Series de potencias

1. UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA
“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”
MATEMÁTICA IV
SECCIÓN 01
CICLO 02-2015
“Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales por Series de Potencias”
Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate.
Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.
PARTE I.
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales por series de potencias alrededor
de puntos ordinarios.
1. 𝑦′′
+ 𝑥𝑦′
+ 𝑦 = 0
2. 𝑦′′
+ 𝑥𝑦′
+ (2𝑥2
+ 1)𝑦 = 0
3. (𝑥2
+ 1)𝑦′′
+ 𝑥𝑦′
+ 𝑥𝑦 = 0
4. (𝑥3
− 1)𝑦′′
+ 𝑥2
𝑦′
+ 𝑥𝑦 = 0
5. 𝑦′′
− 𝑥𝑦′
− 𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0
6. (𝑥2
+ 1)𝑦′′
+ 𝑥𝑦′
+ 2𝑥𝑦 = 0, 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 3
7. 𝑥𝑦′′
+ 𝑦′
+ 2𝑦 = 0, 𝑦(1) = 2, 𝑦′(1) = 4
8. (1 + 𝑥2)𝑦′′
+ 2𝑥𝑦′
− 2𝑦 = 0, 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 1
9. 𝑦′′
+ 𝑥𝑦′
− 2𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0
10. 𝑦′′
+ 𝑥𝑦′
+ (2𝑥2
+ 1)𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = −1
11. 𝑦′′
+ (𝑥 − 1)𝑦′
+ 𝑦 = 0, 𝑦(1) = 2, 𝑦′(1) = 0
12. (𝑥2
− 1)𝑦′′
− 6𝑥𝑦′
+ 12𝑦 = 0
13. 3𝑦′′
+ 𝑥𝑦′
− 4𝑦 = 0
14. 𝑦′′
+ 𝑥2
𝑦′
+ 2𝑥𝑦 = 0
15. 𝑦′′
+ 𝑥2
𝑦 = 0
16. (𝑥2
+ 3)𝑦′′
− 7𝑥𝑦′
+ 16𝑦 = 0
17. 𝑦′′
− 2𝑦′
+ 𝑦 = 0
18. (𝑥2
− 6𝑥 + 10)𝑦′′
− 4(𝑥 − 3)𝑦′
+ 6𝑦 = 0, 𝑦(3) = 2, 𝑦′(3) = 0
19. (𝑥2
+ 6𝑥)𝑦′′
+ (3𝑥 + 9)𝑦′
− 3𝑦 = 0, 𝑦(−3) = 0, 𝑦′(−3) = 2
20. (4𝑥2
+ 16𝑥 + 17)𝑦′′
= 8𝑦, 𝑦(−2) = 1, 𝑦′(−2) = 0

2. PARTE II.
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales por series de potencias alrededor
de puntos singulares, identificar si los puntos son regulares o irregulares.
1. 2𝑥2
𝑦′′
+ 𝑥𝑦′
+ (𝑥2
− 1)𝑦 = 0
2. 𝑥2
𝑦′′
− 𝑥𝑦′
+ (𝑥2
+
8
9
) 𝑦 = 0
3. 3𝑥𝑦′′
− (𝑥 − 2)𝑦′
− 2𝑦 = 0
4. 𝑥2
𝑦′′
− 𝑥𝑦′
+ (𝑥 − 1)𝑦 = 0
5. 9𝑥2
𝑦′′
+ 9𝑥2
𝑦′
+ 2𝑦 = 0
6. 2𝑥(𝑥 − 1)𝑦′′
+ 3(𝑥 − 1)𝑦′
− 𝑦 = 0
7. 𝑥2
𝑦′′
+ 𝑥𝑦 + 𝑥2
𝑦 = 0
8. 𝑥𝑦′′
+ 𝑦′
− 4𝑦 = 0
9. 𝑡2
𝑦′′
+ (𝑡2
+ 𝑡)𝑦′
+ 𝑦 = 0
10. 3𝑥𝑧′′
+ (2 − 𝑥)𝑧′
− 𝑧 = 0
11. 4𝑥2
𝑦′′
+ 2𝑥2
𝑦′
− (𝑥 + 3)𝑦 = 0
12. 3𝑥2
𝑦′′
+ 8𝑥𝑦′
+ (𝑥 − 2)𝑦 = 0
13. 𝑥𝑦′′
+ (𝑥 − 1)𝑦′
− 2𝑦 = 0
14. 𝑥(𝑥 + 1)𝑦′′
+ (𝑥 + 5)𝑦′
− 4𝑦 = 0
15. 𝑥𝑤′′
− 𝑤′
− 𝑥𝑤 = 0
16. 2𝑥2
𝑦′′
+ 𝑥(𝑥 + 1)𝑦′
− (2𝑥 + 1)𝑦 = 0
17. (2𝑥2
+ 5𝑥3)𝑦′′
+ (3𝑥 − 𝑥2)𝑦′
− (1 + 𝑥)𝑦 = 0
18. 4𝑥2
𝑦′′
− 4𝑥𝑦′
+ (3 − 4𝑥2)𝑦 = 0
19. 𝑥𝑦′′
− 𝑦′
+ 4𝑥3
𝑦 = 0
20. 𝑥𝑦′′
+ 2𝑦′
− 4𝑥𝑦 = 0
APLICACIÓN.
Un circuito conectado en serie que responde a la E.D: 𝐿𝑞′′(𝑡) + 𝑅𝑞′(𝑡) +
1
𝐶
𝑞(𝑡) = 𝐸(𝑡),
de lo cual se sabe que la fem es cero volts, la inductancia 0.1H, la capacitancia 2farads y
una resistencia que varía con el tiempo de la siguiente forma: 𝑅(𝑡) = 1 +
𝑡
10
ohms. Si se
sabe que 𝑞(0) = 10 Coulombs y que 𝑞′(0) = 0 amperes, determine al menos los primeros
cuatro términos no nulos en un desarrollo de potencias en torno a 𝑡 = 0 para la carga del
capacitor.
Un circuito está conectado en serie con una fuerza electromotriz dada por 𝐸(𝑡) =
100𝑠𝑒𝑛(60𝑡)voltios, una resistencia de 2Ω, con un inductor de 0.1H y un capacitor de
1
260
Faradios. Si la corriente inicial y la carga inicial del capacitor son ambas cero; entonces
hallar la carga del capacitor en cualquier tiempo 𝑡 > 0.