UNIDAD1

unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 1
Unidad 1: Solución de sistemasUnidad 1: Solución de sistemas
de ecuacionesde ecuaciones
““El primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propiaEl primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propia
ignorancia”ignorancia”
SiddharthaSiddhartha

APUNTES BASICOS DEAPUNTES BASICOS DE
MATEMATICAS 3MATEMATICAS 3► A MANERA DE EXPLICACION:A MANERA DE EXPLICACION:
Con los contenidos de cada una de las unidades de las que consta laCon los contenidos de cada una de las unidades de las que consta la
materia de matemáticas tres, continuamos lo que se puede considerar elmateria de matemáticas tres, continuamos lo que se puede considerar el
tronco de los conocimientos matemáticos con los que los alumnos debentronco de los conocimientos matemáticos con los que los alumnos deben
ir acompañados para cursar el siguiente año escolar, y así tener mayorir acompañados para cursar el siguiente año escolar, y así tener mayor
oportunidad de cursar la especialidad que pretendan seleccionar en eloportunidad de cursar la especialidad que pretendan seleccionar en el
momento que les corresponda.momento que les corresponda.
Este libro de apuntes básicos de matemáticas tres pretende ser elEste libro de apuntes básicos de matemáticas tres pretende ser el
material didáctico a utilizar (bueno lo proponemos) por parte del profesormaterial didáctico a utilizar (bueno lo proponemos) por parte del profesor
en el salón de clase, con el fin de cumplir con los propósitos, aprendizajesen el salón de clase, con el fin de cumplir con los propósitos, aprendizajes
y contenido temático del programa de la materia y además para iry contenido temático del programa de la materia y además para ir
cubriendo (ayudando a resolver podría ser ) la gran dificultad a la quecubriendo (ayudando a resolver podría ser ) la gran dificultad a la que
tenemos que enfrentarnos en el salón de clase, al no contar contenemos que enfrentarnos en el salón de clase, al no contar con
suficientes problemas tipo, así como propuestas didácticas variadas parasuficientes problemas tipo, así como propuestas didácticas variadas para
el trabajo con el alumno, al poner en practica los programas ajustados,el trabajo con el alumno, al poner en practica los programas ajustados,
después de hacer la revisión de los programas del plan de estudiosdespués de hacer la revisión de los programas del plan de estudios
actualizado (PEA).actualizado (PEA).

► A LOS PROFESORES:A LOS PROFESORES:
Les hacemos llegar este libro para que lo utilicen en la atención a losLes hacemos llegar este libro para que lo utilicen en la atención a los
grupos que tienen asignados de esta materia, y lo hagan verificando quegrupos que tienen asignados de esta materia, y lo hagan verificando que
cumple tanto con el contenido como con los propósitos y que permitecumple tanto con el contenido como con los propósitos y que permite
alcanzar los aprendizajes planteados en la misma.alcanzar los aprendizajes planteados en la misma.
Solicitamos al mismo tiempo, si tienen a bien, hacemos llegar losSolicitamos al mismo tiempo, si tienen a bien, hacemos llegar los
comentarios que consideren pertinentes para incluirlos en las próximacomentarios que consideren pertinentes para incluirlos en las próxima
revisión, para tener oportunidad de mejorarlos, y de esta forma contarrevisión, para tener oportunidad de mejorarlos, y de esta forma contar
con materiales que nos permitan a todos, desarrollar las unidades de lascon materiales que nos permitan a todos, desarrollar las unidades de las
materia tratando de cumplir lo expuesto en los programas como son:materia tratando de cumplir lo expuesto en los programas como son:
propósitos, tanto de la materia como de cada unidad, así como tambiénpropósitos, tanto de la materia como de cada unidad, así como también
nos permitan alcanzar en los alumnos los aprendizajes fundamentales.nos permitan alcanzar en los alumnos los aprendizajes fundamentales.
Las graficas de la solución de los problemas se realizaron con losLas graficas de la solución de los problemas se realizaron con los
softwares Geolab y Winplot, se recomienda el uso de estos software en lasoftwares Geolab y Winplot, se recomienda el uso de estos software en la
verificación de los problemas que los alumnos deben resolver. En elverificación de los problemas que los alumnos deben resolver. En el
apéndice se expone una explicación para la utilización del softwareapéndice se expone una explicación para la utilización del software
Geolab.Geolab.

► A LOS ESTUDIANTES:A LOS ESTUDIANTES:
Ponemos en tus manos este libro para que al leerlo detenidamente yPonemos en tus manos este libro para que al leerlo detenidamente y
alal
analizarlo, adquieras con el, los aprendizajes que te permitan laanalizarlo, adquieras con el, los aprendizajes que te permitan la
preparación necesaria y suficiente para tu desarrollo y continuidad enpreparación necesaria y suficiente para tu desarrollo y continuidad en
tutu
formación matemática en la Escuela Nacional del Colegio de Cienciasformación matemática en la Escuela Nacional del Colegio de Ciencias
yy
Humanidades, la Universidad, y en tu vida cotidiana. Es importanteHumanidades, la Universidad, y en tu vida cotidiana. Es importante
queque
cuando resuelvas los problemas tengas a la mano un cuaderno, paracuando resuelvas los problemas tengas a la mano un cuaderno, para
queque
realices las operaciones pertinentes.realices las operaciones pertinentes.
► RECONOCIMIENTOS:RECONOCIMIENTOS:
Deseamos agradecer al Prof. Asesor Técnico del C.C.H Vallejo MarteDeseamos agradecer al Prof. Asesor Técnico del C.C.H Vallejo Marte
Adolfo Pérez Botello, así como a Marco Antonio Chalini Morales,Adolfo Pérez Botello, así como a Marco Antonio Chalini Morales,
quienesquienes
leyeron el manuscrito y revisaron las imágenes.leyeron el manuscrito y revisaron las imágenes.

UNIDAD 1:UNIDAD 1:
SOLUCION DE SISTEMAS DESOLUCION DE SISTEMAS DE
ECUACIONESECUACIONES
► PROPOSITOS:PROPOSITOS:
* Ampliar el concepto de Sistema de Ecuaciones y extender los* Ampliar el concepto de Sistema de Ecuaciones y extender los
procedimientos algebraicos de solución.procedimientos algebraicos de solución.
* Reafirmar el significado algebraico y grafico de la solución de* Reafirmar el significado algebraico y grafico de la solución de
un sistema. Proporcionar una herramienta para el manejo delun sistema. Proporcionar una herramienta para el manejo del
método analítico.método analítico.
* Avanzar en la practica de la operatividad algebraica* Avanzar en la practica de la operatividad algebraica..
APRENDIZAJES:APRENDIZAJES:
AL FINALIZAR LA UNIDAD EL ALUMNO DEBE:AL FINALIZAR LA UNIDAD EL ALUMNO DEBE:
** Reconocer cuando un sistema de ecuaciones es lineal o (no)Reconocer cuando un sistema de ecuaciones es lineal o (no)
de otro tipo, y cuales son sus incógnitas.de otro tipo, y cuales son sus incógnitas.

* Recordar el método de reducción para resolver un sistema de 2* Recordar el método de reducción para resolver un sistema de 2
ecuaciones con 2 incógnitas, y comprenderá la forma en que seecuaciones con 2 incógnitas, y comprenderá la forma en que se
extiende a un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.extiende a un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
* Reafirmar el concepto de sistemas equivalentes y comprenderá* Reafirmar el concepto de sistemas equivalentes y comprenderá
que en los métodos algebraicos de resolución de un sistema deque en los métodos algebraicos de resolución de un sistema de
ecuaciones, se recurre a transformarlos a sistemas equivalentesecuaciones, se recurre a transformarlos a sistemas equivalentes
de mayor simplicidad, hasta llegar a alguno que contiene unade mayor simplicidad, hasta llegar a alguno que contiene una
ecuación con una sola incógnita, de convertir una situaciónecuación con una sola incógnita, de convertir una situación
desconocida o difícil, a otra conocida o mas simple.desconocida o difícil, a otra conocida o mas simple.
* Distinguir cuando un sistema de ecuaciones de 3 por 3 o de 4 por* Distinguir cuando un sistema de ecuaciones de 3 por 3 o de 4 por
4, esta escrito en forma triangular y explicar que ventajas aporta4, esta escrito en forma triangular y explicar que ventajas aporta
esta forma para resolverlo.esta forma para resolverlo.
* Dado un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3, utilizar el* Dado un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3, utilizar el
método de suma y resta para transformarlo a la forma triangular,método de suma y resta para transformarlo a la forma triangular,
y a partir de ahí, obtener su solución.y a partir de ahí, obtener su solución.
*A través de un sistema de ecuaciones escrito en forma triangular,*A través de un sistema de ecuaciones escrito en forma triangular,
identificar si este es independiente y compatible, dependiente yidentificar si este es independiente y compatible, dependiente y
compatible, o bien si es incompatible.compatible, o bien si es incompatible.

* En el caso de los sistemas de 2 por 2, ya sea que ambas* En el caso de los sistemas de 2 por 2, ya sea que ambas
ecuaciones sean lineales o incluyan cuadráticas, explicar aecuaciones sean lineales o incluyan cuadráticas, explicar a
partir de una grafica, que significa que el sistema tenga una,partir de una grafica, que significa que el sistema tenga una,
ninguna o una infinidad de soluciones.ninguna o una infinidad de soluciones.
* Para sistemas de ecuaciones de 2 por 2 con ambas ecuaciones* Para sistemas de ecuaciones de 2 por 2 con ambas ecuaciones
cuadráticas (parábolas y/o circunferencias), trazar un bosquejocuadráticas (parábolas y/o circunferencias), trazar un bosquejo
que ilustre como pueden estar colocadas las graficas para queque ilustre como pueden estar colocadas las graficas para que
el sistema tenga cero, una, dos , tres o cuatro soluciones.el sistema tenga cero, una, dos , tres o cuatro soluciones.
* Aplicar el método de sustitución para resolver sistemas de dos* Aplicar el método de sustitución para resolver sistemas de dos
ecuaciones en los que una de ellas o ambas son cuadráticas.ecuaciones en los que una de ellas o ambas son cuadráticas.
* Apreciar que el algebra es útil para obtener información a cerca* Apreciar que el algebra es útil para obtener información a cerca
del comportamiento de algunos objetos matemáticos, como esdel comportamiento de algunos objetos matemáticos, como es
el caso de saber si dos graficas se intersectan o no, cuantasel caso de saber si dos graficas se intersectan o no, cuantas
veces y en donde.veces y en donde.
* Resolver problemas que involucren sistemas de ecuaciones de* Resolver problemas que involucren sistemas de ecuaciones de
los tipos estudiados en esta unidad.los tipos estudiados en esta unidad.
* Interpretar en el contexto del problema proporcionado, el* Interpretar en el contexto del problema proporcionado, el
sentido de la solución hallada.sentido de la solución hallada.

► CONTENIDO TEMÁTICO:CONTENIDO TEMÁTICO:
* Situaciones que dan lugar a sistemas de ecuaciones lineales* Situaciones que dan lugar a sistemas de ecuaciones lineales
* Sistemas de ecuaciones lineales, 2x2 y 3x3* Sistemas de ecuaciones lineales, 2x2 y 3x3
a) Con solución únicaa) Con solución única
b) Con infinidad de solucionesb) Con infinidad de soluciones
c) Sin solucionesc) Sin soluciones
* Sistemas de Ecuaciones Equivalentes* Sistemas de Ecuaciones Equivalentes
a) Conceptoa) Concepto
b) Forma Triangularb) Forma Triangular
c) Métodos de resolución no lineales 2x2c) Métodos de resolución no lineales 2x2
* Sistemas de ecuaciones no lineales 2x2* Sistemas de ecuaciones no lineales 2x2
a) Con una ecuación lineal y otra cuadráticaa) Con una ecuación lineal y otra cuadrática
b) Con ambas ecuaciones cuadráticasb) Con ambas ecuaciones cuadráticas
c) El significado grafico de su soluciónc) El significado grafico de su solución
d) Método de substituciónd) Método de substitución
* Problemas de Aplicación* Problemas de Aplicación

UNIDAD 1: SOLUCION DEUNIDAD 1: SOLUCION DE
SISTEMA DE ECUACIONESSISTEMA DE ECUACIONES
* PROPOSITOS:* PROPOSITOS: Ampliar el concepto de sistemas de ecuaciones yAmpliar el concepto de sistemas de ecuaciones y
extender los procedimientos algebraicos de solución. Reafirmar elextender los procedimientos algebraicos de solución. Reafirmar el
significado algebraico y grafico de la solución de un sistema.significado algebraico y grafico de la solución de un sistema.
Proporcionar una herramienta para el manejo del método analítico.Proporcionar una herramienta para el manejo del método analítico.
Avanzar en la practica de la operatividad algebraica.Avanzar en la practica de la operatividad algebraica.
* APRENDIZAJES:* APRENDIZAJES:
- Reconocer cuando un sistema de ecuaciones es lineal o de otro tipo- Reconocer cuando un sistema de ecuaciones es lineal o de otro tipo
y cuales son sus incógnitas.y cuales son sus incógnitas.
- Recordar el método de reducción para resolver un sistema de dos- Recordar el método de reducción para resolver un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas.ecuaciones con dos incógnitas.
* TEMATICA:* TEMATICA:
a) Con solución únicaa) Con solución única
b) Con infinidad de solucionesb) Con infinidad de soluciones
c) Sin soluciónc) Sin solución
9

INTRODUCCIONINTRODUCCION
Los métodos de solución de los sistemas de ecuaciones simultaneas que seLos métodos de solución de los sistemas de ecuaciones simultaneas que se
abordan actualmente en el estudio de las matemáticas de nivel medio superior,abordan actualmente en el estudio de las matemáticas de nivel medio superior,
han experimentado un proceso de estructuración en sus formas y contenidos ahan experimentado un proceso de estructuración en sus formas y contenidos a
lo largo de la Historia de las matemáticas, pues hay que recordar que muchoslo largo de la Historia de las matemáticas, pues hay que recordar que muchos
investigadores de diferentes culturas universales han coadyuvado en esta tarea.investigadores de diferentes culturas universales han coadyuvado en esta tarea.
Hoy conocemos de diferentes fuentes históricas que los egipcios, entre 2200 yHoy conocemos de diferentes fuentes históricas que los egipcios, entre 2200 y
1700 a. de c. sentaron bases teóricas dignas de tomar en cuenta para el1700 a. de c. sentaron bases teóricas dignas de tomar en cuenta para el
desarrollo de esta clase de ecuaciones y aun con ciertas limitaciones en eldesarrollo de esta clase de ecuaciones y aun con ciertas limitaciones en el
desarrollo de su algebra, llegaron a plantear y resolver problemas notables; quedesarrollo de su algebra, llegaron a plantear y resolver problemas notables; que
con el uso del lenguaje algebraico actual corresponde a un sistema como este:con el uso del lenguaje algebraico actual corresponde a un sistema como este:
X2+Y2=50X2+Y2=50
Y=(2/3)XY=(2/3)X
Mencionemos también que algunos matemáticos pertenecientes a la culturaMencionemos también que algunos matemáticos pertenecientes a la cultura
China en un libro que lleva por nombre “La aritmética en nueve secciones”,China en un libro que lleva por nombre “La aritmética en nueve secciones”,
escritos en el año 2006 a. de c. dieron a conocer una colección de problemasescritos en el año 2006 a. de c. dieron a conocer una colección de problemas
sobre agricultura e ingeniería, así como las reglas para resolver algunossobre agricultura e ingeniería, así como las reglas para resolver algunos
sistemas de ecuaciones lineales. Estos procedimientos son muy semejantes asistemas de ecuaciones lineales. Estos procedimientos son muy semejantes a
los actuales como el método de eliminación por suma y resta, el método delos actuales como el método de eliminación por suma y resta, el método de
Gauss – Jordan y el método de la regla de Cramer.Gauss – Jordan y el método de la regla de Cramer.

SITUACIONES QUE DAN LUGAR ASITUACIONES QUE DAN LUGAR A
SISTEMAS DE ECUECIONESSISTEMAS DE ECUECIONES
LINEALES DOS POR DOSLINEALES DOS POR DOS
En la unidad 4 de matemáticas 1 se estudiaron los métodosEn la unidad 4 de matemáticas 1 se estudiaron los métodos
para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dospara resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos
ecuaciones con dos incógnitas, algunas de estas técnicas, porecuaciones con dos incógnitas, algunas de estas técnicas, por
ejemplo de eliminación y sustitución las recordaremos conejemplo de eliminación y sustitución las recordaremos con
algunos problemas que nos conduzcan a un sistema dealgunos problemas que nos conduzcan a un sistema de
ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Escribe en tu cuaderno el nombre de los métodos queEscribe en tu cuaderno el nombre de los métodos que
aprendiste en tu curso de matemáticas 1 y resuelve elaprendiste en tu curso de matemáticas 1 y resuelve el
siguiente problema con el método que recuerdes.siguiente problema con el método que recuerdes.

Problema 1.1Problema 1.1
Un químico tiene dos soluciones con acido, cada una contiene unUn químico tiene dos soluciones con acido, cada una contiene un
cierto porcentaje de acido nítrico. Si una solución tiene el 4% decierto porcentaje de acido nítrico. Si una solución tiene el 4% de
acido nítrico y la otra el 14% del mismo acido, ¿Qué cantidad deacido nítrico y la otra el 14% del mismo acido, ¿Qué cantidad de
cada solución debería mezclarse para obtener 20 litros de unacada solución debería mezclarse para obtener 20 litros de una
solución que contenga el 12% de acido nítrico?solución que contenga el 12% de acido nítrico?
Solución:Solución:
Comprenderemos el problema ilustrándolo con figuras queComprenderemos el problema ilustrándolo con figuras que
muestren la realidad del problema, para identificar cuales son losmuestren la realidad del problema, para identificar cuales son los
datos y cuales las incógnitas.datos y cuales las incógnitas.
Solución X Solución Y 20 litros con el 12 %
4% de acido nítrico 14% acido nítrico de acido nítrico

DATOS:DATOS:
x+y=20------------------------(1)x+y=20------------------------(1)
.04x+.14y=.12(20)------------(2).04x+.14y=.12(20)------------(2)
Incógnitas: ¿ Cuantos litros de solución “x” con una concentración del 4% deIncógnitas: ¿ Cuantos litros de solución “x” con una concentración del 4% de
acido nítrico así como cuantos litros de solución “y” con una concentración delacido nítrico así como cuantos litros de solución “y” con una concentración del
14%, se necesitan para obtener una solución de 20 litros con una14%, se necesitan para obtener una solución de 20 litros con una
concentración del 12% de acido nítrico?concentración del 12% de acido nítrico?
Para llegar a la respuesta podemos resolver el sistema por el método de sumaPara llegar a la respuesta podemos resolver el sistema por el método de suma
y resta:y resta:
A la ecuación (1) la multiplicaremos por -.40 y la sumamos a la ecuación (2).A la ecuación (1) la multiplicaremos por -.40 y la sumamos a la ecuación (2).
-.04(x+y=20)-.04(x+y=20)
.04x+.14y=2.4.04x+.14y=2.4
.1y=1.6.1y=1.6
y=16y=16

Sustituyendo en la ecuación (1) este valorSustituyendo en la ecuación (1) este valor
x+16=20x+16=20
X=4X=4
Podemos decir que se necesitan 4 litros de solución con una concentración dePodemos decir que se necesitan 4 litros de solución con una concentración de
acido nítrico del 4% y 16 litros de solución con una concentración del 14%acido nítrico del 4% y 16 litros de solución con una concentración del 14%
del mismo acido. Esto lo podemos verificar si sustituimos estos valores en eldel mismo acido. Esto lo podemos verificar si sustituimos estos valores en el
sistema original.sistema original.
4+16=20 (1)4+16=20 (1)
.04(4)+.14(16)=.12(20) (2).04(4)+.14(16)=.12(20) (2)
PROBLEMA 1.2PROBLEMA 1.2
El costo de tres camisetas y cinco pantalones es de $465 pesos. El costo deEl costo de tres camisetas y cinco pantalones es de $465 pesos. El costo de
dos camisetas y un pantalón es de $226. ¿Cuál será el costo de una camisetados camisetas y un pantalón es de $226. ¿Cuál será el costo de una camiseta
y un pantalón?y un pantalón?

unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones
Solucion:Solucion:
Identificaremos los datos y las incógnitas con algunosIdentificaremos los datos y las incógnitas con algunos
esquemas que nos ilustren el problema.esquemas que nos ilustren el problema.
Denotemos el costo de una camisa por la variable x, el costo de unDenotemos el costo de una camisa por la variable x, el costo de un
pantalón por la variable y.pantalón por la variable y.
Incógnitas: cuanto es el costo de una camisa y cuanto es el costo deIncógnitas: cuanto es el costo de una camisa y cuanto es el costo de
un pantalón.un pantalón.
15
3x ┼ 5 y
2x ┼ y

Planteando un sistema de ecuaciones lineales, se tiene:Planteando un sistema de ecuaciones lineales, se tiene:
3x+5y =465 (1)3x+5y =465 (1)
2x+y=226 (2)2x+y=226 (2)
Aplicando el método de suma y resta, resolveremos este sistema.Aplicando el método de suma y resta, resolveremos este sistema.
Eliminemos la variable y multiplicando la ecuación (2) por -5 yEliminemos la variable y multiplicando la ecuación (2) por -5 y
sumemos con la ecuación (1):sumemos con la ecuación (1):
3x+5y=4653x+5y=465
-10x-5y=-1130-10x-5y=-1130
-7x+0=-665-7x+0=-665
Considerando la ecuación: -7x= -665 despeja la variable x; realiza lasConsiderando la ecuación: -7x= -665 despeja la variable x; realiza las
operaciones en tu cuaderno.operaciones en tu cuaderno.
Debes encontrar la siguiente solución.Debes encontrar la siguiente solución.
x=95x=95
Sustituyendo este valor de x=95 en la ecuación (1), encuentra el valor deSustituyendo este valor de x=95 en la ecuación (1), encuentra el valor de
3(95)+5y=4653(95)+5y=465
16

Debes llegar al siguiente resultado.Debes llegar al siguiente resultado.
y=36y=36
Concluimos que el costo de una camisa es de $95 y el costo de unConcluimos que el costo de una camisa es de $95 y el costo de un
pantalón es de $36. Para asegurarnos que se resolvió correctamente elpantalón es de $36. Para asegurarnos que se resolvió correctamente el
problema, sustituimos estos valores en el sistema de ecuacionesproblema, sustituimos estos valores en el sistema de ecuaciones
planteado anteriormente y observaremos que en ambas ecuaciones laplanteado anteriormente y observaremos que en ambas ecuaciones la
igualdad se cumple:igualdad se cumple:
3x+5y=465 (1)3x+5y=465 (1)
2x+y=226 (2)2x+y=226 (2)
Sustituimos x = 95; y = 36, en la ecuación (1):Sustituimos x = 95; y = 36, en la ecuación (1):
3x+5y=4653x+5y=465
3(95)+5(36)=4653(95)+5(36)=465
285+180=465285+180=465
465=465465=465

Hacemos lo mismo en la ecuación (2):Hacemos lo mismo en la ecuación (2):
2x+y=2262x+y=226
2(95)+36=2262(95)+36=226
190+36=226190+36=226
226=226226=226
Problemas:Problemas:
Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno con elResuelve los siguientes problemas en tu cuaderno con el
método de suma y resta, realiza algunos esquemas con el finmétodo de suma y resta, realiza algunos esquemas con el fin
de identificar correctamente cuales son tus datos y cualesde identificar correctamente cuales son tus datos y cuales
son tus incógnitas, verifica en cada problema si tu soluciónson tus incógnitas, verifica en cada problema si tu solución
es correcta y escribe una solución para cada uno de loses correcta y escribe una solución para cada uno de los
problemas.problemas.

1)1) En un supermercado Juan compro 5 kg. De naranjas y 4 kg. DeEn un supermercado Juan compro 5 kg. De naranjas y 4 kg. De
plátanos, y pago 57 pesos, por otros 2 kg. De naranjas y 6 kg. Deplátanos, y pago 57 pesos, por otros 2 kg. De naranjas y 6 kg. De
plátanos pago 60 pesos. Encuentra el precio de 1 kg. De naranjaplátanos pago 60 pesos. Encuentra el precio de 1 kg. De naranja
y un kilogramo de plátanos.y un kilogramo de plátanos.
Sol.Preciodelkilodenaranjas:4.64Sol.Preciodelkilodenaranjas:4.64
Precio del kilo de plátanos: 8.45Precio del kilo de plátanos: 8.45
2)2) El perímetro de un rectángulo es de 64 metros. Si el largo delEl perímetro de un rectángulo es de 64 metros. Si el largo del
rectángulo es el triple del ancho: Construye un sistema de dosrectángulo es el triple del ancho: Construye un sistema de dos
ecuaciones de 2 por 2, para determinar el largo y el ancho delecuaciones de 2 por 2, para determinar el largo y el ancho del
rectángulo.rectángulo.
Sol. Ancho : 20Sol. Ancho : 20
Largo :48Largo :48

3)3) Se tiene un cable conductor de energía de 60 metros de largo, paraSe tiene un cable conductor de energía de 60 metros de largo, para
conectar equipos en una planta termoeléctrica. Si con el cable seconectar equipos en una planta termoeléctrica. Si con el cable se
forma un rectángulo:forma un rectángulo:
¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo, si el largo del¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo, si el largo del
rectángulo que se forma es el doble que su ancho?rectángulo que se forma es el doble que su ancho?
Sol. Ancho :20Sol. Ancho :20
Largo :48Largo :48
4)4) En un supermercado Juan compro 5kg. De toronjas y 4 kg. DeEn un supermercado Juan compro 5kg. De toronjas y 4 kg. De
duraznos, y pago 30 pesos, por otros 2 kg. De toronjas y 6 kg. Deduraznos, y pago 30 pesos, por otros 2 kg. De toronjas y 6 kg. De
duraznos, pago 23 pesos. Encuentra el precio de 1 kg. De toronjas yduraznos, pago 23 pesos. Encuentra el precio de 1 kg. De toronjas y
duraznos.duraznos.
Sol. kg. de toronjas = 4 pesosSol. kg. de toronjas = 4 pesos
kg. de duraznos = 2.5 pesoskg. de duraznos = 2.5 pesos
2020

Recuerda que no todos los sistemas lineales tienen solución: cuandoRecuerda que no todos los sistemas lineales tienen solución: cuando
un sistema de ecuaciones tiene solución se dice que es consistenteun sistema de ecuaciones tiene solución se dice que es consistente
e independiente ( las rectas se intersecan), cuando no tiene solucióne independiente ( las rectas se intersecan), cuando no tiene solución
se llama inconsistente ( las rectas son paralelas), cuando tiene unase llama inconsistente ( las rectas son paralelas), cuando tiene una
infinidad de soluciones se dice que el sistema es dependiente ( lasinfinidad de soluciones se dice que el sistema es dependiente ( las
rectas coinciden). Considerando un sistema general de dosrectas coinciden). Considerando un sistema general de dos
ecuaciones lineales con dos variables.ecuaciones lineales con dos variables.
aa11x+bx+b11y=cy=c11
aa22x+bx+b22y=cy=c22
En donde aEn donde a11,b,b11,c,c11,a,a22,b,b22,c,c22 son números reales.son números reales.
Las graficas de cada una de estas ecuaciones son rectas; se haráLas graficas de cada una de estas ecuaciones son rectas; se hará
referencia a ellas comoreferencia a ellas como
Si se grafican dos ecuaciones lineales en el mismo sistema deSi se grafican dos ecuaciones lineales en el mismo sistema de
coordenadas rectangulares ocurrirá una de las tres siguientescoordenadas rectangulares ocurrirá una de las tres siguientes
alternativas siguientes:alternativas siguientes:
2121

1) Las rectas coinciden; por consiguiente, el sistema de1) Las rectas coinciden; por consiguiente, el sistema de
ecuaciones tiene un numero infinito de soluciones. Por ello seecuaciones tiene un numero infinito de soluciones. Por ello se
dice que el sistema es dependiente.dice que el sistema es dependiente.
2) Las rectas son paralelas; por consiguiente, el sistema de2) Las rectas son paralelas; por consiguiente, el sistema de
ecuaciones no tiene ninguna solución. Por ello se dice que elecuaciones no tiene ninguna solución. Por ello se dice que el
sistema es inconsistente.sistema es inconsistente.
3) Las rectas se intersecan en exactamente en un punto. Por3) Las rectas se intersecan en exactamente en un punto. Por
ello se dice que el sistema es consistente e independiente.ello se dice que el sistema es consistente e independiente.
Los siguientes sistemas de ecuaciones y sus graficasLos siguientes sistemas de ecuaciones y sus graficas
correspondientes ilustran estos tres casos.correspondientes ilustran estos tres casos.
2x-y=-3 x+2y=4 x+2y=42x-y=-3 x+2y=4 x+2y=4
4x-2y=-6 x+2y=8 2x-y=34x-2y=-6 x+2y=8 2x-y=3

APLICANDO EL METODO DE SUMA YAPLICANDO EL METODO DE SUMA Y
RESTA: CUANDO EL SISTEMA ESRESTA: CUANDO EL SISTEMA ES
CONSISTENETE Y TIENE UNACONSISTENETE Y TIENE UNA
SOLUCIONSOLUCION
Rectas que coinciden
Sistemas dependientes
Numero infinito de
soluciones
Rectas paralelas
Sistemas inconsistentes
Sin solución
Rectas que se
intersecan
Sistemas inconsistentes
e independientes
Exactamente una
solución

..
Problema 1.3:Problema 1.3:
A continuación resolveremos el siguiente sistema de ecuaciones y construiremosA continuación resolveremos el siguiente sistema de ecuaciones y construiremos
su grafica.su grafica.
x-y=-5 (1)x-y=-5 (1)
x+2y=4 (2)x+2y=4 (2)
Solución del problema:Solución del problema:
Escribe en tu cuaderno cuales serian tus datos en la solución del problema:Escribe en tu cuaderno cuales serian tus datos en la solución del problema:
Escribe en tu cuaderno, cual es la incógnita en la solución del problema:Escribe en tu cuaderno, cual es la incógnita en la solución del problema:

Resolveremos el sistema de ecuaciones:Resolveremos el sistema de ecuaciones:
Si multiplicamos la ecuación (1) por -1 tendremos que en ambasSi multiplicamos la ecuación (1) por -1 tendremos que en ambas
ecuaciones respecto a la variable x, coeficientes que solo difieren en elecuaciones respecto a la variable x, coeficientes que solo difieren en el
signo, posteriormente sumamos.signo, posteriormente sumamos.
-x+y=5-x+y=5
x+2y=4x+2y=4
0x+3y=90x+3y=9
De la ecuación: 3y = 9 despeja la variable y, en tu cuadernoDe la ecuación: 3y = 9 despeja la variable y, en tu cuaderno
y=3y=3
Sí sustituimos este valor en la ecuación (2) obtendremos el valor de laSí sustituimos este valor en la ecuación (2) obtendremos el valor de la
variablevariable
x+2y=x+2y=
x+2(3)=4x+2(3)=4
Despeja la variable, debes llegar al resultado: x = -2Despeja la variable, debes llegar al resultado: x = -2

Podemos concluir que: el punto en donde se intersecan estasPodemos concluir que: el punto en donde se intersecan estas
dos rectas es P (-2 , 3).dos rectas es P (-2 , 3).
Como se observa en la grafica.Como se observa en la grafica.
Realiza la grafica en tu cuaderno identificando cual es laRealiza la grafica en tu cuaderno identificando cual es la
ecuación de cada una de las rectas.ecuación de cada una de las rectas.
2626

EL METODO DE ELIMINACION:EL METODO DE ELIMINACION:
CUANDO EL SISTEMA ESCUANDO EL SISTEMA ES
INCONSISTENETE, ES DECIR NOINCONSISTENETE, ES DECIR NO
TIENE SOLUCIÓN.TIENE SOLUCIÓN.
Resuelve el siguiente problema de ecuaciones lineales y realiza una grafica.Resuelve el siguiente problema de ecuaciones lineales y realiza una grafica.
-2x+2y=5 (1)-2x+2y=5 (1)
x-y=1 (2)x-y=1 (2)
Recordaremos que para resolver un problema debemos tener muy presente, cuales son los datos,Recordaremos que para resolver un problema debemos tener muy presente, cuales son los datos,
escríbelos en tu cuaderno:escríbelos en tu cuaderno:

Escribe en tu cuaderno, cuales son las incógnitas:Escribe en tu cuaderno, cuales son las incógnitas:
Solución del sistema de ecuaciones:Solución del sistema de ecuaciones:
Podemos obtener coeficientes que difieren solo en el signo a laPodemos obtener coeficientes que difieren solo en el signo a la
variable “x” y la variable “y” si multiplicamos la segunda ecuaciónvariable “x” y la variable “y” si multiplicamos la segunda ecuación
por (2), al sumarlas observamos que tenemos una ecuación falsa.por (2), al sumarlas observamos que tenemos una ecuación falsa.
-2x+2y=5-2x+2y=5
2x-2y=22x-2y=2
0=7 Ecuación falsa0=7 Ecuación falsa
Como no hay valores de las variables: “x” e “y” para los cuales 0=7Como no hay valores de las variables: “x” e “y” para los cuales 0=7
el sistemas es inconsistente y no tiene solución, entonces las rectasel sistemas es inconsistente y no tiene solución, entonces las rectas
correspondientes al sistema original son paralelas.correspondientes al sistema original son paralelas.

Las líneas correspondientes a las dos ecuaciones dadas enLas líneas correspondientes a las dos ecuaciones dadas en
este sistema se muestran en la siguiente figura. Observa queeste sistema se muestran en la siguiente figura. Observa que
las dos líneas son paralelas.las dos líneas son paralelas.

EL METODO DE SUMA Y RESTA:EL METODO DE SUMA Y RESTA:
CUANDO EL SISTEMA TIENECUANDO EL SISTEMA TIENE
MUCHAS SOLUCIONES.MUCHAS SOLUCIONES.
Resuelve el sistema lineal por el método de eliminación o sumaResuelve el sistema lineal por el método de eliminación o suma
y resta y construye la grafica correspondientey resta y construye la grafica correspondiente
3x-2y=63x-2y=6
-6x+4y=-12-6x+4y=-12
Para resolver el problema debemos tener presente que losPara resolver el problema debemos tener presente que los
datos de el problema son: el sistema de ecuaciones quedatos de el problema son: el sistema de ecuaciones que
debemos resolver por el método de eliminación.debemos resolver por el método de eliminación.

Escribe en tu cuaderno cuales son las incógnitas:Escribe en tu cuaderno cuales son las incógnitas:
Resolviendo el sistema de ecuaciones:Resolviendo el sistema de ecuaciones:
Podemos obtener coeficientes en la variable “y” así como en laPodemos obtener coeficientes en la variable “y” así como en la
variable “x” que difieran solo en el signo, si multiplicamos lavariable “x” que difieran solo en el signo, si multiplicamos la
primera ecuación por 2, posteriormente sumamos con laprimera ecuación por 2, posteriormente sumamos con la
ecuación (2).ecuación (2).
6x-4y=126x-4y=12
-6x+2y=-12-6x+2y=-12
0=00=0
3131

Observemos que obtenemos una igualdad, esto significa queObservemos que obtenemos una igualdad, esto significa que
las dos rectas son equivalentes (tienen el mismo conjuntolas dos rectas son equivalentes (tienen el mismo conjunto
solución), el sistema tiene infinidad de soluciones, podemossolución), el sistema tiene infinidad de soluciones, podemos
decir que el conjunto de soluciones esta formado por todos losdecir que el conjunto de soluciones esta formado por todos los
puntos ( x , y ) que se encuentren en la línea 3x – 2y =6puntos ( x , y ) que se encuentren en la línea 3x – 2y =6
como se muestra en la figura.como se muestra en la figura.

Problema : Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el métodoProblema : Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método
de sustitución.de sustitución.
x+2y=4.x+2y=4. .. .. .(1).(1)
2x-y=3.2x-y=3. .. .. .(2).(2)
Realiza las operaciones en tu cuaderno.Realiza las operaciones en tu cuaderno.
Recuerda el método, puedes despejar de la ecuación (1) la variable x, yRecuerda el método, puedes despejar de la ecuación (1) la variable x, y
sustituirla en la ecuación (2) y así conocer el valor de la variable de x, lasustituirla en la ecuación (2) y así conocer el valor de la variable de x, la
solución del problema se ilustra con la siguiente grafica, contesta en tusolución del problema se ilustra con la siguiente grafica, contesta en tu
cuaderno las siguientes preguntas:cuaderno las siguientes preguntas:
1)1) Escribe la solución que encontraste y localiza esta solución en la grafica.Escribe la solución que encontraste y localiza esta solución en la grafica.
2)2) Este sistema es consistente o inconsistenteEste sistema es consistente o inconsistente
3)3) Explica que significa que un sistema sea consistente o inconsistenteExplica que significa que un sistema sea consistente o inconsistente
4)4) Verifica la soluciónVerifica la solución

ProblemasProblemas
Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas por estosResuelve en tu cuaderno los siguientes problemas por estos
dos métodos, dibuja un esquema con el fin de quedos métodos, dibuja un esquema con el fin de que
identifiques correctamente cuales son tus datos y cuales sonidentifiques correctamente cuales son tus datos y cuales son
tus incógnitas y cuando termines de resolver cada uno de lostus incógnitas y cuando termines de resolver cada uno de los
problemas verifícalos:problemas verifícalos:
Recomendación:Recomendación: Estos problemas se sugiere sean resueltosEstos problemas se sugiere sean resueltos
por equipos según lo indique el profesor.por equipos según lo indique el profesor.
3434

1) La suma de dos números es 44 y su diferencia es 20. ¿Cuáles son los1) La suma de dos números es 44 y su diferencia es 20. ¿Cuáles son los
números?números?
Sol. 12, 32Sol. 12, 32
2) Dos ángulos son suplementarios, de tal manera que el primero es igual a2) Dos ángulos son suplementarios, de tal manera que el primero es igual a
7 veces el segundo mas 4º. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos?7 veces el segundo mas 4º. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos?
3) Un químico tiene una solución acida al 25% y otra al 50%. ¿Qué volumen3) Un químico tiene una solución acida al 25% y otra al 50%. ¿Qué volumen
de cada una debe utilizarse para preparar 25 litros de una solución acidade cada una debe utilizarse para preparar 25 litros de una solución acida
al 40% ?al 40% ?
Sol. 10 litros de solución al 25%Sol. 10 litros de solución al 25%
15 litros de solución al 50%15 litros de solución al 50%

4) Resuelve el sistema lineal por el método de suma y resta, construye su grafica y4) Resuelve el sistema lineal por el método de suma y resta, construye su grafica y
analiza si el sistema es consistente o inconsistente.analiza si el sistema es consistente o inconsistente.
2x+y=42x+y=4
x-y=2x-y=2
Sol. (2, 0)Sol. (2, 0)
5) Resuelve el sistema lineal por método de sustitución5) Resuelve el sistema lineal por método de sustitución
x+3y=2x+3y=2
-x+2y=3-x+2y=3
Sol. ( -1, 1 )Sol. ( -1, 1 )
6)Resuelve el sistema lineal por el método que consideres mas apropiado, analiza6)Resuelve el sistema lineal por el método que consideres mas apropiado, analiza
si es consistente o inconsistente y construye su grafica.si es consistente o inconsistente y construye su grafica.
x-y=1x-y=1
-2x+2y=5-2x+2y=5
Sol. inconsistenteSol. inconsistente

7) Resuelve el sistema lineal por el método que consideres mas apropiado,7) Resuelve el sistema lineal por el método que consideres mas apropiado,
analiza si es consistente o inconsistente y construye su grafica.analiza si es consistente o inconsistente y construye su grafica.
3x-2y=63x-2y=6
-6x+4y=-12-6x+4y=-12
Sol. (2a , 3a-3 )Sol. (2a , 3a-3 )
8) Resuelve el sistema por cualquier método, realiza una grafica8) Resuelve el sistema por cualquier método, realiza una grafica
9x-3y=-19x-3y=-1
3x+6y=-53x+6y=-5
Sol. ( -1/3 , -2/3 )Sol. ( -1/3 , -2/3 )
9) Resuelve el sistema lineal y realiza una grafica9) Resuelve el sistema lineal y realiza una grafica
2/3x+1/6y=2/32/3x+1/6y=2/3
4x+y=44x+y=4
3737

10)Resuelve el sistema de ecuaciones y realiza la grafica10)Resuelve el sistema de ecuaciones y realiza la grafica
x/y+y/6=1x/y+y/6=1
x+y=3x+y=3
Sol. (18/5 , 3/5)Sol. (18/5 , 3/5)

SISTEMAS DE ECUACIONESSISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES DE TRES ECUACIONESLINEALES DE TRES ECUACIONES
CON TRES INCÓGNITASCON TRES INCÓGNITAS
Aprendizajes.Aprendizajes.
El alumno:El alumno:
• Reafirmara el concepto de sistemas equivalentes y entenderá que en losReafirmara el concepto de sistemas equivalentes y entenderá que en los
métodos algebraicos de resolución de un sistema de ecuaciones, semétodos algebraicos de resolución de un sistema de ecuaciones, se
recurre a transformar los sistemas equivalentes de mayor simplicidad,recurre a transformar los sistemas equivalentes de mayor simplicidad,
hasta llegar a alguno que contiene una ecuación con una solo incógnita.hasta llegar a alguno que contiene una ecuación con una solo incógnita.
Con ello reafirmara la estrategia matemática de convenir una situaciónCon ello reafirmara la estrategia matemática de convenir una situación
desconocida o difícil, a otra conocida o mas fácil.desconocida o difícil, a otra conocida o mas fácil.
• Dado un sistema de ecuaciones lineales 3x3, utilizara el método de sumaDado un sistema de ecuaciones lineales 3x3, utilizara el método de suma
y resta para transformarlo a la forma triangular, y a partir de ahí, obtendráy resta para transformarlo a la forma triangular, y a partir de ahí, obtendrá
su solución.su solución.
Temática:Temática:

Sistemas de ecuaciones equivalentesSistemas de ecuaciones equivalentes
a)a) ConceptoConcepto
b)b) Forma triangularForma triangular
Ahora ampliaremos la definición de ecuación lineal ax + by = c a unaAhora ampliaremos la definición de ecuación lineal ax + by = c a una
ecuación lineal o de primer grado con tres variables ax + by +cz =d, enecuación lineal o de primer grado con tres variables ax + by +cz =d, en
la que su grafica es un plano en el espacio, a diferencia de la grafica dela que su grafica es un plano en el espacio, a diferencia de la grafica de
la primera ecuación que es una línea recta.la primera ecuación que es una línea recta.
La solución de una ecuación lineal como : 2x + y – 3z = 3 es una ternaLa solución de una ecuación lineal como : 2x + y – 3z = 3 es una terna
ordenada de números. Por ejemplo, (1, -2, -1 ) es una solución de laordenada de números. Por ejemplo, (1, -2, -1 ) es una solución de la
ecuación pues si se sustituyen a x, y, z por 1, -2, -1, en ese ordenecuación pues si se sustituyen a x, y, z por 1, -2, -1, en ese orden
resulta una ecuación verdadera.resulta una ecuación verdadera.
La solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variablesLa solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables
es una tercia ordenada de números. Por ejemplo la solución deles una tercia ordenada de números. Por ejemplo la solución del
sistema:sistema:
x+y-zx+y-z
2x+y+z=12x+y+z=1
3x-2y-z=33x-2y-z=3
4040

Es la tercia (1, 1, -2 ) que es la solución de cada una de las tres ecuaciones.Es la tercia (1, 1, -2 ) que es la solución de cada una de las tres ecuaciones.
Es fácil comprobar por sustitución que esta tercia es solución del sistema anterior.Es fácil comprobar por sustitución que esta tercia es solución del sistema anterior.
1+1-(-2)=41+1-(-2)=4
2(1)+2+(-2)=12(1)+2+(-2)=1
3(1)-2(1)-(-2)=33(1)-2(1)-(-2)=3
Un sistemas de tres ecuaciones lineales variables es consistente o inconsistente,Un sistemas de tres ecuaciones lineales variables es consistente o inconsistente,
según como se intersequen los tres planos que corresponden a las tres ecuaciones,según como se intersequen los tres planos que corresponden a las tres ecuaciones,
en las siguientes figuras se muestran algunas de las probabilidades de cómo seen las siguientes figuras se muestran algunas de las probabilidades de cómo se
pueden intersecar estos tres planos.pueden intersecar estos tres planos.

A continuación se plantean los pasos para resolver unA continuación se plantean los pasos para resolver un
sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitassistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables.Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables.
1.1. Se seleccionan dos de las tres ecuaciones y se elimina una variableSe seleccionan dos de las tres ecuaciones y se elimina una variable
2.2. Se utiliza la ecuación del sistema original que no fue usada en elSe utiliza la ecuación del sistema original que no fue usada en el
primer paso junto con cualquiera de las otras dos ecuaciones y seprimer paso junto con cualquiera de las otras dos ecuaciones y se
elimina la misma variableelimina la misma variable
Los tres planos se intersectan en Los tres planos tienen Los tres planos no tienen punto
un solo punto P. una solución una recta l común en común , no hay solución
infinitas soluciones

3. Se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos variables3. Se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos variables
4. Se sustituyen los valores de las dos variables en cualquiera de4. Se sustituyen los valores de las dos variables en cualquiera de
las ecuaciones originales para obtener el valor de la terceralas ecuaciones originales para obtener el valor de la tercera
variablevariable
5. Si en algún paso se obtiene una contradicción, el sistema no5. Si en algún paso se obtiene una contradicción, el sistema no
tiene solucióntiene solución
6.Si al resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables6.Si al resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables
se obtiene una identidad de algún paso, el sistema tiene unse obtiene una identidad de algún paso, el sistema tiene un
numero infinito de soluciones o no tiene ninguna. De haber unnumero infinito de soluciones o no tiene ninguna. De haber un
numero infinito de soluciones, se expresan como se indiconumero infinito de soluciones, se expresan como se indico
para un sistema de dos ecuaciones con dos variables.para un sistema de dos ecuaciones con dos variables.
Recordemos que en un sistema de dos ecuaciones lineales conRecordemos que en un sistema de dos ecuaciones lineales con
dos incógnitas se pueden representar por dos líneas rectas. Sidos incógnitas se pueden representar por dos líneas rectas. Si
las rectas tienen un solo punto de intersección entonces ellas rectas tienen un solo punto de intersección entonces el
sistema tiene una solución únicas en el coinciden, existe unsistema tiene una solución únicas en el coinciden, existe un
numero infinito de soluciones; si son paralelas, no existe unanumero infinito de soluciones; si son paralelas, no existe una
solución y el sistema es inconsistente.solución y el sistema es inconsistente.

Algo similar pasa cuando se tienen tres ecuaciones con tresAlgo similar pasa cuando se tienen tres ecuaciones con tres
incógnitas, consideremos el siguiente sistema de ecuacionesincógnitas, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones
ax+ by+ cz=dax+ by+ cz=d
ex+ fy+ gz=hex+ fy+ gz=h
jx+ ky+ iz=mjx+ ky+ iz=m
Cada ecuación es la ecuación de un plano. Al resolver cualquierCada ecuación es la ecuación de un plano. Al resolver cualquier
sistema de ecuaciones de 3x3 existen 6 posibilidades de solución.sistema de ecuaciones de 3x3 existen 6 posibilidades de solución.
Esto lo podemos observar en las figuras que a continuación seEsto lo podemos observar en las figuras que a continuación se
presentan.presentan.
1)Los tres planos se intersecan en un solo punto. Entonces existe una1)Los tres planos se intersecan en un solo punto. Entonces existe una
solo solución única para el sistema, es decir los tres planos sesolo solución única para el sistema, es decir los tres planos se
intersecan en un solo punto, ver fig. 1.9intersecan en un solo punto, ver fig. 1.9

2) Los planos se intersecan en la misma recta. Entonces cada punto sobre la recta es una2) Los planos se intersecan en la misma recta. Entonces cada punto sobre la recta es una
solución y el sistema tiene un numero infinito de soluciones, ver fig. 1.10:solución y el sistema tiene un numero infinito de soluciones, ver fig. 1.10:
3) Los tres planos coinciden. Entonces cada punto sobre el plano es una solución y se tiene un3) Los tres planos coinciden. Entonces cada punto sobre el plano es una solución y se tiene un
numero infinito de soluciones fig. 1.11numero infinito de soluciones fig. 1.11
4) Dos de los planos coinciden intersecan a un tercer plano en una recta. Entonces cada punto sobre la recta es una4) Dos de los planos coinciden intersecan a un tercer plano en una recta. Entonces cada punto sobre la recta es una
solución y existe un numero infinito de soluciones, ver fig. 1.12:solución y existe un numero infinito de soluciones, ver fig. 1.12:

4) Dos de los planos coinciden intersecan a un tercer plano en una4) Dos de los planos coinciden intersecan a un tercer plano en una
recta. Entonces cada punto sobre la recta es una solución y existerecta. Entonces cada punto sobre la recta es una solución y existe
un numero infinito de soluciones, ver fig. 1.12:un numero infinito de soluciones, ver fig. 1.12:
5) Al menos dos planos son paralelos y distintos. Entonces ningún5) Al menos dos planos son paralelos y distintos. Entonces ningún
punto puede estar en ambos y no hay solución. El sistema espunto puede estar en ambos y no hay solución. El sistema es
inconsistente, ver fig. 1.13:inconsistente, ver fig. 1.13:

6) Dos de los planos coinciden en una recta L. El tercer plano es6) Dos de los planos coinciden en una recta L. El tercer plano es
paralelo a L (y no contiene a L), de manera que ningún puntoparalelo a L (y no contiene a L), de manera que ningún punto
del tercer plano se encuentra en los dos primeros. No existedel tercer plano se encuentra en los dos primeros. No existe
una solución, y el sistema es inconsistente, ver fig. 1.14:una solución, y el sistema es inconsistente, ver fig. 1.14:
A continuación resolveremos un problema que nos conduzca aA continuación resolveremos un problema que nos conduzca a
un planteamiento de un sistema de tres ecuaciones con tresun planteamiento de un sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas para su solución, el cual lo resolveremos por elincógnitas para su solución, el cual lo resolveremos por el
método de eliminación con el fin de ilustrar el método.método de eliminación con el fin de ilustrar el método.
..

TRANSFORMACION DE UN SISTEMATRANSFORMACION DE UN SISTEMA
DE ECUACIONES LINEALES DE TRESDE ECUACIONES LINEALES DE TRES
ECUACIONES CON TRESECUACIONES CON TRES
INCOGNITAS A LA FORMAINCOGNITAS A LA FORMA
TRIANGULARTRIANGULARProblema 1.7Problema 1.7
El señor Ramírez es dueño de una dulcería y para surtir su negocioEl señor Ramírez es dueño de una dulcería y para surtir su negocio
compro un kilogramo de cada uno de los tres tamaños diferentes decompro un kilogramo de cada uno de los tres tamaños diferentes de
dulces: pequeños, medianos y grandes. Después se dio cuenta quedulces: pequeños, medianos y grandes. Después se dio cuenta que
había subestimado la cantidad de dulces pequeños y grandes quehabía subestimado la cantidad de dulces pequeños y grandes que
necesitaba. Así pues, compro otra vez la misma cantidad de dulcesnecesitaba. Así pues, compro otra vez la misma cantidad de dulces
pequeños y dos tantos de lo que había comprado de los grandes.pequeños y dos tantos de lo que había comprado de los grandes.
Después de organizar su negocio se dio cuenta que le volvieron aDespués de organizar su negocio se dio cuenta que le volvieron a
faltar dulces, por lo que necesito comprar otro kilogramo de dulcesfaltar dulces, por lo que necesito comprar otro kilogramo de dulces
pequeño y medianos. Cuando vio la nota de su compra observo que lepequeño y medianos. Cuando vio la nota de su compra observo que le
habían cobrado por dulces $60 la primera vez; $65 la segunda y $35habían cobrado por dulces $60 la primera vez; $65 la segunda y $35
la tercera ocasión. Los precios de los dulces varían de acuerdo ella tercera ocasión. Los precios de los dulces varían de acuerdo el
tamaño, pero en las notas no se estipularon. Encuentre dichostamaño, pero en las notas no se estipularon. Encuentre dichos
precios.precios.

A continuación ilustremos el problema con un esquema paraA continuación ilustremos el problema con un esquema para
identificar cuales son los datos y las incógnitasidentificar cuales son los datos y las incógnitas
Si x, y, z son los precios de los dulces por kilogramo queSi x, y, z son los precios de los dulces por kilogramo que
corresponden a cada uno de los tres tamaños: chicos, medianos ycorresponden a cada uno de los tres tamaños: chicos, medianos y
grandes. A continuación se plantea el sistema de ecuaciones quegrandes. A continuación se plantea el sistema de ecuaciones que
hay que resolver, para saber el por kilogramo de los tres tamañoshay que resolver, para saber el por kilogramo de los tres tamaños
de los dulces.de los dulces.
x+y+z=60 (1)x+y+z=60 (1)
x+0·y+2z=65 (2)x+0·y+2z=65 (2)
x+y+0·z=35 (3)x+y+0·z=35 (3)
49
Precio por kilogramo Precio por kilogramo Precio por
kilogramo
Dulces pequeños Dulces medianos Dulces
grandes

Consideremos la ecuación (1) y la ecuación (2), eliminaremos laConsideremos la ecuación (1) y la ecuación (2), eliminaremos la
variable x multiplicando la segunda ecuación por (-) y sumandovariable x multiplicando la segunda ecuación por (-) y sumando
ambas ecuaciones obtenemos la ecuación (4):ambas ecuaciones obtenemos la ecuación (4):
x+y+z=60 (1)x+y+z=60 (1)
-x-0y-2z=-65-x-0y-2z=-65 (2)(2)
y-z=-5 (4)y-z=-5 (4)
Consideremos la primera y la tercera ecuación.Consideremos la primera y la tercera ecuación.
x+y+z=60………………………………………..(1)x+y+z=60………………………………………..(1)
x+y+0z=35 ………………………………………(3)x+y+0z=35 ………………………………………(3)
A la ecuación (3) la multiplicamos por (-1) y la sumamos con laA la ecuación (3) la multiplicamos por (-1) y la sumamos con la
ecuación (1) para eliminarla la x y así obtener la ecuación (5) .ecuación (1) para eliminarla la x y así obtener la ecuación (5) .
x+y+z=60………………………………………..(1)x+y+z=60………………………………………..(1)
-x-y-0z=-35-x-y-0z=-35 ………………………………………(3)………………………………………(3)
z=25 ……………..............................(5)z=25 ……………..............................(5)
50

Así obtenemos un sistema triangular con las ecuaciones (1) ,(4) y (5)Así obtenemos un sistema triangular con las ecuaciones (1) ,(4) y (5)
como a continuación:como a continuación:
x+y+z=60…………………………….(1)x+y+z=60…………………………….(1)
y-z=-5………………………………….(4)y-z=-5………………………………….(4)
z=25…………………………………….(5)z=25…………………………………….(5)
Substituyendo la ecuación (5) en la ecuación (4) se obtiene el valor de y.Substituyendo la ecuación (5) en la ecuación (4) se obtiene el valor de y.
y-z=-5y-z=-5
y-25=-5y-25=-5
y=-5+25y=-5+25
y=20y=20
Si sustituimos los valores z, y en la ecuación (1) obtenemos el valor de xSi sustituimos los valores z, y en la ecuación (1) obtenemos el valor de x..
x+y+z=60x+y+z=60
x+20+25=60x+20+25=60
x+45=60x+45=60
x=60-45x=60-45
x=15x=15
51

Entonces el kilogramo de los respectivos dulces corto:Entonces el kilogramo de los respectivos dulces corto:
Chicos x= 15 pesosChicos x= 15 pesos
Medianos y=20 pesosMedianos y=20 pesos
Grandes z=25 pesosGrandes z=25 pesos

SISTEMAS DE ECUACIONESSISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES TRES POR TRES CONLINEALES TRES POR TRES CON
SOLUCION UNICA.SOLUCION UNICA.
Resolvemos el siguiente problema por método de suma y restaResolvemos el siguiente problema por método de suma y resta
transformándolo a la forma triangular, con el fin de ilustrar el método.transformándolo a la forma triangular, con el fin de ilustrar el método.
x+y+z=3……………….(1)x+y+z=3……………….(1)
x+2y-z=0………………(2)x+2y-z=0………………(2)
3x-y+2z=2……………..(3)3x-y+2z=2……………..(3)
Multipliquemos por -1 la ecuación (2) y sumemos con la ecuación (1) paraMultipliquemos por -1 la ecuación (2) y sumemos con la ecuación (1) para
eliminar a la variable x, y obtener la ecuación (4)eliminar a la variable x, y obtener la ecuación (4)
x+y+z=3x+y+z=3
-x-2y+z=0-x-2y+z=0
-y+2z=3……..(4)-y+2z=3……..(4)

Sumemos la ecuación (1) multiplicada por -3, con la ecuaciónSumemos la ecuación (1) multiplicada por -3, con la ecuación
(3), para eliminar la variable x, así obtendremos la ecuación(3), para eliminar la variable x, así obtendremos la ecuación
(5).(5).
-3x-3y-3z=-9-3x-3y-3z=-9
3x-y+2z=03x-y+2z=0
-4y-z=-7……….(5)-4y-z=-7……….(5)
Obtenemos un sistema triangular:Obtenemos un sistema triangular:
x+y+z=3……………….(1)x+y+z=3……………….(1)
-y+2z=3………………...(4)-y+2z=3………………...(4)
y=11/9………………….(6)y=11/9………………….(6)
Sustituyendo (6) en la ecuación (4) obtenemos el valor de z:Sustituyendo (6) en la ecuación (4) obtenemos el valor de z:
-11/9+2z=3-11/9+2z=3
z=19/9z=19/9

Encontremos el valor de x substituyendo el valor de y, asíEncontremos el valor de x substituyendo el valor de y, así
como el de z en (1)como el de z en (1)
x+11/9+19/9=3x+11/9+19/9=3
x=-1/3x=-1/3
Conclusión: Podemos decir que esto tres planos se intersecanConclusión: Podemos decir que esto tres planos se intersecan
en el punto P( -1/3,11/9,19/9)en el punto P( -1/3,11/9,19/9)
A continuación representaremos esta solucion de una manera intuitivaA continuación representaremos esta solucion de una manera intuitiva
mediante las siguientes figuras.mediante las siguientes figuras.
55

En tu cuaderno realiza la verificación del problema.En tu cuaderno realiza la verificación del problema.
► Problema 1.9Problema 1.9
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones, realizaremos una gráficaResolvamos el siguiente sistema de ecuaciones, realizaremos una gráfica
que ilustre de una manera intuitiva del problema y verificaremos elque ilustre de una manera intuitiva del problema y verificaremos el
problema.problema.
x+y+z=6…………(1)x+y+z=6…………(1)
x+z=-2…………...(2)x+z=-2…………...(2)
y+3Z=11…………(3)y+3Z=11…………(3)
¿Estaríamos de acuerdo que nuestros datos son: El sistema de¿Estaríamos de acuerdo que nuestros datos son: El sistema de
ecuaciones y nuestra incógnita saber como se intersecan los planos?,ecuaciones y nuestra incógnita saber como se intersecan los planos?,
es decir saber si el sistema tiene solución única, una infinidad dees decir saber si el sistema tiene solución única, una infinidad de
soluciones o no tiene solución.soluciones o no tiene solución.

Resolvamos el sistema :Resolvamos el sistema :
Multipliquemos por -1 a la ecuación (2).Multipliquemos por -1 a la ecuación (2).
-1(x-z=-2)
-x+z=2
Realicemos la suma algebraica de esta ecuación con laRealicemos la suma algebraica de esta ecuación con la
ecuación (1)ecuación (1)
x+y+z=6
-x+z=2
y+2z=8………….(4)
Multipliquemos por -1 a la ecuación (3) y sumemos con laMultipliquemos por -1 a la ecuación (3) y sumemos con la
-1(y+3z=11)-1(y+3z=11)
-y-3z=-11-y-3z=-11
Y+2z=8Y+2z=8
-y-3z=-11-y-3z=-11
-z=3………………(5)-z=3………………(5)

Obtenemos un sistema triangularObtenemos un sistema triangular
x+y+z=6…………….(1)x+y+z=6…………….(1)
x+2z=8……………...(4)x+2z=8……………...(4)
-z=-3…………………(5)-z=-3…………………(5)
Sustituyendo en (4)Sustituyendo en (4) z=3z=3
Despejemos y:Despejemos y: y+2(3)=8y+2(3)=8
y=8-6=2; y=2y=8-6=2; y=2
Sustituyamos en (1) estos valores para conocer xSustituyamos en (1) estos valores para conocer x
x+y+z=6x+y+z=6
x+2+3=6x+2+3=6
x=1x=1
Conclusión: Estos tres planos se intersecan en el puntoConclusión: Estos tres planos se intersecan en el punto
P(1,2,3), por lo tanto tenemos un sistema consistente, aP(1,2,3), por lo tanto tenemos un sistema consistente, a
continuación representaremos de una manera intuitiva lacontinuación representaremos de una manera intuitiva la
forma de cómo se intersecan estos planos mediante lasforma de cómo se intersecan estos planos mediante las
siguientes gráficas.siguientes gráficas.

Completa en tu cuaderno la solución del siguiente sistema deCompleta en tu cuaderno la solución del siguiente sistema de
ecuaciones por el método de suma y resta para transformarlo aecuaciones por el método de suma y resta para transformarlo a
la forma triangular.la forma triangular.

x+y+2z=9………………..(1)x+y+2z=9………………..(1)
2x+4y-3z=1……………..(2)2x+4y-3z=1……………..(2)
3x+6y-5z=0……………..(3)3x+6y-5z=0……………..(3)
Elegimos las ecuaciones: la primera y segundaElegimos las ecuaciones: la primera y segunda
x+y+2z=9………….(1)x+y+2z=9………….(1)
2x+4y-3z=1………..(2)2x+4y-3z=1………..(2)
Si multiplicamos la primera ecuación por -2 y la sumamos conSi multiplicamos la primera ecuación por -2 y la sumamos con
la segunda, obtendremos la ecuación (4):la segunda, obtendremos la ecuación (4):
2y-7z=-17……………………(4)2y-7z=-17……………………(4)
Observa que esta nueva ecuación no contiene a la variable xObserva que esta nueva ecuación no contiene a la variable x
Considera ahora la primera y la tercera ecuación y elimina laConsidera ahora la primera y la tercera ecuación y elimina la
variable “x”, si a la primera ecuación la multiplicamos por -3 yvariable “x”, si a la primera ecuación la multiplicamos por -3 y
la sumamos con la tercera obtendremos la ecuación (5):la sumamos con la tercera obtendremos la ecuación (5):
3y-11z=-27………………(5)3y-11z=-27………………(5)

Observa que esta nueva ecuación no incluye a la variable xObserva que esta nueva ecuación no incluye a la variable x
Ahora tendremos el sistema :Ahora tendremos el sistema :
x+y+2z=9………(1)x+y+2z=9………(1)
2y-7z=-17………(4)2y-7z=-17………(4)
3y-11z=-27…….(5)3y-11z=-27…….(5)
El sistema va adquiriendo lo que se llama forme triangular.El sistema va adquiriendo lo que se llama forme triangular.
Termina de triangular el sistema, considera la ecuación (4) y laTermina de triangular el sistema, considera la ecuación (4) y la
ecuación (5) y elimina la variable para encontrar el valor de z.ecuación (5) y elimina la variable para encontrar el valor de z.
Con las ecuaciones (1),(4) y el valor de z obtendremos un sistemaCon las ecuaciones (1),(4) y el valor de z obtendremos un sistema
de forma triangular y que es equivalente al sistema con el quede forma triangular y que es equivalente al sistema con el que
empezamos.empezamos.
x+y+2z=9………(1)x+y+2z=9………(1)
2y-7z=-17………(4)2y-7z=-17………(4)
z=3………………..(6)z=3………………..(6)
Este ultimo sistema es más fácil de resolver que el sistema inicial,Este ultimo sistema es más fácil de resolver que el sistema inicial,
termina su solución en tu cuaderno.termina su solución en tu cuaderno.
Podemos concluir que éstos tres planos se intersecan en el puntoPodemos concluir que éstos tres planos se intersecan en el punto
P(1,2,3)P(1,2,3)
Realiza en tu cuaderno una gráfica que ilustre la solución deRealiza en tu cuaderno una gráfica que ilustre la solución de
manera intuitiva.manera intuitiva.

Sistema deSistema de ecuaciones lineales
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones y construyamos unaResolvamos el siguiente sistema de ecuaciones y construyamos una
gráfica que ilustre intuitivamente la manera de cómo se intersecan si esgráfica que ilustre intuitivamente la manera de cómo se intersecan si es
que se intersecan estos tres planos :que se intersecan estos tres planos :
Solución.Solución.
Escribe en tu cuaderno, cuales son tus datos y que serian tus incógnitas.Escribe en tu cuaderno, cuales son tus datos y que serian tus incógnitas.
3x+y+z=0………………….(1)3x+y+z=0………………….(1)
-5x+5y+z=0……………….(2)-5x+5y+z=0……………….(2)
x+2y+z=0…………………..(3)x+2y+z=0…………………..(3)
Multipliquemos por -5 a la ecuación (1) y sumemos con la ecuación (2)Multipliquemos por -5 a la ecuación (1) y sumemos con la ecuación (2)
obtendremos la ecuación (4).obtendremos la ecuación (4).

-5(3x+y+z=0)-5(3x+y+z=0)
-15x-5y-5z=0-15x-5y-5z=0
Sumando:Sumando:
-15x-5y-5z=0-15x-5y-5z=0
-5x+5y+z=0-5x+5y+z=0
-20x-4z=0…………..(4)-20x-4z=0…………..(4)
Si multiplicamos por -2 a la ecuación (1) y sumamos con laSi multiplicamos por -2 a la ecuación (1) y sumamos con la
ecuación (3) obtendremos la ecuación (5).ecuación (3) obtendremos la ecuación (5).
-6x-2y-2z=0-6x-2y-2z=0
x+2y+z=0x+2y+z=0
-5x-z=0………………..(5)-5x-z=0………………..(5)
Multipliquemos por -4 a la ecuación (5) y sumemos con laMultipliquemos por -4 a la ecuación (5) y sumemos con la
Realiza la suma algebraica de (5) con (4).Realiza la suma algebraica de (5) con (4).
20x+4z=020x+4z=0
-20x-4z=0-20x-4z=0
0=00=0

Como resultado es una igualdad podemos concluir que sistemaComo resultado es una igualdad podemos concluir que sistema
tiene una infinidad de soluciones, a continuación se ilustra detiene una infinidad de soluciones, a continuación se ilustra de
una manera intuitiva esta solución, es decir cuando los tresuna manera intuitiva esta solución, es decir cuando los tres
planos se intersecan en una línea recta y el sistema tiene unplanos se intersecan en una línea recta y el sistema tiene un
sinfín de soluciones.sinfín de soluciones.
Resuelve por equipo y en tu cuaderno el siguiente sistema deResuelve por equipo y en tu cuaderno el siguiente sistema de
ecuaciones, ilustra en forma intuitiva con una figura laecuaciones, ilustra en forma intuitiva con una figura la
solución del problema, verifica la solución.solución del problema, verifica la solución.
x-3y+2z=6x-3y+2z=6
4x-2y+3x=144x-2y+3x=14
2x+4y-z=22x+4y-z=2
64

SISTEMA DE ECUACIONESSISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES SIN SOLUCIONLINEALES SIN SOLUCION
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones.Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones.
x+y-z=4………………(1)x+y-z=4………………(1)
x-y-z=2……………….(2)x-y-z=2……………….(2)
3x-y-3z=-4…………..(3)3x-y-3z=-4…………..(3)
Suma la ecuación (1) y (2)Suma la ecuación (1) y (2)
Debes obtener la ecuación: 2x-2z=6…………(4)Debes obtener la ecuación: 2x-2z=6…………(4)
A continuación suma (1) y (3)A continuación suma (1) y (3)
Debes obtener la ecuación:Debes obtener la ecuación: 4x-4z=0…………..(5)4x-4z=0…………..(5)
Ahora resuelve el sistema:Ahora resuelve el sistema: 2x-2z=62x-2z=6
4x-4z=04x-4z=0

unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 66Solución de sistemas de ecuaciones 66
Simplificando cada una de las ecuaciones nos debe quedar elSimplificando cada una de las ecuaciones nos debe quedar el
sistema:sistema:
x-z=3x-z=3
x-z=0x-z=0
Si resuelves éste sistema, vas a llegar a una contradicción 0=3,Si resuelves éste sistema, vas a llegar a una contradicción 0=3,
es cuando los planos pueden ser paralelos, a continuaciónes cuando los planos pueden ser paralelos, a continuación
ilustraremos este resultado con una gráfica que nos ilustra deilustraremos este resultado con una gráfica que nos ilustra de
una manera intuitiva esta solución del sistema.una manera intuitiva esta solución del sistema.
Unidad 1

unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 67Solución de sistemas de ecuaciones 67Unidad 1

2) La suma de edades de Mari, Leon y Lulu es 53. Lulu es igual a 52) La suma de edades de Mari, Leon y Lulu es 53. Lulu es igual a 5
años mas joven que león y, dentro de 2 años, mari tendrá laaños mas joven que león y, dentro de 2 años, mari tendrá la
misma edad que león tiene ahora ¿Cuál es la edad de cada uno?misma edad que león tiene ahora ¿Cuál es la edad de cada uno?
SoluciónSolución
Mary 18, Leon 20 y lulu 15Mary 18, Leon 20 y lulu 15
3) El angula mas pequeño de un triangulo mide la tercera parte del3) El angula mas pequeño de un triangulo mide la tercera parte del
angula mediano, y el angulo mas grande es 30 grados mayorangula mediano, y el angulo mas grande es 30 grados mayor
que el angulo mediano. Encontrar la medida de cada angulo.que el angulo mediano. Encontrar la medida de cada angulo.
SoluciónSolución
X=21.43, y=64.29, z=94.29X=21.43, y=64.29, z=94.29
4) El numero total de butacas en un estadio deportivo de4) El numero total de butacas en un estadio deportivo de
baloncesto es 12000. El estadio esta divido en tres secciones:baloncesto es 12000. El estadio esta divido en tres secciones:
lunetas, palcos de platea y galerías, hay dos veces mas butacaslunetas, palcos de platea y galerías, hay dos veces mas butacas
de galería que butacas de luneta. Para el juego de campeonato,de galería que butacas de luneta. Para el juego de campeonato,
los precios de los boletos eran de 10.00 dolares para luneta, 8.00los precios de los boletos eran de 10.00 dolares para luneta, 8.00
dolares para galería y 7 .00 dolares para platea. Sihubo un llenodolares para galería y 7 .00 dolares para platea. Sihubo un lleno
total para ese juego y la recaudación en taquilla fue de 99000total para ese juego y la recaudación en taquilla fue de 99000
dolares ¿Cuántas butacas eran de luneta, palcos y galerias?dolares ¿Cuántas butacas eran de luneta, palcos y galerias?

SoluciónSolución
Lunetas=3000Lunetas=3000
Palcos=3000Palcos=3000
Galerías 6000Galerías 6000
5) resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones y construye una5) resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones y construye una
grafica que ilustre la solución del problema de forma intuitiva.grafica que ilustre la solución del problema de forma intuitiva.
x-2y+3z=4x-2y+3z=4
y-2z=-1y-2z=-1
4z=84z=8
Transformar los siguientes sistemas de ecuaciones a un sistemaTransformar los siguientes sistemas de ecuaciones a un sistema
en forma triangular y resuelve los sistemas de ecuaciones,en forma triangular y resuelve los sistemas de ecuaciones,
respectivamente:respectivamente:
6) x+y+z=56) x+y+z=5
3x+2y+z=83x+2y+z=8
2x+3y+3z=142x+3y+3z=14 Sol. x=1, y=1, z=3Sol. x=1, y=1, z=3
7) 2x+2y+3z=247) 2x+2y+3z=24
4x+5y+2z=354x+5y+2z=35
3x+2y+z=193x+2y+z=19 Sol. x=3, y=3, z=4Sol. x=3, y=3, z=4

► 8) las compañías de oriente, este y oeste que se dedican a8) las compañías de oriente, este y oeste que se dedican a
distribuir muebles, contratan la fabricación de muebles. A ladistribuir muebles, contratan la fabricación de muebles. A la
primera le fabrican2 mesas, 3 vitrinas y 4 salas, cobrándolesprimera le fabrican2 mesas, 3 vitrinas y 4 salas, cobrándoles
$20,000.00. A la segunda le fabrican 3 mesas, 4 vitrinas y 2$20,000.00. A la segunda le fabrican 3 mesas, 4 vitrinas y 2
salas, cobrándole $ 17,000.00. A la tercera le fabrican 3 mesas,salas, cobrándole $ 17,000.00. A la tercera le fabrican 3 mesas,
2 vitrinas y 3 salas, cobrándole $16,000.00. construye el2 vitrinas y 3 salas, cobrándole $16,000.00. construye el
sistema de 3 ecuaciones con tres incognitas, representativo delsistema de 3 ecuaciones con tres incognitas, representativo del
problema.problema.
9) 2x-y-z=19) 2x-y-z=1
2x-3y-4z=02x-3y-4z=0
x+y-z=4x+y-z=4 sol. x=1,y=2, z=-1sol. x=1,y=2, z=-1
10) x+y+z=-610) x+y+z=-6
2x+y-z=-12x+y-z=-1
x-2y+3z=-6x-2y+3z=-6 sol. x=-1, y=-2, z=-3sol. x=-1, y=-2, z=-3
11) x+y-z=711) x+y-z=7
4x-y+5z=44x-y+5z=4
6x+y+3z=206x+y+3z=20 sol. No existe solucionessol. No existe soluciones

12) x+4y+5z=1112) x+4y+5z=11
3x-2y+z=53x-2y+z=5
4x+y-3z=-264x+y-3z=-26 sol. x=-2, y=-3, z=5sol. x=-2, y=-3, z=5
13) x-3y+2z=613) x-3y+2z=6
4x-2y+3z=144x-2y+3z=14
2x+4y-z=22x+4y-z=2 sol. x=infinidad de solucionessol. x=infinidad de soluciones
14) 2x+3y+4z=314) 2x+3y+4z=3
2x+6y+8z=52x+6y+8z=5
4x+9y-4z=44x+9y-4z=4 sol. x=1/2, y=1/3, z=1/4sol. x=1/2, y=1/3, z=1/4
15) x+y+z=315) x+y+z=3
-x+2y-z=0-x+2y-z=0
3x-y+2z=23x-y+2z=2 sol. x=-1, y=1, z=3sol. x=-1, y=1, z=3

Sistema de ecuaciones noSistema de ecuaciones no
linealeslineales
APRENDIZAJES:APRENDIZAJES:
El alumno:El alumno:
• En el caso de Sistemas 2x2, ya sea que ambas ecuaciones seanEn el caso de Sistemas 2x2, ya sea que ambas ecuaciones sean
lineales o incluyan cuadráticas, explicara a partir de una grafica, quelineales o incluyan cuadráticas, explicara a partir de una grafica, que
significa que el sistema tenga una, ninguna o infinidad de soluciones.significa que el sistema tenga una, ninguna o infinidad de soluciones.
• Aplicara el método de tabulación o de sustitución para resolverAplicara el método de tabulación o de sustitución para resolver
problemas de dos ecuaciones en las que una de ellas o ambas sonproblemas de dos ecuaciones en las que una de ellas o ambas son
cuadráticas.cuadráticas.
Temática:Temática:
A) Con una ecuación lineal y otra cuadrática.A) Con una ecuación lineal y otra cuadrática.
B) Con ambas ecuaciones cuadráticas.B) Con ambas ecuaciones cuadráticas.
C) El significado grafico de su solución.C) El significado grafico de su solución.
D) Método de sustitución.D) Método de sustitución.

Un sistema de ecuaciones no lineales se conforma por lo menosUn sistema de ecuaciones no lineales se conforma por lo menos
por dos ecuaciones, en las que alguna de ellas contiene unapor dos ecuaciones, en las que alguna de ellas contiene una
incógnita elevada a una potencia mayor o igual a dos. Aincógnita elevada a una potencia mayor o igual a dos. A
continuación se ilustra una interpretación grafica de loscontinuación se ilustra una interpretación grafica de los
sistemas no lineales ya que las graficas de las ecuacionessistemas no lineales ya que las graficas de las ecuaciones
proporcionan información útil acerca de las soluciones.proporcionan información útil acerca de las soluciones.
En general las graficas de una cónica (circunferencia, parábola,En general las graficas de una cónica (circunferencia, parábola,
elipse, e hipérbola) y una recta, pueden relacionarse con unaelipse, e hipérbola) y una recta, pueden relacionarse con una
de tres formas diferentes, como se muestra en una de estasde tres formas diferentes, como se muestra en una de estas
figuras.figuras.
Sin puntos de
intersección
Sin soluciones reales
Un punto de intersección
Una solución real
Dos puntos de intersección
Dos soluciones reales

CON UNA ECUACION LINEAL YCON UNA ECUACION LINEAL Y
UNA CUADRATICA.UNA CUADRATICA.
A continuación encontramos los puntos de intersección ( en casoA continuación encontramos los puntos de intersección ( en caso
de haberlos) entre el lugar geométrico representado por lade haberlos) entre el lugar geométrico representado por la
parábola (1) y el lugar geométrico representado por la recta (2).parábola (1) y el lugar geométrico representado por la recta (2).
y=xy=x22 (1)(1)
y=x+100 (2)y=x+100 (2)
Antes de graficar, mediante el método de la tabulación la paraboloAntes de graficar, mediante el método de la tabulación la parabolo
y la recta, observa si se cortan o no, resolvamos el sistema dey la recta, observa si se cortan o no, resolvamos el sistema de
ecuaciones representado por las ecuaciones (1) y (2) con el finecuaciones representado por las ecuaciones (1) y (2) con el fin
de encontrar los posibles puntos de intersección.de encontrar los posibles puntos de intersección.
Así, igualando las ecuaciones (1) y (2).Así, igualando las ecuaciones (1) y (2).

xx22 =x+100=x+100
Igualemos con cero la ecuación obtendremos la ecuación (3).Igualemos con cero la ecuación obtendremos la ecuación (3).
xx22-x-100=0 (3)-x-100=0 (3)
La ecuación (3) representa una ecuación cuadrática, y laLa ecuación (3) representa una ecuación cuadrática, y la
resolvemos con la ecuación general:resolvemos con la ecuación general:
a=1a=1
b=-1b=-1
c=-100c=-100a
acbb
x
2
42
−±−
=
( ) ( ) ( )( )
( )
2
4011
2
40011
12
1001411
2
±
=
+±
=
−−−±−−
=
x
x
x

En virtud de que la raíz cuadrada de 401 no es exacta, tenemos losEn virtud de que la raíz cuadrada de 401 no es exacta, tenemos los
siguientes valores aproximados:siguientes valores aproximados:
De aquí la raíz positiva (denotada por x1 ) es :De aquí la raíz positiva (denotada por x1 ) es :
De manera semejante, la raíz negativa (denotada por x2 ) es :De manera semejante, la raíz negativa (denotada por x2 ) es :
Para encontrar lo valores correspondientes a y1 e y2 hay que sustituir losPara encontrar lo valores correspondientes a y1 e y2 hay que sustituir los
valores x1 y x2 respectivamente en la ecuación (1):valores x1 y x2 respectivamente en la ecuación (1):
Si xSi x11=10.5124 y=10.5124 y11=(10.5124)=(10.5124)22
yy11=110.5124=110.5124
Si xSi x22=-19.5124 y=-19.5124 y22=(-19.5124)=(-19.5124)22
yy22=90.4857=90.4857
2
0249.201±
=x
5124.10
2
0249.21
2
0249.201
1
1
1
=
=
+
=
x
x
x
5124.9
2
0249.19
2
0249.201
2
2
2
−=
−
=
−
=
x
x
x

De aquí obtenemos que los puntos de intersección entre laDe aquí obtenemos que los puntos de intersección entre la
parábola y = x² y la recta y = x + 100, aproximando losparábola y = x² y la recta y = x + 100, aproximando los
resultados hasta centésimas, son:resultados hasta centésimas, son:
PP11(x(x11, y, y11)=(10.51, 110.51))=(10.51, 110.51)
PP22(x(x22, y, y22)=(-9.51, 90.4857))=(-9.51, 90.4857)
Para corroborar estos resultados, grafica en tu cuaderno cadaPara corroborar estos resultados, grafica en tu cuaderno cada
uno de estos lugares geométricos.uno de estos lugares geométricos.
CUANDO DOS LUGARESCUANDO DOS LUGARES
GEOMETRICOS SE INTERSECTANGEOMETRICOS SE INTERSECTAN
Puede presentarse el caso de que una parábola y y una recta noPuede presentarse el caso de que una parábola y y una recta no
se intercepten en ningún punto, pero ¿como nosse intercepten en ningún punto, pero ¿como nos
percataríamos de este hecho aun sin hacer las graficaspercataríamos de este hecho aun sin hacer las graficas
correspondientes? ¿Será posible detectar esto analíticamente?correspondientes? ¿Será posible detectar esto analíticamente?
Veámoslo.Veámoslo.
Consideremos la parábola (1) y la recta (2).Consideremos la parábola (1) y la recta (2).

y=xy=x22
(1)(1)
y=-x-5 (2)y=-x-5 (2)
Igualemos la ecuación (1) con la (2)Igualemos la ecuación (1) con la (2)
xx22
=-x-5=-x-5
Igualemos a cero la igualdad:Igualemos a cero la igualdad:
xx22
+x+5=0 (3)+x+5=0 (3)
La ecuación (3) representa una ecuación cuadrática cuya soluciónLa ecuación (3) representa una ecuación cuadrática cuya solución
general, como ya vimos, esta expresada por la ecuación:general, como ya vimos, esta expresada por la ecuación:
(4)(4)
Identificando los coeficientes con la ecuación cuadrática (3) yIdentificando los coeficientes con la ecuación cuadrática (3) y
sustituyéndolos en (4) se tiene que:sustituyéndolos en (4) se tiene que:
a=1a=1 b=1b=1 c=5c=5
a
acbb
x
2
42
−±−
=

En la ecuación (4) notamos la presencia de la raíz cuadrada deEn la ecuación (4) notamos la presencia de la raíz cuadrada de
-19 y como sabemos que las raíces cuadradas de números-19 y como sabemos que las raíces cuadradas de números
negativos no existen en el campo de los números reales,negativos no existen en el campo de los números reales,
concluimos que tanto la parábola como la recta consideradaconcluimos que tanto la parábola como la recta considerada
no se corta, como se observa en la fig.no se corta, como se observa en la fig.
Esta conclusión puede fortalecerse si graficamos losEsta conclusión puede fortalecerse si graficamos los
correspondientes lugares geométricos: la parábola y = x² y lacorrespondientes lugares geométricos: la parábola y = x² y la
recta y = -x -5, realiza en tu cuaderno la tabulación ,recta y = -x -5, realiza en tu cuaderno la tabulación ,
construye las graficas correspondientes y verifica tusconstruye las graficas correspondientes y verifica tus
resultados con la figura que se presenta a continuación.resultados con la figura que se presenta a continuación.
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
2
191
2
2011
12
51411
2
2
−±−
=
−±−
=
−±−
=
x
x
x

Problema de aplicación que nos conduce para la solución a un sistema deProblema de aplicación que nos conduce para la solución a un sistema de
ecuaciones no lineal.ecuaciones no lineal.
Un pequeño empresario fabrica cajas para envolver regalos y tiene el suficiente costoUn pequeño empresario fabrica cajas para envolver regalos y tiene el suficiente costo
total e ingreso total, dondetotal e ingreso total, donde xx es el numero total de cajas que fabrica, el costo pores el numero total de cajas que fabrica, el costo por
producirproducir xx cajas escajas es c.c. El el ingreso obtenido por las ventas deEl el ingreso obtenido por las ventas de xx cajas escajas es ii..

X numero de cajas.X numero de cajas.
Es decir el costo por producirEs decir el costo por producir xx cajas escajas es c.c. ElEl ingreso por venta deingreso por venta de xx cajas escajas es i.i.
Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno:Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno:
1)Traza la grafica de ambas ecuaciones en el mismo sistema de ejes.1)Traza la grafica de ambas ecuaciones en el mismo sistema de ejes.
2)Encuentra los valores de “ equilibrio “ ( sin perdida ni ganancia” ) de x, esto2)Encuentra los valores de “ equilibrio “ ( sin perdida ni ganancia” ) de x, esto
es, el numero de cajas que deben ser vendidas por el costo igual al ingreso.es, el numero de cajas que deben ser vendidas por el costo igual al ingreso.
3)¿Cuantas cajas deben ser vendidas para obtener ganancias?3)¿Cuantas cajas deben ser vendidas para obtener ganancias?
La grafica del costo es la línea recta de la forma y =mx + b, y = x +15,La grafica del costo es la línea recta de la forma y =mx + b, y = x +15,
podemos conocer el valor de la pendiente y ordenada al origen.podemos conocer el valor de la pendiente y ordenada al origen.
m=_______, b=________m=_______, b=________
Calcula cuales son las intersecciones con los ejes de esta línea recta, debesCalcula cuales son las intersecciones con los ejes de esta línea recta, debes
encontrar:encontrar:
PP11=(-15,0)=(-15,0) PP22=(0,15)=(0,15)
La grafica de esta recta la puedes observar en la figura 1.23.La grafica de esta recta la puedes observar en la figura 1.23.
unidad 1 Solución de Sistemas de Ecuaciones 81

La grafica del ingreso es una parábola de la formaLa grafica del ingreso es una parábola de la forma
y=axy=ax22
+bx+c+bx+c
i=xi=x22
+6+6
De esta ecuación puedes conocer su vértice calcúlalo en tu cuaderno.De esta ecuación puedes conocer su vértice calcúlalo en tu cuaderno.
Debes encontrarDebes encontrar
V = (0,6)V = (0,6)
CON UNA ECUACION LINEAL Y OTRACON UNA ECUACION LINEAL Y OTRA
CUADRATICACUADRATICA
Encontramos los puntos de intersección de estos dos lugaresEncontramos los puntos de intersección de estos dos lugares
geométricos, resolviendo el sistema de ecuaciones por el método degeométricos, resolviendo el sistema de ecuaciones por el método de
sustitución.sustitución.
x+y=8…………rectax+y=8…………recta
xx22
+y+y22
=34…...circunferencia=34…...circunferencia

A continuación se presenta cada uno de estos lugaresA continuación se presenta cada uno de estos lugares
geométricos mediante la siguiente grafica.geométricos mediante la siguiente grafica.
Resolvamos el problema por el método de sustitución, paraResolvamos el problema por el método de sustitución, para
encontrar las coordenadas de los puntos en donde seencontrar las coordenadas de los puntos en donde se
intersecan estos dos lugares geométricos.intersecan estos dos lugares geométricos.
x+y=8…………………….(1)x+y=8…………………….(1)
xx22
+y+y22
=34………………(2)=34………………(2)
Primero despejemos la incógnita “y” en (1), y sustituimos en (2).Primero despejemos la incógnita “y” en (1), y sustituimos en (2).
y=8-xy=8-x
xx22
+(8-x)+(8-x)22
=34=34

Simplifica en tu cuaderno, debes de llegar ala ecuación: x² -8x +15 =0Simplifica en tu cuaderno, debes de llegar ala ecuación: x² -8x +15 =0
Resolvamos la ecuación factorizando:Resolvamos la ecuación factorizando:
xx22
-8x+15=0-8x+15=0
xx22
-8x+15=0-8x+15=0
(x-3)(x-5)=0(x-3)(x-5)=0
xx11=3=3
xx22=5=5
Encuentra los valores de y sustituyendo en la ecuación (1) estos valoresEncuentra los valores de y sustituyendo en la ecuación (1) estos valores
de x, debes encontrar que:de x, debes encontrar que:
yy11=5=5
yy22=3=3
Finalmente enunciamos los puntos de intersecion encontrados de estosFinalmente enunciamos los puntos de intersecion encontrados de estos
dos lugares geométricos (circunferencia o recta) los cuales puedendos lugares geométricos (circunferencia o recta) los cuales pueden
corroborar en una grafica que a continuación puedes construir.corroborar en una grafica que a continuación puedes construir.

P(x1, x2)=(3,5)
Q=(y1,
y2)=(5,3)

CON DOS ECUACIONESCON DOS ECUACIONES
CUADRATICAS.CUADRATICAS.
Encontremos los puntos de intersección de estos dos lugaresEncontremos los puntos de intersección de estos dos lugares
geométricos, resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:geométricos, resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:

Resolvamos el problema utilizando el método de sustitución, paraResolvamos el problema utilizando el método de sustitución, para
encontrar la intersección de estos dos lugares.encontrar la intersección de estos dos lugares.
y=xy=x22
………..(1)………..(1)
y=4-xy=4-x22
……..(2)……..(2)
Sustituyamos la ecuación (1) en la (2).Sustituyamos la ecuación (1) en la (2).
xx22=4-x=4-x22
Resuelve la ecuación, debes encontrar:Resuelve la ecuación, debes encontrar:
xx11==√2=1.41√2=1.41
xx22=-√2=-1.41=-√2=-1.41
Encuentra los valores de y, debes encontrar:Encuentra los valores de y, debes encontrar:
yy11=(1.41)=(1.41)22
=2=2
yy22=(-1.41)=(-1.41)22
=2=2
Finalmente enuncia estos puntos de intersección con las letras P, Q deFinalmente enuncia estos puntos de intersección con las letras P, Q de
estos dos lugares geométricos.------------------estos dos lugares geométricos.------------------
Verifica en tu cuaderno que la solución sea correcta, asi como en laVerifica en tu cuaderno que la solución sea correcta, asi como en la
grafica.grafica.

UNA CUADRATICA Y UNA LINEALUNA CUADRATICA Y UNA LINEAL
► Encontremos los puntos de intersección de los lugares geométricosEncontremos los puntos de intersección de los lugares geométricos
que a continuación se exponen :que a continuación se exponen : y=xy=x22
……..parábola……..parábola
y=x………rectay=x………recta
Representaremos estos dos lugaresRepresentaremos estos dos lugares
mediante una grafica :mediante una grafica :
Resolvamos el problema por el método de sustitución:Resolvamos el problema por el método de sustitución:
y=xy=x22
…….(1)…….(1)
y=x………(2)y=x………(2)

Sustituye la ecuación (1) en la (2) resuelve la ecuación en tuSustituye la ecuación (1) en la (2) resuelve la ecuación en tu
cuaderno.cuaderno.
x1=----------------x1=----------------
X2=----------------X2=----------------
Encuentra los dos valores de yEncuentra los dos valores de y
Debes encontrar:Debes encontrar:
yy11=1=1
yy22=0=0
Finalmente enunciamos los puntos en donde se intersecan los dosFinalmente enunciamos los puntos en donde se intersecan los dos
lugares geométricos, como se ilustra en la grafica:lugares geométricos, como se ilustra en la grafica:
Q=(x1,y1)=(1,1)Q=(x1,y1)=(1,1)
O=(x2, y2)=(0,0)O=(x2, y2)=(0,0)
Verifica en tu cuaderno que la solución sea la correcta.Verifica en tu cuaderno que la solución sea la correcta.
Para dos cuadráticasPara dos cuadráticas
Encuentra las intersecciones de estos dos lugares geométricos:Encuentra las intersecciones de estos dos lugares geométricos:

Resuelve el sistema de ecuacionesResuelve el sistema de ecuaciones
y=xy=x22
-2x…………….(1)-2x…………….(1)
y=4-xy=4-x22
……………...(2)……………...(2)
Debes llegar a las solucionesDebes llegar a las soluciones
xx11=-1=-1
xx22=2=2
Encuentra los valores de y.Encuentra los valores de y.
Considerando la ecuación (2)Considerando la ecuación (2)

Resuelve por equipos el siguiente problema.Resuelve por equipos el siguiente problema.
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones de estos dos lugaresResolvamos el siguiente sistema de ecuaciones de estos dos lugares
geométricos, identifica el tipo de curvas que intersecangeométricos, identifica el tipo de curvas que intersecan
construyendo sus graficas respectivas y verifica la solución:construyendo sus graficas respectivas y verifica la solución:
xx22
+y+y22
=10=10
x+y=2x+y=2
Construye sus graficas respectivas en tu cuaderno.Construye sus graficas respectivas en tu cuaderno.
xx22
+y+y22
=10…………..(1)=10…………..(1)
x+y=2…………………(2)x+y=2…………………(2)
Por sustitución debes llegar a la ecuación:Por sustitución debes llegar a la ecuación:
Resuelve la ecuación utilizando la formula generalResuelve la ecuación utilizando la formula general
Recuérdala:Recuérdala:
Debes encontrar los valores: xDebes encontrar los valores: x11=3, x=3, x22=-1=-1
a
acbb
x
2
42
−±−
=

Sustituye estos valores en la ecuación (2) para encontrar los valores de “y”Sustituye estos valores en la ecuación (2) para encontrar los valores de “y”
Debes encontrar los valores: yDebes encontrar los valores: y11=1, y=1, y22=3=3
Finalmente enunciamos estos puntos de intersección de estos dos lugaresFinalmente enunciamos estos puntos de intersección de estos dos lugares
geométricos: Pgeométricos: P11=(3,-1), P=(3,-1), P22=(-1,3)=(-1,3)
Verifica si las soluciones son correctas en la construcción que se realizo alVerifica si las soluciones son correctas en la construcción que se realizo al
iniciar el problema así como en el sistema plateado.iniciar el problema así como en el sistema plateado.
Problemas:Problemas:
Grafica uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y encuentra losGrafica uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y encuentra los
puntos de intersección de estos lugares geométricos si es que existen,puntos de intersección de estos lugares geométricos si es que existen,
verifica que tus soluciones sean correctas.verifica que tus soluciones sean correctas.
Se recomienda que estos problemas se resuelvan por equipos.Se recomienda que estos problemas se resuelvan por equipos.
1) y=x21) y=x2
y=3xy=3x sol.(0,0), (3,9)sol.(0,0), (3,9)
2) y=2x2) y=2x
y=xy=x22
+2+2 sol. No hay soluciónsol. No hay solución

3)x-3=03)x-3=0
xx22
+y+y22
-25=0-25=0 sol.(3,4), (3,-4)sol.(3,4), (3,-4)
4)x2-y-2=04)x2-y-2=0
y=x+4y=x+4 sol.(3,7), (-2,-2)sol.(3,7), (-2,-2)
5)x=y5)x=y
y=-8xy=-8x22
sol.(0,0), (-1/8,-1/8)sol.(0,0), (-1/8,-1/8)
6)x=y6)x=y
xx22
+y+y22
=32=32 sol. (4,4), (-4,-4)sol. (4,4), (-4,-4)
7)x=5-y7)x=5-y22
xx22
+y+y22
=25=25 sol.(5,0), (-4,3), (-4,-3)sol.(5,0), (-4,3), (-4,-3)

Examen de evaluación de la unidadExamen de evaluación de la unidad
11
Resuelve los siguientes problemasResuelve los siguientes problemas
1) La semana pasada fui a un restaurante a comer, 5 hamburguesas y 51) La semana pasada fui a un restaurante a comer, 5 hamburguesas y 5
ordenes de papas costaron $150, compre 10 hamburguesas y 20 ordenesordenes de papas costaron $150, compre 10 hamburguesas y 20 ordenes
de papas por $400. encuentra el costo de una hamburguesa y una ordende papas por $400. encuentra el costo de una hamburguesa y una orden
de papas.de papas.
Precio de hamburguesa $20Precio de hamburguesa $20
Precio de la orden de papas $10Precio de la orden de papas $10
2) Un lápiz y dos cuadernos cuestan $11, mientras que 5 cuadernos y tres2) Un lápiz y dos cuadernos cuestan $11, mientras que 5 cuadernos y tres
lápices cuestan $29. ¿Cuál es el costo de un cuaderno y de un lápiz?lápices cuestan $29. ¿Cuál es el costo de un cuaderno y de un lápiz?
Costo del cuaderno $4Costo del cuaderno $4
Costo del lápiz $3Costo del lápiz $3

3) La suma de tres números es 4. el primero, mas desveces el3) La suma de tres números es 4. el primero, mas desveces el
segundo, mas el tercero, es 1. tres veces el primero, mas elsegundo, mas el tercero, es 1. tres veces el primero, mas el
segundo, menos el tercero, es -2 ¿Cuáles son los tres números?segundo, menos el tercero, es -2 ¿Cuáles son los tres números?
(2,-3,5)(2,-3,5)
4) La suma de las edades de Juana, Pedro y Ana es 53. Ana es 5 años4) La suma de las edades de Juana, Pedro y Ana es 53. Ana es 5 años
mas joven que Pedro, dentro de dos años Juana tendrá la mismamas joven que Pedro, dentro de dos años Juana tendrá la misma
edad que Pedro tiene ahora ¿Cuál es la edad de cada una?edad que Pedro tiene ahora ¿Cuál es la edad de cada una?
Juana tiene 18 añosJuana tiene 18 años
Pedro tiene 20Pedro tiene 20
Ana tiene 15Ana tiene 15
Resuelve los sistemas de ecuaciones y realiza una grafica para cadaResuelve los sistemas de ecuaciones y realiza una grafica para cada
uno, en la que se ilustre la forma intuitiva de solución del sistemauno, en la que se ilustre la forma intuitiva de solución del sistema
(si se intersecan los planos o no y como)(si se intersecan los planos o no y como)

5) x+y+z=65) x+y+z=6
x-z=-2x-z=-2
     y+3z=11y+3z=11
  6) x+5y-z=26) x+5y-z=2
       4x-y+3z=34x-y+3z=3
       8x-2y+6z=78x-2y+6z=7
  7) 3x+2y-4z=17) 3x+2y-4z=1
2x-y-5z=12x-y-5z=1
x+4y+2z=7x+4y+2z=7
Elabora la grafica de cada uno de los siguientes sistemas y encuentraElabora la grafica de cada uno de los siguientes sistemas y encuentra
su soluciónsu solución
  8)y=x²8)y=x²
       y=4x                                y=4x                                 Solución :(0,0),(4,16)Solución :(0,0),(4,16)
9)y-x²=-99)y-x²=-9
       y-3x=-1                        y-3x=-1                         Solución :(5,16),(-2,-7)Solución :(5,16),(-2,-7)

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