1. Año 2014 No 1enero revista semanal gratuita
Deposito legal pp 2014 06 N 109 SNN:342
REVISTA CIENRIFICA
PROMOTORA MARIN
RIF J.31340488-2
Da y recibe amor adopta un n
Coordenadas Cartesianas
Coordenadas Polares o Sistemas Polares
Cómo graficar ecuaciones polares
Graficación de curvas planas en coordenadas polares

3. Las matemáticas las utilizamos en la vida
cotidiana y son necesarias para
comprender y analizar la abundante
información que nos llega. Pero su uso va
mucho más allá: en prácticamente todas las
ramas del saber humano se recurre a
modelos matemáticos, y no sólo en la
física, sino que gracias a los ordenadores
las matemáticas se aplican a todas las
disciplinas, de modo que están en la base
de las ingenierías, de las tecnologías más
avanzadas, como las de los vuelos
espaciales, de las modernas técnicas de
diagnóstico médico, como la tomografía
axial computadorizada, de la
meteorología, de los estudios
financieros, de la ingeniería genética... Pero
las matemáticas son una ciencia
pura, cuyos problemas por sí mismos
suponen un reto desnudo para la
inteligencia; Jacobi pensaba que la finalidad
única de las matemáticas era rendir honor
al espíritu humano. Su lenguaje universal
las convierte en herramienta eficaz para la
cooperación entre países más y menos
desarrollados, favorecer un ámbito de
colaboración que mejore la convivencia y
fomentar la paz entre los pueblos desde
hace veinticinco siglos, un papel relevante
en la educación intelectual de la
juventud, son
lógica, precisión, rigor, abstracción, formaliz
ación y belleza, y se espera que a través de
esas cualidades se alcancen la capacidad de
discernir lo esencial de lo accesorio, el
aprecio por la obra intelectualmente bella y
la valoración del potencial de la ciencia.
Editorial

6. René Descartes

7. •René Descartes, también llamado
Renatus Cartesius, fue un filósofo,
matemático y físico francés,
considerado como el padre de la
geometría analítica y de la filosofía
moderna, así como uno de los
nombres más destacados de la
revolución científica.
•Fecha de nacimiento: 31 de marzo de
1596, Descartes, Francia
•Fecha de la muerte: 11 de febrero de
1650, Estocolmo, Suecia
•Hijos: Francine Descartes
•Hermanos: Joachim Descartes, Pierre
Descartes, Jeanne Descartes,Anne
Descartes
•Educación: Universidad de
Poitiers (1616), Pritaneo Nacional
Militar

8. Las coordenadas cartesianas o coordenadas
rectangulares son un tipo de ortogonales usadas
en representación gráfica de una función, en geometría
analítica , o
del movimiento o posición en física, caracterizadas porque
usa como referencia ejes ortogonales entre sí que se cortan
en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen
así como la distancia al origen de las proyecciones
ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes.
La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor
de René Descartes, quien lo utilizó de manera formal por
primera vez.
Si el sistema en si es un sistema bidimensional, se
denomina plano cartesiano. El punto de corte de las rectas
se hace coincidir con el punto cero de las rectas y se conoce
como origen del sistema. Al eje horizontal o de las abscisas
se le asigna los números enteros de las equis ("x"); y al eje
vertical o de las ordenadas se le asignan los números
enteros de las yes ("y"). Al cortarse las dos rectas dividen al
plano en cuatro regiones, estas zonas se conocen como
cuadrantes

9. •Primer cuadrante "I": Región superior derecha
•Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda
•Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda
•Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha
El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier
punto en el plano. En la gráfica se indica el punto +2 en las abscisas y +3
en las ordenadas. El conjunto (2 , 3) se denomina "par ordenado" y del
mismo modo se pueden ubicar otros puntos.
Las coordenadas cartesianas se usaron un ejemplo para definir un sistema
cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta),
respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio),
perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto
llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas se
denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se
representa habitualmente por la letra x, mientras que la ordenada es la
coordenada vertical y se representa por la y
Tres ejemplos de coordenadas asignadas a tres puntos diferentes
(verde, rojo y azul), sus proyecciones ortogonales sobre los ejes
constituyen sus coordenadas cartesianas y el origen de coordenadas
(0,0)

10. Localización de un punto en coordenadas polares
Las coordenadas polares o sistemas
polares son un sistema de
coordenadas bidimensional en el cual
cada punto del plano se determina por
unángulo y una distancia, ampliamente
utilizados en física y trigonometría.
De manera más precisa, se toman: un
punto O del plano, al que se le
llama origen o polo, y una recta dirigida
(o rayo, o segmento OL) que pasa por O,
llamada eje polar (equivalente al eje x del
sistema cartesiano), como sistema de
referencia. Con este sistema de
referencia y una unidad de medida
métrica (para poder asignar distancias
entre cada par de puntos del plano),
todo punto P del plano corresponde a un
par ordenado (r, θ) donde r es la
distancia de P al origen y θ es el ángulo
formado entre el eje polar y la recta
dirigida OP que va de O a P. El valor θ
crece en sentido antihorario y decrece
en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0)
se conoce como la «coordenada radial»
o «radio vector», mientras que el ángulo
es la «coordenada angular» o «ángulo
polar».
En el caso del origen, O, el valor de r es
cero, pero el valor de θ es indefinido. En
ocasiones se adopta la convención de
representar el origen por (0,0º

11. Sistemas de referencia

12. COORDENADAS POLARES:
La representación Cartesiana no es la única
forma de localizar los puntos en el plano.
Por ejemplo, en una pantalla circular de
radar, es más conveniente dar la posición de
un punto luminoso mediante su distancia al
centro y su dirección angular.
Esto está expresado en la Representación en
Coordenadas Polares, que se muestra a
continuación

13. sistema de coordenadas
Cartesianas
Método para definir la posición de un
punto por medio de su distancia
perpendicular a dos o más líneas de
referencia.
En geometría plana, dos líneas rectas,
llamadas eje x y eje y, forman la base de un
sistema de coordenadas Cartesianas en
dos dimensiones. Por lo general, el eje x es
horizontal y el eje y es perpendicular a él.
Al punto de intersección de los dos ejes se
le llama origen (O). Cualquier punto en
este plano se puede identificar por un par
ordenado de números que representan las
distancias a los dos ejes. Por ejemplo, el
punto (4, 2) es el punto que se encuentra
alejado 4 unidades del eje y en la dirección
positiva del eje x y a 2 unidades del eje x
en la dirección positiva del eje y.
En tres dimensiones, se introduce un
tercer eje, el eje z, para definir la altura o
profundidad de un punto. En el sistema de
coordenadas Cartesianas, los tres ejes se
encuentran a ángulos rectos entre sí. Por
ello, un punto se determina por tres
números (x, y, z).

14. Conversión de coordenadas
Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa[
Las coordenadas rectangulares (x, y) de cualquier punto de un
plano implican solamente dos variables, x e y. Por tanto, la
ecuación de cualquier lugar geométrico en un sistema de
coordenadas rectangulares en un plano , contiene una o
ambas de estas variables, pero no otras. Por esto es
apropiado llamar a una ecuación de esta clase la ecuación
rectangular del lugar geométrico.
Las coordenadas polares (r , Ѳ) de cualquier punto de un plano
implican solamente dos variables, r y Ѳ, de manera que la
ecuación de cualquier lugar geométrico en el plano
coordenado polar contiene una o ambas variables, pero no
otras. Tal ecuación se llama, de acuerdo con esto , la ecuación
polar del lugar geométrico. Así, la ecuación Ѳ = -π/4 y r = cos
Ѳ son las ecuaciones polares de dos lugares geométricos
planos .
Para un lugar geométrico determinado , conviene ,
frecuentemente , saber transformar la ecuación polar en la
ecuación rectangular, y recíprocamente . Para efectuar tal Y
transformación debemos conocer las relaciones que existen
entre las coordenadas rectangulares y las coordenadas
polares de cualquier punto ,X,A del lugar geométrico. Se
obtienen Y relaciones particularmente simples cuando el polo y
el eje polar del sistema polar se hacen coincidir ,
respectivamente , con el origen y la parte positiva del eje X del
sistema rectangular. Sea P un punto cualquiera que tenga por
coordenadas rectangulares (x, y) y por coordenadas polares
(r,Ѳ) Entonces se deducen inmediatamente las relaciones
x = r cos Ѳ
y = r sen Ѳ
x²+ y² = r²
Ѳ = arc tg y/x
r = ± √x²+y²
sen Ѳ = ± y/√x²+y²
cos Ѳ = ± x/√x²+y²
Diagrama ilustrativo de la
relación entre las coordenadas
polares y las coordenadas
cartesianas.

15. En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede
definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas
por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo ángulo del vector de
posición sobre el eje x.
Conversión n de coordenadas polares a rectangulares
Instrucciones
1
Calcula el valor r o del radio en coordenadas polares mediante la fórmula r = raíz cuadrada
(x^2 + y^2). Por ejemplo, el valor de r de las coordenadas rectangulares (3, 4) es igual a la
raíz cuadrada de 3^2 + 4^2, que es la raíz cuadrada de 25 o 5.
2
Calcula el valor de ángulo theta o en coordenadas polares utilizando la fórmula theta =
arctan y/x. En el ejemplo anterior, el valor de theta es igual a arctan 4/3, que es igual
a aproximadamente 53,13 grados o 0,92 radianes.
3
Verifica las coordenadas polares utilizando las fórmulas y = r sen theta y x = r cos theta. En
el ejemplo anterior, calcula 5 sen 53,13 y 5 cos 53,13 para verificar que son iguales a 4 y
3, respectivamente.
4
Traza el punto en coordenadas polares trazando el ángulo theta en sentido contrario a las
manecillas desde el eje x positivo y dibujando un punto a una distancia de r desde el
origen. En el ejemplo anterior, dibuja un punto en coordenadas polares que es de 53,13
grados en sentido contrario a las manecillas desde el eje x positivo y 5 unidades desde el
origen.

16. Las ecuaciones polares son funciones matemáticas
dadas en la forma de R= f (θ)
Considera R= 4 sin(θ) como un ejemplo para
aprender cómo graficar coordenadas polares.
Evalúa la ecuación para valores de (θ) entre el
intervalo de 0 y π. Haz que (θ) sea igual a 0, π /6 ,
π /4, π /3, π /2, 2π /3, 3π /4, 5π /6 y π. Calcula los
valores para R sustituyendo estos datos en la
ecuación.
Usa una calculadora g ráfica para determinar los
valores de R. Por ejemplo, haz que (θ) = π /6.
Escribe 4 sin(π /6) en la calculadora. El valor de R
es 2 y el punto (R, θ) es (2, π /6). Encuentra R para
todos los valores de (θ) del paso 2.
Traza los puntos (R, θ) resultantes del paso 3, que
son (0,0), (2, π /6), (2.8, π /4), (3.46,π /3), (4,π
/2), (3.46, 2π /3), (2.8, 3π /4), (2, 5π /6), (0, π) en
papel para gráficos y conecta estos puntos. La
gráfica es un círculo con un radio de 2 y centro en
(0, 2). Para obtener una mayor precisión al trazar,
usa papel para gráficos polares.
Grafica las ecuaciones para caracoles, cardioides o
cualquier otra curva dada por una ecuación polar
siguiendo el procedimiento descrito anteriormente
Cómo graficar ecuaciones polares
Cómo graficar ecuaciones polares.
Las ecuacionespolares son funciones matemáticas
dadas por la forma R= f (θ). Para expresar estas
funciones debes usar el sistema de coordenadas
polares. La gráfica de una función polar R es una
curva que consiste en puntos de la forma (R, θ). Dado
al aspecto circular de este sistema, es más sencillo
graficar ecuaciones polares usando este método

17. Representación de Puntos en el Plano:
Consideremos un plano donde dibujamos dos líneas perpendiculares que
denominamos “OX” y “OY”. Estas líneas se intersecan en un punto “O” que
llamaremos el origen de coordenadas. El origen divide a los ejes en dos partes
denominadas semiejes (semieje positivo y negativo). Cualquier punto del
plano vendrá especificado por un par de números reales que denominaremos
coordenadas del puntoP = (px, py). Para obtener estas coordenadas trazamos
una línea paralela al eje “Y” que pasa por “P”: el punto de corte de esta línea con
el eje “X” se encuentra a una distancia “px” del origen. Análogamente, si
trazamos una línea que pasa por “P” paralela al eje “X”, la distancia del punto
de corte con el eje “Y” al origen “O” es “py”. A estas coordenadas se las
denomina coordenadas cartesianas rectangulares.
A su vez, después de establecer los ejes
coordenados podemos decir que el plano 2D
está dividido en cuatro cuadrantes. En sentido
contrario al avance de las agujas del reloj:
I, II, III, IV. Los puntos que se encuentran en
el eje “X” o eje de abscisas tienen coordenada
“y = 0″. Los puntos que se encuentran en el eje
“Y” o de ordenadas tienen coordenada “x = 0″.
El origen de coordenadas será obviamente
(0, 0).
En general denotaremos un punto en el plano mediante el par ordenado
constituido por sus coordenadas (x, y). Abusando un poco del lenguaje
podemos decir que el plano donde se han introducido introducido las
coordenadas cartesianas”x” e “y” es el plano “xy”. Se cumple que dado un par
arbitrario de números reales “x” e “y” existe siempre un punto “P” en el plano
“xy” cuya abscisa es igual a “x” y cuya ordenada es igual a “y”, que denotaremos
por (x, y). Esta correspondencia es biunívoca. Definimos como los vectores
unitarios coordenados i yj a aquéllos de longitud unidad orientados según los
ejes coordenados.
Distancia entre dos puntos:
Sean dos puntos “P1” y “P2” en el plano “xy” de coordenadas (x1, y1) y (x2, y2),
respectivamente. La distancia entre “P1” y “P2” en función de sus coordenadas
es:
A esta distancia se le denomina también distancia euclídea en el plano, y
cumple las siguientes propiedades:
•d(P1, P2) ≥ 0.
•Si d(P1, P2) = o, entonces P1 = P2.
•d(P1, P2) = d(P2, P1).
Consideremos el lugar geométrico de los puntos “r” que distan una distancia
“r” de un punto “C” de coordenadas (x0, y0). Tenemos:

18. En el plano l origen de coordenadas “O“, la unidad de escala de
longitud y un eje “L” que pasa por el punto “O“. Sea “P” un punto
arbitrario del plano que no coincide con “O“. Determinaremos su
posición en el plano unívocamente mediante dos números:
•La distancia entre “P” y “O“, que denotaremos por “r”.
•El ángulo “σ”, medido en el sentido contrario al avance de las
agujas del reloj, entre el semieje positivo “L” y la dirección “OM“.
Al par ordenado de valores (r, σ) se le denomina coordenadas
polares del punto “P“. “r” es el radio polar y “σ” es el ángulo
polar. Es habitual llamar a “O” el polo y a “L” el eje polar. Con la
definición anterior, para todo punto “P” del plano, excepto el
punto “O“, tenemos “r > 0″ y “0 ≤ σ ≤ 2 π”. Al polo “O” se le asigna
“r = 0″, mientras que el ángulo “σ” está indeterminado. Al
sistema de coordenadas que acabamos de construir en el plano
se le denomina sistema de coordenadas polares. Podemos
relacionar el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares
con el de coordenadas polares
Esta es la ecuación canónica de una circunferencia de
radio “r”.
Coordenadas polares:

19. Graficación de curvas planas en
Coordenadas Polares.
una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este
gráfico es:
forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:
Rosa de ocho hojas/pétalos
El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal
como lo vemos en la siguiente función graficada:

20. Una rosa dentro de otra
vemos a continuación, donde se aprecia una rosa de tres pétalos precisamente
dentro de
otra rosa de tres pétalos u hojas. Veamos:

21. Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode, se presenta
otro gráfico de este tipo
Pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el
gráfico de la siguiente función:
LIMACONES O
CARACOLES
LIMACONES O CARACOLES
Limaçon viene del latín limax que significa
caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió
Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la
primera mitad del siglo XVII y el nombre
se lo dio Roberval en 1650 cuando la usó
como ejemplo para mostrar su método
para trazar tangentes. Un limaçon o las
gráficas polares que generan limaçones
son las funciones en coordenadas polares
con la forma:
r = 1 + b cos
Ahora veamos un ejemplo concreto
de un gráfico de este tipo, donde se
muestra un caracol que apunta hacia
la derecha y que tiene un lazo
interior. La función para este gráfico
es la siguiente:

22. Veamos otro gráfico de una función
que tiene como resultado un caracol
con un lazo interior pero que a
diferencia del gráfico anterior, este
apunta hacia abajo. Veamos:
Continuando con la gráfica de
caracoles o limacones, hay otro tipo
que es el caracol con hendidura o
caracol con concavidad. Como
podremos observar, este no tiene
lazo, y está dirigido hacia la
izquierda. Veamos a continuación
el gráfico que resulta, el cual
apunta hacia la izquierda:
Ahora se muestra un gráfico igual al
anterior con la diferencia que ahora
está dirigido hacia la derecha, de
modo que tenemos un limaçon o
caracol con hendidura o concavidad
que está dirigido hacia la derecha:

23. Antes de terminar el tema de los
limacoides o caracoles, veamos
otro gráfico diferente a los otros,
que es conocido como caracol
convexo o caracol ovalado, el cual
está apuntando hacia arriba, como
lo vemos en el gráfico siguiente:
CIRCUNFERENCIA
Esta nueva función nos presenta
una forma conocida por todos y
es precisamente la
circunferencia, la cual será
formada en el gráfico polar
mediante la siguiente función:
Ahora veamos una nueva gráfica
que resulta en una
circunferencia, con la única
diferencia que ahora aparece arriba
del rayo inicial (o del eje x que todos
conocemos), a diferencia del gráfico
anterior, que la circunferencia
aparecía abajo del radio inicial. La
función con su gráfico es esta:

24. La representación gráfica de
esta ecuación genera una
curva similar a
La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es
ampliamente utilizada en matemáticas. El símbolo en sí
mismo es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo de esta
función con su respectivo gráfico lo apreciamos a
continuación:
Tenemos otro ejemplo de
lemniscata, pero ahora aparece a lo
largo del eje x o en sentido
horizontal:
Finalmente se muestra un gráfico
como los dos anteriores, donde
aparece una lemniscata, con la única
diferencia que ahora se muestra en
sentido vertical. Veamos:

25. LA NEFROIDE DE FREETH
Esta es una curva muy reciente si
hablamos relativamente a las demás.
Hay curvas polares que tienen varios
siglos de existir, mientras que esta
que trataremos en este momento es
bastante reciente, pues fue
desarrollada por el matemático inglés
T.J. Freeth, quien descubrió esta
curva en 1879. Un ejemplo se aprecia
en este gráfico:
CONCOIDES DE NICÓMENES
Nicómenes nació sobre el año 280 antes
de Cristo en Grecia y murió en el año
210 a.C. Se sabe muy poco de su vida
pero es famoso por su "Las líneas de la
Concoide". Veamos un gráfico en
coordenadas polares de la concoide de
Nicómenes:
Veamos un nuevo ejemplo de una
concoide de Nicómenes. La gráfica
anterior está hacia la
derecha, mientras que la que se
presenta a continuación tiene una
dirección hacia arriba. Veamos:

26. Un tercer ejemplo de Concoide de No cómenes lo
tenemos en el gráfico que se muestra a
continuación, donde su forma se ve diferente a
los dos gráficos anteriores de este mismo tipo
debido a que se le está restando un número uno a
la función. El mismo gráfico veríamos si se le
estuviera sumando uno a la función. El gráfico
quedará así:
CISOIDE DE DIOCLES
Esta es una curva muy famosa y útil en el
cálculo. Fue utilizada por un griego llamado
Dóciles para resolver el problema de la
duplicación del cubo. El gráfico aparece de esta
forma:
ESPIRAL
Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal como
su nombre lo indica. La espiral más simple la
podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada
sobre sí misma. La forma de una espiral la vemos
en una serpiente enrollada por ejemplo.
El gráfico que se presenta a continuación es
también conocido como Espiral de Arquímedes,
precisamente en honor Arquímedes, quien fue un
notable físico y matemático griego que al ser
fascinado por la belleza de esta curva, realizó un
estudio profundo sobre sus propiedades
matemáticas en su escrito titulado Sobre las
espirales, escrito en el siglo III antes de Cristo.
Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos
la siguiente función en coordenadas polares que
formará la espiral polar siguiente:

27. Un segundo gráfico espiral lo
tenemos en la función que veremos
ahora, que podríamos encontrarla
con dos nombres refiriéndose al
mismo gráfico. Ambos nombres
equivalen a lo mismo como
podremos apreciar . Dichos
nombres con los que se conoce a
esta espiral son: espiral recíproca o
espiral hiperbolica. Tendremos
entonces:
Otro caso que se puede dar es la espiral
logarítmica, que se ilustra mediante la siguiente
función y su respectivo gráfico:

28. Radio de una
circunferencia
El radio de una circunferencia es
el segmento que une el centro de
la circunferencia con
un punto cualquiera de la
misma.
El radio mide
la mitad del diámetro. El radio
es igual a la longitud de la
circunferencia dividida por 2n

30. La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia

32. En geometría, el radio de una circunferencia es
cualquier segmento que une el centro a cualquier punto de
dicha circunferencia.
La longitud del radio es la mitad de la del diámetro. Todos
los radios de una figura geométrica poseen la
misma longitud.
El radio de una esfera: cualquier segmento que une el
centro con un punto de su superficie esférica.
El radio de un poliedro regular: no es sino el radio de la
esfera circunscrita 1
Se llama radio de un polígono regular al radio de
la circunferencia circunscrita (es el segmento que une su
centro con cualquier vértice). El radio de lacircunferencia
inscrita se llama apotema del polígono.
Radio de curvatura: es la magnitud R, recíproca a la
curvatura K de una curva en un punto dado M, se
denomina radio de curvatura de la curva en este punto de
que se trata.2
En un sentido más general —
en geometría, ingeniería, teoría de grafos y muchos otros
contextos—, el radio (por ejemplo, de
un cilindro, un polígono, ungrafo o una parte mecánica)
es el segmento que une su centro (o eje) y sus puntos
más externos.
La relación entre la longitud del radio y la de la
circunferencia (perímetro de un círculo) es

33. La relación entre la longitud del radio de un círculo y su área es
•Radio de torsión. La magnitud que caracteriza la
desviación de la curva en el espacio respecto de la curva
plana. La magnitud T se llama radio de torsión 3
•Radio de una vecindad. Si la vecindad es el intervalo
abierto (a;b), entonces el radio es [a + b]/2.
•Radio vector: es el segmento, en una hipérbola o elipse,
que une los focos con un punto de la misma 4
•Radio de convergencia de una serie. Partiendo de una
serie formal, que tiene coeficientes en el conjunto de los
números reales o de los complejos, se define al número
real R > 0 tal que la serie converge absolutamente para
|z| < R y diverge si |z| > R 2
•Radio de giro . El radio de giro K de un sólido respecto
de un eje de giro e viene a ser la distancia al eje e a la
que debería situarse una partícula cuya masa fuera igual
a la masa total del sólido para que dicha partícula tuviera
el mismo momento de inercia que el cuerpo
Elementos principales de una circunferencia.

41. ENCUENTRA 10 PALABRAS RELACIONADAS
CON EL TEMA: “EL ÁTOMO Y LA
ESTRUCTURA DE LA MATERIA”

42. DISTRIBUCIÓN GRATUITA EN LA FACULTAD DE INGENIERÍA DE LA FERMÍN TORO. TELEFAX.
0212 5540931/4539 BARQUISIMETO