Algebra 5° 4 b

01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA 5to Año Secundaria
Objetivos
• Aplicar los capítulos desarrollados
anteriormente.
• Diferenciar una desigualdad y una
inecuación.
• Buscar la aplicación del curso a problemas
diarios mediante este capítulo.
Introducción
Toda la teoría de la investigación del máximo y
del mínimo supone dos incógnitas y la regla
siguiente:
Sea a una incógnita cualquiera de la cuestión (con
una, dos o tres dimensiones según el enunciado).
Se expresará la cantidad máxima o mínima a por
medio de términos que podrán ser de cualquier
grado. Se substituirá luego a +e a la incógnita
primitiva a y se expresará así la cantidad máxima
o mínima y se quitarán los términos comunes de
una y otra parte. Hecho esto se encontrará que en
ambas partes todos los términos estarán afectados
con e por una de sus potencias. Se dividirán todos
los términos por e o por una potencia de grado
más alto de modo que en cuando menos uno de
los términos de cualquiera de los miembros e
desaparezcan enteramente. Se suprimirán a
continuación todos los términos donde entre e o
alguna de sus potencias y se igualarán los demás,
o bien, si en alguno de los miembros no queda
nada, se igualarán, lo que es igual, los términos
en más con los términos de menos. La resolución
de esta última ecuación dará el valor de a que
conducirá al máximo o al mínimo retomando su
primera expresión.
A C
E
Consideramos AC =b, sea a uno de los segmentos
y b - a el otro segmento; el producto del que se
busca el máximo será ba-a2. Sea ahora a+e el
primer segmento de b, el segundo será b - a - e, y
el producto de los segmentos será ba - a2 + be -
2ae - e2
A esto se le debe adigualar el precedente : ba - a2.
Suprimiendo los términos comunes: be ∼ 2ae +
e2. Dividiendo todos los términos: b ∼ 2a + e.
Suprimir e: b=2a.
Para resolver el problema hay que tomar la mitad
de b. Es imposible proporcionar un método más
grande.
DESIGUALDAD
Es aquella comparación que se establece entre
dos números reales, mediante los símbolos de
desigualdad: <,>, ≥≤ , . Luego si a y b son
números reales, entonces: a < b, a > b, a b≤ y a
≥ b se llaman desigualdades, y se leen:
a < b: “a menor que b”
a > b: “a mayor que b”
a ≤ b: “a menor o igual que b”
a ≥ b: “a mayor o igual que b”
DEFINICIONES
Sean a, b ∈ R Luego:
1. a es positivo ↔ a > 0
2. b es negativo ↔ b < 0
3. a > b ↔ (a - b) es positivo
4. a 1 pues 2 - 1 = 1 > 0
NOTA
Sean a,b ∈ R, Luego :
1. La expresión simbólica “a > b” tiene el
mismo significado que: “b < a”.
Por ejemplo: 5 > 2 ⇒ 2 < 5
2. La expresión simbólica “a ≤ b” significa que
a < b ó a = b, es decir, cuando se verifica
cualquiera de las expresiones: a < b ∨ a = b,
escribimos a ≤ b.
Por ejemplo:
Como 2 < 3, podemos escribir 2 ≤ 3
Como 5 = 5 podemos escribir 5 ≤ 5
3. La expresión simbólica “a ≥ b” tiene el
mismo significado que b ≤ a, es decir :
a ≥ b ⇒ a > b ∨ a = b
4. Si a ≤ b ∧ b ≤ c, escribiremos
abreviadamente
a ≤ b ≤ c
Por ejemplo:
4 ≤ x ∧ x ≤ 9 entonces 4 ≤ x ≤ 9
LEY DE TRICOTOMÍA
Para cualquier número real “a”, una y solamente
una de las siguientes relaciones se cumple:
a < 0 ∨ a = 0 ∨ a > 0
Corolario
Para cualesquiera dos elementos a,b ∈ R, una y
solamente una de las siguientes relaciones se
cumple:
a b
Prueba
Sean a y b números reales, entonces (- b) también
es real, luego por la Ley de Clausura para la
adición (+) en R se tiene que a+ (-b) es real, es
decir (a-b) ∈ R. Aplicando la Ley de Tricotomía
para (a - b) ∈ R:
a - b < 0 a - b = 0 ∨ a - b > 0
Equivalentemente [por las definiciones (3), (4) y
por el principio: la diferencia de dos números es
cero si y sólo si son iguales]
a b
LA RECTA NUMÉRICA REAL
Es aquella recta geométrica donde existe una
correspondencia biunívoca (uno a uno) entre los
puntos de la recta y el conjunto de los números
reales.
-3 -
2
5 -2 - 1
2
-1 1
2
0 3
2
5
21
(+) POSITIVOS
(-) NEGATIVOS
π
+ ∞∞−
−π 22−
Se observa que la representación de los números
irracionales en la recta numérica, determina la
completitud, es decir, que a cada número real le
corresponde uno y sólo un punto de la recta y
cada punto de la recta es conjunto es continuo, es
decir, no existe ningún vacío entre sus elementos.
INTERVALOS
Sea I un subconjunto de R (I ⊂ R). Decimos que I
es un intervalo, si y sólo si es el conjunto de todos
los números reales que están comprendidos entre
dos extremos (que pueden ser finitos o ideales)
NOTA
Los símbolos +∞ y - ∞ se llaman ideales.
Clases de intervalos
Si I es un intervalo, puede ser, acotado o no
acotado.
A. Intervalo acotado
1. Abierto
Si a, b ∈ R con a ≤ b, se llama intervalo
abierto y se denota por
b;a
, al conjunto de
los números reales x, tales que:
a < x < b.
Es decir:
b;a
=
{ }bxa/Rx <<∈
Representación:
x
a b
S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
IV
REGLA DE

bxab;ax <<⇒∈
2. Cerrado
Si a b ∈ R con a ≤ b, se llama intervalo
cerrado y se denota por [a;b], al conjunto de
todos los números reales x, tales que a ≤ x ≤
b.
Es decir : [a;b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}
Representación:
x
a b
[ ] bxab;ax ≤≤⇒∈
3. Semiabiertos
Si a, b ∈ R son extremos de un intervalo y
uno, cualquiera de ellos, no está en dicho
intervalo, éste se llama intervalo semiabierto;
es decir: <a; b] y [a; b> son intervalos
semiabiertos donde :
] { }bxa/Rxb;a ≤<∈=
Representación:
x
a b
{ }bxa/Rxb;a ≤≤∈=
B. Intervalo no acotado
Es aquel intervalo que tiene por lo menos un
extremo ideal +∞ ó - ∞.
Los siguientes intervalos son no acotados.
+∞;a
= { }ax/Rx >∈
x
a +∞
{ }ax/Rx;a ≥∈=∞+
x
a +∞
{ }bx/Rxb; <∈=−∞
x
b- ∞
{ }bx/Rxb; ≤∈=−∞
x
b- ∞
∞+−∞;
= R Toda la recta numérica
Operaciones con intervalos
Sean A y B intervalos se definen y se denotan :
A ∪ B = {x ∈ R / x ∈ A ∨ x ∈ B}
A  B = {x ∈ R / x ∈ A ∧ x ∈ B}
A - B = {x ∈ R / x ∈ A ∧ x ∉ B}
CA = AC = A’ = A {x ∈ R / x ∉ A}
A’ = Complemento de A respecto a R
A’ = R - A
EJERCICIO
Sean los conjuntos (intervalos)
A = {x ∈ R / x ≤ 5}
B = {x ∈ R / - 8 ≤ x < 12}
Hallar: 'B,'A,AB,BA,BA −−
TEOREMA DE DESIGUALDADES
Sean a, b, c, d números reales, luego:
1. a 0: a bc
5. ∀ a ∈ R: a2 ≥ 0
6. (a 0 ⇔(a >0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)
9. ab<0 ⇔(a>0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0)
10. a > 0 ⇔
0
a
1
>
11. b < 0 ⇔
0
b
1
<
12. Si a y b tienen el mismo signo, entonces :
a 
es decir:
0< a >
a >
13.
a<x∧<<≤
<∧<<<
>∧><<
0b0a;b;amaxx0
0b0a;axb
0b0a;bxa
222
222
222
14. Para números positivos se cumple:
MA ≥ MG ≥ MH
Donde:
MA: Media Aritmética
MG : Media Geométrica
MH : Media Armónica
NOTA
Si se cumple que: 0 < a < b ∧ 0 < c < d, no
siempre es cierto que: 0 < c
a
< d
b
. Es decir, no
se puede dividir miembro a miembro cuanto se
tienen desigualdades del mismo sentido.
Por ejemplo:
4 < 8 ∧ 1 < 2 → 1
4
< 2
8
¡Falso!
INECUACIÓN
Es una desigualdad en la que hay una o más
cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo
se verifica para valores de las incógnitas, o tal vez
nunca se verifica.
Por ejemplo, la desigualdad: 2x+3 > x+5 es una
inecuación porque tiene una incógnita “x”, y se
verifica para valores de x mayores que 2.
También, la desigualdad: sen(x)+2 ≥ 5, es una
inecuación que nunca se verifica, porque los
valores del “sen (x)” están comprendidos en el
intervalo [-1;1] para todo x real, en consecuencia
sen(x)+2 está en el intervalo [1;3] y ningún valor
de este intervalo es mayor o igual que 5.
SOLUCIÓN PARTICULAR
Es aquel valor (o valores) de la incógnita (o
incógnitas) que verifica la inecuación.
Por ejemplo, en la inecuación 2x + 3 > x + 5, una
solución particular es x = 4, pues: 2(4)+3x > 5 +5
es cierto.
También en la inecuación x + y ≥ 2, para x =1
é y = 1 la inecuación se verifica, pues 1+1 ≥ 2 es
cierto, luego (1;1) es una solución particular.
CONJUNTO SOLUCIÓN
Es aquel conjunto denotado por C.S. que agrupa a
todas las soluciones particulares (si existen) de
una inecuación. Si la inecuación no tiene
solución, entonces decimos que el C.S. es el
conjunto vacío.
RESOLVER UNA INECUACIÓN
Significa hallar su conjunto solución. La
resolución se realiza sólo empleando pasos
equivalentes, por ejemplo, si queremos resolver la
inecuación: 2x + 3 > x +5, diremos:
2x+3>x+5 ⇔ 2x + 3 + (-3) > x + 5 + (- 3)
⇔ 2x > x + 2
⇔ 2x + (- x) > x + (- x) + 2
⇔ x > 2
Gráficamente:
x
2-∞ + ∞
Luego : C.S. = {x ∈ R / x > 2} =
∞+;2
INECUACIÓN LINEAL
Forma general:
P(x) = ax + b
<
> 0 ; a ≠ 0 ∧ a; b ∈ R
Resolver: ax + b ≥ 0; a < 0
ax + b ≥ 0 ⇔ ax + b + (-b) ≥ 0 + (- b)
⇔ ax ≥ - b; a < 0
⇔
( ) 0
a
1
pues;b
a
1
ax.
a
1
<−≤
⇔ x ≤ a
b
−

Gráficamente:
x
b-∞ + ∞
a
-
Luego C.S. =
a
b
;
a
b
x/Rx −∞−=






−≤∈
Resolver:
1a
2x3
−
−
< 4x + 5, siendo a < 1
CRITERIO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS
Es utilizado para analizar la variación de los
signos de los factores lineales (de coeficientes
reales) en una multiplicación indicada. Ejemplo
1: Sea P(x) = (x - 2)(x - 5)
Las raíces del polinomio son: 2 ∧ 5
Ubiquemos estos valores en la recta real.
II
2-∞ + ∞5
IIII
Las raíces del polinomio particionan a la recta R
en 3 zonas (intervalos)
I. x ∈
2;−∞
⇔ x < 2 ⇔ x - 2 < 0 ∧
x - 5<- 3 < 0, luego: (x - 2)(x - 5)> 0
II. x ∈
5;2
⇔ 2 < x < 5 ⇔ 0 < x - 2 < 3 ∧ -
3< x - 5 <0, luego: (x - 2)(x - 5)< 0
III. x ∈
∞;5
⇔ x>5 ⇔ x - 2> 3 ∧ x - 5 > 0,
luego: (x - 2)(x - 5) > 0
Gráficamente: P(x) = (x - 2)(x - 5)
-
2-∞ + ∞5
++
Ejemplo 2 :
Sea P(x) = (x - 3) (x + 1)(x - 6),
Las raíces son: -1, 3, 6.
Ubiquemos estos valores en la recta real.
-1-∞ + ∞3 6
Las raíces del polinomio particionan a la recta R
en 4 zonas (intervalos).
Analicemos las variaciones
Factor Zonax - 3x+1x - 6P(x)x < -1-----1 < x
< 3-+-+3 < x < 6++--x > 6++++
-1-∞ + ∞3 6
- -+ +
Si se tratará de resolver: P(x) > 0, tendríamos
que: el C.S.=
3;1− ∞+;6
NOTA
Cuando formamos la inecuación polinomial los
valores de las raíces del polinomio toman el
nombre de puntos críticos.
INECUACIONES CUADRÁTICAS
Son aquellas inecuaciones de la forma :
( ) 0cbxaxxP 2 >
<++=
Siendo: a, b, c ∈ R ∧ a ≠ 0
¿Qué sucedería si algún coeficiente no es
real?
Sería complejo, pero Ud. sabe que en C no está
definido el orden. Bien vamos a comenzar el
estudio de esta inecuación:
0cbxax 2 <
>++
Resolución:
Como (a ≠ 0) divide a ambos miembros entre “a”,
teniendo cuidado el posible cambio en el sentido
de la inecuación, entonces tenemos :
0
a
c
x
a
b
xa 2 <
>





++
Ahora nuestra meta será tratar de completar
cuadrados dentro del paréntesis.
0
a
c
a4
b
a4
b
a2
b
x2xa
2
2
2
2
2 <
>














+−+





+
  
( )α

















 −
−





+ <
> 0
a2
ac4b
a2
b
xa
22
Pero recuerde que ac4b2 − es el
¡Discriminante!, el cual denotamos ac4b2 −=∆
.
Vamos a reemplazar en (α) y tendremos:
( )ψ







 ∆
−





+ <
> 0
a4a2
b
xa
2
2
Comenzaremos con el análisis de los casos
posibles que dependen del discriminante.
Caso I
Si (∆ = 0) reemplazando en (ψ), nos queda :
0
a2
b
xa
2
>
<





+
Cancelo “a” cuidándose de la variación del signo.
En este caso tenemos por ejemplo :
A. ( )21x −
≥ 0 ⇒ C.S. = R, pues ∀ x ∈ R,
cumple al ser reemplazada en la inecuación.<<<<<<
B. ( ) 02x04x4x 22 >−⇔>+−
, notamos que
se verifica ∀x ∈ R, excepto cuando x = 2.
∴φ0 Χ.Σ. = Ρ − {2}
Χ. ( ) 03x09x6x 22 <−⇔<+−
, obviamente la
inecuación tiene el símbolo que hace que esta
inecuación sea no verificable para algún valor
real.
∴ C.S. = ∅
D. ( ) ( ) ⇒=−⇔≤− 05x05x 22
Tenemos que la
única solución es x = 5.
∴φ0 Χ.Σ. = {5}
Χασο ΙΙ
Σι ∆ = b2 - 4ac > 0, reemplazando en ( ψ ),
tenemos luego de elevar al cuadrado y tomar raíz.
0
a4a2
b
xa
2
22
>
<










∆
−





+
Vamos a multiplicar por el inverso multiplicativo
de “a” y aprovechando la diferencia de cuadrados,
quedará:
0
a2a2
b
x
a2a2
b
x >
<






 ∆
−+







 ∆
++
Y para resolverlo aplicaremos el método de
¡Puntos críticos!, vamos a verlo mejor en algunos
ejemplos.
Ejemplo:
1. Sea 4x5x2 +− ≥ 0, factorizando por aspa
simple, se tiene (x - 4)(x - 1) ≥ 0. Los puntos
críticos serán : 1; 4 (que son valores que
anulan cada factor)
Reemplazamos en la recta numérica.
-
1-∞ + ∞4
++
NOTA
Empezamos de derecha a izquierda con el
signo “+”, pues los coeficientes de “x” son
positivos, además tomamos la parte positiva,
pues el símbolo en la inecuación es “≥”.
Luego C.S. =
∞+−∞ ;41, 
2. Sea 05x4x2 <−−
, factorizando queda:
( )( ) ⇒<+− 01x5x
Puntos críticos: 5; - 1
-
-1-∞ + ∞5
++
5;1.S.C −=∴
3. Sea ( )( ) 0x32x ≥−−
⇒ Los puntos críticos
son: 3, 2. Cuando reemplazo en la recta no

empezaré la variación con (+), sino con (-),
¿Por qué?
+
2-∞ + ∞3
--
[ ]3;2.S.C =∴
Note que es posible multiplicar por (-1) a
ambos miembros y nos quedará (x - 2)(x - 3)
≤ 0, ahora tenemos en la recta.
-
2-∞ + ∞3
++
[ ]3;2.S.C =∴
4. Sea ( )( ) ( )( ) 05x3x0x5x3 <−−⇔<−−
-
3-∞ + ∞5
++
En lo posible usted, ha visto las variantes,
ahora analicemos que pasa cuando (∆ <
0)
En el teorema siguiente.
Teorema (Trinomio positivo)
Sea P(x) = cbxax 2 ++
, donde a, b, c ∈ R ∧ ∆
< 0.
Demostración
P(x) =







 ∆
−





+=++
2
2
2
a4a2
b
xacbxax
Tenemos que (a > 0) y el factor:


+
−
+
∆
−





+
2
2
a4a2
b
x

el signo menos con el signo del discriminante se
hará todo positivo y suma de positivos harán que
P(x) sea siempre positivo, cualquiera que sea x ∈
R.
Ejemplo:
1.
2x + 2x + 3 > 0 ⇒ Su C.S. = R
pues ∆ =
22 - 4(3) = -8 < 0, y su coeficiente
principal es positivo.
2.
2x + 4x + 7 < 0 ⇒ Su C.S. = φ
Pues ∆ =
24 - 4(7) < 0, y su coeficiente
principal es positivo.
⇒ 0 <
2x + 4x + 7 < 0 ⇒ 0 < 0 ¡Absurdo!
C.S. ⇒ φ
Otra forma:
2x +4x+7 =
2x +4x+4+3 < 0
⇔
2)2x( + + 3 < 0 ⇒ C.S. = φ
+ +
Un teorema análogo será el siguiente:
a
2x + bx + c ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔ a > 0 ∧ ∆
≤ 0; a, b, c ∈ R.
Teorema (trinomio negativo)
Sea P(x) = a
2x + bx + x, siendo a, b, c ∈ R, se
cumple que: P(x) < 0; ∀ x ∈ R ⇔ a< 0 ∧
∆ < 0.


0
a4a
b
xa)x(P
)(
2
)(
2
x
<












∆
−





+=
+
−
  
Notemos que el producto:
( ) ( ) 0
a4a
b
x0a
2
2
>
∆
−





+∧<
( ) 0xP <∴
INECUACIÓN DE GRADO SUPERIOR
Que tal si consideramos el polinomio de grado
“n”:
P(x) =
0axaxaxa 01
1n
1n
n
n
>
<
−
− ++++ 
Donde: 0a n ≠
Además cada { }n,,3,2,1,0i;Ra i =∈
Como nosotros recordamos por un Corolario del
Teorema Fundamental del Algebra, se tienen
raíces a las que llamamos n4321 x,,x,x,x,x 
Bien, si es que todas son reales, podemos
factorizar:
( )( )( ) ( ) 0xxxxxxxxa n321n
>
<−−−− 
Entonces para resolverla le aplicaremos Método
de Puntos Críticos. Pero en general previamente
simplificar, algunos factores de la que ya
conocemos el signo. Para ello notemos que:
Teorema: Ra,x ∈∀
1. Si :
( ) 0ax 1n2
≥− +
⇔ ( ) 0ax ≥−
; n ∈ N
2. Si:
( ) 0ax 1n2
≤− +
⇔ (x - a) ≤ 0; n ∈ N
Prueba:
1. Si: ( ) 0ax 1n2 ≥− +
⇔
( ) ( ) 0axax n2
≥−−
Pero
( ) 0ax0ax n2
≥−⇒≥−
Si: ( ) 0ax ≥−
multiplicando por ( ) 0ax n2 ≥−
⇒ ( ) 0ax 1n2 >− +
Por ejemplo podemos resolver:
1.
( )( )( )( ) 04x3x2x1x ≥−−−−
Los puntos críticos son: 1,2,3,4.
1-∞ + ∞3 4
- + -+ +
2
De lo cual el C.S. =
1;−∞  [ ]3;2 
∞+;4
2.
( ) ( )( )( ) 07x2x3x1x 42
<−+−−
.
Simplificando
( )( ) 02x3x <+−
Los puntos críticos son -2; 3
-
-2-∞ +∞3
++
Notemos que el C.S. =
3;2−
, pero
¡cuidado! el factor
( )2
1x −
, al ser cancelado
para x = 1 es un valor que anula el factor y
que reemplazando en la inecuación original
tendríamos el absurdo (0 < 0).
Esto quiere decir que x = 1 es un valor no
solución:
{ }13;2.S.C −−=∴
NOTA
Lo mismo pasa con x = 7, pero como no está
en el C.S. no le afecta.
3.
( ) 06x5x1xxx14x 2
27
22 >



 −−



 ++−



 −
Simplificando
27
2 1xx 



 ++
, pues
1xx2 ++ es positivo nos quedaría
( ) 06x5xx14x 22 >



 −−−



 −
, pero
podemos factorizar y nos queda :
( )( )( )( )( ) 01x6x1x2x2x <+−−−+
-2-∞ + ∞1 2
+ - -- +
-1
+
6
Luego el C.S. =
6;21;12; ∪−∪−−∞
INECUACIÓN FRACCIONARIA
DEFINICIÓN
Es aquella inecuación que se caracteriza, porque
la variable esta presente en el denominador de
cualquier expresión que forma parte de la
inecuación.

Ejemplo:
1x
1x
1x
1x
+
−
≤
−
+
Resolución:
I. Garantizar la definición de las expresiones
con: x ≠ {1; -1}
II. Operaciones:
1x
1x
1x
1x
+
−
−
−
+
≤ 0
( )( )
0
1x1x
x4
≤
−+
⇒ ( )( ) 0x1x1x ≤−+
-1 0 1
+− + −
⇒
C.S.
1;01; ∪−−∞
ECUACIÓN E INECUACIÓN IRRACIONAL
CONJUNTO VALORES ADMISIBLES
El conjunto de valores admisibles de una
expresión matemática es aquel conjunto denotado
por C.V.A. que agrupa a todos los valor(es) que
garantizan la existencia de la expresión
matemática, es decir, valores de la variable que
permiten que la expresión esté bien definida.
El C.V.A. se va a considerar respecto a R, salvo
indicación contraria.
Ejemplo:
1. F(x) = 1x2
x2
− , el C.V.A está dado por todos
aquellos valores reales para x, tal que 2x-1≠0.
Es decir: C.V.A. = {x ∈ R/ x ≠ 2
1
} = R - { 2
1
}
2. G(x) = 2x − , el C.V.A. está dado por todos
aquellos valores reales para x, tal que el
radicando es no negativo: x - 2 ≥ 0.
Es decir: C.V.A = {x ∈ R / x ≥ 2}=
∞+;2
3. H(x) =
3 2 5x −
C.V.A. (H(x)):
…….......……………………………………
………………………………………………
………………………………………………
INECUACIÓN IRRACIONAL
Es toda inecuación que tiene la incógnita afectada
por radicales. Presenta la siguiente forma
general.
( ) 0xF >
<
Siendo F(x) una expresión irracional sobre R.
Resolución:
1. Hallar la existencia (CVA) de la expresión
irracional F(x)
2. Se transforma la inecuación, elevando a
ambos miembros a un exponente que elimine
el radical. (Si el índice del radical es par,
ambos miembros de la inecuación deben ser
positivos obteniendo el conjunto de posibles
soluciones Sp).
3. El conjunto solución se obtiene interceptando
el CVA con Sp.
Ejemplos:
Resolver:
1. 2x3 ≥−
2. 35x >+
3. 21x2 −<−
4. 05x3 ≥π−+
5.
1x1x
3 3 +≤+
6.
9x1x
3
+≤+
ECUACIÓN IRRACIONAL
Una ecuación es irracional si la incógnita está
afectada por radicales, presenta la siguiente forma
general:
( ) 0xF =
Donde F(x) es una expresión irracional definida
sobre los reales.
La resolución de esta ecuación es similar a una
inecuación irracional.
Resolver:
4x5x1x2 +=−−−
1. C.V.A: 2x - 1 ≥ 0 ∧ x - 5 ≥ 0 ∧ x + 4 ≥ 0
⇔ x ≥ 2
1
∧ x ≥ 5 ∧ x ≥ - 4 ⇔ x ≥ 5
2. Transponiendo:
5x4x1x2 −++=−
Elevando al cuadrado:
2x - 1 = x + 4 + x - 5 + 2 5x.4x −+
2x - 1 = 2x - 1 + 2
)5x()4x( −+
0 = 2
)5x()4x( −+
x = - 4 ∨ x = 4 (Posibles soluciones)(SP)
3. C.S. = CVA ∩ SP = {5}
ECUACIONES E INECUACIONES CON
VALOR ABSOLUTO
Antes de iniciar este tema es necesario recordar la
definición y teoremas relativos al valor absoluto.
VALOR ABSOLUTO
Definición
El valor absoluto de un número real “x” se denota
por
x
y se define:



<−
≥
=
0x;x
0x;x
x
Ejemplo :
22;55 ==−
22 −π=π−
De la definición se sigue que :
Rx;0x ∈∀≥
Teoremas
Sea {x; y} ⊂ R; a ∈ R+
1.
axax ±=⇔=
2.
222 xxx ==
3.
{ }yxyxyx −=∨=⇔=
4.
xxxx −≥∧≥
5.
yxyx +≤+
Desigualdad triangular
NOTA
La demostración de estos teoremas se van a
omitir ya que en este capítulo nos interesa
resolver ecuaciones con valor absoluto.
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Forma general
( ) 0xM =
Donde: M(x) es una expresión con valor absoluto.
Ejemplo :
Las siguientes igualdades son ecuaciones con
valor absoluto
1.
5x3x2 =+−
2.
07x =−
3.
01x2x 2 =+++
4.
05
2x
4
=−
−
Teorema :
Sean f(x) y g(x) expresiones definidas en R.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }xgxfxgxf0xgxgxf −=∨=∧≥⇔=
Ejercicio : Resolver :
6xx54x2 2 −−=−
Resolución :
Por el Teorema 1, tenemos :

06x5x06xx5 22 ≤+−⇒≥−−
⇒ ( )( ) 02x3x ≤−−
Por puntos críticos, tenemos:
-
-2 3
++
∴ x ∈ [2, 3] ………………………………… (*)
y además :
(1) : 2x- 4= 6xx5 2 −−
∨
(2) : 2x-4= -




 −− 6xx5 2
De (1) :
02x3x2 =+−
⇒ ( )( ) 01x2x =−+
∴φ0 ξ = 2 ϖ ξ = 1
∆ε (2) :
2ξ − 4 = 6x5x2 +−
⇒ 010x7x2 =+−
∴φ0 ( )( ) 2x5x02x5x =∨=⇒=−−
De (1) y (2) : x ∈ {1, 2, 5}
Pero según (*) sólo es solución :
x = 2 ⇒ C.S. = {2}
Teorema
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]xgxfxgxfxgxf −=∨=⇔=
Ejercicio: Halle “A”, si :
A = 




 +=+∈ 2x23x/Rx 2
Resolución :
Para hallar A, debemos resolver :
2x23x2 +=+
Considerando luego sólo las soluciones reales
veamos:
Por el teorema anterior :
2x23x2 +=+
∨ 2x23x2 −−=+
01x2x2 =+−
∨ 05x2x2 =++
( ) 01x 2 =−
∨ ( ) 041x 2 =++
x = 1 ∨ ∃/ solución real
∴ A = {1}
INECUACIONES CON VALOR
ABSOLUTO
Forma general
( ) 0xN >
<
Donde N(x) es una expresión con valor absoluto.
Ejemplo :
Los siguientes ejemplos son inecuaciones con
valor absoluto.
1.
2
x
1
x ≤+
2.
3xx3x2 −>+
Teorema
Sean f(x) y g(x) expresiones definidas en R luego
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]xgxfxg0xgxgxf ≤≤−∧≥⇔≤
Ejercicio: Resolver :
4x
2x
x2
−≤
−
Resolución :
Por el teorema anterior, tenemos :
4x04x ≥⇒≥−
∞+∈∴ ;4x
…………… (*)
y además :
4x
2x
x2
−≤
−
≤ x - 4 ⇒
4x
2x
x2
−≤
−
⇒
( ) ( )α−−≤ 4x2xx2
Pero de (*) :
x ≥ 4 ⇒ x - 2 ≥ 2 > 0
∴λανγ3082
2x2x −=−
Reemplazando en (α):
2
x ≤ (x - 2)(x - 4) ⇒ 8x6xx 22 +−≤
⇒ 6x ≤ 8 ⇒ x ≤ 4
3
……… (**)
Intersectando (*) y (**)
-∞ + ∞44
3
∴φ0 Χ.Σ. = ∅
Teorema
Sean f(x) y g(x) expresiones definidas en R.
i.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxfxgxf −≤∨≥⇔≥
ii.
( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf 22 <⇔<
Ejercicio: Resolver :
3x26x −>+
Resolución :
Por el teorema anterior en la parte “i”. Tenemos :
x + 6 > 2x - 3 ∨ x + 6 < - (2x-3)
9 > x ∨ x + 6 < - 2x +3
x < 9 ∨ x < - 1
-∞ +∞-1 9
∴φ0 Χ.Σ. = ξ ∈
1; −−∞
Ejercicio
Resolver :
x1x2 <−
Resolución :
Por la parte “ii” del teorema anterior, se tiene :
x1x2 <−
⇔ ( ) 22 x1x2 <−
⇔ 01x4x3x1x4x4 222 <+−⇔<+−
⇔ ( )( ) 01x1x3 <−−
-
1-∞ + ∞1
++
3
∴φ0 ξ ∈
.S.C1;
3
1
=
PRACTICA DE CLASE
Nivel I:
01. Sean los intervalos:
A = [-6; 5] A
B = ]-2; 9[
Calcular la suma de los valores enteros de
A∩B.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
C = [-4; 4]
D= ]4; 8 [
Calcular C ∪ D
a) [-4; 4] b) ]4; 8 [ c) ]-4; 8[
d) [0; 8] e) [-4; 8 [
03. Si la unión de los intervalos:
E = [-4; 5 [
F = ]-2; 5 [
es: [a; b]. Calcular “ab”
a) -20 b) -10 c) 2
d) 8 e) 25
04. Si: a > b > c > 0 y
M = [-a; 0]
N = ]-c; c]
P = [-b; a]
Calcular: M ∩ N ∩ P
a) [-c; 0] b) [0; c ] c) [-b; c ]
d) ]-c; 0 [ e) [c; b ]

M = [-6; 13 [
N = ]-3; 5 [
Si M ∩ N está representado por ]m + 1; n - 2[
Calcular: m + n
a) -3 b) -1 c) 0
d) 3 e) 5
06. Si la intersección de los intervalos:
M = ]-5; -1 [∪] 2; 11 [
N = [-3; 4]
es: [a; b[ ∪ ]c; d]
Calcular : a + b + c+ d
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
P = [-15; -9] ∪ [-3; 3] ∪ [10; 17]
Q = [-12; -1] ∪ [1; 13]
Luego se interseca P ∧ Q, indique un
intervalo de P ∩ Q.
a) [-12; -3] b) [-3; 10] c) [3;13]
d) [-3; -1] e) [-9; 10]
Nivel II
A = R
B = [-3; 4 [
C = ]-1; 3 [
Calcular: A ∩ B ∩ C
a) ]-1; 4[ b) [-3; 3] c) ]-1; 3 [
d) ]3; 4e e) [-3 ; -1[
A= ]-11; 7[ C = ]-8; 8 [
B= [-6; 11[ D = [-15; 15]
Calcular (A ∩ C) ∪ (B ∩ D); dar como
respuesta la suma de sus valores enteros.
a) 7 b) 17 c) 27
d) 37 e) 47
10. Resolver:
7(3 - 2x) + 2(2x+15) < 2(5x -7) - 3(2x -11)
a) x ∈ ]2; + ∞ [ b) x ∈ ]- ∞ ; -2 [
c) x ∈ ]0; +∞ [ d) x ∈ ]-2; + ∞ [
e) x ∈ ]- ∞; 2 [
11. Resolver:
6
15x
4
1x4
3
x5
2
3x2 +
−
−
>
−
−
−
a) x > 5/6 b) x < 5/6 c) x > 5
d) x > 6 e) x < 6/5
12. Luego de resolver la inecuación:
)91x(3x
11
x5
−<
Indicar el menor valor entero de x
a) 77 b) 76 c) 80
d) 79 e) 78
13. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
I. Si: -2 < x < 3 → 0 ≤ x2 < 9
II. Si: -3 < x ≤ 4 → 9 < x2 ≤ 16
III. Si: x ∈ R → x2 > 0
a) VVV b) VFF c) VFV
d) FVF e) FFF
14. Si: b
a
< 0; entonces se cumple:
a) a < 0 ∧ b > 0 b) a > 0 ∧ b < 0
c) a > b d) ab > 0
e) ab < 0
15. Si x es tal que:
2
x
1
<
∧
3
x
1
−>
Entonces:
a) -1/3 < x <1/2
b) -1/2 < x < 3
c) x > 1/2
d) x > 1/2 ∨ - 1/3 x < x < 0
e) x < -1/3 ∨ x > 1/2
Nivel III:
16. Resolver la inecuación:
3
2
2
1x2
6
2x3
5
1x2
+
+
>
−
+
−
E indicar un valor entero admisible para “x”
17. Resolver:
(x+5)(x+3) ≥ (x+2) (x+ 1) + 3
a) x ∈ [-2; +∞ [b) x ∈]-∞; -3]
c) x ∈ [2; + ∞ [ d) x ∈] - ∞; -2 ]
e) x ∈ [3; +∞ [
18. Resolver:
x211x3 84 −− >
a) x ∈]2/5; + ∞ [ b) x ∈ ]2/5; 3 [
c) x ∈ ]3; +∞ [ d) x ∈]2; +∞ [
e) x ∈ ]5/12; + ∞ [
19. La suma de los valores enteros y positivos de
“x” que satisfacen la inecuación:
7 1x8
5
2
13x5
273 +
+
>
; es:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 6 e) 10
20. Si: a > b ∧ c ∈ R
Son ciertas:
I. a + c2 > b + c2 II. c
b
c
a
>
III. a - c bc
a) Sólo I b) sólo II c) I y III
d) II y IV e) Todas
PROBLEMAS PROPUESTOS 01
01.Resolver: x2 - 3x < 4
a) x ∈ R b) x > -1 c) x > 4
d) -1 ≤ x ≤ 4 e) -1< x < 4
02.Resolver:
x2 + 2x >8
e indicar un intervalo solución:
a) ]4; +∞ [ b) ]- ∞ ; 2 [ c) ]2; +∞ [
d) ]1; + ∞ [ e) ]4; +∞ [
03. Resolver:
(x + 2) (x + 4) ≥ 2x + 16
a) x ∈ [-6; 2 ]
b) x ∈ ]- ∞ ; -6 [ ∪ [2; +∞]
c) x ∈ [4; 8]
d) x ∈]-∞ ; -6 [
e) x ∈ [3; + ∞ [
04. Resolver:
0
1x
)2x)(3x(
≥
+
+−
a) [-2; -1[ ∪ [3; +∞ [
b) [-2; 3 [
c) ]- ∞ ; -2 [
d) ]- ∞ ; 2 [ ∪ ]-1,3 [

e) ]-2; ∞ [ -{-1}
05. Resolver:
0
6x5x
48x10x4
2
2
<
+−
+−
a) 2 < x < 3 b) -5 < x < 3 c) -3 < x < 2
d) 4 < x < 6 e) - 1< x < 6
06. Hallar el conjunto solución de la inecuación:
0
2x
4x3x 23
≥
+
−+
a) ] -∞; -2[ ∪ [1; + ∞ [
b) ]-2; 1 [
c) ]-∞; 2 [ ∪ ]1; +∞ [
d) ]1; 8 [
e) φ
07. Resolver:
7
x
2
3
x
4
−>−
a) x ∈ ] -1/2; 0 [
b) x ∈ ]0; 1/2 [
c) x ∈ ]-∞; -1/2 [ ∪ ]0; +∞ [
d) x ∈ ]-∞; 1/4[ ∪ ]1/2; + ∞ [
e) x ∈ ]1/4; 1/2 [
08. Determine el mayor valor entero de “M” que
satisface la desigualdad:
7x2 + 28x + 3 > 7M
se verifica para todo x ∈ R
a) 3 b) -3 c) 0
d) -4 e) 4
09. El menor número entero “λ” que satisface la
desigualdad:
λ<−+−
2
5
x2x2
; ∀ x ∈ R
a) -2 b) -1 c) 0
d) 1 e) 2
10. Sea el polinomio:
P(x) = x2 - 4x +m - 5
Si P(x) >0; ∀ x ∈ R; entonces los valores que
asume “m” son:
a) m > -9 b) m < -9 c) m > 9
d) m < 9 e) m < -5
11. Resolver:
0
1xx
1
2
<
++
a) ]- 35 ; - 7
[ b) ]- 35 ; - 3 [
c) R d) φ
e) R - ]- 35 ; - 7
[
12. Resolver:
x3
x6
162x3x2
−>
−
++
a) 6 < x < 12 b) -6 < x < 12
c) -12 < x < -6 d) x < -12 ∧ x >6
e) -12 < x < 6
13. Resolver:
5
5x
1x3
3 <
−
−
<
a) x > 14 b) x > 13 c) x > 12
d) x > 15 e) x > 5
14. ¿Cuántos valores enteros satisfacen el
sistema?
12
5x
7x
2 <
−
−
<
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 7
15. Resolver el sistema:
3x2 + 2x > 0
x3 + x2 + x < 0
a) 0 < x < 2/3 b) x > 2/3
c) x < 0 d) x < -2/3
e) φ
2
2
1x7
4
3
1x4
+
−
<+
−
a) x > 1 b) x < -1 c) x > 1,5
d) x < -1 ∧ x > 1,5 e) x > 2
17. Luego de resolver:
1x
5x
2x
4x
+
+
≤
+
+
se obtiene x ∈ [a; b [ ∪ ]c; +∞ [
el valor de a + b + c
a) -3 b) -4 c) -5
d) -6 e) -7
18. Si:
3
2
1x
3x
5
1
<
+
−
<
Entonces “x” pertenece al intervalo
a) ]4; 11[ b) ]-1; 11[ c) ]-1; 4 [
d) ]-∞; -1[ ∪ ]4; +∞[ e) ]4; 15 [
19. Dada la inecuación:
bx
bx
ax
ax
−
+
>
−
+
; a < b < 0
entonces uno de sus intervalos solución es:
a) ]0; +∞ [ b) ]a; b [ c) ]a; 0 [
d) ]-∞; b [ e) ]b ; 0 [
20. Indique el intervalo solución de:
1x
1
1x
1
2
+
<
−
+
a) ]-1; 1[
b) ]-∞; -1[ ∪ ]1; +∞ [
c) ]-1;0 [ ∪ ]0; 1[
d) ]-1; 1[ ∪ ]1; +∞ [
e) φ
TAREA DOMICILIARIA
01. Sean los siguientes intervalos
A = ]0; +∞ [
B = ]2; 5 [
Determine A ∩ B
a) ]0; 2 [ b) ]5; +∞ [ c) ]0; 5 [}
d) ]2; +∞ [ e) ]2; 5 [
02. Si:
P = [-1; 7]
Q = ]3; 10 ]
determine el número de valores enteros de
P ∪ Q
a) 12 b) 13 c) 11
d) 14 e) 10
03. Relacione correctamente los gráficos con su
intervalo.
A B
1)
A
B
2)
A
B
3)
A. A ∩ B B. B - A C. A ∪ B

a) 1A; 2B; 3C b) 1C; 2B; 3A
c) 1A; 2C; 3B d) 1B; 2A; 3C
e) 1C; 2A; 3B
04. Calcular la suma de los valores enteros de
M∩N si:
M= ]-∞; -2] ∪ ]3; +∞]
N = ]-7; 8]
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
05. Indique el valor de verdad de los siguientes
enunciados:
I. Si -a > b ∧ c > 0 → (a + b) c < 0
II. Si x < 0 → x
1
>0
III. Si a > b > c > 0 → < a - b > - (b - c)
IV. Si n > 2 ∧ m < -1 → n - m > 3
a) VVFF b) FFFF c) VFVV
d) FFVV e) VFFV
06. Si a > 0 ∧ b < 0 entonces se puede afirmar
siempre:
I. (a - b) b < 0
II. (a + b) b < 0
III.
0a
b
a 2
<−
a) sólo I b) sólo II c) II y III
d) sólo III e) I y II
07. Resolver
3(x + 5) -2(6 -x) > 5(1 - x)
a) x < 0,3 b) x > 0,3 c) x < 0,5
d) x > 0,5 e) x > 0,2
08. Si la inecuación: (x+2) (x+3) > (x+5) es
equivalente a:
0
1n
n
x <
+
+
(n ∈ Z+)
Calcular : 2n +
a) 3 b) 2 c) 5
d) 22 e) 3
09. Resolver el siguiente sistema:
2
5x
3
4x +
≥
−
.................... (α)
4
x3
5
3x −
≤
−
.................... (β)
a) ]-∞; 3] b) [3; +∞[ c) ]-∞; -23]
d) [-23; 3] e) [-23; +∞[
10. Resolver:
7
3
x54
1 ≤
−
<−
y determinar el mayor valor entero que lo
verifica.
a) -3 b) -2 c) 3
d) 2 e) 1
11. Si el conjunto A es la solución de la
inecuación:
5
x
2x8
3 <
+
<−
Determine A’ (complemento de A)
a) ]-∞; - 3
2
] ∪ [- 11
2
; + ∞ [
b) [- 3
2
; - 11
2
] c) [- 11
2
; - 3
2
]
d) [-11; -3] e) [- 2
11
; - 2
3
]
12. Resolver el siguiente sistema:
3x - 4 ≤ 5x +2 ≤ -x + 8
a) 1≤ x ≤ 3 b) -3 ≤ x ≤ 1 c) -3 ≤ x ≤ -1
d) x ≤ -3 e) x ≤ 1
13. Se define la siguiente operación:
a ∇ b = 2
ba −
Calcule el número de valores enteros que
verifican el sistema:
(3) ∇ (x) > (2x) ∇ (5) ≥ (x - 1) ∇ (2x)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
14. Si:
A = {x ∈ Z/ x ≤ 7}
B = {x ∈ Z/ x - 1 > -4}
Entonces la suma de los elemento de A ∩ B.
a) 21 b) 22 c) 23
d) 24 e) 25
15. Resolver:





≤+
≥−
31x
1
2
x
x2
∨
{
2
3
2
1
x
12x
≤−
≤−
a) x = 2 b) x ≤ 2 c) [ 3
2
; 2]
d) [ 3
2
;3] e) x ≥ 1
16. Resolver:
8x
7
x28
8x
7
4x
−
+−≥
−
+−
a) [4; +∞ [ b) [4; +∞ [ - {8}
c) R d) ]-∞; 4 [
e) φ
m + 3 > 2n .................(1)
3n < 12 - m ................(2)
en Z+. Indique la suma de todos los valores
de “n” que lo verifican.
a) 16 b) 22 c) 3
d) 4 e) 5
18. Si: m > n Resolver:
n(m+x) +m(n-x) ≥ m2 + n2
a) x ≥ n - m b) x ≥ n + m c) x ≤ n - m
d) x ≤ n + m e) x ≥ nm
19. Si “x” es un número entero tal que:
m = 3x + 1 ........... (1)
n = x + 9 ........... (2)
p = 2x +3 ........... (3)
m > n > p ........... (4)
Calcular: m + n + p
a) 40 b) 41 c) 42
d) 43 e) 44
20. Si: -3 < 5x + 1 < 2
entonces el intervalo que le corresponde a:
2x2
1
− es:
a) ]5/8; 5/4 [ b) ]-5/8; -5/18 [
c) [5; 8 ] d) ]5; 8 [
e) ]-5; 5 [
PRACTICA DE FIJACIÓN
01. Resolver:
0
)5x(
)5x)(1x( 2
<
+
−+
y dar como respuesta la suma de los valores
enteros del conjunto solución
a) -15 b) -10 c) 0
d) 5 e) 15

02. Calcular la suma de los valores enteros que
verifican la siguiente desigualdad:
7x
x
7x
3x4
7x
2
10
−
<
−
−
−
−
+
a) 76 b) 70 c) 57
d) 50 e) 38
03. Indique el conjunto solución de:
1x
1
1x
1
2
+
<
−
+
a) x ∈ φ b) x ∈ R - {-1; 1}
c) x ∈]-1;1[- {0} d) x ∈ [-1; 1] - {0}
e) x ∈ R - [-1; 1]
04. Resolver la siguiente inecuación:
4x
1
6
4x
5x
4
−
+>
−
+
+
Señalando la suma de dos valores enteros del
conjunto solución.
a) 53 b) 54 c) 55
d) 56 e) 57
05. Luego de resolver:
1x
5x
2x
4x
+
+
≤
+
+
Dar como respuesta la semisuma de los
extremos finitos de los intervalos solución.
a) -2 b) c) 4
d) -3 e) 1
06. Resolver:
0
2x2x
1xx
2
2
<
++
++
a) R+ b) R- c) R
d) Z e) φ
07. Luego de resolver la siguiente inecuación:
1x
2x
2x
1x
−
+
≤
−
+
Indicar el conjunto solución
a) ]1; 2[ b) ]1; 2] c) [-1; 2]
d) [1; 2[ e) ]-1; 3[
08. Resolver:
0
ax
)bx()ax( 23
<
+
+−
. Si: a > b > 0
a) ]-a; -b[ b) ]-b; a[ c) ]-a; a[
d) ]-a; a[- {-b} e) ]-a; a[-{b}
09. Dada la inecuación:
bx
bx
ax
ax
−
+
>
−
+
con -a > -b > 0 entonces uno de los intervalos
solución es:
a) ]0; +∞ [ b) ]a; b [ c) ]a; 0 [
d) ]-∞; b [ e) ]b; 0 [
10. Dar como respuesta un intervalo del conjunto
solución de:
0
2x
8x
2
2
≥
−
−
a) ]-∞; - 2 [ b) ]- 2 ; 2 [
c) [ 2 ; +∞[ d) [-2 2 ; 2 2 ]
e) ]-2 2 ; 2 2 [
11. Resolver:
x4 + 3x2 + 2x + 2 > 0
a) R b) φ c) [3; -3]
d) R - {-2; 3} e) [0; -∞ [
12. Resolver:
0
)3x2x)(1x(
)9x)(4x)(1x(
22
222
≥
+++
−−−
y dar como respuesta in intervalo del
conjunto solución.
a) ]-∞; -2 ] b) [-3; -1] c) [-1; 2]
d) [1; +∞[ e) ]-1; 3[
13. Si: S representa al conjunto solución de la
siguiente inecuación:
0
)2x()3x(
)4x()2x()1x(
6
523
≥
−+
−+−
marque la alternativa correcta:
a) ]1; 2] ⊂ S
b) [4; +∞[ ⊂ S
c) ]-3; 1] ∩ S ≠ φ
d) ]1; 4] = S
e) Más de una es correcta

Par Ordenado: Es un conjunto formado por dos
elementos dispuestos en determinado orden:
ra1 Componente da2 Componente
(a ; b)
Propiedades:
1. (a ; b) ≠ (b ; a) ( no conmutativa)
2. Si: (a ; b) = (c ; d) ⇒ a = c ∧ b = d
PRODUCTO CARTESIANO
Dados los conjuntos A y B no vacíos; se llama
producto cartesiano A x B al conjunto de pares
ordenados (a; b) donde a ∈ A y b ∈ B; es decir:
A x B = {(a; b) /a ∈ A ∧ b ∈ B}
Propiedades:
1. A x B ≠ B x A
2. n(A x B) = n (A) n (B)
Relación:
Definición: Sean a y b dos conjuntos no vacíos se
llama relación de A en B, a todo subconjunto R
de A x B es decir:
R es una relación de a en B ⇔ R C A x B
En particular si A = b, R se llama una relación en
A (ó relación entre elementos de A).
La definición anterior de relación exige la
comparación de elementos por pares, por eso
suele llamarse relaciones “BINARIAS”
Ejemplo:
En el conjunto A = {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}
Establecemos las siguientes, relaciones:
* “a” es el doble de “b”*
* “a” es igual a “b”*
Escribir los pares que cumplen las relaciones
respectivamente.
Sea:
R1 = {(a, b) /a es doble de b}
R1 = {(2,1) (4,2) (6,3) (8,4)}
R2 = {(a1 / b) es igual a b}
R2 = {(1,1) (2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)(7,7)(8,8)(9,9)}
• Si R es una relación entre elementos de A y B
al conjunto A se llama conjunto de partida de
la relación y a B conjunto de llegada
• Se llama dominio de una relación R al
conjunto de todos los elementos a ∈ A tales
que existe por lo menos un b ∈ B con
(a,b)∈R
• Se llama rango de una relación R al conjunto
de todos los elementos b ∈ B tales que existe
por lo menos un a ∈ a con (a,b) ∈ R.
Ejemplo: De la relación:
R1 = {(1,2)(2,b)(2,7)(3,2)(1,-2)}
DR1= {1; 2; 3} RR1 = {2, b, 7, -2}
DR1 = RR1 =
FUNCIONES
Definición: Sean A y b dos conjuntos no vacíos
(pudiendo ser A = B) llamaremos función
definida en A los valores en B (función de A en
B) a toda relación:
f ⊂ A x B que tiene la propiedad:
(a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f, entonces b = c
Es decir, una función f es un conjunto de pares
ordenados de elementos, tal que dos pares
distintos nunca tienen el mismo primer elemento.
Notación: Si f es una función de A en B se
designa por:
f
f : A → B ó A → B ó
a b
A B
f
Se lee “f” es una función de A en “B”
Ejemplos:
a
b
c
1
A
B
Siendo a
A
f
≠ b ≠ c diremos:
B→
f={(a, 2) (b, 1) (c, 1)} Es función
→
1
2
3
a
b
c
d
M N
f
M N
f
ó
f={(1,c)(2,d)(3,b)}
Es función
1
2
a
b
c
M S
f
f
f={(1,b)(2,a)(3,c)}
M S
Si a ≠ b ≠ c, luego, so es función porque se repite
el 1er componente.
Si; a = c ≠ b, es función
* Toda función es una relación, pero no toda
relación es un función.
Ejemplo: Hallar los valores de “a y b” para que el
conjunto de pares ordenados sea una función:
A = {(2,5)(-1,-3)(2,2a - b)(-1; b-a)(a + b2, a)}
Resolución: En una función 2 pares distintos
nunca tienen el mismo primer elemento.
∴φ0 (2,5) ψ (2,2α − β) ∈ A ⇒ 5 = 2a - b..........
(1)
(-1,3) y (-1, b - a) ∈ A ⇒ b = -a = -3..... (2)
De (1) y (2) resolviendo a = 2 ∧ b = -1
∴φ0 φ= {(2, 5) (−1, −3) (3, 2)}
∗ Σι φ εσ υνα φυνχι⌠ν δε Α εν Β ελ χονϕυντο
Α σε λλαµαρ〈 χονϕυντο δε παρτιδα δε λα φυ
νχι⌠ν ψ Β ελ χονϕυντο δε λλεγαδα.
• El dominio de una función f, se designa por
Df y se define como el conjunto siguiente:
Df = {x ∈ A/ ∃ y tal que (x, y) ∈ f}
Es decir son las primeras componentes de los
pares ordenados
• El rango (o imagen) de una función f, se
designa por “Rf” o “imf” y se define como el
conjunto siguiente:
Rf = {y ∈ B/∃ x tal que (x, y) ∈ f}
Es decir son las segundas componentes de los
pares ordenados.
• Si el par ordenado (a, b) ∈ f escribiremos:
b = f(a) y diremos que b es imagen de a por f
(o también, que b es el valor de f en a).
f = {(a, b) ∈ A x b/b = f(a), a ∈ Df}
Ejemplo: Sea la función:
f = {(2, 3)(3, 4)(7, 3)(-2, 6)(4, 1)}
Hallar: M =f(2) + f(3) +f(7) +f(-2)+f(3)

Resolución:
Como f(2) = 3; f(3) = 4; f(7) = 3
f (-2) = 6; f(4) = 1
∴λανγ1033M = 18
Regla de Correspondencia: Para que se pueda
definir bien una función es suficiente conocer su
dominio (Df), y una regla que permita asignar
para cualquier x ∈ Df, su imagen f(x).
Ejemplo:
Hallar el dominio en las siguientes funciones:
a) f = {(2, 3)(4, 5)(6, 3)(-2, 1)}
Df = { 2, 4, 6, -2 }
b) f(x) = 2x −
Df : x - 2 > 0 : x ≥ 2 Df = [2, ∞>
c) f(x) = 3x
3
5x
2x
−
+
+
−
Df : 5x
2x
+
−
≥ 0 y x - 3 ≠ 0
-5 2
y x 3
+ +
≠
Df = <-∞, -5> ∪ [2, ∞> -{3}
Ejemplo: Hallar el rango de las siguientes
funciones:
a) f = {(2, 3) (4, 6) (5, 7)(7, 6)(-2, 3)}
Rf = {3, 6, 7, 3}
b) Sea f(x) = x2
y =
;
Ry
Rx
x2
+∈
∈
→
Df= <-∞, ∞>
U {0} ; Rf=[0, ∞>
* Tenemos varias formas de hallar rangos,
presentaremos las mas conocidas:
• Cuando tenemos una función donde su
dominio no presenta rango, se despeja “x”
en función de y;
• Cuando tenemos un intervalo como
dominio usamos desiguales.
c) Para la función definida por:
g(x) = 2x2 + 3x + 2 / x ∈ R
Resolución:
y = 2x2 + 3x+ 2⇒2x2 + 3x + (2 - y) = 0
)2(2
)y2)(2(493
x
−−±−
=
Si x ∈ ℜ; luego “y” también ∈ ℜ
Pero: ∆ ≥ 0; 9 - 8(2 - y) ≥ 0 → y ≥ 7/8
Rg = {7/8, ∞ >
d) Para la función definida por:
h(x) = x2 - 4x + 7; x ∈ [2, 3]
Resolución:
y = x2 - 4x + 7
y = (x - 2)2 + 3
Como: 2 ≤ x ≤ 3 ⇒ 0 ≤ x - 2 ≤ 1
Al cuadrado: 0 ≤ (x - 2)2 ≤ 1
Sumando tres a cada miembro:
43)2x(3 2
≤+−≤

⇒ 3 ≤ y ≤ 4
∴φ0 Ρη = [3, 4]
ε) Παρα λα φυνχι⌠ν φ(ξ) = 1x
x
2
2
+
Resolución:
y = 1x
x
2
2
+ ; yx2 + y = x2 → x2(y - 1) = -y
x2 = y1
y
−
→ x =
±
− y1
y
∴φ0 y1
y
−
≥ 0; 1y
y
−
≤ 0
y ∈ [0,1> → Rf = [0,1>
0 1
+ - +
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Definición: Sea f una función real, la gráfica de f
e el conjunto G, de todos los puntos (x, y) en el
plano, tal que x está en el dominio de f e y, es la
imagen de x por f, es decir:
G = {(x, y) ∈ R2 /y = f(x), x ∈ Df}
* Una gráfica cualquiera será función; si y sólo
si al trazar una paralela al eje “y” corta a la
gráfica en un sólo punto.
Ejemplo:
a)
x
L
1
y
y
F(x)
F(x) es función L1, la recta paralela corta a la
gráfica en solo un punto.
b)
x
L
2
y
G(x)
G(x) no es función L2, la recta paralela, corta a la
gráfica en más de un punto.
FUNCIONES ESPECIALES
1. Función Constante:
- Regla de correspondencia f(x) = k
Df = R ∧ Rf = k
Significa que f = {.... (0, k) (1, k) (2, k) ....}
∴λανγ1033 f = {(x, k) / f(x) = k}
Gráfica:

0
y
2 3 6 x
f(x)=k
2. Función Identidad:
- Regla de correspondencia x)x(f =
Df = R ∧ Rf = R
Significa que F = {...(1, 1)(2, 2) (3, 3) ...}
∴φ0 φ(ξ) = {(ξ, ψ) / φ(ξ) = ξ ⇔ x = y}
Gráfica:
y
x
f(x) = x
3. Función Valor Absoluto:
- Regla de correspondencia f(x) = |x|
Nota: 


<−
≥
=
0xsi;x
0xsi;x
|x|
Df = R; Rf = R+ ∪ {0}
Significa que
f = {... (-2, 2) (-1, 1)(0, 0)(1, 1)...}
f(x) = |x|
y = |x| → x = 1; y = 1
x = -1; y = 1
Gráfica:
x
y = |x|
y
4. Función Raíz Cuadrada:
- Regla de correspondencia: f(x) = x . x≥0
- Df = R+; Rf = R+
Significa que:
f = {(0, 0)(1, 1)(2, 2 )(3, 3 ) ...}
Gráfica:
x
y =
y
x
5. Función Lineal:
Es una función con dominio todos los reales
y como regla de correspondencia:
f(x) = ax +b, donde a y b son constantes
cualesquiera. a ≠ 0
• Su gráfica es un recta: con pendiente “a”
e intercepto “b”
Gráfica:
x
y
b
y = mx + b
m > 0
α
x
y
y = mx + b
m < 0
α
m = pendiente de la recta
m = tg α
Ejemplo:
Calcular la función lineal que tenga:
f(1)= 3 y además f(2) = 2f(3).
Resolución:
f(x) = mx + b
f(1) = m + b = 3 ................ (α)
Además: 2m + b = 2(3m +b)
2m + b = 6m + 2b
b = - 4m ............. (β)
De (α) y (β): m = -1 ∧ b = 4
∴λανγ1033f(x) = -x +4
6. Función Cuadrática:
Definición: Es una función con dominio el
conjunto de lo números reales y cuya regla de
correspondencia es:
f(x) = ax2 + bx + c; a, b, c, ∈ ℜ; a ≠ 0
• Su gráfica es una parábola simétrica
respecto a una recta vertical, llamada eje
de simetría, abierta hacia arriba si a > 0
hacia abajo si a < 0.
• Nota Gráfica:
Sea la función y = ax2 + bx + c
D = Discriminante = b2 - 4ac
x
y
I.
-b/2a
x
VERTICE
f(-b/2a)
1 x2
x
y
x
VERTICE
f(-b/2a)
1
x2
a > 0
D > 0
-b/2a
a < 0
D > 0
{x1; x2 } raíces de la ecuación cuando y = 0

x
y
II.
x1 x2= = - b/2a
a > 0
D > 0
x
y
x1 x2= = - b/2a
a < 0
D = 0
{x1; x2 } raíces iguales de la ecuación
cuando y = 0
x
yIII.
f(-b/2a)
-b/2a
a > 0 , D < 0
x
y
f(-b/2a)
-b/2a
a < 0 , D < 0
En esta función cuando “y” = 0; los valores
de “x” son números complejos.
Otras funciones
• Funciones Pares:
Son aquellas funciones que se caracterizan
por ser simétricas respecto del eje “y” ; y se
cumple que:
i) Si x ∈ Df → -x ∈ Df
ii) f(x) = f(-x) → x ∈ Df
• Funciones Impares:
Son aquellas funciones que se caracterizan
por ser simétricas respecto del origen:
i) Si x ∈ Df → -x ∈ Df
ii) f(x) = -f(-x) → x ∈ Df
Ejemplo:
Indicar que funciones son pares, impares o ni
par ni impar:
I) F(x) = x4 + 1
II) G(x) = x3
III) H(x) = x - |x|
I) F(x) es par porque:
F(-x) = (-x)4 + 1
F(-x) = x4 + 1
F(-x) = F(x) ∴φ0 Φ(ξ) εσ παρ
ΙΙ) Γ(ξ) εσ ιµπαρ πορθυε:
Γ(−ξ) = (−ξ)3
Γ(−ξ) = −ξ3
−Γ(−ξ) = ξ3
−Γ(−ξ) = Γ(ξ) ∴φ0 Γ(ξ) εσ ιµπαρ
ΙΙΙ) Η(−ξ) = −ξ − |ξ|
Η(−ξ) = −ξ
−Η(−ξ) = ξ + |ξ|
−Η(−ξ) ≠ H(x); También H(-x) ≠ H(x)
∴φ0 Η(ξ) νο εσ νι παρ νι ιµπαρ.
ΠΡΑΧΤΙΧΑ ∆Ε ΧΛΑΣΕ Ν° 02
01. Σι:
Φ = {(5; 3), (4; α + 4β), (8; 3), (4; 2α − 3β)}
Ρεπρεσεντα υνα φυνχι⌠ν, ελ ϖαλορ δε b
a
es:
a) 4b) 2 c) 4
1
d) 3 e) 7
02. Si: G = {(6, 4)(3, 6),(3, |x|), (x, 5)}
Representa una función su rango y dominio
son:
a) {6, -6, 5} ; {3,6}
b) {3,6,-6} ; {3; -6}
c) {4, 6, 5} ; {3, 6, -6}
d) {4, 6, 5, -6} ; {3, 6, -6}
e) {4; -6; 5} ; {3, -6}
03. A partir de: f = {(5,2)(4,1) (3,8) (7,-6)}
Hallar: f(4) + f(5) - f(7)
a) 3 b) -3 c) 9
d) 6 e) -6
04. Si: g = {(-4, 2) (5, a), (8, b), (3, 1)}
Y además: g(5) = 10; g(8) = 4.Hallar:
f(-4) + a - b
a) 2 b) 6 c) 4
d) 3 e) 8
05. Sea f = {(x, y) / y = 2x - 1}
Y además Dom f = x ∈ {-5, 2, 3, 4}
Hallar el rango de f
a) {-4, -1, 2, 3}b) {-4, 1, 2, 3}
c) {-11, 5, 3, 7} d) {-9, 5, 3, 7}
e) {-9, -3, 5, 7}
06. Dada; la función:
G = {(x, y) ∈ N x N/ y = 2x ∧ 3 ≤ x ≤ 10}
Indique uno de sus elementos:
a) (4, -8) b) (12, 6) c) (4,8)
d) (8, 4) e) (3,12)
07. Calcular el Dominio de:
f(x) = 4x2 −
a) x ∈ ℜ -<-2, 2>
b) x ∈ <-2, 2>
c) x ∈ [-2, 2]
d) x ∈ <-∞, -2> ∪ <2; +∞>
e) x ∈ ℜ+
08. Hallar el Dominio de:
2x
5x
)x(f
2
−
−
=
a) x ∈ ℜ - {-2}
b) x ∈ ℜ -{2}
c) x ∈ ℜ - {2, 5 , - 5 }
d) x ∈ ℜ - [2, +∞>
e) x ∈ {2}
09. Sea: 1x
3
2x)x(G
+
++=
.

Calcule su Dominio
a) x ∈ [2, +∞>
b) x ∈ [-2, -1]
c) x ∈ [-2, ∞> - {-1}
d) x ∈ [-2; -1>
e) x ∈<-∞, 2] - {-1}
10. Obtener el Dominio de:
3 6x5|x|)x(H ++−=
a) x ∈ <-5, 5> b) x ∈ [-5, 5]
c) x ∈ ℜ - [-5, 5] d) x ∈ ℜ - <-5, 5>
e) x ∈ ℜ - {-5, 5}
11. Dada la función:
6xx
2xx
)x(g
2
2
−−
++
=
Obtener su dominio:
a) x ∈ <-∞, -2] ∪ [3; +∞]
b) x ∈ <-2,3>
c) x ∈ [-2, 3]
d) x ∈ ℜ - [2, 3]
e) x ∈ ℜ - [-2, 3]
12. Hallar el Dominio de:
4x3x
9x
)x(f
2
2
++
−
=
a) x ∈ [1, 3] b) x ∈ [-1, 3]
c) x ∈ ℜ -{-1, 3} d) x ∈ ℜ
e) x ∈ ℜ- <-4, 1
13. Calcular el rango de:
6x
5x
)x(f
+
−
=
a) y ∈ ℜ - {6} b) y ∈ ℜ - {1}
c) y ∈ ℜ - {-1} d) y ∈ ℜ - <-5, 5>
e) y ∈ ℜ - {-6}
14. Hallar el Rango en:
6x
3x
)x(g
2
2
+
+
=
a) y ∈ ℜ - {1} b) y ∈ ℜ - {0}
c) y ∈ < - 2
1
; 1] d) y ∈ ℜ- - {-3}
e) y ∈ [ 2
1
, 1>
x
2
1x
3
)x(H +
+
a) y ∈ ℜ- b) y ∈ ℜ+ ∪ {-1}
c) y ∈ <-∞; 0>-{-1} d) y ∈ ℜ
e) y ∈ ℜ+ - {1}
16. Sean las funciones:
x2x
4
)x(g;
x1
x
)x(f
2
2
+
=
−
Luego podemos afirmar:
a) Presentan el mismo Rango
b) Sus Rangos se diferencias en un valor
c) f(0) = g(0)
d) f(1) = g(1)
e) Hay 2 correctas
17. Obtener el Rango en:
f(x) = x2 + 5x +7
a) y ∈ [5,7] b) y ∈ [4/3 , +∞ >
c) y ∈ [3/4; +∞-> d) y ∈ <-∞: 4/3]
e) y ∈ <-∞; 4/3>
H(x) = 2x2 - 4x +5
a) y ∈ <3; +∞> b) y ∈ [0,3]
c) y ∈ <-∞, 3> d) y ∈ ℜ - <-∞, 3>
e) y ∈ ℜ
19. Obtener el Rango en:
f(x) = x3x3 ++−
a) y ∈ [2, 3 2 ]
b) y ∈ [2, 6 ]
c) y ∈ [ 6 , 2 3 ]
d) y ∈ [0, 6 ]
e) y ∈ [2, 2 3 ]
20. Dada la función:








++
=ℜ∈=
1x2x2
x
y/)y,x(F
2
2
2
Indique la suma de sus valores extremos:
a) 2 b) 1 c) 0
d) -1 e) 3
21. Sea:
f(x) = 3x
5x2
+
+
; 3 ≤ x ≤ 5
Hallar el rango
a) <3,5> b)






6
1
;
8
1
c) [4, 6]
d) [11; 15] e)






8
15
;
6
11
22. Hallar el Rango de: f(x) = x2 - 6x 10
Si su dominio está dado por: x ∈ [-2, 1>
a) <4, 25] b) <5, 26] c) [-5,-2>
d) °
−ℜ
e) °
+ℜ
23. ¿Qué gráficos representan funciones?
I)
x
y
II)
x
y
III)
x
y
IV)
x
y
V)
x
y
a) Sólo I b) I y II c) Sólo II
d) I y III e) Todos
24. Del gráfico:
x
y
-4
-5
8
9
f(x)
Obtener el dominio de f(x)

a) x ∈ [-5, 9] b) x ∈ [-5, 9>
c) x ∈ [-4; 8> d) x ∈ [-4, ∞>
e) x ∈ [-4, 8]
25. Graficar: g(x) = x + 2
a)
x
y
b)
x
y
-2 2
c)
x
y
d)
x
y
2
2
e)
x
y
2
26. Graficar: h(x) = 5 - x2
a)
x
y
b)
x
y
5
-5
c)
x
y d)
x
y
5
e)
x
y
27. Graficar: f(x) = x |x|
a)
x
y
b)
x
y
c)
x
y
d)
x
y
e)
x
y
28. Grafique: 5x
10x3x
)x(f
2
−
−−
=
a)
x
y
b)
x
y
5
c)
x
y
d)
x
y
5
c)
x
y
29. Del gráfico:
x
y
5
4
-4
-3
Hallar f(-4) + f(4)
a) -2 b) 2 c) 1
d) 3 e) 6
30. Dada la función: f(x) = ax2 + 2x +3 ; a ≠ 0
Si: f(xo) ≤ f(x) ∀ x ∈ Dom f. Hallar “xo”
a) a-1 b) -a-1 c) -1
d) - 3
3
e) 3 / 3
TAREA DOMICILIARIA N° 02
01. Hallar el rango de:
G(x) = x3x3 +−−
a) [0, 6] b) [0, 6 ] c) [2, 6 ]
d) [ 2 , 3 ] e) [-2, 6 ]
02. Del problema anterior:
Si los radicales estuvieran multiplicándose,
¿Cuál sería el Rango?
a) y ∈ ℜ- b) y ∈ ℜ+ c) y ∈ [0,3]
d) y ∈ [0, 3 ] e) y ∈ [ 2 , 3 ]
03. Sea:
f(x) = {(3,3) (4,4) (5,5) (1,1)}
Su gráfica es:

a)
x
y
b)
x
y
c)
x
y
d)
x
y
e)
x
y
04. De g(x) = 3x +5 , x ∈ <2, 6>
Hallar su Rango:
a) <11, 18> b) <0, 23> c) [11, 8]
d) <11, 23> e) [11, 23]
05. De H = {(2, 6), (5, 4) , (6, 3) ,(9, 1)}
Hallar: f(2) + 2f(5) + 3f(6) - f(9)
a) 19 b) 17 c) 22
d) 24 e) 23
06. Hallar el dominio de:
g(x) = 6x
3
5x
−
+−
a) x ∈ ℜ - {6} b) x ∈ {6}
c) x ∈ <-∞, 5> d) x ∈ ℜ
e) x ∈ [5, +∞> - {6}
07. Obtener de Dominio de: 2x
6x5x
)x(F
2
−
+−
=
a) x ∈ {2} b) x ∈ ℜ - {-2}
c) x ∈ ℜ - {-1}d) x ∈ ℜ - {2}
e) x ∈ ℜ - {1}
08. Calcular el Dominio de:
G(x) = 6x4x +++
a) x ∈ [-6, +∞>b) <-∞, -4]
c) x ∈ <-∞, 4] d) x ∈ <-∞, -3]
e) x ∈ [-4, +∞>
09. Halle el Rango: f(x) = x2 - 5x +2
a) <-∞, 17] b) <-∞,2] c) <-∞, 3]
d) y ∈



>∞+
−
;
4
17
e) ℜ
10. ¿Qué gráfica no representa una función?
a)
x
y
b)
x
y
c) d)
e)
x
y
11. Hallar Df ∩ Rf . A partir de:
6x
2x
)x(f
−
+
=
a) ℜ - {6, 1} b) ℜ - {1} c) ℜ - {6}
d) [1,6] e) <1, 6>
12. Hallar el Rango: 2x
3x
)x(f
2
2
−
+
=
a) y ∈ ℜ+ b) y ∈ ℜ - <-3/2; 1]
c) y ∈ ℜ - [-3/2, 1> d) y ∈ [-3/2, 1>
e) y ∈ <-3/2, 1>
13. Si: f = {(3,5) (2,6) (3, a - b) (2, a - 1)}
Es función, Hallar: a + b
a) 8 b) 5 c) 9
d) 7 e) 10
14. Graficar: f(x) = 3x + - 5
a)
x
y
b)
x
y
-3
c)
x
y
d)
x
y
c)
x
y
15. Graficar: G(x) =x2 - 10x + 28
a) b)
x
y
c) d)
x
y
e)
y
x

16. Hallar el dominio: f(x) = x + x
1
a) x ∈ ℜ- b) x ∈ ℜ c) x ∈ ℜ+
d) x ∈ ℜ-o e) x ∈ ℜ+ - {0}
17. ¿Qué gráfica no representa función?
a) b)
x
y
c) d)
x
y
e)
x
y
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) I y II e) II y III
18. Graficar: g(x) = 2x2 + 4
a) b)
x
y
c) d)
x
y
e)
19. Graficar: f(x) = 4x
12xx2
−
−−
a) b)
4
-4
y
x
c) d)
3 3
4
y
x
d)
-3
4
20. Graficar:
4x
)2x)(2x)(9x(
)x(H
2
2
−
−+−
=
a) b)
y
x
-9
9
c) d)
y
x2-2
y
x
9
e)
-4
y
x
4
01. Si:
F = {(1; 3) (2; 5) (0; 2)}
G = {(3; 2) (-1; 0) (2; 10)}. Hallar:
)3(G)1(F
)))1(G(F(G)))1(F(G(F
+
−+
a) 3b) 2 c) 1
d) 0 e) -1
02. Si:





≥
<<−
≤
=
3x;3
3x2;1
2x;2
F
Hallar: E = F(3) + F(2) + F(5/2)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
03. Hallar m. n sabiendo que:
F= {(3; 4); (2; 1) (3; m-n); (2; m-4n); (mn; n2)}
Es una función:
a) 4 b) 10 c) 6
d9 5 e) 8
04. Dado: F: A → B
1
2
3
1
2
3
F
A B
Si: F(1) + F(2) + F(3) = 0, hallar:

a) 3 b) -3 c) 2
d) 6 e) 1
05. Determine el rango de “F” si
1x
1
)x(F
2 +
=
a) [0; 1] b) ]-1; 1[ c) [-1; 0]
d) ]0; 1] e) ]-1; 0[
06. Calcular la suma de los valores enteros de la
siguiente función:
4x
1x
)x(F
+−
−
=
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 10
07. Sea la regla de correspondencia de una
función:
F(x) = x2 - 2x - 1 / x ∈ [-2; 5[
Hallar el rango de dicha función
a) [7; 14[ b) [-2; 14[ c) ]7; ∞[
d) ]-7; 7[ e) ]-14; 14[
08. Si: 18x4x)x(F 2 +++=
.
Podemos afirmar que:
a) DF = [O; ∞[ b) RF = [3; ∞[
c) RF = [0; ∞[ d) DF = R - {-2}
e) RF = [1+2 2 ; ∞[
09. La gráfica de: F(x) = 3x − es
aproximadamente:
a) b)
xx
y y
c) d)
xx
y y
e)
x
y
10. Siendo la gráfica de F(x) = x2
y
x
y = x 2
Hallar el rango de G(x) = x2 + 3
a) R b) R+ c) R-
d) ]-3; ∞[ e) [3; ∞[
11. Indicar qué funciones son idénticas:
I.
2x
x
)x(F =
x
1
)x(G =
II. x
x
)x(G
2
=
G(x) = x
III. F(x) = x G(x) =
2x
a) Sólo I b) Sólo IIc) I y II
d) I y III e) Todas
12. Hallar el dominio y el rango de:
F(x) = x2 - 6x + 8. e indicar DF - RF
a) ]1; ∞[ b) [-1; 1] c) ]- ∞; -1[
d) ]-1; ∞[ e) ]-1; 1[
13. Sea “F” una función constante , tal que:
10
4)1(F
)7(F)5(F
=
−
+
. Hallar:
)0042(F
)0022(F)0002(F
E
+
=
a) 1 b) 2 c) 5
d) 10 e) Absurdo
14. Encontrar una función lineal “F” tal que:
F(2) = 3 y F(3) = 2F(4)
a) F(x) = x + 2 b) F(x) = 3x + 6
c) F(x) = 2x + 3/2 d) F(x) = x/2 + 2
e) F(x) = -x + 5
15. Sean F y G dos funciones definidas en Q por:
F(x) ≡ ax - 1; G(x) ≡ 3x + b
Tales que: F (1) = G (-1); F (-1) = G (1)
Entonces: F (2) + G (3) es igual a:
a) -2 b) -1 c) 0
d) 1 e) 2
16. La gráfica de la función:
cbxx
3
2
y 2 ++=
intercepta al eje “x” en los
puntos (-2; 0) y (5; 0) y al eje “y” en el punto
(0; k). Hallar el valor de (b - c + k)
a) 23/5 b) -23/5 c) -46/3
d) 46/3 e) 50/3
17. Dada la función cuadrática: F(x) = ax2 + b
cuya gráfica se muestra, calcular abc
x
y
-2 C
-24
-9
-4
a) -20 b) 20 c) -24
d) 18 e) -12
18. La gráfica de F es aproximadamente:
x
y
Parábola
Si F(x) ≤ F(-8) ∀ x ∈ R, hallar la media
geométrica de los valores de t, al resolver F(2
- T) = 0
a) 6 b) 4 c) 5
d) 8 e) 3
19. Dada la función polinomial:
F(x) = ax7 + bx3 + cx - 5; ∀ a, b c ∈ ℜ
Si: F(-7) = 7, hallar el valor de F(7)
a) -7 b) 14 c) 21
s) -17 e) No se puede determinar
20. Sea F: ℜ → R; F(x) = ax2 + bx + c;
cuya gráfica se da en la figura. Hallar el
conjunto solución de (9 - x2) F(x) < 0

24
F
a) ]-4; 3] ∪ [2; 3] b) ]-4; -3[ ∪ ]2; 3[
c) ]-4; 3[ d) ]-∞; 4[ ∪ ]3; ∞[
e) ]-4; -3[ ∪ ]3; ∞[
TAREA DOMICILIARIA
01. Sea la función F tal que:
F = {(2; 5); (3; a2); (2; a + b); (3; 4); (b; 5)}
Hallar: “ab”
a) 14 b) 6 c) -6
d) -14 e) 21
02. Si F representa a una función dada por:
F= {(3; 7a + 2b); (2; 5); (2; a + 2); (3; 5b-2a)}
Diga cuál de los conjuntos son también
funciones:
P= {(a; b); (b - a; 5); (5; b - a); (a+b; 5)}
Q={(3; b); (b; 3); (3; 8); (9; 2a - b)}
R= {(3; 5); (9; 7); (b; a); (5a; 3b)}
a) P y Q b) Sólo P c) sólo R
d) Q y R e) P y R
03. Indicar el dominio de:
)5x(x)x(F −=
a) ]-∞; 0] ∪ [5; +∞[ b) ]- ∞; 0[ ∪ [5; +∞[
c) ]- ∞ ;0] ∪ ]5; +∞[ d) ]- ∞;2] ∪ [5; +∞[
e) ]- ∞; 0] ∪ ]2; +∞[
04. Sea: nx
n
)x(F
2 +
=
, n constante positiva,
hallar el rango de “F”
a) [0; 1] b) ]- ∞; 0] ∪ ]1; +∞[
c) ]- ∞; 0[ ∪ ]1; +∞[ d) [0; n]
e) ]0; 1]
05. Hallar el rango de la siguiente función:
2x
x4x
)x(F
3
+
−
=
a) ℜ b) [1; +∞[ c) [-1; +∞[
d) ℜ - {-2} e) ]1; ∞[
06. Con respecto a la función:
}
x
1
xy/R)y;x{(F 2 +=∈=
Podemos afirmar que:
a) Dom(F) = ℜ
b) Ran(F) = ℜ -{0}
c) Dom(F) = ]0; +∞[
d) Ran(F) = [-2; 2]
e) Ram(F) = ℜ - ]-2; 2[
07. Con respecto a la función:






−
−
=∈=
1x2
3x4
y/R)y;x(F 2
No es verdad que:
a) Dom(F) = ℜ - {1/2}
b) Ran(F) = ℜ - {2}
c) (0;3) ∈ F
d) (1;1) ∈ F
e) Ran(F) = ℜ - {1/2}
08. Determine el rango de la función de variable
real con regla de correspondencia es:
15xx24)x(F 2 +−+=
a) ]4; 12] b) ]0; 8] c) [0;8[
d) [4; 8] e) ]4;8]
09. Determine el rango de:
1xx
x4
)x(F
2 ++
=
a) ]-3; 3[ b) R - [-4; 3
4
]
c) ]-∞; -2[ ∪ ]2; +∞[ d) R
e) [-4; 3
4
]
10. Se tiene la función definida en Z, cuya regla
de correspondencia es:



<+
≥−
=
100x));5x(F(F
100x;3x
)x(F
Calcular el valor de F(97)
a) 96 b) 97 c) 98
d) 99 e) 100
Si b es un número real positivo distinto a la
unidad , se llama función logarítmica en base b a
aquella función que tiene por dominio al conjunto
de los números reales positivos, cuya regla de
correspondencia viene dada por:
xlog)x(F b=
Es decir:
{ }++ ∈∧≠∧∈== Rx1bRb;xlogy/)y;x(F b
Frecuentemente a la función logaritmo en base b
se le define como la función inversa de la función
exponencial de base b.
LOGARITMO
“Se denomina logaritmo de un número real
positivo al exponente al cual será necesario
elevar una base positiva y diferente de la
unidad para obtener como resultado una
potencia igual al número propuesto”
Notación:
xlogy b=
................................
( I )
Donde: y = logaritmo ( y ∈R)
x = número propuesto )Rx( +∈
b = base )1bRb( ≠∧∈ +
De acuerdo con la definición de logaritmo y
de la notación (I), se puede establecer que:
xby = ........................................( II
)
Si se sustituye (I) en (II) se obtendrá la
siguiente igualdad fundamental:
xb xlogb = Esto equivale a simplificar b con
blog
Ejemplo: De acuerdo con la definición de
logaritmo, podemos establecer:
2 3= entonces,
3
log8 : =
2
81) Como:
Esto se lee así: “3 es el logaritmo de 8 en
base 2”

3 3= entonces,-3 log: - =
3
2) Como: 1
27
1
27
Esto se lee así: “- 3 es el logaritmo de 27
1
en base 3”
PROPIEDADES GENERALES DE LA FUNCION
LOGARITMICA
1. En el campo de los números reales no
existe el logaritmo para números
negativos.
2. Si la base b está comprendida entre cero y
uno (0 < b< 1) los números comprendidos
entre cero y uno tienen logaritmos
positivos y los logaritmos de números
mayores que uno serán negativos.
3. Si la base b es mayor que uno ( b > 1), los
números comprendidos entre cero y uno
tienen logaritmos negativos y los
logaritmos de números mayores que uno
serán positivos.
4. El logaritmo de la unidad es cero.
1bRb01logb ≠∧∈∀= +
5. El logaritmo de la base es uno.
1bRb1blogb ≠∧∈∀= +
PROPIEDADES OPERATIVAS DE LOS
LOGARITMOS
A) Logaritmo de un Producto:
+∈∀≠∧>∀ Rx,x;1b0b 21
2b1b21b xlogxlog)x.x(Log +=
Ejemplo: 15LogT 8=
, podríamos expresarlo
como:
5log3log)5.3(logT 888 +==
B) Logaritmo de un Cociente:
+∈∀≠∧>∀ Rx,x;1b0b 21
2b1b
2
1
b xlogxlog)
x
x
(Log −=
Ejemplo:
)
2
17
(logT 5=
, podríamos
expresarlo como:
2log17logT 55 −=
C) Logaritmo de una Potencia:
Qn;Rx;1b0b ∈∀∈∀≠∧>∀ +
xlognxlog b
n
b =
Ejemplo:
Reducir:
3
7
5
2
4
3 7log2log3logT +−=
Por la propiedad:
( ) ( ) ( )7log32log53log4T 723 ++=
)1(3)1(5)1(4T ++=
T= 4+5+3 12T =∴
D) Podemos elevar a una misma potencia a
la base y al número, y el logaritmo no
varía.
Qn;Rx;1b0b ∈∀∈∀≠∧>∀ +
n
bb xlogxlog n=
Ejemplo: Para 16log9 tenemos:
256log16log16log 81
2
99 2 ==
, o también
4log16log16log 399 ==
* Corolario : n
m
blog m
bn =
E) Cambio de base:
Permite expresar el logaritmo de un número x
en base b en otra base m, según la fórmula:
log
b
x =
log
m
x
log
m
b
⇒ blog
m
x log
b
x log
m= .
Incógnita
Dato
Dato
Ejemplo: Expresar 5log3 , en base 2
De acuerdo con la 1ra. Fórmula :
3log
5log
5log
2
2
3 =
Ejemplo: Expresar
3log7 en base 7
Según la 1ra. Fórmula:
7log
3log
3log
3
3
7 =
, es decir: 7log
1
3log
3
7 =
PROPIEDAD: El logaritmo de un número x
en base b es igual al inverso del logaritmo de
b en base x.
blog
1
xlog
x
b =
REGLA DE LA CADENA
Es una relación matemática que permite
multiplicar logaritmos dispuestos en la forma.
elogelog.dlog.clog.alog bdcab =
Ejemplo: Calcular el valor de x de la igualdad :
532log.7log 7x =
Aplicar la regla de la cadena en el primer
miembro es equivalente a hacer simplificaciones
sucesivas, tal como se indica:
532log.7log 7x =
Después de simplificar cuidadosamente, nos
queda:
532logx =
Por definición de logaritmo se debe establecer
que:
32x
5
=
De donde : x = 5
Observaciones: Para la resolución de algunos
ejercicios pueden ser útil tener en cuenta las
siguientes relaciones.
I) Si:
212b1b xxxlogxlog =⇒= 



≠∧>
∈∀
+
1b0b
Rx,x 21
II)
alogclog bb ca =
SISTEMAS DE LOGARITMOS
Un sistema de logaritmo de base b, es el conjunto
de todos los logaritmos de los números reales
positivos en base b, tal que b > 0 1b ≠∧
Ejemplo: Para los conjuntos:
{ }+∈=∈= Rx;xlogy/RyA 2
{ }+∈=∈= Rx;xlogy/RyB 8,0
Tenemos: A : Es un sistema de logaritmos en
base 2
B : Es un sistema de logaritmos en
base 0,8

Es fácil deducir que así como existen infinitas
bases; existen también infinitos sistemas de
logaritmos de entre los cuales los de mayor uso
son dos.
A) SISTEMA DE LOGARITMOS DECIMALES
También llamados logaritmos vulgares o
logaritmos de Briggs, es el sistema que tiene
como base al número 10, es decir:
{ }+∈=∈= Rx;xlogy/RyA 10
Notación utilizada: xlogxlogy 10 ==
Lectura: y= log x: logaritmos del número x
B) SISTEMA DE LOGARITMOS NATURALES
También llamado sistema de logaritmos
neperianos, en honor a su inventor Jhoan
Napier, es el sistema que tiene como base al
número irracional: e= 2, 718 281 82....
Notación utilizada: xlnxlogy e ==
Lectura: y= ln x: logaritmo natural del
número x
C) FORMULAS DE CONVERSION
I. Conversión de logaritmos naturales en
decimales.
log x = 0,4343 ln x
Dato
Icógnita
II.Conversión de logaritmos decimales en
naturales.
x = 2,3026ln x
Dato
Icógnita
log
COLOGARITMO Y ANTILOGARITMO
COLOGARITMO
Se llama cologaritmo de un número de una
base dada al opuesto (negativo) del logaritmo
de dicho número, es decir:
xlogxlogCo bb −= 



≠∧>
∈∀ +
1b0b
Rx
ANTILOGARITMO
Llamada también exponencial, se define así:
x
b bxloganti = 


≠∧>
∈∀
1b0b
Rx
Ejemplo: Reducir:
  
)5,0(loganti4logCoT 42 +=
Por las definiciones:
5,0
2 44logT +−=
2
1
2
2 42logT +−=
Por propiedad:
4)2(log2T 2 +−=
2)1(2T +−=
T = 0
RELACIONES ENTRE OPERACIONES:
Colog ; antilog y log
I. x)x(logloganti bb =
II. x)xloganti(log bb =
III. x)xloganti(logco bb −=
GRAFICA DE LA FUNCION LOGARITMICA
CASO I:
Si : 0 < b < 1
Para este caso la gráfica de la función logaritmo
es como se muestra; de donde se pueden apreciar
las siguientes propiedades:
I)
∞−∞=∞= ;)F(Ran;;0)F(Dom
Esto significa que la curva está situada
siempre a la derecha del eje de las ordenadas
(eje Y)
II) F es univalente (inyectiva) en todo su
dominio.
Esto significa que tiene inversa.
III)Intercepta al eje X en (1; 0)
Esto significa que el punto: (1; 0) ∈ F
IV)La función es decreciente en todo su dominio
,Fx,x 21 ∈∀
si: )x(F)x(Fxx 2121 >⇒<
V) Si x crece ilimitadamente, F(x) decrece
ilimitadamente.
VI)Si x se aproxima cero, F(x) crece
ilimitadamente.
F(x2
)
Y
x2 X1x1
F(x )
y=x
1F:y=bx
F-1: y = log
b
x
1
CASO II
Si : b > 1
La gráfica de la función es como la mostrada en
la figura
De donde podemos apreciar las siguientes
propiedades:
I)
∞−∞=∞= ;)F(Ran;;0)F(Dom
, la curva
está situada siempre a la derecha del eje de las
ordenadas (eje Y)
II) F. es univalente (inyectiva) en todo su
dominio por lo tanto tiene inversa.
III)Intercepta al eje X en (1; 0) es decir el punto
(1; 0) ∈ F
IV)La función es creciente en todo su dominio:
Fx,x 21 ∈∀
, Si: )x(F)x(Fxx 2121 <⇒>
V) Si x crece ilimitadamente, F(x) crece
ilimitadamente.
VI)Si x se aproxima a cero F(x) decrece
ilimitadamente.
y=x F( x )1
x1
1 x2 X
Y
1
F( x )2
F: y =log
bx
F: y = b
x
LOGARITMOS DECIMALES
Reciben este nombre todos aquellos logaritmos de
base 10 como por ejemplo:
xlogy =
, donde: x=
y10
Es fácil deducir que si “x” es una potencia exacta
de 10, es decir de exponente entero, su logaritmo

“y” decimal, es también un número entero; en
cambio si “x” es una potencia de exponente
fraccionario de 10, su logaritmo decimal “y” será
también un número fraccionario.
Ejemplo:
210log100log 2 ==
310log001,0log 3 −== −
4
1
10log10log 4
1
4 ==
Si “x” no es una potencia racional de 10, su
logaritmo es un número irracional.
Observación: Dentro del cálculo logarítmico , es
frecuente usar logaritmos de 2 y 3 ya que
conociendo a estos, y con el auxilio de las
propiedades de los logaritmos, se podrán conocer
los logaritmos de todos
los números compuestos por ellos.
I) log 2 = 0, 30103
II) log 3 = 0, 47712
A) FORMA GENERAL DE UN LOGARITMO
DECIMAL
MANTISA,TICACARACTERISxlog =
∀x > 0
Donde la característica y la mantisa se
definen de la siguiente manera:
I) Característica .- Es la parte entera del log
x; ésta puede ser positiva o negativa y se
puede calcular mediante reglas sencillas.
II) Mantisa .- Es la parte decimal del log x, y
se calcula mediante tablas.
B) DETERMINACION DE LA
CARACTERISTICA
Considerando al logaritmo de x: log x, se
distinguen dos casos para determinar su
característica, la misma que se calculará
teniendo en cuenta las siguientes reglas:
I) Si x > 1 ⇒ log x > 0
La característica en estos casos es positiva e
igual al número de cifras de la parte entera de
x disminuido en uno ( 1 ).
Ejemplo : log 457
log 2 457,29
,
,
la característica es
3
4 1
1=
=-
- 2
3:
:
II) Si 0 < x < 1 ⇒ log x < 0
La característica en estos casos es negativa e
igual al número de ceros que suceden a la
primera cifra significativa de x incluyendo al
cero ubicado a la izquierda de la coma
decimal.
Ejemplo : log 0,000923
log 0,0089
,
,
-4 =
=-3
4
3:
:
Observación .- la expresión 091176,3
indica que
solo la parte entera es negativa, es decir, no debe
confundirse con: - 3,176 091.
Si se desea saber el valor de 091176,3
, se deberá
efectuar así: - 3 + 0,176 091 = - 2,823 909
PRÁCTICA DE CLASE
01.La igualdad:
xlogaax =
Se cumple si y sólo si:
a) a > 0 ; x ∈ R
b) a > 1 ; x ∈ R - {0}
c) a ≠ 1 ; x > 0 ∧ a > 0
d) a ∈ R - {1} ; x ∈ R - {0}
e) a > 1 ; x > 0
02. Calcule:
169Log64Log216LogE 1386 ++=
a) 5 b) 7 c) 9
d) 11 e) 3
03.Con los siguientes datos: Log 2 = a y Log 3
= b
Hallar: Q = Log 72
a) 2b + a b) a - 2b c) 3b - 2a
d) 2b + 3a e) 3 - 2a
04.Hallar el valor de :
P =
37log
72log
5 2log
9 5log
a) 2 b) 4 c) 1/4
d) 1/2 e) N.a.
05.Simplificar :
M = log94 . log53 . log725 . log2 49
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
06.Calcular “α” en :
α = (log tan 1° ) ( log tan 2° ) ( log tan
3°) .......
(log tan
89°)
a) log tan 89! b) 1 c) 0
d) -1 e) [log tan 89° ]89
07.El valor de “x” diferente de L que verifica :
log x2 = ( log x )2, es :
a) 10 b) 2 c) 100
d) 0,1 e) 0,01
08.A partir de la igualdad :
5log
32
)2x(
7
log =
−
Indicar el valor de “x”.
a) 48 b) 51 c) 55
d) 58 e) 16
09.Halle el mayor valor de “x” en la igualdad :
25
11
2
11 log)21x7x(log 35 =
+−
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
10.Resolver y hallar “x” en la ecuación
15log
10log
1
10log
1
)1x()3x(
=+
++
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11.Determinar “x” a partir de : 3x = 5
a) x = log5 3 b) x = log35
c) x = 3log 5 d) x = 5log 3
e) x = log 1/35
12.Obetener el valor reducido de :
A = Antilog








+
−
3logCo75log
2logAnti8log2
55
32
a) 10 b) 10 c) 100 10
d) 10 10 e) 1
13.Hallar “x” en:
4)3x2(LogLog 524 =−
a) 10 b) 14 c) 6
d) 2 e) 4

14.Calcular:
43Log
74Log
75Log
3
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 7
15.Calcular:
3Log
4Log
5Log
3Log
4Log
2Log
a
c
c
b
b
a
5




























a) 2 b) 25 c) 5
d) 1/5 e) 125
16.Calcular:
3LogxLog aa x73 +
si se sabe que:
aLog32x =
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
17.Reducir:
cLog1
1
bLog1
1
aLog1
1
abacbc +
+
+
+
+
a) ½ b) abc c) a + b + c
d) ab + ac + bc e) 2
18.Calcular:
81LogLog25,0 35,0
9logCo 16 +
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
19.Calcular:
2logco
325.0
779Logloganti2Log −
++
a) 2 b) 8 c) 4
d) 0,5 e) 0,25
20.Señalar la menor raíz de la ecuación:
17
10
103.100
xLog
10LogxLog
=
+
a) 2/3 b) 2/5 c) 3/2
d) 5/2 e) 5
21.Hallar “x” en:
Lnx3Lnx2Lnx1 233 +++ =+
a) e b) e2 c) e-1
d) e e) e/2
22.Luego de resolver:
13Lnx Lnx42Lnx =+
señalar el producto de sus soluciones
a) e4 b) e7 c) e6
d) e8 e) e13
23.Si: 2a4Logy3bLog ba ==
, indicar el valor
de “b”
a)
5 82
b)
5 22
c)
3 24
d) 2 e)
3 22
24.Resolver:
Loga64 Logxa = 3
a) 2 b) 8 c) 6
d) 4 e) 5
25.Al resolver la ecuación:
( ) 25x
2
x 4xlog =+
podemos afirmar:
a) Admite como solución a la unidad
b) Se verifica para x = -9
c) Su C.S. = {-9; 1}
d) Es inconsistente
e) Es indeterminada
26.El valor de :
M =
26log24log23log 55332 2 +++ ++
; es :
a) 198 b) 190 c) 187
d) 202 e) 1181
27.El equivalente de :
Q =
34log
9 8log16
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32
28.Sabiendo que :
5,0)23(alog
3 2
a =



 −
Obtener el valor de :
5,0)23(alog 4
a =



 −
a) 0,8355 b) 0,9375 c) 0,5724
d) 0,7218 e) 0,6521
29.Calcular :






9
1
25
15 Log
+ 25,0logAnti
9log 8logCo
0,5
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
30.Hallar “x” en :
2xLog −
3
5
logAnti
3logAnti
2 = 3
31.Hallar “x” en :
xlogAntilogCo
10logLog
3
= Colog
x
x
a) 1/5 b) 1/3 c) 2/3
d) 2/5 e) 3/5
32.Si :
yx =
1010 ………… (1)
xlogy
=
2510 ……… (2)
Calcular (x - y) .
a) 10 b)
210 c)
310
d)
410 e) N.A.
33.Encontrar el dominio de la función F definida
por:
F(x) = ( )( )x23log 3x4 −−
a) < 4
3
; 3
2
> b) <0; 2
3
> c) < 2
1
; 2
3
>
d) < 4
3
; 4
5
> e) < 4
3
; 2
3
> - {1}
34.En la figura C representa una función
logarítmica y L una función lineal. Hallar la
suma de las coordenadas en el punto P.
L
P
C
4
x
a
4
1
-1
-2a
y
a) 2
3
b) 3
2
c) 1
d) 2
1
e) 2

35.Del siguiente gráfico :
recta
Q
Curva
xa
45°
y
Logarítmica
O
2a; -
2
1
Calcule el segmento OQ
a) 2µ b) 2
1
µ c) 2 µ
d) 2
1
µ e) 1µ
01.Calcular : 77
logE =
(
7
7
)
a) 1 b) 7
c) 7
d) 2
7
e) 2
7
02.El valor :
100
aa
log
a .
3 10
b blog
es :
a) 100 b) 1000 c) alog
100
d) 10 e) blog
100
03.Calcular log y si :
y = 2
log 4
2
loganti 6
2
logco
8
a) - 3 log 3 b) 2 log 3 c) - 2 log 3
d) 3 log 2 e) No existe en R
04.De las proposiciones siguientes :
1,0logco
1000 000 = 6
log 1000logco 1000loganti
(-1) = 0
Los logaritmos de números reales positivos
son siempre positivos.
Es falso que en ningún caso se cumple que :
log x + log y = log(x+y)
¿Cuántas son falsas?
a) todas b) 3 c) 2
d) 1 e) Ninguna
05.Siendo : a > 1 ∧ b > 1, reducir :
E =








alog
abloglog
ab
a) a b) b c)
ba
d)
ab e) ab
06.Siendo a + b > 0, reducir :
L =
( )
( )baloglog1
baloglog
39
18
93
++
+
a) 2 b) 2
3
c) 1
d) 2
1
e) 4
1
07.Siendo : {a; b; c; x; y} ⊂
+
R - {1}
reducir :
L =
x
log
y
y
log abc
y
xlog
xlog
yx
x
x
abc










a) y
x
b) x
y
c) 1
d) xy e) ( )xyabc
08.El equivalente de :
E =
( ) ( )e3log1
1
30Ln1
1
e10log1
1
3 +
+
+
−
+
es :
a) 1 b) log 3 c) Ln 10
d) Ln 30 e) log (3e)
09.Resolver la ecuación logarítmica :
xlogx =
2
4
x
10








y dar el producto de sus soluciones :
a) 100 b) 10 c) 0,1
d) 0,01 e) 1
10.Resolver :
x
x
x
x xlog 




=
2x
2x
−





a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
11.Resolver :
3
x
log
9
= 27 x
Dar la menor de sus soluciones :
a) 3 b) 3
1
c) 9
1
d) 27
1
e) 81
1
12.Hallar una solución de la ecuación :
x
1
xlog
4log
xlog
4
x
4
=








a)
22 b) 4 c)
24
d) 16 e)
242
13.Una solución de la ecuación :
( )
3
1x2log
x6x54log2log 2
=
−




 −−+
es :
a) 2
1
b) 2
3
c) 2
d) 2
5
e) Ecuación Absurda
14.Resolver :
( ) ( )3xlog1xlog
2
1
2
1 −−+
= 1
a) 5 b) 7 c) 4
d) - 5 e) No tiene solución
15.Hallar el valor de “x” en la ecuación :
1x
xlog
−
= 2x log 3
a)
1
3−
b)
2
3−
c)
3
3−
d) 3 e)
2
3
16.Resolver : }
xlog
xlog
4
2
2
xlog
xlog6







 −
= 1
a) 4
1
b) 2
1
c) 2
d) 4 e) 8

17.Resolver :
( ) 1
3x3xlog
4xlog1
2
2 =




 −−+
−+
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
18.Resolver :
5,0xlog
xloglogco
x
8
88
=




a) 9
1
b) - 9
1
c) 3
1
d) - 3
1
e) Absurdo
19.Calcular el valor de :
E =
3log2 . 3log6 +
2log3 .
2log6
- 6log3 .
6log2
a) 3
1
b) - 3
1
c) 3
d) - 3 e) 0
20.Sabiendo que : log log log x = 1 + log 2
Calcular :
xlogloglogR =
a) 10 b) 2
10
c) 2
1
d) 2
2
e) 2
PRÁCTICA DOMICILIARIA
01. Hallar:
2Log
4Log100
a) 1/2 b) 2 c) 1
d) 4 e) N.a.
02. Resolver:
1x49 )7x(Log9 +=+
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 1/2
03. Hallar un valor de “x” en:
4)x(Log xLog
5
5 =
a) 0,04 b) 5 c) 0,4
d) 0,2 e) 0,02
04. Halle un valor aproximado de “x” si:
Log2 = 0,3 y Log3 = 0,47
2x = 24
a) 3,5 b) 4,5 c) 2,5
d) 5,5 e) 6,5
05. El valor de “b” que satisface la siguiente
igualdad: 2
3
125Log 4
b =
es:
a) 1/5 b) 3 c) 5
d) 5 e) 25
06. Indicar el valor de “n” en:
1n5x )1n(Log2 x −=+
a) 3 b) 2 c) 5
d) 4 e) 6
07. Sabiendo que: Log3300 = m
Calcule: Log3
a) m + 1 b) 2/m c) 2/(m+1)
d) 2/(m-1) e) m2
08. Calcular el producto de las raíces de la
ecuación:
6xxLog LogxLog2 x =+
a) 105 b) 10-2 c) 10-3
d) 10-4 e) 10-1
09. Si: Logmnm= 4; Calcular: n
m
Log
3
mn
a) -3 b) 13/12 c) 17/6
d) 4/3 e) 17/16
10. Hallar el valor de:
2LogLogLogLog
28
9
416
a) -1/4 b) -1/8 c) -1/2
d) 1/4 e) 1/8
11. Resolver: Log2Log3Log2Log3x = 0
a) 1 b) 3 c) 243
d) 6 561 e) 1 024
12. Resolver:
)1x)(7x(125Log.8Log 2
1x
5 ++=+
a) C.S. = {-1} b) C.S. = {2}
c) C.S. = {2; 3} d) C.S. = {-1;2]
e) C.S. = {-7; 2}
13. Si: F(x+Logx)= x - Logx. Hallar: F(11)
a) 2 b) 3 c) 7
d) 9 e) 11
14. Considerando a > 1 indique el menor valor de
“x” que cumple:
2
aaa xLog4LogxLog a3aa =+
a) 1/2 b) -1/2 c) 1
d) -1 e) 4/3
15. Indicar la menor solución de:
2
)1x(Log41
5
)1x(Log45
1
=
++
+
+−
a) 8 b) 9 c) 10
d) 10 +1 e) 10 -1
16. Reducir:
7Log.2Log214Log
7Log2Log
55
2
5
2
3
2
3
−
+
a) Log 6 b) Log 15 c) Log35
d) 1 e) Log53
17. Sean: a; b y c tres números en progresión
geométrica en ese orden
2
Logc3Loga3
Logb
−
=
Calcular la razón de la progresión
a) c b) a c) b
d)
3 c e)
2 c−
18. Indicar la suma de valores de “y” luego de
resolver:
)II.(..........yLog4x5
)I.....(....................y2
4
2
x
−=
=
a) 2 b) 1 024,25 c) 1 024
d) 4 096,25 e) 256
19. Hallar el valor de “m” si:

)]4logAnti(logCo[logAntim
885=
a) 1/5 b) 2 c) 1/4
d) 1/25 e) N.a.
20. Calcular:
3
55 2Antilo04,0logCoE +=
a) 2 b) 4 c) 3
d) 5 e) 1
AUTOEVALUACIÓN
01.CEPUNT 96: III SUMAT. AREA “A”
Al resolver la ecuación:
( ) ( ) 2Log5,0xlog6log x6x2 =+
Una de sus raíces es :
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 0
02.UNT - 96: AREA “A”
La expresión:
xLog
1
xLog
1
xLog
1
rqp
++
Es equivalente a :
a)
xLogpqr
b)
xLog.xLog.xLog rqp
c)
3
pqr xLog
d)
xLog
1
pqr
e)
3
pqr xLog
1
03.UNT - 96: AREA “A” y “B”
El conjunto solución de la ecuación:
( ) ( ) xLog82logco2loganti 4xx −=
es :
a) {-2} b) {-2 ; 2} c) {2}
d) {-2 ; 4} e) {2 ; 4}
04.UNT - 96: AREA “B”
En la expresión: N5 10Loga = ; se cumple la
siguiente relación :
1) El valor de “N” es el doble del valor de
“a”
2) El valor de “N” es igual que el valor de
“a”
3) El valor de “N” es el cuadrado del valor
de “a”
4) El valor de “N” es mayor que el valor de
“a”
5) El valor de “N” es menor que el valor de
“a”
Son ciertas:
a) 1 y 4 b) 2 y 4 c) 3 y 4
d) 5 e) N.A
05.UNT - 97: AREA “B”
El valor de “x” que satisface la ecuación:
01
x
x
Log
2
xLog
=+








es:
a)
010 b) -
010 c)
110
d) -
110 −
e)
210
06. UNT - 99: AREA “B”
Al simplificar la expresión:
x
Lnx
e
ex −
. Se obtiene:
a) -1 b) 0 c) 1
d)
xe
ex −
e)
xe−
07.UNT - 99: AREA “A”
La suma de las raíces de la ecuación:
2x15xLog 2 =



 −
es :
a) 25 b) 20 c) 15
d) 10 e) 5
08.UNT - 99: AREA “A”
El valor de x en la ecuación:
25LogxLog x5 =+
; es :
a) 1 b) 5 c) 5
d) 25 e) 125
09.CEPUNT 1999 - 2000: AREA “A”
El valor de “x” en la ecuación:




 −−+=−+ 3x3xlog)4x(log1
22
Es:
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
10.CEPUNT 2000 - I SUMATIVO AREA “A”
Al efectuar:
5162)1(
4log
2log6 ++





−
Se obtiene:
a) 19 b) 4 c) 11
d)
2/1
7 e) 7

I. PROGRESIONES ARITMETICAS (P.A.)
DEFINICIÓN: Se llama progresión aritmética o
por diferencia, a una sucesión de números, en la
cual cada término siguiente después del primero,
se obtiene sumándoles al anterior una cantidad
constante llamada razón o diferencia de la
Progresión.
Símbolos:
t1 = 1er término
tn = término de lugar “n” o último término
r = razón o diferencia
n = número de términos,
S = suma de términos
NOTACION DE UNA PROGRESION
ARITMETICA
÷ t1, t2 , t3 , ......tn-1 . tn
La razón de una P.A. se obtiene restando de un
término cualquiera su inmediato anterior.
• Si : r > 0, la P.A. es creciente
Ejemplo:
÷ 3, 8, 13, 18, i = 8 - 3 = 5 > 0
• Si: r < 0, la P.A. es decreciente
Ejemplo:
÷ 7, 4, 1, - 2,........ r = 4 - 7 = - 3 > 0
La progresión se llama limitada cuanto tiene un
número FINITO de términos,, llamándose al
primer y último término extremos.
Ejemplo
 
extremos
n21 t,.......t,t÷
:
La progresión es ilimitada cuando tiene infinitos
término:
Ejemplo: n21 t,.....t.t÷
PROPIEDADES
1. En una P.A., un término cualquiera es igual al
primer término más tantas la razón como
términos le preceden.
Tn = t1 + (n - 1) r
1.1 Una progresión aritmética se compone
de 50 términos. Si el primero es 81 y la razón
- 3. Hallar el último término.
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
1.2. Una P.A. se compone de 15 términos. La
razón es 0,5 y el último es 8. ¿ Cuánto vale el
primero?
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
1.3. En una P.A. el primer término es -6 y el último
es 30. Si la razón es 4. ¿De cuántos términos se
compone la progresión?
...................................................................
...................................................................
...................................................................
1.4 Una P.A. se compone de 6 términos el primero
de los cuales es 2 y el último es 4. Hallar la razón.
...................................................................
...................................................................
...................................................................
02. En una P.A., la suma de dos términos
equidistantes de los extremos es
constante e igual a la suma de los
extremos.
En efecto, sea la P.A. de razón “r”:
 
los extremosde
equidistantestérminos
.x

términos)1k(
nt.....c,y
+

términos)1k(
1 b.....t
+
÷ . . . . .
03. En una P.A. de un número impar de
términos, el término central es igual a la
semisuma de los extremos.
En efecto, sea P.A. de un número impar
de términos de razón “r”.
   términos"n"
n1 a...........x..........,a÷
término Central
extremos
Si n = impar, entonces:
2
tt
x n1 +
=
04.La suma de los términos de una P.A.
LIMITADA, es igual a la semisuma de los
extremos multiplicada por él número de
términos.
n
2
)tt(
S n1
n
+
=
Ejemplo:
4.1 En una P.A. de 10 términos la razón es
1,5 y la suma de sus términos vale 92,5.
Hallar el primero y el último término.
...................................................................
4.2 En una P.A., la razón y el número de
términos son iguales, la suma de los términos
es 156 y la diferencia de los extremos es 30.
Calcular el último término.
...................................................................
...................................................................
...................................................................
4.3 Calcular el término que ocupa el lugar 17
en una P.A. CRECIENTE de 18 términos,
sabiendo que la suma de todos estos términos
vale 549 y que los términos extremos tienen
por producto 280.
...................................................................
...................................................................
...................................................................
MEDIOS ARITMETICOS O DIFERENCIALES
Son los términos de una P.A. comprendido
entre sus extremos:
t 2 n-1
t 1 , . . . . . . . . . . . . . . .
"m" medios aritmeticos
"n" términos
tn,
.
._ t
Donde: 2mn +=
03.INTERPOLAR MEDIOS ARITMETICOS O
DIFERENCIALES
Es formar una P.A., cuyos extremos sean
precisamente los números dados:
Ejemplo:
3.1 Interpolar “m” medios aritméticos o
diferenciales entre a1 y an. Se debe formular
la P.A.
t , (t + r) , (t + 2r) , (t + 2r) . . . . . . t1 1 1 1 n
"n" términos
"m" medios aritméticos
* Se debe calcular la razón de:
r)1n(tt 1n −+=
1n
tt
r 1n
−
−
=
Pero: n = m + z
Luego:
1m
tt
r 1n
+
−
=
3.2 Interpolar 5 medios diferenciales entre 32 y
80.
..............................................................
..............................................................
..............................................................

II. PROGRESIONES GEOMETRICAS
01. DEFINICION
Se denomina progresión geométrica o por
cociente a una sucesión de números en la cual
el primer término es distinto de cero y cada
una de los términos siguientes se obtiene
multiplicando al anterior por una cantidad
constante, distinta de cero, llamada razón de
la progresión.
Símbolos
1t
=primer término
nt
=término de lugar “n” o último término
R = razón
n = número de términos
s = suma de términos
p = producto de términos
Notación de una progresión geométrica
n)1n(321 t:t.....,t:t:t, −÷÷
La razón de una P.G. , se obtiene dividiendo
un término cualquiera entre su inmediato
anterior.
(*) Si: R > 1, la P.G. es CRECIENTE
÷÷ 5, 20, 80,. . . . ., R =
14
5
20
>=
(**) Si: O < R <1, la progresión geométrica
es DECRECIENTE
÷÷ 48, 12, 3,. . . . . ., R =
1
4
1
48
12
<=
(***) Si: R <O, la P.G. es OSCILANTE
÷÷ 6, -12, 24, -48, . . .
R =
02
6
12
<−=
−
02. PROPIEDADES
1. En una P.G., un término cualquiera es
igual al primer término multiplicado por
la razón elevada al número de términos
que le preceden.
1n
1n R.tt −=
Ejemplos:
De la siguiente progresión:
÷÷ 2; 4; 8;. . Calcular: 6
9
t
t
...................................................................
...................................................................
...................................................................
2. En una P.G. el producto de 2 términos
equidistantes de los extremos es constante e
igual al producto de los extremos.
1
t . . . . . . . . a , x . . . . . . . . y , b . . . . . . . . t n
"K" términos equidistante
de los extremos
"K" términos "K" términos
n1 t.txy =
3. En una P.G. de un número impar de
términos, el término central es igual a la
raíz cuadrada del producto de los
extremos. En efecto, sea la P.G. de un
número impar de términos de razón :”R” .
1t , . . . . . . . x . . . . . nt
termino central
n1 t.tx =
4. En una P.G. limitada el producto de sus
términos es igual a la raíz cuadrada del
producto de sus extremos, elevada al
número de términos de la progresión.
n
n1 )t.t(P =
5. La suma de los términos de una P.G.
imitada es igual al último término,
multiplicada por la razón menos el primer
término, dividido todo esto entre la diferencia
de la razón y la unidad.
1R
tR.t
S 1n
−
−
=
Si no se diera el último término (tn) como dato,
la fórmula sería:
1R
)1R(t
S
n
1
−
−
=
Ejemplo:
1. De la siguiente (P.G.) 1 ; 3 ; 9 ; . . . .
Calcular: 20S
E indique en cifra termina dicha suma.
................................................................... ....
............................................................... ....
...............................................................
2. Sea la P.G. 7 ; 21 ; 63 ; . . . . . . .
Hallar 2 términos consecutivos de dicha
progresión geométrica cuya suma sea 2268,
indicando como respuesta el producto de las
posiciones de dichos términos.
................................................................... ....
............................................................... ....
...............................................................
3. Encontrar cuatro números en una P.G.,
sabiendo que la suma del primer y último
término es 140; y la suma del segundo y
tercero 60. Dar como respuesta el mayor de
estos números.
................................................................... ....
............................................................... ....
...............................................................
4. El límite de la suma de los términos de una
P.G. decreciente ilimitada es igual al primer
término dividido entre la diferencia de la
unidad y la razón.
R1
t
SLim 1
−
=
Para una P.G. decreciente: O < q < 1
Ilimitada n → 0
Ejemplos:
1. Calcular la siguiente suma:
......
7
2
7
1
7
2
7
1
S
432
++++=
....................
......................................... ....................
......................................... ....................
.........................................
MEDIOS GEOMÉTRICOS O
PROPORCIONALES
Son términos de una P.G. comprendidas entre
sus extremos.
÷÷
n
cosgeométrimedios
1n21 t,t......,t,t
   −
INTERPOLAR MEDIOS GEOMETRICOS ENTRE
DOS NUMEROS DADOS
Es formar una P.G., cuyos extremos sean
precisamente los números dados.
Ejemplo:
1. interpolar “m” medios geométricos o
proporcionales entre n1 tyt
.
Solución
Se sabe formar P.G.
t ; t . R ; t R , . . . . . . t1 n
2
1 1
"m" medios geométricos
"n" términos
Para lo cual se debe calcular la razón.
De:
1n
1
n1n
1n
t
t
RR.tt −− =⇒=
. . . . . (*)
Pero : n = m + 2 n - 1 = m + 1
+1
+1
. . . (**)=
Reemplazando:
1m
1
n
t
t
R +=
Llamada Razón de interpolación
PRÁCTICA DE CLASE

01. La suma del segundo y quinto término de una
progresión aritmética es 14 y la suma del 3ro.
Y 7mo. es 8. Halla el primer término
aumentado en la razón.
a) 12 b) -2 c) 10
d) 14 e) 15
02. En una progresión aritmética el primero y el
último término son: 47 y 207
respectivamente. hallar el término de lugar
12, si la suma de dicha serie es 2667.
a) 225 b) 135 c) 155
d) 235 e) 145
03. Dada la siguiente progresión aritmética:
÷a2 (b + c). b2 (a + c). c2 (a + b)
Calcular: ca
b
M
+
=
a) 2 b) -2 c) 1/2
d) -1/2 e) 1
04. De una progresión aritmética se sabe que:
Sn - Tn = (n + 3) (n - 1). Donde:
Sn = Suma de los “n” primeros términos
Tn = Término general
Si “n” es impar, indique el término central.
a) n + 1 b) n + 2 c) n + 3
d) n + 4 e) n + 5
05. En una progresión aritmética se cumple:
2
2
n
m
n
m
S
S
=
; Entonces: n
m
a
a
es igual a:
Nota:
Sm = suma de los “m” primeros términos
Sn = suma de los “n” primeros términos
a) m/n b) n/m c) n2/m2
d) 1n2
1m2
−
−
e) 1m2
1n2
−
−
06.Se tiene: ÷a . b . c. d, que verifican:
a +b + c + d = 48
35
27
bc
ab
=
. ¿Cuál es el número mayor?
a) 16 b) 17 c) 18
d) 20 e) 21
07. La suma de los términos de una progresión
aritmética creciente es 16 y el valor del
último término es “u” y de la razón “r” están
determinados por las ecuaciones:
u3 - r3 = 335; u2r - ur2 = 70
Hallar el número de términos de la
progresión.
a) 3 b) 5 c) 6
d) 7 e) 4
08. Dada la progresión aritmética:
÷ a1; a2 ................................. an. Calcular:
nn433221 a1a
1
...
aa
1
aa
1
aa
1
S
−
++++=
a) n - 1 b) 1a
1n −
c) n1aa
1n −
d) na
1n −
e) 1
n
a
a)1n( −
09. Si los términos de lugares: m; n; p de una
progresión aritmética son: a, b y c
respectivamente. Calcular:
(n - p) a + (p - m) b + (m - n) c
a) -1 b) 1 c) 0
d) -2 e) 2
10. Una compañía comercial decide poner 20
avisos separados por intervalos iguales a
partir del kilómetro 50 hasta el kilómetro 164
de la Panamericana Norte. ¿En qué kilómetro
estará ubicado el duodécimo aviso?
a) 116 b) 117 c) 118
d) 119 e) 120
11. Se han interpolado “m” medios aritméticos
entre 4 y 18; además “m+2” medios
aritméticos entre 10 y 24 de tal manera que la
razón de la progresión aritmética formada en
el primer caso es a la razón de la segunda
como 9 es a 7. Halle el número de términos
de la segunda progresión.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 14 e) 18
12. Dados los números: x; y; z; w; se observa que
los tres primeros están en progresión
aritmética y los 3 últimos en progresión
geométrica siendo la suma de los extremos 14
y la suma de los medios igual a 12. Señale un
valor que adopta “x”.
a) 3/4 b) 4/3 c) 12
d) 1/2 e) 18
13. Sabiendo que “s” es la suma de los “n”
primeros términos de una progresión
geométrica y “T” la suma de las recíprocas de
estos términos. Hallar el producto de los “n”
primeros términos de dicha progresión:
a)
1n
T
S
+






b)
n
T
S






c)
2
1n
T
S
+






d)
2
n
T
S






e)
2
n
S
T






14. Sumar:
...
3
2
4
3
2
3
3
2
2
3
2
S
8642
+





+





+





+





=
a) 36/25 b) 25/26 c) 1/4
d) 4 e) 20
15. Sí U1; U2; U3; U4, ...................., están en
progresión geométrica, donde:
U1 + U2 + U3 + U4 + U5 = 31
U2 + U3 + U4 + U5 + U6 = 62
Calcular:
2
4
2
3
1
2
2
1
UUUU +++
a) 85 b) 90 c) 95
d) 100 e) 105
16. Se interpolan cuatro medios geométricos
entre 160 y 5. Hallar la suma de los dos
últimos términos de la progresión geométrica
formada.
a) 240 b) 200 c) 60
d) 35 e) 15
17. Se tiene dos sucesiones, una geométrica cuyo
primer término es distinto de cero y otra
aritmético con primer término igual a cero; si
se suman los términos correspondientes de
ambas se logra obtener una tercera sucesión:
1; 1; 2; ......... sobre la base de ello halle la
sumatoria de los diez primeros términos de
esta nueva sucesión.
a) 1078 b) 979 c) 1079
d) 279 e) 978
18. Si los términos de lugares p; q; r; s de una
progresión aritmética están en progresión
geométrica. Entonces los números:
(p - q); (q - r); (r - s)
a) Están en progresión aritmética
b) Están en progresión geométrica
c) Están en progresión armónica
d) Son iguales
e) No se puede afirmar nada
19. Dada una progresión geométrica de un
número impar de términos, el producto de los
términos de lugar impar es 65 536 y el
producto de los términos de lugar par 4 096.
Determine el número de términos y el término
central.
a) 4, 15 b) 8; 17 c) 3; 16
d) 7; 16 e) 5; 17
20. Sí; S1; S2; S3; .. ;Sp son las sumas de unas
series geométricas infinitas; cuyos primeros
términos son 1, 2, 3 .... p; y cuyas razones
son: 1p
1
;.......;
4
1
;
3
1
;
2
1
+ respectivamente.
Calcular: S = S1 + S2 + S3 + ... + Sp
a) 3
1p2 +
b) 3
2p2 +
c)
)2p(
3
p
+
d)
)3p(
2
p
+
e)
)2p(
2
p
−
21. La suma de los 6 primeros términos de una
progresión geométrica es igual a 9 veces la
suma de los tres primero términos. Hallar la
razón:
a) 1/2 b) 4 c) 3
d 2 e) 1/3

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