calculo vectorial

1. Campos vectoriales.
Los campos vectoriales son un conjunto de vectores en el espacio, los cuales representan
fenómenos físicos presentes en una región, por ejemplo: la intensidad y dirección de una fuerza,
tal como la electromagnética, que cambia de un punto a otro; ó modelar la velocidad y dirección
de un líquido móvil en el espacio.
Matemáticamente se pueden describir como una función construida por el cálculo vectorial que
asocia un vector a cada punto en el espacio, cuya magnitud y dirección dependen de dos o más
variables, ya sea en el plano o en el espacio. Cuando solo dependen de una sola variable, las
funciones vectoriales describen una trayectoria en el espacio.
Una de las formas generales analíticas de escribir un campo vectorial es:
Donde M es la componente de los vectores del campo en
el eje “x”, N la componente en el eje “y”, P la componente
en el eje “z”, y multiplicados por los vectores unitarios i, j,
k.
Por ejemplo, la grafica del campo vectorial cuadrático
inverso (ó gravitacional) está dada por:
Clasificación de los campos vectoriales de acuerdo a la conservación de la
energía:
Los campos vectoriales se pueden clasificar en campos conservativos y campos no conservativos.
Los campos conservativos se hacen referencia a los campos en donde físicamente se
mantiene el principio de conservación de la energía. Se definen por ser campos en los
cuales si un cuerpo se mueve de un punto a otro, la energía total usada para desplazarse
es la misma para cualquier trayectoria. Matemáticamente pueden expresarse como el
gradiente de una función escalar. Además cualquier integral de línea que se haga de un
punto a otro da el mismo valor sin importar la curva o trayectoria que se escoja para
integrar, cuando se escoja un punto “A” que sea igual al punto “B”, la energía usada y el

2. valor de cualquier integral de línea sobre el
campo es cero. En este caso la integral del campo
vectorial gradiente dependerá solamente del
valor del campo escalar correspondiente en los
extremos del vector.
Ejemplo: (denota al campo rotacional)
Los campos no conservativos no siguen el
principio de conservación de energía, por lo tanto
la cantidad de energía de un punto a otro tiene
diferente valor según la trayectoria. Además cuando se escoge un punto “A” tal que sea
igual al punto “B”, la integral de línea no es necesariamente cero.
Clasificación de los campos vectoriales de acuerdo con su rotación:
Podemos clasificar los campos vectoriales en dos grupos, atendiendo a su rotacional (Se entiende
por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación
alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado
del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero) y su
divergencia (La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el
flujo saliente en una superficie que encierra un elemento de volumen dV. Si el volumen elegido
solamente contiene fuentes o sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre
distinta de cero. La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se
define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor
del punto tiende a cero):
Campos irrotacionales: Se verifica rotacional en todos los puntos del campo. Además la
circulación a lo largo de cualquier línea cerrada es nula. Son campos potenciales (existe un
potencial escalar del cual derivan) y las líneas de campo son abiertas. Hay manantiales y
sumideros. Ejemplo: campo electrostático.
Campos solenoidales: Se verifica E = 0 (∇E = 0) en
todos los puntos del campo. Además el flujo a través
de cualquier superficie cerrada es nulo. Son campos
potenciales que derivan de un potencial vector. Las
líneas de campo son cerradas y no hay manantiales ni
sumideros. Ejemplo: campo magnético. Sin embargo,
no todos los campos vectoriales son o bien
irrotacionales o bien solenoidales, ya que un campo

3. vectorial puede tener tanto su divergencia como su rotacional distintos de cero.
Aplicación de los campos magnéticos en la ingeniería eléctrica.
Campo magnético
Se trata de un campo que
ejerce fuerzas (denominadas magnéticas) sobre los
materiales. Al igual que el campo eléctrico también
es un campo vectorial, pero que no produce ningún
efecto sobre cargas en reposo (como sí lo hace el
campo eléctrico en dónde las acelera a través de la
fuerza eléctrica). Sin embargo el campo magnético
tiene influencia sobre cargas eléctricas en
movimiento.
Si una carga en movimiento atraviesa un
campo magnético, la misma sufre la
acción de una fuerza (denominada fuerza
magnética). Esta fuerza no modifica el
módulo de la velocidad pero sí la
trayectoria (ver fuerza magnética). Sobre
un conductor por el cual circula
electricidad y que se encuentra en un
campo también aparece una fuerza
magnética.
El campo magnético está presente en los imanes. Por otro lado, una corriente eléctrica también
genera un campo magnético.
El campo magnético se denomina con la letra B y se mide en Tesla.

4. Campo electrostático.
Hay regiones del espacio en que cada
carga eléctrica puntual sufre una fuerza
proporcional a la propia carga, que
depende del punto en el que esté la
carga. Lo mejor para describir ese efecto es conocer la fuerza que corresponde a cada unidad de
carga cuando se sitúe en cada punto; porque entonces sabremos de antemano cuánta fuerza
sufrirá una carga puntual cualquiera si la situáramos en ese punto. Esa fuerza por unidad de carga
en cada punto se llama campo eléctrico en el punto que se considere.

5. Bibliografía:
Stewart James. Cálculo Multivariable. International Thomson Editores (Texto Guía) Smith,
Minton.
Cálculo. Tomo2.McGraw Hill Apostol, Tom M.Calculus, vol. II. Segunda edición. Editorial Reverté
S.A.
Thomas Finney. Calculo Varias Variables. Pearson Educación. Novena Edición. Earl W.
Swokowski
Paginas web:
http://matematicas.uniandes.edu.co/~vectorial/
http://es.scribd.com/doc/96162284/Calculo-Vectorial-Problemas-Resueltos