25%
Sol. 10 litros de solución al 25%
15 litros de solución al 50%
15 litros de solución al 50%

4) Resuelve el sistema lineal por el método de suma y resta, construye su grafica y
4) Resuelve el sistema lineal por el método de suma y resta, construye su grafica y
analiza si el sistema es consistente o inconsistente.
analiza si el sistema es consistente o inconsistente.
2x+y=4
2x+y=4
x-y=2
x-y=2
Sol. (2, 0)
Sol. (2, 0)
5) Resuelve el sistema lineal por método de sustitución
5) Resuelve el sistema lineal por método de sustitución
x+3y=2
x+3y=2
-x+2y=3
-x+2y=3
Sol. ( -1, 1 )
Sol. ( -1, 1 )
6)Resuelve el sistema lineal por el método que consideres mas apropiado, analiza
6)Resuelve el sistema lineal por el método que consideres mas apropiado, analiza
si es consistente o inconsistente y construye su grafica.
si es consistente o inconsistente y construye su grafica.
x-y=1
x-y=1
-2x+2y=5
-2x+2y=5
Sol. inconsistente
Sol. inconsistente

7) Resuelve el sistema lineal por el método que consideres mas apropiado,
7) Resuelve el sistema lineal por el método que consideres mas apropiado,
analiza si es consistente o inconsistente y construye su grafica.
analiza si es consistente o inconsistente y construye su grafica.
3x-2y=6
3x-2y=6
-6x+4y=-12
-6x+4y=-12
Sol. (2a , 3a-3 )
Sol. (2a , 3a-3 )
8) Resuelve el sistema por cualquier método, realiza una grafica
8) Resuelve el sistema por cualquier método, realiza una grafica
9x-3y=-1
9x-3y=-1
3x+6y=-5
3x+6y=-5
Sol. ( -1/3 , -2/3 )
Sol. ( -1/3 , -2/3 )
9) Resuelve el sistema lineal y realiza una grafica
9) Resuelve el sistema lineal y realiza una grafica
2/3x+1/6y=2/3
2/3x+1/6y=2/3
4x+y=4
4x+y=4
37
37

10)Resuelve el sistema de ecuaciones y realiza la grafica
10)Resuelve el sistema de ecuaciones y realiza la grafica
x/y+y/6=1
x/y+y/6=1
x+y=3
x+y=3
Sol. (18/5 , 3/5)
Sol. (18/5 , 3/5)
38

SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES DE TRES ECUACIONES
LINEALES DE TRES ECUACIONES
CON TRES INCÓGNITAS
CON TRES INCÓGNITAS
Aprendizajes.
Aprendizajes.
El alumno:
El alumno:
• Reafirmara el concepto de sistemas equivalentes y entenderá que en los
Reafirmara el concepto de sistemas equivalentes y entenderá que en los
métodos algebraicos de resolución de un sistema de ecuaciones, se
métodos algebraicos de resolución de un sistema de ecuaciones, se
recurre a transformar los sistemas equivalentes de mayor simplicidad,
recurre a transformar los sistemas equivalentes de mayor simplicidad,
hasta llegar a alguno que contiene una ecuación con una solo incógnita.
hasta llegar a alguno que contiene una ecuación con una solo incógnita.
Con ello reafirmara la estrategia matemática de convenir una situación
Con ello reafirmara la estrategia matemática de convenir una situación
desconocida o difícil, a otra conocida o mas fácil.
desconocida o difícil, a otra conocida o mas fácil.
• Dado un sistema de ecuaciones lineales 3x3, utilizara el método de suma
Dado un sistema de ecuaciones lineales 3x3, utilizara el método de suma
y resta para transformarlo a la forma triangular, y a partir de ahí, obtendrá
y resta para transformarlo a la forma triangular, y a partir de ahí, obtendrá
su solución.
su solución.
Temática:
Temática:

Sistemas de ecuaciones equivalentes
Sistemas de ecuaciones equivalentes
a)
a) Concepto
Concepto
b)
b) Forma triangular
Forma triangular
Ahora ampliaremos la definición de ecuación lineal ax + by = c a una
Ahora ampliaremos la definición de ecuación lineal ax + by = c a una
ecuación lineal o de primer grado con tres variables ax + by +cz =d, en
ecuación lineal o de primer grado con tres variables ax + by +cz =d, en
la que su grafica es un plano en el espacio, a diferencia de la grafica de
la que su grafica es un plano en el espacio, a diferencia de la grafica de
la primera ecuación que es una línea recta.
la primera ecuación que es una línea recta.
La solución de una ecuación lineal como : 2x + y – 3z = 3 es una terna
La solución de una ecuación lineal como : 2x + y – 3z = 3 es una terna
ordenada de números. Por ejemplo, (1, -2, -1 ) es una solución de la
ordenada de números. Por ejemplo, (1, -2, -1 ) es una solución de la
ecuación pues si se sustituyen a x, y, z por 1, -2, -1, en ese orden
ecuación pues si se sustituyen a x, y, z por 1, -2, -1, en ese orden
resulta una ecuación verdadera.
resulta una ecuación verdadera.
La solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables
La solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables
es una tercia ordenada de números. Por ejemplo la solución del
es una tercia ordenada de números. Por ejemplo la solución del
sistema:
sistema:
x+y-z
x+y-z
2x+y+z=1
2x+y+z=1
3x-2y-z=3
3x-2y-z=3
40
40

Es la tercia (1, 1, -2 ) que es la solución de cada una de las tres ecuaciones.
Es la tercia (1, 1, -2 ) que es la solución de cada una de las tres ecuaciones.
Es fácil comprobar por sustitución que esta tercia es solución del sistema anterior.
Es fácil comprobar por sustitución que esta tercia es solución del sistema anterior.
1+1-(-2)=4
1+1-(-2)=4
2(1)+2+(-2)=1
2(1)+2+(-2)=1
3(1)-2(1)-(-2)=3
3(1)-2(1)-(-2)=3
Un sistemas de tres ecuaciones lineales variables es consistente o inconsistente,
Un sistemas de tres ecuaciones lineales variables es consistente o inconsistente,
según como se intersequen los tres planos que corresponden a las tres ecuaciones,
según como se intersequen los tres planos que corresponden a las tres ecuaciones,
en las siguientes figuras se muestran algunas de las probabilidades de cómo se
en las siguientes figuras se muestran algunas de las probabilidades de cómo se
pueden intersecar estos tres planos.
pueden intersecar estos tres planos.

A continuación se plantean los pasos para resolver un
A continuación se plantean los pasos para resolver un
sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables.
Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables.
1.
1. Se seleccionan dos de las tres ecuaciones y se elimina una variable
Se seleccionan dos de las tres ecuaciones y se elimina una variable
2.
2. Se utiliza la ecuación del sistema original que no fue usada en el
Se utiliza la ecuación del sistema original que no fue usada en el
primer paso junto con cualquiera de las otras dos ecuaciones y se
primer paso junto con cualquiera de las otras dos ecuaciones y se
elimina la misma variable
elimina la misma variable
Los tres planos se intersectan en Los tres planos tienen Los tres planos no tienen punto
un solo punto P. una solución una recta l común en común , no hay solución
infinitas soluciones

3. Se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos variables
3. Se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos variables
4. Se sustituyen los valores de las dos variables en cualquiera de
4. Se sustituyen los valores de las dos variables en cualquiera de
las ecuaciones originales para obtener el valor de la tercera
las ecuaciones originales para obtener el valor de la tercera
variable
variable
5. Si en algún paso se obtiene una contradicción, el sistema no
5. Si en algún paso se obtiene una contradicción, el sistema no
tiene solución
tiene solución
6.Si al resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables
6.Si al resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables
se obtiene una identidad de algún paso, el sistema tiene un
se obtiene una identidad de algún paso, el sistema tiene un
numero infinito de soluciones o no tiene ninguna. De haber un
numero infinito de soluciones o no tiene ninguna. De haber un
numero infinito de soluciones, se expresan como se indico
numero infinito de soluciones, se expresan como se indico
para un sistema de dos ecuaciones con dos variables.
para un sistema de dos ecuaciones con dos variables.
Recordemos que en un sistema de dos ecuaciones lineales con
Recordemos que en un sistema de dos ecuaciones lineales con
dos incógnitas se pueden representar por dos líneas rectas. Si
dos incógnitas se pueden representar por dos líneas rectas. Si
las rectas tienen un solo punto de intersección entonces el
las rectas tienen un solo punto de intersección entonces el
sistema tiene una solución únicas en el coinciden, existe un
sistema tiene una solución únicas en el coinciden, existe un
numero infinito de soluciones; si son paralelas, no existe una
numero infinito de soluciones; si son paralelas, no existe una
solución y el sistema es inconsistente.
solución y el sistema es inconsistente.

Algo similar pasa cuando se tienen tres ecuaciones con tres
Algo similar pasa cuando se tienen tres ecuaciones con tres
incógnitas, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones
incógnitas, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones
ax+ by+ cz=d
ax+ by+ cz=d
ex+ fy+ gz=h
ex+ fy+ gz=h
jx+ ky+ iz=m
jx+ ky+ iz=m
Cada ecuación es la ecuación de un plano. Al resolver cualquier
Cada ecuación es la ecuación de un plano. Al resolver cualquier
sistema de ecuaciones de 3x3 existen 6 posibilidades de solución.
sistema de ecuaciones de 3x3 existen 6 posibilidades de solución.
Esto lo podemos observar en las figuras que a continuación se
Esto lo podemos observar en las figuras que a continuación se
presentan.
presentan.
1)Los tres planos se intersecan en un solo punto. Entonces existe una
1)Los tres planos se intersecan en un solo punto. Entonces existe una
solo solución única para el sistema, es decir los tres planos se
solo solución única para el sistema, es decir los tres planos se
intersecan en un solo punto, ver fig. 1.9
intersecan en un solo punto, ver fig. 1.9

2) Los planos se intersecan en la misma recta. Entonces cada punto sobre la recta es una
2) Los planos se intersecan en la misma recta. Entonces cada punto sobre la recta es una
solución y el sistema tiene un numero infinito de soluciones, ver fig. 1.10:
solución y el sistema tiene un numero infinito de soluciones, ver fig. 1.10:
3) Los tres planos coinciden. Entonces cada punto sobre el plano es una solución y se tiene un
3) Los tres planos coinciden. Entonces cada punto sobre el plano es una solución y se tiene un
numero infinito de soluciones fig. 1.11
numero infinito de soluciones fig. 1.11
4) Dos de los planos coinciden intersecan a un tercer plano en una recta. Entonces cada punto sobre la recta es una
4) Dos de los planos coinciden intersecan a un tercer plano en una recta. Entonces cada punto sobre la recta es una
solución y existe un numero infinito de soluciones, ver fig. 1.12:
solución y existe un numero infinito de soluciones, ver fig. 1.12:

4) Dos de los planos coinciden intersecan a un tercer plano en una
4) Dos de los planos coinciden intersecan a un tercer plano en una
recta. Entonces cada punto sobre la recta es una solución y existe
recta. Entonces cada punto sobre la recta es una solución y existe
un numero infinito de soluciones, ver fig. 1.12:
un numero infinito de soluciones, ver fig. 1.12:
5) Al menos dos planos son paralelos y distintos. Entonces ningún
5) Al menos dos planos son paralelos y distintos. Entonces ningún
punto puede estar en ambos y no hay solución. El sistema es
punto puede estar en ambos y no hay solución. El sistema es
inconsistente, ver fig. 1.13:
inconsistente, ver fig. 1.13:

6) Dos de los planos coinciden en una recta L. El tercer plano es
6) Dos de los planos coinciden en una recta L. El tercer plano es
paralelo a L (y no contiene a L), de manera que ningún punto
paralelo a L (y no contiene a L), de manera que ningún punto
del tercer plano se encuentra en los dos primeros. No existe
del tercer plano se encuentra en los dos primeros. No existe
una solución, y el sistema es inconsistente, ver fig. 1.14:
una solución, y el sistema es inconsistente, ver fig. 1.14:
A continuación resolveremos un problema que nos conduzca a
A continuación resolveremos un problema que nos conduzca a
un planteamiento de un sistema de tres ecuaciones con tres
un planteamiento de un sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas para su solución, el cual lo resolveremos por el
incógnitas para su solución, el cual lo resolveremos por el
método de eliminación con el fin de ilustrar el método.
método de eliminación con el fin de ilustrar el método.
.
.

TRANSFORMACION DE UN SISTEMA
TRANSFORMACION DE UN SISTEMA
DE ECUACIONES LINEALES DE TRES
DE ECUACIONES LINEALES DE TRES
ECUACIONES CON TRES
ECUACIONES CON TRES
INCOGNITAS A LA FORMA
INCOGNITAS A LA FORMA
TRIANGULAR
TRIANGULAR
Problema 1.7
Problema 1.7
El señor Ramírez es dueño de una dulcería y para surtir su negocio
El señor Ramírez es dueño de una dulcería y para surtir su negocio
compro un kilogramo de cada uno de los tres tamaños diferentes de
compro un kilogramo de cada uno de los tres tamaños diferentes de
dulces: pequeños, medianos y grandes. Después se dio cuenta que
dulces: pequeños, medianos y grandes. Después se dio cuenta que
había subestimado la cantidad de dulces pequeños y grandes que
había subestimado la cantidad de dulces pequeños y grandes que
necesitaba. Así pues, compro otra vez la misma cantidad de dulces
necesitaba. Así pues, compro otra vez la misma cantidad de dulces
pequeños y dos tantos de lo que había comprado de los grandes.
pequeños y dos tantos de lo que había comprado de los grandes.
Después de organizar su negocio se dio cuenta que le volvieron a
Después de organizar su negocio se dio cuenta que le volvieron a
faltar dulces, por lo que necesito comprar otro kilogramo de dulces
faltar dulces, por lo que necesito comprar otro kilogramo de dulces
pequeño y medianos. Cuando vio la nota de su compra observo que le
pequeño y medianos. Cuando vio la nota de su compra observo que le
habían cobrado por dulces $60 la primera vez; $65 la segunda y $35
habían cobrado por dulces $60 la primera vez; $65 la segunda y $35
la tercera ocasión. Los precios de los dulces varían de acuerdo el
la tercera ocasión. Los precios de los dulces varían de acuerdo el
tamaño, pero en las notas no se estipularon. Encuentre dichos
tamaño, pero en las notas no se estipularon. Encuentre dichos
precios.
precios.

A continuación ilustremos el problema con un esquema para
A continuación ilustremos el problema con un esquema para
identificar cuales son los datos y las incógnitas
identificar cuales son los datos y las incógnitas
Solución:
Solución:
Si x, y, z son los precios de los dulces por kilogramo que
Si x, y, z son los precios de los dulces por kilogramo que
corresponden a cada uno de los tres tamaños: chicos, medianos y
corresponden a cada uno de los tres tamaños: chicos, medianos y
grandes. A continuación se plantea el sistema de ecuaciones que
grandes. A continuación se plantea el sistema de ecuaciones que
hay que resolver, para saber el por kilogramo de los tres tamaños
hay que resolver, para saber el por kilogramo de los tres tamaños
de los dulces.
de los dulces.
x+y+z=60 (1)
x+y+z=60 (1)
x+0·y+2z=65 (2)
x+0·y+2z=65 (2)
x+y+0·z=35 (3)
x+y+0·z=35 (3)
49
Precio por kilogramo Precio por kilogramo Precio por
kilogramo
Dulces pequeños Dulces medianos Dulces
grandes

Consideremos la ecuación (1) y la ecuación (2), eliminaremos la
Consideremos la ecuación (1) y la ecuación (2), eliminaremos la
variable x multiplicando la segunda ecuación por (-) y sumando
variable x multiplicando la segunda ecuación por (-) y sumando
ambas ecuaciones obtenemos la ecuación (4):
ambas ecuaciones obtenemos la ecuación (4):
x+y+z=60 (1)
x+y+z=60 (1)
-x-0y-2z=-65
-x-0y-2z=-65 (2)
(2)
y-z=-5 (4)
y-z=-5 (4)
Consideremos la primera y la tercera ecuación.
Consideremos la primera y la tercera ecuación.
x+y+z=60………………………………………..(1)
x+y+z=60………………………………………..(1)
x+y+0z=35 ………………………………………(3)
x+y+0z=35 ………………………………………(3)
A la ecuación (3) la multiplicamos por (-1) y la sumamos con la
A la ecuación (3) la multiplicamos por (-1) y la sumamos con la
ecuación (1) para eliminarla la x y así obtener la ecuación (5) .
ecuación (1) para eliminarla la x y así obtener la ecuación (5) .
x+y+z=60………………………………………..(1)
x+y+z=60………………………………………..(1)
-x-y-0z=-35
-x-y-0z=-35 ………………………………………(3)
………………………………………(3)
z=25 ……………..............................(5)
z=25 ……………..............................(5)
50

Así obtenemos un sistema triangular con las ecuaciones (1) ,(4) y (5)
Así obtenemos un sistema triangular con las ecuaciones (1) ,(4) y (5)
como a continuación:
como a continuación:
x+y+z=60…………………………….(1)
x+y+z=60…………………………….(1)
y-z=-5………………………………….(4)
y-z=-5………………………………….(4)
z=25…………………………………….(5)
z=25…………………………………….(5)
Substituyendo la ecuación (5) en la ecuación (4) se obtiene el valor de y.
Substituyendo la ecuación (5) en la ecuación (4) se obtiene el valor de y.
y-z=-5
y-z=-5
y-25=-5
y-25=-5
y=-5+25
y=-5+25
y=20
y=20
Si sustituimos los valores z, y en la ecuación (1) obtenemos el valor de x
Si sustituimos los valores z, y en la ecuación (1) obtenemos el valor de x.
.
x+y+z=60
x+y+z=60
x+20+25=60
x+20+25=60
x+45=60
x+45=60
x=60-45
x=60-45
x=15
x=15
51

Entonces el kilogramo de los respectivos dulces corto:
Entonces el kilogramo de los respectivos dulces corto:
Chicos x= 15 pesos
Chicos x= 15 pesos
Medianos y=20 pesos
Medianos y=20 pesos
Grandes z=25 pesos
Grandes z=25 pesos

LINEALES TRES POR TRES CON
LINEALES TRES POR TRES CON
SOLUCION UNICA.
SOLUCION UNICA.
Problema 1.8
Problema 1.8
Resolvemos el siguiente problema por método de suma y resta
Resolvemos el siguiente problema por método de suma y resta
transformándolo a la forma triangular, con el fin de ilustrar el método.
transformándolo a la forma triangular, con el fin de ilustrar el método.
x+y+z=3……………….(1)
x+y+z=3……………….(1)
x+2y-z=0………………(2)
x+2y-z=0………………(2)
3x-y+2z=2……………..(3)
3x-y+2z=2……………..(3)
Multipliquemos por -1 la ecuación (2) y sumemos con la ecuación (1) para
Multipliquemos por -1 la ecuación (2) y sumemos con la ecuación (1) para
eliminar a la variable x, y obtener la ecuación (4)
eliminar a la variable x, y obtener la ecuación (4)
x+y+z=3
x+y+z=3
-x-2y+z=0
-x-2y+z=0
-y+2z=3……..(4)
-y+2z=3……..(4)

Sumemos la ecuación (1) multiplicada por -3, con la ecuación
Sumemos la ecuación (1) multiplicada por -3, con la ecuación
(3), para eliminar la variable x, así obtendremos la ecuación
(3), para eliminar la variable x, así obtendremos la ecuación
(5).
(5).
-3x-3y-3z=-9
-3x-3y-3z=-9
3x-y+2z=0
3x-y+2z=0
-4y-z=-7……….(5)
-4y-z=-7……….(5)
Obtenemos un sistema triangular:
Obtenemos un sistema triangular:
x+y+z=3……………….(1)
x+y+z=3……………….(1)
-y+2z=3………………...(4)
-y+2z=3………………...(4)
y=11/9………………….(6)
y=11/9………………….(6)
Sustituyendo (6) en la ecuación (4) obtenemos el valor de z:
Sustituyendo (6) en la ecuación (4) obtenemos el valor de z:
-11/9+2z=3
-11/9+2z=3
z=19/9
z=19/9

Encontremos el valor de x substituyendo el valor de y, así
Encontremos el valor de x substituyendo el valor de y, así
como el de z en (1)
como el de z en (1)
x+11/9+19/9=3
x+11/9+19/9=3
x=-1/3
x=-1/3
Conclusión: Podemos decir que esto tres planos se intersecan
Conclusión: Podemos decir que esto tres planos se intersecan
en el punto P( -1/3,11/9,19/9)
en el punto P( -1/3,11/9,19/9)
A continuación representaremos esta solucion de una manera intuitiva
A continuación representaremos esta solucion de una manera intuitiva
mediante las siguientes figuras.
mediante las siguientes figuras.
55

En tu cuaderno realiza la verificación del problema.
En tu cuaderno realiza la verificación del problema.
► Problema 1.9
Problema 1.9
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones, realizaremos una gráfica
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones, realizaremos una gráfica
que ilustre de una manera intuitiva del problema y verificaremos el
que ilustre de una manera intuitiva del problema y verificaremos el
problema.
problema.
x+y+z=6…………(1)
x+y+z=6…………(1)
x+z=-2…………...(2)
x+z=-2…………...(2)
y+3Z=11…………(3)
y+3Z=11…………(3)
Solución:
Solución:
¿Estaríamos de acuerdo que nuestros datos son: El sistema de
¿Estaríamos de acuerdo que nuestros datos son: El sistema de
ecuaciones y nuestra incógnita saber como se intersecan los planos?,
ecuaciones y nuestra incógnita saber como se intersecan los planos?,
es decir saber si el sistema tiene solución única, una infinidad de
es decir saber si el sistema tiene solución única, una infinidad de
soluciones o no tiene solución.
soluciones o no tiene solución.

Resolvamos el sistema :
Resolvamos el sistema :
Multipliquemos por -1 a la ecuación (2).
Multipliquemos por -1 a la ecuación (2).
-1(x-z=-2)
-x+z=2
Realicemos la suma algebraica de esta ecuación con la
Realicemos la suma algebraica de esta ecuación con la
ecuación (1)
ecuación (1)
x+y+z=6
-x+z=2
y+2z=8………….(4)
Multipliquemos por -1 a la ecuación (3) y sumemos con la
ecuación (4)
ecuación (4)
-1(y+3z=11)
-1(y+3z=11)
-y-3z=-11
-y-3z=-11
Y+2z=8
Y+2z=8
-y-3z=-11
-y-3z=-11
-z=3………………(5)
-z=3………………(5)

Obtenemos un sistema triangular
Obtenemos un sistema triangular
x+y+z=6…………….(1)
x+y+z=6…………….(1)
x+2z=8……………...(4)
x+2z=8……………...(4)
-z=-3…………………(5)
-z=-3…………………(5)
Sustituyendo en (4)
Sustituyendo en (4) z=3
z=3
Despejemos y:
Despejemos y: y+2(3)=8
y+2(3)=8
y=8-6=2; y=2
y=8-6=2; y=2
Sustituyamos en (1) estos valores para conocer x
Sustituyamos en (1) estos valores para conocer x
x+y+z=6
x+y+z=6
x+2+3=6
x+2+3=6
x=1
x=1
Conclusión: Estos tres planos se intersecan en el punto
Conclusión: Estos tres planos se intersecan en el punto
P(1,2,3), por lo tanto tenemos un sistema consistente, a
P(1,2,3), por lo tanto tenemos un sistema consistente, a
continuación representaremos de una manera intuitiva la
continuación representaremos de una manera intuitiva la
forma de cómo se intersecan estos planos mediante las
forma de cómo se intersecan estos planos mediante las
siguientes gráficas.
siguientes gráficas.

Problema 1.10
Problema 1.10
Completa en tu cuaderno la solución del siguiente sistema de
Completa en tu cuaderno la solución del siguiente sistema de
ecuaciones por el método de suma y resta para transformarlo a
ecuaciones por el método de suma y resta para transformarlo a
la forma triangular.
la forma triangular.

x+y+2z=9………………..(1)
x+y+2z=9………………..(1)
2x+4y-3z=1……………..(2)
2x+4y-3z=1……………..(2)
3x+6y-5z=0……………..(3)
3x+6y-5z=0……………..(3)
Elegimos las ecuaciones: la primera y segunda
Elegimos las ecuaciones: la primera y segunda
x+y+2z=9………….(1)
x+y+2z=9………….(1)
2x+4y-3z=1………..(2)
2x+4y-3z=1………..(2)
Si multiplicamos la primera ecuación por -2 y la sumamos con
Si multiplicamos la primera ecuación por -2 y la sumamos con
la segunda, obtendremos la ecuación (4):
la segunda, obtendremos la ecuación (4):
2y-7z=-17……………………(4)
2y-7z=-17……………………(4)
Observa que esta nueva ecuación no contiene a la variable x
Observa que esta nueva ecuación no contiene a la variable x
Considera ahora la primera y la tercera ecuación y elimina la
Considera ahora la primera y la tercera ecuación y elimina la
variable “x”, si a la primera ecuación la multiplicamos por -3 y
variable “x”, si a la primera ecuación la multiplicamos por -3 y
la sumamos con la tercera obtendremos la ecuación (5):
la sumamos con la tercera obtendremos la ecuación (5):
3y-11z=-27………………(5)
3y-11z=-27………………(5)

Observa que esta nueva ecuación no incluye a la variable x
Observa que esta nueva ecuación no incluye a la variable x
Ahora tendremos el sistema :
Ahora tendremos el sistema :
x+y+2z=9………(1)
x+y+2z=9………(1)
2y-7z=-17………(4)
2y-7z=-17………(4)
3y-11z=-27…….(5)
3y-11z=-27…….(5)
El sistema va adquiriendo lo que se llama forme triangular.
El sistema va adquiriendo lo que se llama forme triangular.
Termina de triangular el sistema, considera la ecuación (4) y la
Termina de triangular el sistema, considera la ecuación (4) y la
ecuación (5) y elimina la variable para encontrar el valor de z.
ecuación (5) y elimina la variable para encontrar el valor de z.
Con las ecuaciones (1),(4) y el valor de z obtendremos un sistema
Con las ecuaciones (1),(4) y el valor de z obtendremos un sistema
de forma triangular y que es equivalente al sistema con el que
de forma triangular y que es equivalente al sistema con el que
empezamos.
empezamos.
x+y+2z=9………(1)
x+y+2z=9………(1)
2y-7z=-17………(4)
2y-7z=-17………(4)
z=3………………..(6)
z=3………………..(6)
Este ultimo sistema es más fácil de resolver que el sistema inicial,
Este ultimo sistema es más fácil de resolver que el sistema inicial,
termina su solución en tu cuaderno.
termina su solución en tu cuaderno.
Podemos concluir que éstos tres planos se intersecan en el punto
Podemos concluir que éstos tres planos se intersecan en el punto
P(1,2,3)
P(1,2,3)
Realiza en tu cuaderno una gráfica que ilustre la solución de
Realiza en tu cuaderno una gráfica que ilustre la solución de
manera intuitiva.
manera intuitiva.

Sistema de
Sistema de ecuaciones lineales
Problema 1.11
Problema 1.11
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones y construyamos una
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones y construyamos una
gráfica que ilustre intuitivamente la manera de cómo se intersecan si es
gráfica que ilustre intuitivamente la manera de cómo se intersecan si es
que se intersecan estos tres planos :
que se intersecan estos tres planos :
Solución.
Solución.
Escribe en tu cuaderno, cuales son tus datos y que serian tus incógnitas.
Escribe en tu cuaderno, cuales son tus datos y que serian tus incógnitas.
3x+y+z=0………………….(1)
3x+y+z=0………………….(1)
-5x+5y+z=0……………….(2)
-5x+5y+z=0……………….(2)
x+2y+z=0…………………..(3)
x+2y+z=0…………………..(3)
Multipliquemos por -5 a la ecuación (1) y sumemos con la ecuación (2)
Multipliquemos por -5 a la ecuación (1) y sumemos con la ecuación (2)
obtendremos la ecuación (4).
obtendremos la ecuación (4).

-5(3x+y+z=0)
-5(3x+y+z=0)
-15x-5y-5z=0
-15x-5y-5z=0
Sumando:
Sumando:
-15x-5y-5z=0
-15x-5y-5z=0
-5x+5y+z=0
-5x+5y+z=0
-20x-4z=0…………..(4)
-20x-4z=0…………..(4)
Si multiplicamos por -2 a la ecuación (1) y sumamos con la
Si multiplicamos por -2 a la ecuación (1) y sumamos con la
ecuación (3) obtendremos la ecuación (5).
ecuación (3) obtendremos la ecuación (5).
-6x-2y-2z=0
-6x-2y-2z=0
x+2y+z=0
x+2y+z=0
-5x-z=0………………..(5)
-5x-z=0………………..(5)
ecuación (4)
ecuación (4)
Realiza la suma algebraica de (5) con (4).
Realiza la suma algebraica de (5) con (4).
20x+4z=0
20x+4z=0
-20x-4z=0
-20x-4z=0
0=0
0=0

Como resultado es una igualdad podemos concluir que sistema
Como resultado es una igualdad podemos concluir que sistema
tiene una infinidad de soluciones, a continuación se ilustra de
tiene una infinidad de soluciones, a continuación se ilustra de
una manera intuitiva esta solución, es decir cuando los tres
una manera intuitiva esta solución, es decir cuando los tres
planos se intersecan en una línea recta y el sistema tiene un
planos se intersecan en una línea recta y el sistema tiene un
sinfín de soluciones.
sinfín de soluciones.
Resuelve por equipo y en tu cuaderno el siguiente sistema de
Resuelve por equipo y en tu cuaderno el siguiente sistema de
ecuaciones, ilustra en forma intuitiva con una figura la
ecuaciones, ilustra en forma intuitiva con una figura la
solución del problema, verifica la solución.
solución del problema, verifica la solución.
x-3y+2z=6
x-3y+2z=6
4x-2y+3x=14
4x-2y+3x=14
2x+4y-z=2
2x+4y-z=2
64

LINEALES SIN SOLUCION
LINEALES SIN SOLUCION
Problema 1.12
Problema 1.12
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones.
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones.
x+y-z=4………………(1)
x+y-z=4………………(1)
x-y-z=2……………….(2)
x-y-z=2……………….(2)
3x-y-3z=-4…………..(3)
3x-y-3z=-4…………..(3)
Suma la ecuación (1) y (2)
Suma la ecuación (1) y (2)
Debes obtener la ecuación: 2x-2z=6…………(4)
Debes obtener la ecuación: 2x-2z=6…………(4)
A continuación suma (1) y (3)
A continuación suma (1) y (3)
Debes obtener la ecuación:
Debes obtener la ecuación: 4x-4z=0…………..(5)
4x-4z=0…………..(5)
Ahora resuelve el sistema:
Ahora resuelve el sistema: 2x-2z=6
2x-2z=6
4x-4z=0
4x-4z=0

Solución de sistemas de ecuaciones 66
Simplificando cada una de las ecuaciones nos debe quedar el
Simplificando cada una de las ecuaciones nos debe quedar el
sistema:
sistema:
x-z=3
x-z=3
x-z=0
x-z=0
Si resuelves éste sistema, vas a llegar a una contradicción 0=3,
Si resuelves éste sistema, vas a llegar a una contradicción 0=3,
es cuando los planos pueden ser paralelos, a continuación
es cuando los planos pueden ser paralelos, a continuación
ilustraremos este resultado con una gráfica que nos ilustra de
ilustraremos este resultado con una gráfica que nos ilustra de
una manera intuitiva esta solución del sistema.
una manera intuitiva esta solución del sistema.
Unidad 1

Solución de sistemas de ecuaciones 67
Unidad 1

2) La suma de edades de Mari, Leon y Lulu es 53. Lulu es igual a 5
2) La suma de edades de Mari, Leon y Lulu es 53. Lulu es igual a 5
años mas joven que león y, dentro de 2 años, mari tendrá la
años mas joven que león y, dentro de 2 años, mari tendrá la
misma edad que león tiene ahora ¿Cuál es la edad de cada uno?
misma edad que león tiene ahora ¿Cuál es la edad de cada uno?
Solución
Solución
Mary 18, Leon 20 y lulu 15
Mary 18, Leon 20 y lulu 15
3) El angula mas pequeño de un triangulo mide la tercera parte del
3) El angula mas pequeño de un triangulo mide la tercera parte del
angula mediano, y el angulo mas grande es 30 grados mayor
angula mediano, y el angulo mas grande es 30 grados mayor
que el angulo mediano. Encontrar la medida de cada angulo.
que el angulo mediano. Encontrar la medida de cada angulo.
Solución
Solución
X=21.43, y=64.29, z=94.29
X=21.43, y=64.29, z=94.29
4) El numero total de butacas en un estadio deportivo de
4) El numero total de butacas en un estadio deportivo de
baloncesto es 12000. El estadio esta divido en tres secciones:
baloncesto es 12000. El estadio esta divido en tres secciones:
lunetas, palcos de platea y galerías, hay dos veces mas butacas
lunetas, palcos de platea y galerías, hay dos veces mas butacas
de galería que butacas de luneta. Para el juego de campeonato,
de galería que butacas de luneta. Para el juego de campeonato,
los precios de los boletos eran de 10.00 dolares para luneta, 8.00
los precios de los boletos eran de 10.00 dolares para luneta, 8.00
dolares para galería y 7 .00 dolares para platea. Sihubo un lleno
dolares para galería y 7 .00 dolares para platea. Sihubo un lleno
total para ese juego y la recaudación en taquilla fue de 99000
total para ese juego y la recaudación en taquilla fue de 99000
dolares ¿Cuántas butacas eran de luneta, palcos y galerias?
dolares ¿Cuántas butacas eran de luneta, palcos y galerias?

Solución
Solución
Lunetas=3000
Lunetas=3000
Palcos=3000
Palcos=3000
Galerías 6000
Galerías 6000
5) resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones y construye una
5) resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones y construye una
grafica que ilustre la solución del problema de forma intuitiva.
grafica que ilustre la solución del problema de forma intuitiva.
x-2y+3z=4
x-2y+3z=4
y-2z=-1
y-2z=-1
4z=8
4z=8
Transformar los siguientes sistemas de ecuaciones a un sistema
Transformar los siguientes sistemas de ecuaciones a un sistema
en forma triangular y resuelve los sistemas de ecuaciones,
en forma triangular y resuelve los sistemas de ecuaciones,
respectivamente:
respectivamente:
6) x+y+z=5
6) x+y+z=5
3x+2y+z=8
3x+2y+z=8
2x+3y+3z=14
2x+3y+3z=14 Sol. x=1, y=1, z=3
Sol. x=1, y=1, z=3
7) 2x+2y+3z=24
7) 2x+2y+3z=24
4x+5y+2z=35
4x+5y+2z=35
3x+2y+z=19
3x+2y+z=19 Sol. x=3, y=3, z=4
Sol. x=3, y=3, z=4

► 8) las compañías de oriente, este y oeste que se dedican a
8) las compañías de oriente, este y oeste que se dedican a
distribuir muebles, contratan la fabricación de muebles. A la
distribuir muebles, contratan la fabricación de muebles. A la
primera le fabrican2 mesas, 3 vitrinas y 4 salas, cobrándoles
primera le fabrican2 mesas, 3 vitrinas y 4 salas, cobrándoles
$20,000.00. A la segunda le fabrican 3 mesas, 4 vitrinas y 2
$20,000.00. A la segunda le fabrican 3 mesas, 4 vitrinas y 2
salas, cobrándole $ 17,000.00. A la tercera le fabrican 3 mesas,
salas, cobrándole $ 17,000.00. A la tercera le fabrican 3 mesas,
2 vitrinas y 3 salas, cobrándole $16,000.00. construye el
2 vitrinas y 3 salas, cobrándole $16,000.00. construye el
sistema de 3 ecuaciones con tres incognitas, representativo del
sistema de 3 ecuaciones con tres incognitas, representativo del
problema.
problema.
9) 2x-y-z=1
9) 2x-y-z=1
2x-3y-4z=0
2x-3y-4z=0
x+y-z=4
x+y-z=4 sol. x=1,y=2, z=-1
sol. x=1,y=2, z=-1
10) x+y+z=-6
10) x+y+z=-6
2x+y-z=-1
2x+y-z=-1
x-2y+3z=-6
x-2y+3z=-6 sol. x=-1, y=-2, z=-3
sol. x=-1, y=-2, z=-3
11) x+y-z=7
11) x+y-z=7
4x-y+5z=4
4x-y+5z=4
6x+y+3z=20
6x+y+3z=20 sol. No existe soluciones
sol. No existe soluciones

12) x+4y+5z=11
12) x+4y+5z=11
3x-2y+z=5
3x-2y+z=5
4x+y-3z=-26
4x+y-3z=-26 sol. x=-2, y=-3, z=5
sol. x=-2, y=-3, z=5
13) x-3y+2z=6
13) x-3y+2z=6
4x-2y+3z=14
4x-2y+3z=14
2x+4y-z=2
2x+4y-z=2 sol. x=infinidad de soluciones
sol. x=infinidad de soluciones
14) 2x+3y+4z=3
14) 2x+3y+4z=3
2x+6y+8z=5
2x+6y+8z=5
4x+9y-4z=4
4x+9y-4z=4 sol. x=1/2, y=1/3, z=1/4
sol. x=1/2, y=1/3, z=1/4
15) x+y+z=3
15) x+y+z=3
-x+2y-z=0
-x+2y-z=0
3x-y+2z=2
3x-y+2z=2 sol. x=-1, y=1, z=3
sol. x=-1, y=1, z=3

Sistema de ecuaciones no
Sistema de ecuaciones no
lineales
lineales
APRENDIZAJES:
APRENDIZAJES:
El alumno:
El alumno:
• En el caso de Sistemas 2x2, ya sea que ambas ecuaciones sean
En el caso de Sistemas 2x2, ya sea que ambas ecuaciones sean
lineales o incluyan cuadráticas, explicara a partir de una grafica, que
lineales o incluyan cuadráticas, explicara a partir de una grafica, que
significa que el sistema tenga una, ninguna o infinidad de soluciones.
significa que el sistema tenga una, ninguna o infinidad de soluciones.
• Aplicara el método de tabulación o de sustitución para resolver
Aplicara el método de tabulación o de sustitución para resolver
problemas de dos ecuaciones en las que una de ellas o ambas son
problemas de dos ecuaciones en las que una de ellas o ambas son
cuadráticas.
cuadráticas.
Temática:
Temática:
A) Con una ecuación lineal y otra cuadrática.
A) Con una ecuación lineal y otra cuadrática.
B) Con ambas ecuaciones cuadráticas.
B) Con ambas ecuaciones cuadráticas.
C) El significado grafico de su solución.
C) El significado grafico de su solución.
D) Método de sustitución.
D) Método de sustitución.

Un sistema de ecuaciones no lineales se conforma por lo menos
Un sistema de ecuaciones no lineales se conforma por lo menos
por dos ecuaciones, en las que alguna de ellas contiene una
por dos ecuaciones, en las que alguna de ellas contiene una
incógnita elevada a una potencia mayor o igual a dos. A
incógnita elevada a una potencia mayor o igual a dos. A
continuación se ilustra una interpretación grafica de los
continuación se ilustra una interpretación grafica de los
sistemas no lineales ya que las graficas de las ecuaciones
sistemas no lineales ya que las graficas de las ecuaciones
proporcionan información útil acerca de las soluciones.
proporcionan información útil acerca de las soluciones.
En general las graficas de una cónica (circunferencia, parábola,
En general las graficas de una cónica (circunferencia, parábola,
elipse, e hipérbola) y una recta, pueden relacionarse con una
elipse, e hipérbola) y una recta, pueden relacionarse con una
de tres formas diferentes, como se muestra en una de estas
de tres formas diferentes, como se muestra en una de estas
figuras.
figuras.
Sin puntos de
intersección
Sin soluciones reales
Un punto de intersección
Una solución real
Dos puntos de intersección
Dos soluciones reales

CON UNA ECUACION LINEAL Y
CON UNA ECUACION LINEAL Y
UNA CUADRATICA.
UNA CUADRATICA.
Problema 1.13
Problema 1.13
A continuación encontramos los puntos de intersección ( en caso
A continuación encontramos los puntos de intersección ( en caso
de haberlos) entre el lugar geométrico representado por la
de haberlos) entre el lugar geométrico representado por la
parábola (1) y el lugar geométrico representado por la recta (2).
parábola (1) y el lugar geométrico representado por la recta (2).
y=x
y=x2
2 (1)
(1)
y=x+100 (2)
y=x+100 (2)
Antes de graficar, mediante el método de la tabulación la parabolo
Antes de graficar, mediante el método de la tabulación la parabolo
y la recta, observa si se cortan o no, resolvamos el sistema de
y la recta, observa si se cortan o no, resolvamos el sistema de
ecuaciones representado por las ecuaciones (1) y (2) con el fin
ecuaciones representado por las ecuaciones (1) y (2) con el fin
de encontrar los posibles puntos de intersección.
de encontrar los posibles puntos de intersección.
Así, igualando las ecuaciones (1) y (2).
Así, igualando las ecuaciones (1) y (2).

x
x2
2 =x+100
=x+100
Igualemos con cero la ecuación obtendremos la ecuación (3).
Igualemos con cero la ecuación obtendremos la ecuación (3).
x
x2
2-x-100=0 (3)
-x-100=0 (3)
La ecuación (3) representa una ecuación cuadrática, y la
La ecuación (3) representa una ecuación cuadrática, y la
resolvemos con la ecuación general:
resolvemos con la ecuación general:
a=1
a=1
b=-1
b=-1
c=-100
c=-100
a
a
c
b
b
x
2
4
2
−
±
−
=
( ) ( ) ( )( )
( )
2
401
1
2
400
1
1
1
2
100
1
4
1
1
2
±
=
+
±
=
−
−
−
±
−
−
=
x
x
x

En virtud de que la raíz cuadrada de 401 no es exacta, tenemos los
En virtud de que la raíz cuadrada de 401 no es exacta, tenemos los
siguientes valores aproximados:
siguientes valores aproximados:
De aquí la raíz positiva (denotada por x1 ) es :
De aquí la raíz positiva (denotada por x1 ) es :
De manera semejante, la raíz negativa (denotada por x2 ) es :
De manera semejante, la raíz negativa (denotada por x2 ) es :
Para encontrar lo valores correspondientes a y1 e y2 hay que sustituir los
Para encontrar lo valores correspondientes a y1 e y2 hay que sustituir los
valores x1 y x2 respectivamente en la ecuación (1):
valores x1 y x2 respectivamente en la ecuación (1):
Si x
Si x1
1=10.5124 y
=10.5124 y1
1=(10.5124)
=(10.5124)2
2
y
y1
1=110.5124
=110.5124
Si x
Si x2
2=-19.5124 y
=-19.5124 y2
2=(-19.5124)
=(-19.5124)2
2
y
y2
2=90.4857
=90.4857
2
0
2
4
9
.
2
0
1±
=
x
5
1
2
4
.
1
0
2
0
2
4
9
.
2
1
2
0
2
4
9
.
2
0
1
1
1
1
=
=
+
=
x
x
x
5
1
2
4
.
9
2
0
2
4
9
.
1
9
2
0
2
4
9
.
2
0
1
2
2
2
−
=
−
=
−
=
x
x
x

De aquí obtenemos que los puntos de intersección entre la
De aquí obtenemos que los puntos de intersección entre la
parábola y = x² y la recta y = x + 100, aproximando los
parábola y = x² y la recta y = x + 100, aproximando los
resultados hasta centésimas, son:
resultados hasta centésimas, son:
P
P1
1(x
(x1
1, y
, y1
1)=(10.51, 110.51)
)=(10.51, 110.51)
P
P2
2(x
(x2
2, y
, y2
2)=(-9.51, 90.4857)
)=(-9.51, 90.4857)
Para corroborar estos resultados, grafica en tu cuaderno cada
Para corroborar estos resultados, grafica en tu cuaderno cada
uno de estos lugares geométricos.
uno de estos lugares geométricos.
CUANDO DOS LUGARES
CUANDO DOS LUGARES
GEOMETRICOS SE INTERSECTAN
GEOMETRICOS SE INTERSECTAN
Puede presentarse el caso de que una parábola y y una recta no
Puede presentarse el caso de que una parábola y y una recta no
se intercepten en ningún punto, pero ¿como nos
se intercepten en ningún punto, pero ¿como nos
percataríamos de este hecho aun sin hacer las graficas
percataríamos de este hecho aun sin hacer las graficas
correspondientes? ¿Será posible detectar esto analíticamente?
correspondientes? ¿Será posible detectar esto analíticamente?
Veámoslo.
Veámoslo.
Consideremos la parábola (1) y la recta (2).
Consideremos la parábola (1) y la recta (2).

y=x
y=x2
2
(1)
(1)
y=-x-5 (2)
y=-x-5 (2)
Igualemos la ecuación (1) con la (2)
Igualemos la ecuación (1) con la (2)
x
x2
2
=-x-5
=-x-5
Igualemos a cero la igualdad:
Igualemos a cero la igualdad:
x
x2
2
+x+5=0 (3)
+x+5=0 (3)
La ecuación (3) representa una ecuación cuadrática cuya solución
La ecuación (3) representa una ecuación cuadrática cuya solución
general, como ya vimos, esta expresada por la ecuación:
general, como ya vimos, esta expresada por la ecuación:
(4)
(4)
Identificando los coeficientes con la ecuación cuadrática (3) y
Identificando los coeficientes con la ecuación cuadrática (3) y
sustituyéndolos en (4) se tiene que:
sustituyéndolos en (4) se tiene que:
a=1
a=1 b=1
b=1 c=5
c=5
a
a
c
b
b
x
2
4
2
−
±
−
=

En la ecuación (4) notamos la presencia de la raíz cuadrada de
En la ecuación (4) notamos la presencia de la raíz cuadrada de
-19 y como sabemos que las raíces cuadradas de números
-19 y como sabemos que las raíces cuadradas de números
negativos no existen en el campo de los números reales,
negativos no existen en el campo de los números reales,
concluimos que tanto la parábola como la recta considerada
concluimos que tanto la parábola como la recta considerada
no se corta, como se observa en la fig.
no se corta, como se observa en la fig.
Esta conclusión puede fortalecerse si graficamos los
Esta conclusión puede fortalecerse si graficamos los
correspondientes lugares geométricos: la parábola y = x² y la
correspondientes lugares geométricos: la parábola y = x² y la
recta y = -x -5, realiza en tu cuaderno la tabulación ,
recta y = -x -5, realiza en tu cuaderno la tabulación ,
construye las graficas correspondientes y verifica tus
construye las graficas correspondientes y verifica tus
resultados con la figura que se presenta a continuación.
resultados con la figura que se presenta a continuación.
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
2
1
9
1
2
2
0
1
1
1
2
5
1
4
1
1
2
2
−
±
−
=
−
±
−
=
−
±
−
=
x
x
x

Problema de aplicación que nos conduce para la solución a un sistema de
Problema de aplicación que nos conduce para la solución a un sistema de
ecuaciones no lineal.
ecuaciones no lineal.
Problema 1.14
Problema 1.14
Un pequeño empresario fabrica cajas para envolver regalos y tiene el suficiente costo
Un pequeño empresario fabrica cajas para envolver regalos y tiene el suficiente costo
total e ingreso total, donde
total e ingreso total, donde x
x es el numero total de cajas que fabrica, el costo por
es el numero total de cajas que fabrica, el costo por
producir
producir x
x cajas es
cajas es c.
c. El el ingreso obtenido por las ventas de
El el ingreso obtenido por las ventas de x
x cajas es
cajas es i
i.
.

X numero de cajas.
X numero de cajas.
Es decir el costo por producir
Es decir el costo por producir x
x cajas es
cajas es c.
c. El
El ingreso por venta de
ingreso por venta de x
x cajas es
cajas es i.
i.
Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno:
Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno:
1)Traza la grafica de ambas ecuaciones en el mismo sistema de ejes.
1)Traza la grafica de ambas ecuaciones en el mismo sistema de ejes.
2)Encuentra los valores de “ equilibrio “ ( sin perdida ni ganancia” ) de x, esto
2)Encuentra los valores de “ equilibrio “ ( sin perdida ni ganancia” ) de x, esto
es, el numero de cajas que deben ser vendidas por el costo igual al ingreso.
es, el numero de cajas que deben ser vendidas por el costo igual al ingreso.
3)¿Cuantas cajas deben ser vendidas para obtener ganancias?
3)¿Cuantas cajas deben ser vendidas para obtener ganancias?
Solución:
Solución:
La grafica del costo es la línea recta de la forma y =mx + b, y = x +15,
La grafica del costo es la línea recta de la forma y =mx + b, y = x +15,
podemos conocer el valor de la pendiente y ordenada al origen.
podemos conocer el valor de la pendiente y ordenada al origen.
m=_______, b=________
m=_______, b=________
Calcula cuales son las intersecciones con los ejes de esta línea recta, debes
Calcula cuales son las intersecciones con los ejes de esta línea recta, debes
encontrar:
encontrar:
P
P1
1=(-15,0)
=(-15,0) P
P2
2=(0,15)
=(0,15)
La grafica de esta recta la puedes observar en la figura 1.23.
La grafica de esta recta la puedes observar en la figura 1.23.
unidad 1 Solución de Sistemas de Ecuaciones 81

La grafica del ingreso es una parábola de la forma
La grafica del ingreso es una parábola de la forma
y=ax
y=ax2
2
+bx+c
+bx+c
i=x
i=x2
2
+6
+6
De esta ecuación puedes conocer su vértice calcúlalo en tu cuaderno.
De esta ecuación puedes conocer su vértice calcúlalo en tu cuaderno.
Debes encontrar
Debes encontrar
V = (0,6)
V = (0,6)
CON UNA ECUACION LINEAL Y OTRA
CON UNA ECUACION LINEAL Y OTRA
CUADRATICA
CUADRATICA
Problema 1.15
Problema 1.15
Encontramos los puntos de intersección de estos dos lugares
Encontramos los puntos de intersección de estos dos lugares
geométricos, resolviendo el sistema de ecuaciones por el método de
geométricos, resolviendo el sistema de ecuaciones por el método de
sustitución.
sustitución.
x+y=8…………recta
x+y=8…………recta
x
x2
2
+y
+y2
2
=34…...circunferencia
=34…...circunferencia

A continuación se presenta cada uno de estos lugares
A continuación se presenta cada uno de estos lugares
geométricos mediante la siguiente grafica.
geométricos mediante la siguiente grafica.
Resolvamos el problema por el método de sustitución, para
Resolvamos el problema por el método de sustitución, para
encontrar las coordenadas de los puntos en donde se
encontrar las coordenadas de los puntos en donde se
intersecan estos dos lugares geométricos.
intersecan estos dos lugares geométricos.
x+y=8…………………….(1)
x+y=8…………………….(1)
x
x2
2
+y
+y2
2
=34………………(2)
=34………………(2)
Primero despejemos la incógnita “y” en (1), y sustituimos en (2).
Primero despejemos la incógnita “y” en (1), y sustituimos en (2).
y=8-x
y=8-x
x
x2
2
+(8-x)
+(8-x)2
2
=34
=34

Simplifica en tu cuaderno, debes de llegar ala ecuación: x² -8x +15 =0
Simplifica en tu cuaderno, debes de llegar ala ecuación: x² -8x +15 =0
Resolvamos la ecuación factorizando:
Resolvamos la ecuación factorizando:
x
x2
2
-8x+15=0
-8x+15=0
x
x2
2
-8x+15=0
-8x+15=0
(x-3)(x-5)=0
(x-3)(x-5)=0
x
x1
1=3
=3
x
x2
2=5
=5
Encuentra los valores de y sustituyendo en la ecuación (1) estos valores
Encuentra los valores de y sustituyendo en la ecuación (1) estos valores
de x, debes encontrar que:
de x, debes encontrar que:
y
y1
1=5
=5
y
y2
2=3
=3
Finalmente enunciamos los puntos de intersecion encontrados de estos
Finalmente enunciamos los puntos de intersecion encontrados de estos
dos lugares geométricos (circunferencia o recta) los cuales pueden
dos lugares geométricos (circunferencia o recta) los cuales pueden
corroborar en una grafica que a continuación puedes construir.
corroborar en una grafica que a continuación puedes construir.

P(x1, x2)=(3,5)
Q=(y1,
y2)=(5,3)

CON DOS ECUACIONES
CON DOS ECUACIONES
CUADRATICAS.
CUADRATICAS.
Problema 1.16
Problema 1.16
Encontremos los puntos de intersección de estos dos lugares
Encontremos los puntos de intersección de estos dos lugares
geométricos, resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:
geométricos, resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:

Resolvamos el problema utilizando el método de sustitución, para
Resolvamos el problema utilizando el método de sustitución, para
encontrar la intersección de estos dos lugares.
encontrar la intersección de estos dos lugares.
y=x
y=x2
2
………..(1)
………..(1)
y=4-x
y=4-x2
2
……..(2)
……..(2)
Sustituyamos la ecuación (1) en la (2).
Sustituyamos la ecuación (1) en la (2).
x
x2
2=4-x
=4-x2
2
Resuelve la ecuación, debes encontrar:
Resuelve la ecuación, debes encontrar:
x
x1
1=
=√2=1.41
√2=1.41
x
x2
2=-√2=-1.41
=-√2=-1.41
Encuentra los valores de y, debes encontrar:
Encuentra los valores de y, debes encontrar:
y
y1
1=(1.41)
=(1.41)2
2
=2
=2
y
y2
2=(-1.41)
=(-1.41)2
2
=2
=2
Finalmente enuncia estos puntos de intersección con las letras P, Q de
Finalmente enuncia estos puntos de intersección con las letras P, Q de
estos dos lugares geométricos.------------------
estos dos lugares geométricos.------------------
Verifica en tu cuaderno que la solución sea correcta, asi como en la
Verifica en tu cuaderno que la solución sea correcta, asi como en la
grafica.
grafica.

UNA CUADRATICA Y UNA LINEAL
UNA CUADRATICA Y UNA LINEAL
Problema 1.17
Problema 1.17
► Encontremos los puntos de intersección de los lugares geométricos
Encontremos los puntos de intersección de los lugares geométricos
que a continuación se exponen :
que a continuación se exponen : y=x
y=x2
2
……..parábola
……..parábola
y=x………recta
y=x………recta
Representaremos estos dos lugares
Representaremos estos dos lugares
mediante una grafica :
mediante una grafica :
Resolvamos el problema por el método de sustitución:
Resolvamos el problema por el método de sustitución:
y=x
y=x2
2
…….(1)
…….(1)
y=x………(2)
y=x………(2)

Sustituye la ecuación (1) en la (2) resuelve la ecuación en tu
Sustituye la ecuación (1) en la (2) resuelve la ecuación en tu
cuaderno.
cuaderno.
x1=----------------
x1=----------------
X2=----------------
X2=----------------
Encuentra los dos valores de y
Encuentra los dos valores de y
Debes encontrar:
Debes encontrar:
y
y1
1=1
=1
y
y2
2=0
=0
Finalmente enunciamos los puntos en donde se intersecan los dos
Finalmente enunciamos los puntos en donde se intersecan los dos
lugares geométricos, como se ilustra en la grafica:
lugares geométricos, como se ilustra en la grafica:
Q=(x1,y1)=(1,1)
Q=(x1,y1)=(1,1)
O=(x2, y2)=(0,0)
O=(x2, y2)=(0,0)
Verifica en tu cuaderno que la solución sea la correcta.
Verifica en tu cuaderno que la solución sea la correcta.
Para dos cuadráticas
Para dos cuadráticas
Problema 1.18
Problema 1.18
Encuentra las intersecciones de estos dos lugares geométricos:
Encuentra las intersecciones de estos dos lugares geométricos:

Resuelve el sistema de ecuaciones
Resuelve el sistema de ecuaciones
y=x
y=x2
2
-2x…………….(1)
-2x…………….(1)
y=4-x
y=4-x2
2
……………...(2)
……………...(2)
Debes llegar a las soluciones
Debes llegar a las soluciones
x
x1
1=-1
=-1
x
x2
2=2
=2
Encuentra los valores de y.
Encuentra los valores de y.
Considerando la ecuación (2)
Considerando la ecuación (2)

Resuelve por equipos el siguiente problema.
Resuelve por equipos el siguiente problema.
Problema 1.20
Problema 1.20
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones de estos dos lugares
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones de estos dos lugares
geométricos, identifica el tipo de curvas que intersecan
geométricos, identifica el tipo de curvas que intersecan
construyendo sus graficas respectivas y verifica la solución:
construyendo sus graficas respectivas y verifica la solución:
x
x2
2
+y
+y2
2
=10
=10
x+y=2
x+y=2
Construye sus graficas respectivas en tu cuaderno.
Construye sus graficas respectivas en tu cuaderno.
Solución:
Solución:
x
x2
2
+y
+y2
2
=10…………..(1)
=10…………..(1)
x+y=2…………………(2)
x+y=2…………………(2)
Por sustitución debes llegar a la ecuación:
Por sustitución debes llegar a la ecuación:
Resuelve la ecuación utilizando la formula general
Resuelve la ecuación utilizando la formula general
Recuérdala:
Recuérdala:
Debes encontrar los valores: x
Debes encontrar los valores: x1
1=3, x
=3, x2
2=-1
=-1
a
a
c
b
b
x
2
4
2
−
±
−
=

Sustituye estos valores en la ecuación (2) para encontrar los valores de “y”
Sustituye estos valores en la ecuación (2) para encontrar los valores de “y”
Debes encontrar los valores: y
Debes encontrar los valores: y1
1=1, y
=1, y2
2=3
=3
Finalmente enunciamos estos puntos de intersección de estos dos lugares
Finalmente enunciamos estos puntos de intersección de estos dos lugares
geométricos: P
geométricos: P1
1=(3,-1), P
=(3,-1), P2
2=(-1,3)
=(-1,3)
Verifica si las soluciones son correctas en la construcción que se realizo al
Verifica si las soluciones son correctas en la construcción que se realizo al
iniciar el problema así como en el sistema plateado.
iniciar el problema así como en el sistema plateado.
Problemas:
Problemas:
Grafica uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y encuentra los
Grafica uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y encuentra los
puntos de intersección de estos lugares geométricos si es que existen,
puntos de intersección de estos lugares geométricos si es que existen,
verifica que tus soluciones sean correctas.
verifica que tus soluciones sean correctas.
Se recomienda que estos problemas se resuelvan por equipos.
Se recomienda que estos problemas se resuelvan por equipos.
1) y=x2
1) y=x2
y=3x
y=3x sol.(0,0), (3,9)
sol.(0,0), (3,9)
2) y=2x
2) y=2x
y=x
y=x2
2
+2
+2 sol. No hay solución
sol. No hay solución

3)x-3=0
3)x-3=0
x
x2
2
+y
+y2
2
-25=0
-25=0 sol.(3,4), (3,-4)
sol.(3,4), (3,-4)
4)x2-y-2=0
4)x2-y-2=0
y=x+4
y=x+4 sol.(3,7), (-2,-2)
sol.(3,7), (-2,-2)
5)x=y
5)x=y
y=-8x
y=-8x2
2
sol.(0,0), (-1/8,-1/8)
sol.(0,0), (-1/8,-1/8)
6)x=y
6)x=y
x
x2
2
+y
+y2
2
=32
=32 sol. (4,4), (-4,-4)
sol. (4,4), (-4,-4)
7)x=5-y
7)x=5-y2
2
x
x2
2
+y
+y2
2
=25
=25 sol.(5,0), (-4,3), (-4,-3)
sol.(5,0), (-4,3), (-4,-3)

Examen de evaluación de la unidad
Examen de evaluación de la unidad
1
1
Resuelve los siguientes problemas
Resuelve los siguientes problemas
1) La semana pasada fui a un restaurante a comer, 5 hamburguesas y 5
1) La semana pasada fui a un restaurante a comer, 5 hamburguesas y 5
ordenes de papas costaron $150, compre 10 hamburguesas y 20 ordenes
ordenes de papas costaron $150, compre 10 hamburguesas y 20 ordenes
de papas por $400. encuentra el costo de una hamburguesa y una orden
de papas por $400. encuentra el costo de una hamburguesa y una orden
de papas.
de papas.
Solución:
Solución:
Precio de hamburguesa $20
Precio de hamburguesa $20
Precio de la orden de papas $10
Precio de la orden de papas $10
2) Un lápiz y dos cuadernos cuestan $11, mientras que 5 cuadernos y tres
2) Un lápiz y dos cuadernos cuestan $11, mientras que 5 cuadernos y tres
lápices cuestan $29. ¿Cuál es el costo de un cuaderno y de un lápiz?
lápices cuestan $29. ¿Cuál es el costo de un cuaderno y de un lápiz?
Solución:
Solución:
Costo del cuaderno $4
Costo del cuaderno $4
Costo del lápiz $3
Costo del lápiz $3

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