Geometria

27 28COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria GEOMETRÍA 3er. Año
Secundaria
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
1. Identifica cada triángulo según sus lados y
según sus ángulos.
2. Aplica las propiedades de los triángulos en la
resolución de problemas.
PROCEDIMIENTOS:
A. MOTIVACIÓN.
Javicho se encuentra parado en el punto A y
tiene dos opciones para ir de A a C.
B
A
C
¿Cuántos kilómetros debe recorrer Javicho
para ahorrar tiempo y zapatos?. Además se
sabe que:
• El ∆ ABC es equilátero.
• El camino más largo es de 4 kilómetros.
B. CONTENIDO TEÓRICO
Definición: Es una figura cerrada formada por
la reunión de 3 segmentos.
B
w°
A
C
β°
α° θ°
b
c a
Región
triangular
Elementos:
VÉRTICES : A, B, C
LADOS: ACyBC,AB
ÁNGULOS: Ángulos internos: α, β y θ
ÁNGULOS EXTERNOS: w°
PERÍMETRO: 2p = a + b + c
NOTACIÓN: Triángulo ABC : Δ ABC
CLASIFICACIÓN :
A. SEGÚN SUS ÁNGULOS
1. TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
0° < α°, θ°, W° < 90°
B
A
C
α°
* OBTUSÁNGULO
90° < α ° < 180°
2. TRIÁNGULO RECTÁNGULO
B
A C
B. SEGÚN SUS LADOS
B
A C
1. Escaleno
ac
b
2. Isósceles
B
A C
LL
base
α° α°
3. Equilátero
B
A C
LL
60°
60° 60°
PROPIEDADES GENERALES:
1.
B
A C
α°
θ°
W°
α° + θ° + W° = 180°
<2.
e1
e3
e2
°=++ 360eee 321
3.
α°
θ°
x
x = α° + θ°
4. DESIGUALDAD TRIANGULAR
a
c
b
Sea : a < b < c
b - a < c < b + a
c - a < b < c + a
c - b < a < c + b
LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
1. CEVIANA
B
A CD
Punto cualquiera de AC
CEVIANA:BD
2. MEDIANA
S3GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación… S3GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación…”
II
TRIÁNGU

Secundaria
B
A C
M
MEDIANA:BM
3. ALTURA:
B
A C
H
B
A
C
H
ALTURA:BH
4. MEDIATRIZ:
B
A C
Mediatriz de AC
5. BISECTRIZ:
B
A C
α°
Bisectriz
interior
α°
B
A D
α°
Bisectriz
exterior
α°
C
1. CUADRILÁTERO
xa
b
c
Se cumple :
cbax ++=
2.
x
α°
n
α°
θ°
θ°
Se cumple :
2
n
90x +°=
3. Se cumple :
2
n
x =
x
α°
n
α°
W°
W°
4. Se cumple :
2
n
90x −°=
x
θ°
n
θ°
W°
W°
5. Siendo :
altura
ABCdetrizsecBiBF
BH →
→
x
H FA C
B
Se cumple :
2
CA
x
∠−∠
=

CONGRUENCIAS DE TRIÁNGULOS
1er Caso :
Dos triángulos serán congruentes si tienen dos
lados y el ángulo comprendido entre dichos lados
de igual medida respectivamente.
a
b
α°
a
b
α°
≅
2do. Caso :
Dos triángulos serán congruentes si tienen un lado
y los ángulos adyacentes a dicho lado
respectivamente de igual medida.
1
α°
≅
θ°
1
α° θ°
3er. Caso :
Dos triángulos serán congruentes si tienen sus tres
lados respectivamente de igual medida.
c
α°
≅
θ°
a b
c
α° θ°
a b

Secundaria
TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS
Si por el medio del lado de un triángulo se traza
una paralela a otro lado, entonces dicha paralela
intercepta al tercer lado en su punto medio y el
segmento de paralela determinado mide la mitad
del lado al cual es paralelo.
Si : ↔
L
// AC . M es punto medio de AB
N punto medio de BC
MN =
2
AC
B
A C
L
M
N
PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ
Cualquier punto de la bisectriz de un ángulo
equidista de los lados del ángulo :
*
↔
OQ bisectriz de ∠ AOB
Se cumple :
Q
A
F
E
0
N
B
α
α
NE = NF
OE = OF
PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ
Si sobre la mediatriz de un segmento se ubica
un punto cualquiera, entonces dicho punto
equidista de los extremos del segmento.
* a mediatriz de AB
* “O” punto cualquiera de a
0
A B
a
OBOA =
PROPIEDAD EN UN TRIÁNGULO
RECTÁNGULO
En todo triángulo la mediana relativa a la
hipotenusa mide la mitad de dicha hipotenusa.
<
MA C
B
2
AC
BM−
TRIÁNGULOS PARTICULARES
1.Triángulos Isósceles :
En todo triángulo isósceles la altura relativa a la
base también es: bisectriz, mediana y mediatriz.
B
A C
l
H
α α
l
Mediatriz
Mediana
trizsecBi
Altura
BH =
PRACTICA DE CLASE
01.En el ABC hallar el ángulo “X”
C
D AB
x
144
a) 15° b) 18° c) 25°
d) 34° e) N.a.
02.El perímetro de un triángulo mide 34 y uno
de sus lados mide 16. Calcular la medida de
los otros dos, si su producto es 80.
a) 25 y 10 b) 8 y 18 c) 5 y 16
d) 4 y 20 e) N.a.
03.Los ángulos interiores de un triángulo
tomados dos a dos suman 158; 130 y 72.
¿Cuánto mide el ángulo mayor?
a) 22° b) 108° c) 50°
d) 40° e) N.a.
04.¿Qué valor debe tener uno de los ángulos de
un triángulo si conocemos que se encuentran
en progresión aritmética?
a) 30° b) 60° c) 50°
d) 40° e) N.a.
05.En la figura: DCBDAB == .
Calcular ∠ BDC
B
A CD
40
a) 125° b) 80° c) 110°
d) 140° e) N.a.
06.En la figura, calcular el valor de “x” sabiendo
que BP es bisectriz del ángulo ABC y ∠
BPC = 18
CA Q
B
P
x
a) 5° b) 8° c) 9°
d) 4° e) N.a.
07.Determinar el valor de "x" sabiendo que el 
MON es equilátero.
B
N
O
M
x
β
ββ

Secundaria
a) 75° b) 30° c) 50°
d) 40° e) N.a.
08.El perímetro de un triángulo mide 90.
Calcular la medida de sus lados sabiendo que
son 3 números enteros consecutivos.
a) 25, 26 y 27 b) 28, 29 y 30
c) 30, 31 y 32 d) 29, 30 y 31
e) N.a.
09.La suma de los lados de un triángulo son:
a + b = 29; b + c = 21 y a + c = 24. ¿Cuánto
mide el lado menor del triángulo?
a) 15 b) 16 c) 13
d) 8 e) N.a.
10.El perímetro de un triángulo mide 28.
Calcular la medida de sus lados sabiendo que
el lado mayor excede al intermedio en 3 y
éste excede al menor en 5.
a) 5, 10 y 13 b) 8, 12 y 8
c) 5, 12 y 11 c) 4, 10 y 14
e) N.a.
11.Hallar entre que valores esta "x".
x
5 6
a) 5<x<6 b) 25<x<36 c) 1<x<11
d) 0<x<10 e) N.a.
12.Hallar "x" BCAB =
B
A C
80
x
a) 25° b) 80° c) 50°
d) 40° e) N.a.
13.Hallar " x "
x
80
αφ
φ α
a) 20° b) 18° c) 50°
d) 40° e) 60°
14.Hallar " x"
x
50
a) 25° b) 80° c) 50°
d) 40° e) 75°
15.Los ángulos de un triángulo ABC valen
A = 60°, B = 100°.Prolongado AB una
longitud BD = BC, calcúlense los ángulos del
triángulo CBD.
a) 50, 50 y 80° b) 60, 60 y 60°
c) 40, 40, 100° d) 30, 30, 120°
e) N.a.
16.Si uno de los ángulos externos de un
triángulo mide 70! y la diferencia de los
internos no adyacente es 10°.¿Cuál es el
mayor de dichos ángulos internos?
a) 20° b) 30° c) 40°
d) 50° e) N.a.
17.En un triángulo ABC se toma en AC un punto
D y se une con B de tal modo que BC = DC =
AB. Hallar el ángulo exterior en B, en
función del ángulo C.
a) CBE = b) C2BE =
c) C3BE = d) C4BE =
e) N.a.
18.En un triángulo ABC, A = C = 20°. D es un
pinto de AC tal que el unirlo con B, BDC =
80°. Si BC = 5, Hallar Dc.
a) 2.5 b) 10 c) 5
d) 4 e) N.a.
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 01
01.En el gráfico : a + b – m – n = 105
Calcular x + y
a byx
n
m
a) 100 b) 105 c) 103
d) 110 e) 120
02.Según el gráfico, calcular : α + β
α
50
β
θ
θ ω
ω
a) 200° b) 205° c) 210°
d) 220° e) 215°
03.Según el gráfico, calcular “x” :
70°
β
θ
θ
β
x
a) 100° b) 110° c) 115°
d) 125° e) 130°
04.Hallar “x” 21 L//L
θ
θ
α
α
2x
2L
1L
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 2 2
05.Según el gráfico. Calcular θ, si:
a + b + c + d = 340°

Secundaria
2θ
a b
c d
θ
θ
a) 10 b) 30 c) 25
d) 50 e) 75
06.Del gráfico. Calcular “x”
a+b
x
2aa
b
a) 75° b) 85° c) 90°
d) 120° e) 150°
07.Hallar “x”
4a
x
2b
a
b
a) 15° b) 30° c) 60°
d) 75° e) 90°
08. Hallar “θ”
θ
10
1
7
a) 76 b) 78 c) 80
d) 85 e) 90
09.Del gráfico, calcular “θ”
53°
θ
30°
4
3
a) 21 b) 22 c) 25
d) 24 e) 23
10.Si : UN = 4 y NI = 3. Hallar PN
N
P T
U
a) 4 b) 6 c) 8
d) 2 e) 10
11.En el esquema mostrado se tiene AC =12 y
ED=2. Hallar AB
B
E D
A C
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
12.De la figura; hallar “x”
2
x
5
3
α
2
a) 2α b) α c) α+30
d) 30 e) 45
13.Hallar “x”
100
x
40°
A D C
B
E
a) 45° b) 30° c) 20°
d) 60° e) 15°
14.Hallar “x”
5x
A
D
C
B
14x
3x
a) 5° b) 8° c) 10°
d) 12° e) 15°
15.Hallar “x”
θ
A
D
C
B
xE
θ
a) 45 b) 45+θ c) 45+
2
θ
d) θ e) 2θ
TAREA DOMICILIARIA
01.Hallar “x” si :
AB = CD y CB = DE

Secundaria
A
B
C
x
D
E
a) 100 b) 120 c) 90
d) 60 e) 75
02.Hallar “x”
2x
x
a) 38° b) 36° c) 34°
d) 32° e) 30°
03.Hallar “x”
x
a) 10° b) 15° c) 20°
d) 30° e) 36°
04.Hallar “y”
4y
3y y
a) 16° b) 8° c) 10°
d) 30° e) 15°
OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
1. Aplicar las propiedades de cuadriláteros en la
resolución de problemas.
PROCEDIMIENTOS
A. MOTIVACIÓN.
"Descubriendo la ubicación
conveniente del Aeropuerto"
Supongamos que cuatro ciudades deciden unir
esfuerzos para construir un aeropuerto común.
Para ello es necesario simular la situación.
Necesitamos cuatro chinches y un botón de 4
agujeros, además un pedazo de pabilo sobre un
trozo de madera ubica los cuatro chinches que
simulan las cuatro ciudades(Ver figura).
Has pasar un hilo con nudo en A que las conecte
a través del botón.
Al tensar el fina del hilo, el lugar que pasa a
ocupar el botón nos indica la posible ubicación
del aeropuerto.
A
B C
D
1
4
3
2
9
7
8
6
5
¿Qué propiedad tiene el punto final del botón
respecto del cuadrilátero ABCD ?
DEFINICION: ........................................................
................................................................................
................................................................................
...........................................................................
TRAPEZOIDES: Ningún par de lados opuestos es
paralelo.
e
PARALELOGRAMOS: Sus lados opuestos son
paralelos e iguales.
Cuadrado rectángulo rombo romboide
TRAPECIOS: Tienen dos lados paralelos
llamados bases.
b
B
m
b
B
h
b
B
escaleno rectángulo isósceles
TEOREMAS
01. x = aº + bº + cº
bº
aº cº
x
02. Si b // B → m =
2
bB +
b
m
B
CUADRILÁTER

Secundaria
03. Si b // B → x =
2
bB −
b
x
B
04. α + β = 180º
β
βα
α
05.
2
ba
x
+
=
β
β
a
α
α
b
x
06. x = 120º - 2θ
a
xº 2
a
θ
a
07.
2
ba
x
+
=
b
a
x
α
α
θ
θ
08.
2
ba
x
+
=
a
x
b
PRACTICA DE CLASE.
01.Hallar “x” :
α
αD xº
C20
θθ
80A
B
a) 60 b) 100 c) 80
d) 70 e) N.a.
02.En la propiedad hallar “x” :
x
2
6
a) 4 b) 8 c) 7
d) 3 e) N.a.
03.Calcular la relación de las bases de un
trapecio si el segmento que une los puntos
medios de las diagonales es igual a la base
menor.
a) 3 ó 4 b) 3 ó 5 c) 3 ó 1/2
d) 1/3 ó 3 e) 3
04.Hallar “x” ABCD es paralelogramo
A
B
C
D
4 2
x
a) 4 b) 6 c) 2
d) 10 e) N.a.
05. ABCD es un trapecio. Hallar MN
10BCAD =+
B C
A D
NM
P Q
a)1 b) 2,5 c) 3
d) 5 e) N.a.
06.Hallar MN si 12AB = , ABCD es
trapecio
B C
A D
NM
40 70
b
a
x
a) 6 b) 4 c) 3
d) 12 e) N.a.
07.Hallar “x” :
x
80
α
α
θ
θ
a) 10º b) 53º c) 40º
d) 30º e) 20º
08.En un rombo ABCD calcular el ángulo
formado por las bisectrices de los ángulos
BAC y BDC
a) 30º b) 90º c) 70º
d) 60º e) 45º
09.En un cuadrilátero ABCD tenemos que
ADAB = . BAD = 60º, ABC = 80º y
ADC = 140º. Hallar ACD
a) 15º b) 20º c) 45º
d) 30º e) N.a.
10.En un trapecio isósceles donde uno de sus
ángulos mide 45º y uno de sus lados no

Secundaria
paralelos mide 6. Calcular el segmento que
une el punto medio de las diagonales.
a) √2 b) 2√2 c) 3√2
d) 4√2 e) N.a.
11.En un trapecio ABCD ( AB // CD ) BC = 4,
CD = 6, A = 30, y C = 120. Hallar AB
a) 14 b) 12 c) 7
d) 10 e) N.a.
12.En el siguiente gráfico “M” es el punto medio
de CD? CD, AN = 7 y BN = 1. Hallar MN :
A D
B
C
45
M
N
a) 4 b) 5 c) 7
d) 4,5 e) 6
13.En el siguiente gráfico MNPQ es un
paralelogramo RD // PQ, RD = RC y
MN + NP + PQ = 12
N
M
P
QR
C
DA
B
a) 8b) 12 c) 6
d) 2 e) 10
14.En la figura mostrada M y N son punto
medios de AB y AC respectivamente si CC’
= 12 y MM’ = NN’. Calcular BB’
A
N
C '
C
N '
B '
M
M '
B
a) 12 b) 3 c) 3,5
d) 2,5 e) 6
15.En la figura siguiente AE = EB, AB = AD.
Hallar “x”
B
D
Q
A
E
C
75
45
x
a) 30º b) 15º c) 45º
d) 60º e) 53/2
16.Hallar BH si ABCD es un paralelogramo.
2αα α4 6
90−α
H
CB
A
DP
Q
α
a) 7 b) 14 c) 3,5
d) 5 e) 20
TAREA DOMICILIARIA
01.En la figura mostrada ABCD es un trapezoide
donde P, Q, R y S son puntos medios de sus
lados entonces el cuadrilátero PQRS es :
B
A D
C
a) Romboide b) Rectángulo
c) Rombo d) Cuadrado
e) Trapecio
02.En la figura mostrada ABCD es un trapecio P
y Q puntos medios de sus diagonales M punto
medio de BP y N punto medio de CQ. Hallar
MN si AD + BC = 10
B C
A D
NM
P Q
a) 5 b) 2,5 c) 6
d) 10 e) N.a.
03.Se tiene un trapecio ABCD donde A = 40 y
D = 70. Hallar el segmento que une los
puntos medios de sus diagonales de dicho
trapecio si AB = 12
B C
A D
NM
40 70
a) 3 b) 4 c) 6
d) 3,5 e) 2.75
04.En un triángulo rectángulo ABC recto en B,
A = 60, sobre BC se construye el triángulo
equilátero BFC exterior y sobre AC el
cuadrado AQRC, también exterior. Calcular
la longitud de FQ siendo AB = 1
a) 3411 + b) 3511 +
c) 2411 + d) 6411 +
e) 7411 +
01.ABCD, rectángulo. EO AC y
OEOCAO == Hallar el valor de
"x"
O
C
DA
B
21°
x
E
a) 84° b) 90° c) 69°
d) 66° e) N.a.
02.La figura ABCD, es un rectángulo
BH AC ; CBO

mide 34°.
BP biseca el OBH

y CP biseca el
DCO

Hallar la medida del ángulo BPC.

Secundaria
H P
O
C
DA
B
a) 90° b) 68° c) 102°
d) 136° e) 73°
03.En un rombo ABCD, Â ∠ 90°, se trazan
BH y CR ,perpendiculares a BD ( H
en AD y R en su prolongación).
Hallar HD; si: AR = 17 y HR = 11
a) 6 b) 7 c) 5
d) 4 e) 3
04.Hallar la longitud de la mediana de un
trapecio ABCD, si: BC = 3; °=53A

, y 5AB = y °=45D

a) 5,5 b) 7,5 c) 6,5
d) 4,5 e)N.a.
05.En un triángulo ABC, M es punto medio de
AB , se traza MH AC ; (H en
AC ). Hallar la longitud de EF , si " F "
está sobre BC , " E " es punto medio de
HM y EF HM , siendo AH =
3 y HC = 7.
a) 4b) 5 c) 4,5
d) 5,5 e) 6.
06.En un trapezoide ABCD,
°=+ 136BA

; Hallar la medida del
mayor ángulo que forman las bisectrices de
los ángulos C y D.
a) 48° b) 62° c) 68°
d) 72° e) 80°
07.En un cuadrilátero ABCD,
°=+ 22BA

, hallar la medida del
menor ángulo que forman las bisectrices de
los ángulos B y D.
a) 22° b) 11° c) 33°
d) 44° e) N.a.
08.En la figura, MN es mediana del trapecio
ABCD. RHMR = y TNHT =
Si: 36BC = y 48AD = . Hallar
PQ
a) 28 b) 27 c) 30
d) 26,5 e) 28,5
09.En un rombo ABCD, " M " es punto medio
de BC . La diagonal BD , corta a
AM , en el punto R. si RM = 10 y el
ángulo BRM mide 53°; hallar BD .
a) 60° b) 70° c) 80°
d) 36° e) 72°
10.En un trapecio ABCD, BC ∥ AD ,
6AB = , 4BC = y AD = 14; las
bisectrices de los ángulos A y B, se cortan en
el punto P. Hallar PQ , si " Q " está en
CD y PQ BC
a) 5 b) 6 c) 7
d) 4 e) 8
OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
1. Reconocer los elementos, ángulos y las
propiedades de la circunferencia.
PROCEDIMIENTOS
A. MOTIVACIÓN.
Resuelve la siguiente situación haciendo
uso de tu imaginación:
En el centro de un camino recto se ubica un
Pino. se sabe que a cuarenta metros del
camino y a cincuenta metros del pino se
encuentra un tesoro. ¿En cuantos lugares se
debe buscar el tesoro?.
Rpta. .................
CONCEPTO .-
Es la línea curva, plana y cerrada cuyos
puntos ( aferentes o cíclicos ) todos
equidistan de otro llamado CENTRO .
ELEMENTOS .-
1. Centro : Punto fijo : O
2. Radio : Segmento de recta que une el
centro con cualquiera de los puntos
aferentes o cíclicos )( ROAOB ==
3. Cuerda : Segmento que une dos puntos
cíclicos )(PQ
4. Diámetro ( D ) : Cuerda que pasa por el
centro. Se llama también CUERDA
MAXIMA, y divide a la circunferencia
A B
P
Q
L3
L2
L1
o
E
T
Fig : 01
en 2 partes iguales llamadas
SEMICIRCUNFERENCIA ( AB )
D = 2R
5. Secante : Recta que intersecta a la
circunferencia en 2 puntos ( L1 )
Una secante siempre contiene a una
cuerda .
6. Tangente : Recta que intersecta a la
circuferencia en un punto llamado
PUNTO DE TANGENCIA T ( L2 )
7. Normal : Recta que pasa por el CENTRO
y por el punto de Tangencia ( L3 )
8. Flecha : Parte del radio que se origina al
trazar una cuerda perpendicular )(ET
9. Arco : Porción de circunferencia
)(PQ
Toda circunferencia mide 360° = 2π .
ANGULOMETRIA
A. ANGULO CENTRAL ( Fig. 2 ) .-
Vértice : Centro O
Lados : 2 radios
Ejemplos : Si θ = 30° ⇒ ∠ x = 30°
O
x
Fig : 2
x = θ θ
CIRCUNFEREN

Secundaria
B. ANGULO INSCRITO ( Fig. 3 ) .-
Vértice : Cualquier punto aferente
Lados : Dos cuerdas
Ejemplos : Si θ = 90° ⇒ ∠ x = 45°
Ox
Fig : 3
x =
θ θ
2
C. ANGULO SEMI – INSCRITO ( Fig. 4 ) -
Vértice : Cualquier punto cíclico
Lados : Una cuerda y una tangente en P .
Ejemplos : Si θ = 40° ⇒ x = 20° .
O
x
Fig : 4
x =
θ
θ
2
P
D. ANGULO EXINSCRITO ( Fig. 5 ) .-
Vértice : Punto aferente P
Lados : Una cuerda y una secante
Ejemplo : APC = 260° ⇒ ∠ X = 130°
O x
Fig : 5
P
x =
2
m
arco APC
C
A
E. ANGULO INTERIOR ( Fig. 6 ) .-
Lo originan 2 cuerdas que se cortan .
Ejemplo : θ = 20° y α = 30° ⇒ x =
25°
O
x
Fig : 6
x =
2
Q
θ α
θ
α
F. ANGULO EXTERIOR ( Fig. 7 ) .-
El vértice está en el exterior de la
circunferencia
Lados : Dos secantes, o dos tangentes o una
secante y una tangente.
Ejemplo : Si θ = 80°
α = 10°
2
1080 −
=x ⇒ x = 35°
Fig : 7
x =
2
θ α Ox θα
O
x
θ
α
O
xθ α
PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIA
A) Todo radio es perpendicular a la tangente en
su punto de contacto. Así rAB ⊥
B) Las tangentes trazadas desde un mismo punto
son congruentes. Así : BCAB ≅
C) En una circunferencia o en circunferencias
iguales, A arcos iguales, corresponden
cuerdas iguales .
D) Arcos comprendidos entre cuerdas paralelas,
son congruentes ≅AC BD
E) Todo diámetro perpendicular a una cuerda, la
biseca y también a los arcos respectivos.
≅AE ECDE AC ;
F) Todo triángulo inscrito en una
semicircunferencia es rectángulo :
R ABC
α
α
E
r
O
D B
A
C
D
BA
C
D
B
A C
O
C + c = Hip + Diam
PRACTICA DE CLASE
01.Hallar el ángulo x, sabiendo que ∠ ADC =
80°
x
B C
A
D
80
a) 30° b) 40° c) 50°
d) 60° ) 30°
02.Dado el siguiente gráfico, donde
DCOD = , Calcular el ángulo ABC
B
C
A
D
x
O
a) Faltan Datos b) Imposible la solución
c) 100° d) 120°
e) N.a.
03.En el siguiente gráfico, hallar el área del
triángulo rectángulo ABC si : R = 7m y r =
2m
B
C
A
R
r
a) 10m2
b) 14m2
c) 16m2
d) 18m2
e) 20m2

Secundaria
04.Los catetos de un triángulo rectángulo miden
16 y 12m. Calcular el radio del círculo
inscrito .
a) 10m b) 8 m c) 6 m
d) 4 m e) N.a.
05.La medida de un ángulo central comprende
un arco que es los 2/45 de la circunferencia,
Hallar dicho ángulo .
a) 12° b) 14° c) 16°
d) 18° e) N.a.
06.Calcular la medida de un ángulo inscrito
cuyos lados comprenden los 2/15 de la
circunferencia
a) 24° b) 36° c) 72°
d)100° e) N.a.
07.Calcular la medida de un ángulo inscrito
cuyos lados comprenden los 5/8 de 1/2 de la
circunferencia .
a) 63°30’ b) 56°15’ c) 48°30’
d) 39°15’ e) N.a.
08.¿Cuál es el valor de un ángulo inscrito, si el
arco comprendido entre sus lados es 70 cm,
siendo la longitud de la circunferencia de 7,2
m.
a) 14° b) 15°30’ c) 16°
d) 17°30’ e) N.a.
09.La longitud de una circunferencia es de
900m. Calcular la media de un ángulo
inscrito cuyo arco comprendido entre sus
lados es de 124 m.
a) 24°48’ b) 25°50’ c) 26°30’
d) 27°15’ e) N.a.
10.Un ángulo semi – inscrito comprende entre
sus lados un arco cuya longitud es de 75m.
Calcular la media de dicho ángulo, si la
longitud de la circunferencia es de 500m.
a) 17° b) 27° c) 37°
d) 47° e) N.a.
11.El cuadrilátero ABCD está inscrito en una
circunferencia; el arco AB = 110°, el arco BC
= 84°, el arco CD = 86°. Calcular el ángulo
BCD .
a) 105° b) 100° c) 95°
d) 90° e) N.a.
12.El diámetro AB es perpendicular a la cuerda
CD y el arco DE = 64
Calcular la medida del ángulo BOC .
B
C
A
D E
a) 158° b) 168° c) 122°
d) 132° e) N.a.
13.Calcular la medida del ángulo menor de un
cuadrilátero inscrito, si los arcos
correspondientes a sus lados son entre si
como 1, 2, 3 y 4
a) 54° b) 56° c) 58°
d) 60° e) N.a.
14.Hallar el ángulo menor de un pentágono
inscrito, si los arcos subtenidos por sus lados
son proporcionales a : 6, 5, 4, 3 y 2
a) 71° b) 81° c) 91°
d) 101° e) N.a.
15.En un círculo de centro “O” se trazan 2
secantes desde un punto, exterior “A”,
formando un ángulo de 20°. De los extremos
B y C de las secantes se trazan radios.
El ángulo central BOC = 80°. Calcular la
medida del arco DE .
a) 55° b) 50° c) 45°
d) 40° e) N.a.
16.Un ángulo interior en un círculo, subdienden
sus lados un arco de 80° y sus prolongaciones
determinan un arco que es 1/18 de la
circunferencia. Hallar el valor del ángulo .
a) 35° b) 40° c) 45°
d) 50° e) N.a.
17.De los extremos del diámetro AB se trazan
las cuerdas AD y BC que se cortan en “E”.
El arco BC = 110°, el ángulo BAD 0 42°.
Calcular la medida del ángulo DEC .
a) 111° b) 102° c) 103°
d) 104° e) N.a.
18.Un triángulo está inscrito en una semi –
circunferencia, el ángulo A, equivale a los 3/5
del ángulo B. Calcular la medida del arco
subtenido por los lados del ángulo A.
a) 67°30’ b) 68°15’ c) 69°10’
d) 70° e) N.a.
19.Si desde un punto P se trazan la secante PBA
y la tangente PC, el arco AB = 120°, los arcos
BC y AC están en la relación de 5 a 7.
Calcular la medida del ángulo APC .
a) 15° b) 20° c) 25°
d) 30° e) N.a.
20.Desde un punto P se trazan las secantes PAB
y PCD a una circunferencia; se tiene :
arco BD = 20° mayor que el arco AC; los
arcos AB y CD están en la relación de 2 a 5.
El arco AC = 17° menor que el arco CD.
Calcular la medida del ángulo BPD .
a) 13° b) 12° c) 11°
d) 10° e) N.a.
PRACTICA DE CLASE II
A
B
x
60
O
Q
P
01.
m PQ = 60 y m PQ = 5 cm
02.
x
O
E
F
m EF = 90 y m EF = 2 cm

Secundaria
x O
B
C
03.
m AB = m CD = 90
A
D
2
x
O
B
04.
A
m NBO = 25
N
x
O
B
05.
A
C
BC AD
D
M
N
5
x
O
06.
A
F
m EF = M AB ; EF = 12 CM
B
E
H
60
O
07.
13
x
O
08.
7
x
O
09.
x
32
O
10.
x32
11.
O
x
60
5
12.
O
x
45
2
13.
O
53
R = 5
x
14.
O
30
R = 12
x
15.
52
x
16.
64
x
17.
71
O
x
18.
O
x
22

Secundaria
TAREA DOMICILIARIA
01.
x
O
r
02.
L // AB
A B
TL
x
32
03.
A
B
x
48
C
04.
x17
05.
E C
B
A
r r
m AEB = 280 ; M ACB = x
06.
x
OQ
r
r
01. OA y OB , son radios de una
circunferencia de centro O. Sobre el menor
arco AB se toma el punto F. Si el ángulo
AFB mide 130°, hallar la medida del ángulo
AOB.
a) 130° b) 65° c) 50°
d) 100° e) N.a.
02.En la figura:
M
D
B
A
CF
E
=AE 192° BFD = 140°y
Hallar la medida del BMD
a) 52° b) 42° c) 26°
d) 62° e) 72°
03.Se prolonga el diámetro BA de una
circunferencia de centro “O”, hasta el punto P
y se traza la tangente PT . Hallar la medida
del arco TB; su PT mide igual que el radio.
a) 45° b) 135° c) 60°
d) 120° e) 150°
04.En la figura. PB y PC son tangentes.
Eˆ mide 26° y Fˆ mide 25°. Hallar el valor
de x.
P
X
B
A
C
E
F
a) 51° b) 102° c) 94°
d) 47° e) 68°
05.La figura muestra dos circunferencias,
E
N
D
B
A
C
M
a) 82° b) 21° c) 48°
d) 41° e) 42°
06.En la figura: α + β = 136°. Hallar la medida
de arco AD.
α
D
A
B
C
β
a) 68° b) 64° c) 100°
d) 132° e) 136°
07.En la figura, AE es diámetro y N punto de
tangencia. Hallar el valor de "x".
A CE
x
O
N
2x
a) 15° b) 18° c) 12°
d) 20° e) 10°
08.En la figura AB es diámetro y PD
tangente. El ángulo P mide 32°. Hallar la
medida del ángulo.

Secundaria
A PB
C D
a) 119° b) 109° c) 122°
d) 148° e) 106°
09.En un cuarto de circunferencia de centro O y
radios OB,OA se toma el punto E y
luego AH OE ; BP OF (H
y P sobre OE ). Hallar el EP, Si: AH = 15
y BP = 8.
a) 7 b) 3,5 c) 2,5
d) 1 e) 2
10.En la figura, " O " es el centro y " T " punto
de tangencia. Si: Â = 28° y ET AB .
Hallar la medida del ángulo ETC.
A
O
C
B
ET
a) 28° b) 56° c) 17°
d) 31° e) 32°
SOLUCIONARIO
Nº
EJERCICIOS PROPUESTOS
01 02 03
01. B D D
02. B E A
03. D C B
04. B C C
05. D E D
06. C C E
07. B B B
08. A E A
09. E E E
10. D B D
copyright 2003
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL

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