pre-universitario

1. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA
4to. Año Secundaria
DEFINICIÓN:
Es la reunión de 3 segmentos determinados por 3
puntos no colineales.
NOTACIÓN
"ABCtriángulo"leese;ABC∆
ELEMENTOS:
B
A C
vértice
exterior
interior
lado
interior
lado
exterior
TEOREMAS
01. La suma de las medidas de sus 3 ángulos
interiores es 180°
En el gráfico, podemos observar que:
α + β + θ = 180°
α
β
θ
02. La medida de un ángulo exterior (φ) es
igual a la suma de 2 ángulos interiores (α) y
(β) no adyacentes a él.
φ = α + β
α
β
φ
03. Un lado está compuesto entre la suma y la
diferencia de los otros lados.
Es decir, según el gráfico:
a - c < b < a + c
a
b
c
04. A mayor ángulo se le opone mayor lado y
viceversa.
Es decir:
a > θ ⇔ a > c
a
α
c
θ
CLASES:
A. SEGÚN SUS ÁNGULOS
a) Triángulo Acutángulo:
Es aquel que tiene tres ángulos
agudos, o sea menores de 90°
α < 90°
Así : β < 90°
φ < 90°
α
β
θ
b) Triángulo Obtusángulo:
Es aquel triángulo que tiene un ángulo
obtuso y dos ángulos agudos.
α < 90° → obtuso
Así : β < 90°
φ < 90°
α
β
θ
lado mayor
c) Triángulo Rectángulo:
Es aquel triángulo que tiene un ángulo
recto y dos agudos.
Así: a + q = 90°
α
θ
hipotenusa (lado>)
cateto
cateto
B. SEGÚN SUS LADOS:
d) Triángulos Escaleno:
Es aquel triángulo que tiene sus tres
lados diferentes y sus tres ángulos
interiores diferentes.
e) Triángulo Isósceles:
Es aquel triángulo que tiene dos lados
congruentes y los ángulos que se
oponen a dichos lados son también
congruentes.
Del gráfico:
2α + θ = 180° ⇒ α =
2
180 θ−
⇒ α = 90° −
2
θ
90<α∴
α α
θ
en el
vertice
f) Triángulo Equilátero:
Es aquel triángulo que tiene sus tres
lados congruentes y sus tres ángulos
interiores que miden 60° cada uno.
60°
60°
60°
LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES:
S4GE31B “El nuevo símbolo de una buena educación ...” S4GE31B ”El nuevo símbolo de una buena educación ...”
agudos
TRIÁNGULO

2. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA
4to. Año Secundaria
a) Mediana: BM
Las medianas concurren en el baricentro
“G”
Propiedad: AG = 2GN
B
A CM
N
A
G
b) Altura: BH
Las 3 alturas concurren en el ortocentro
“H”
B
A NH A
H
N
B
Obtusángulo Rectángulo
Acutángulo
H
A NL
A
H
C
B
Ortocentro
c) Bisectriz: BEyBD
Las bisectrices interiores concurren en el
punto (1), llamado incentro.
α
θ
θ
A D C E
B
Bisectris
interior
Bisectris
exterior
α
α
β
β
θ θ
1
PRACTICA DE CLASE
01.Hallar “α”
α4
α4
A
B C
D
E
a) 15° b) 35° c) 20°
d) 45° e) N.a.
02.Hallar “α”
90 + α 90 + α
90 + α
2α
2α
a)15° b) 20° c) 30°
d) 60° e) 25°
03.Hallar “α”
70 − α 80 − α
70 +α 80 +αx
a) 80° b) 50° c) 100°
d) 120° e) 150°
04.¿Cuántos triángulos isósceles existen?
A
B
C
D
E
5
75
50
25
a) 1 b) 4 c) 2
d) 3 e) N.a.
05.Hallar “α”
x
20°
a) 10° b) 30° c) 45°
d) 20° e) 70°
06.Los ángulos de un triángulo están en relación
de 2, 3 y 5. Calcular el menor.
a) 54° b) 36° c) 30°
d) 20° e) 50°
07.Hallar “α”
x
20°
30°
A
B
C
D
E
a) 10° b) 20° c) 50°
d) 25° e) 5°
08.Del gráfico, hallar “x” si: CD = DE =BE
20°
A
B
C
D
E
60°
x
a) 50 b) 60 c) 70
d) 80 e) 90
09.Hallar “α”
x
a)20° b) 25° c) 45°
d) 30° e) N.a.
10.Hallar “α”
S4GE31B “El nuevo símbolo de una buena educación ...” S4GE31B ”El nuevo símbolo de una buena educación ...”

3. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA
4to. Año Secundaria
20°
A
B
C
D
E
x
30°
a) 65° b) 25° c) 60°
d) 50° e) 80°
11.Hallar “α”
60°
A
B
C
D
E
2x
a) 20° b) 40° c) 30°
d) 45° e) 35°
12.Hallar x° ∆ ABC (Equilátero)
A
B
C
D
x
a) 75° b) 15° c) 45°
d) 35° e) N.a.
13.En el gráfico GE = BE = FC y AB = AE.
Hallar “x”:
A
B
C
E
x
F
G
a) 15° b) 16° c) 17°
d) 18° e) 20°
14.Si: x - α = 20°. Hallar x°
A
B
C
P
D
3x
α
α
a) 16° b) 32° c) 25°
d) 30° e) 15°
15.Hallar “x”
xa
b b
a
20°
a) 80° b) 32° c) 90°
d) 100° e) 120°
16.El punto determinado por la intersección de
las medianas en un triángulo se llama:
a) mediatriz b) circuncentro
c) incentro d) baricentro
e) ortocentro
17.En un triángulo:
El incentro es el punto determinado por la
intersección de:
a) las bisectrices b) las medianas
c) las mediatrices e) las alturas
e) N.a.
18.En un triángulo el punto determinado por la
intersección de las medianas se denomina:
a) incentro b) ortocentro
c) circuncentro d) baricentro
e) N.a.
19.En un triángulo rectángulo el ortocentro se
encuentra en:
a) El punto medio de un cateto.
b) Punto medio de la hipotenusa.
c) El ángulo agudo mayor.
d) El ángulo recto.
e) N.a.
20.Si el ortocentro coincide con el baricentro y
el circuncentro, entonces el triángulo es:
a) rectángulo b) obtusángulo
c) acutángulo d) equiángulo
e) N.a.
PROBLEMAS PROPUESTOS:
01.El excentro está determinado por:
a) La intersección de las bisectrices de los
ángulos exteriores
b) la intersección de dos bisectrices
exteriores y una interior
c) La intersección de dos bisectrices
interiores y una exterior
d) La intersección de las medianas
e) N.a.
02.Hallar”α” si: AB = Bc = CD = EF:
α
A
B
D
EC
F
a) 10° b) 28° c) 30°
d) 37° e) 20°
03.Calcular x, si BC = CE, AB = CD y triángulo
ABD es equilátero.
A
B
D
C
E
70°
α
a) 30° b) 35° c) 40°
d) 20° e) 25°
04.Calcular x, si AD = DE y AB = EC
A
B
D
E
C
35°
35°
x
a) 40° b) 45° c) 70°
d) 35° e) 30°
05.En el gráfico, calcular CD, si AB = EC = 6.
A
B
D
C
40°
70°
α α
β β
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4. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA
4to. Año Secundaria
a) 5 b) 3 c) 7
d) 12 e) 6
06.Según el gráfico, calcular AB, si AD = DC
A
B
D
C
β
β
a) 36 b) 4 c) 5
d) 34 e) 35
07.En la figura, calcular “x”
80º
6θ
α
3α
2θ
xº
a) 25 b) 40 c) 50
d) 45 e) 60
08.Calcular “x”
80º
3θ
θ
3α
xº
α
a) 20 b) 10 c) 30
d) 40 e) 15
09.Si AB = BC = CD; calcular “x”
A
B
C
D
60º
2xº
100º
a) 25 b) 35 c) 45
d) 55 e) 65
10.Calcular: “a + b + c + d + e + f”
aº
bº cº
dº
1º eº
a) 180 b) 270 c) 540
d) 90 e) 360
11.Calcular “α”, si AB = BC = CD = DE = EF
A C
B
E F
D
α
α
a) 15 b) 18 c) 20
d) 24 e) 30
12.De la figura, calcular “x”
60º
2α
α
2β
β
xº
a) 60 b) 70 c) 80
d) 90 e) 100
13.De la figura, calcular “x”
A
P
B
R
C
Q
120º
40º
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
14.Calcular “x”
70º
2α α xº
β
β
a) 20 b) 35 c) 40
d) 70 e) 55
15.En un triángulo ABC, se traza la bisectriz
interior BD . Si m∠BAC - m∠BCA = 90.
Calcular la m∠ BDA
a) 25 b) 30 c) 35
d) 40 e) 45
TAREA DOMICLIARIA
01.Se tiene un triángulo isósceles ABC
(AB=BC). En AC se toma el punto “F” y
en BC el punto “G” tal que BF=BG.
Calcular la m∠CFG, si la m∠ABF = θ.
a)
2
3θ
b)
3
2θ
c)
2
θ
d)
3
4θ
e) θ
02.Si BP = AP = AC, calcular “x”
P
A C
B
x
x
a) 20 b) 30 c) 36
d) 40 e)35
03.Sobre los lados AB , BC y AC de un
triángulo ABC se consideran los puntos “P”
“Q” y “R” respectivamente, tal que PQ=QR y
m∠BPQ+m∠CQR=110. Si AB=BC. Calcular
la m∠ARP.
a) 70 b) 65 c) 60
d) 55 e) 50
04.Se tiene un triángulo ABC, AB =BC, sobre
AC se toma el punto “D” tal que AB =
DC, y en la prolongación de BD se toma el
punto “E” tal que BC=BE. Si la m∠DAE
= 35, calcular la m∠C.
a) 35 b) 40 c) 30
d) 50 e) 45
05.Si AB = BC y AD = DE, calcular “x”.
120°
D
C
AB
Ex
a) 20 b) 26 c) 30
d) 37 e) 45
S4GE31B “El nuevo símbolo de una buena educación ...” S4GE31B ”El nuevo símbolo de una buena educación ...”

5. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA
4to. Año Secundaria
06.En un triángulo ABC, la medida del ángulo
exterior en B mide 126 y las medidas de los
ángulos interiores A y C están en la relación
de 3 a 4. ¿De qué tipo de triángulo se trata?
a) Escaleno b) Rectángulo
c) Isósceles d) Acutángulo
e) Dos respuestas son correctas
07.Si AB=BC=AD, calcular “x”
B
A
D
C
x
60°
x
a) 75 b) 80 c) 85
d) 90 e) 95
08.En la figura AB = BC = CD = DE, calcular
“x”
x
A
C E
D
B
96°
a) 16 b) 18 c) 20
d) 24 e) 26
09.Calcular la medida del mayor ángulo interno
de un triángulo si un ángulo externo mide
148, y de los dos ángulos internos no
adyacentes a dicho ángulo, uno mide el triple
de lo que mide el otro.
a) 110 b) 111 c) 112
d) 113 e) 114
10.Calcular “x”
3α
α
x
80°
3θ
θ
a) 140 b) 145 c) 155
d) 135 e) N.A.
DEFINICIÓN
Es aquella figura geométrica determinada por
cuatro lados
CLASES
1. TRAPEZOIDES: Ningún par de lados
opuestos es paralelo
2. PARALELOGRAMOS: Sus lados opuestos
son paralelos e iguales.
3. TRAPECIOS: Tienen dos lados paralelos
llamados bases
b
B
b
B
h
b
B
m
TEOREMAS
01. x = a° + b° + c°
x
b°
a° c°
02. Si b // B →
2
bB
m
+
=
b
B
m
03. Si b // B →
2
bB
x
−
=
b
B
x
04. α + β = 180°
α
αβ
β
05.
2
ba
x
+
=
α β
α β
a
b
x
06. x = 120° - 2θ
S4GE31B “El nuevo símbolo de una buena educación ...” S4GE31B ”El nuevo símbolo de una buena educación ...”
CUADRILÁTER

6. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA
4to. Año Secundaria
2θ
a
x
a
a
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7. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA
4to. Año Secundaria
2θ
a
x
a
a
S4GE31B “El nuevo símbolo de una buena educación ...” S4GE31B ”El nuevo símbolo de una buena educación ...”