1. P. Fire invento los llamados fire codes, cuales son códigos cíclicos binarios diseñados específicamente para corregir singulares burst de errores. DISEÑO: sea p(x) un polinomio irreducible de grado m sobre 6f (2). U p ser el mas pequeño entero tal que p(x) divide Xp -1 p es llamado el periodo de p(x). sea 1 un entero positivo tal que 1≤m y pX2p-1 . Sea g(x) el polinomio general definido por gx=x21-1 ±1(px) Observar que lao partes p(X) y x21-1+1 son primos relativos la longitud n del código es el menor común múltiple de 21-1 y el periodo n=LCM(21-1,p) Y la dimensión de los códigos es K=n-m-21+1 especificaciónPara un polinomio irreducible p(x) de grado tLongitud n=LCM(21-1,p) donde p es el periodo de p(X)Símbolos de informaciónK=n-3t+1Polinomio generador gx=x2t-1-1p(X)Capacidad de control de erroresCorrige burst de longitud t Ejemplo: con pX=1+x+x4 como polinomio primitivo, y entonces p=24-1=15 sea 1=4 y notar que 21-1=7 y 7 no es divisible por 15. Por lo tanto el código de fuego tiene generador. gX=x7-11+x+x4=1+x+x4+x7+x8+x11 Con longitud y dimensión n=LCM7,15=105y K=94 Definición: un polinomio p(X) sobre un campo es dicho tener periodo p tal que p es el mas pequeño tal que p(X) divide xp-1 (tomar en cuenta que p(X) genera un código cíclico d e longitud n) Definición: un fire code es un código cíclico con un polinomio generador gx=x2t-1-1p(X) Para algún polinomio irreducible p(X) de grado a lo menos t y un periodo no divisible por 2t-1 la longitud del código es el menor común múltiplo de 2t-1 y el periodo. Teorema: el fire code es generado por gx=(x2t-1)p(X) y corrige errores burst de longitud t. Un código reed-salomon En 6F (q) es un código BCH de longitud N=q-1. Por su puesto, por su puesto que nunca es 2. También es un código cíclico con polinomio generador gX=(x-∝bx-∝b+1⋯(x-∝b+s-2 ), donde ∝ es un elemento primitivo de 6F (Q). La dimensión es K=N-S+1 y la mínima distancia es S. (frecuentemente b=1) el código Red-salomón es un MDS (máxima distancia separable). Pueden ser extendidas a los siguientes códigos [q+1,k,q-k+2] y si q=2m [2m+2,3,2m] y [2m+2,2m-1,3], los códigos Reed-Salomón son importantes por unas razones: Son códigos naturales que se usan que se usan cuando se requiere una longitud menor que el tamaño del campo. Por ser MDS tienen las mas altas posible distancia mínima. Son convenientes para construir otros códigos. (como veremos) pueden ser transportados a códigos binarios con una gran distancia mínima. Son usados para construir códigos concatenados y tustesen. Son muy útiles para corregir errores en forma de burst. Teorema: supóngase que F es un campo de orden 2n, sea C un código Red-Salomón (2n-1,t) en F[x]. Entonces c(X) t F(X) de grado menor que 2n-1 esta en C si y únicamente si Cai=0 para i=1,2,……,2t. METODO DE CORRECION DE ERRORES REED-SALOMON Si F es un campo 2ny sea C un código RS(2n-1,t) en F[x]. Cuando c(X)tc es trasmitido y se recibe r(X) donde r(X)=c(X)+e(X) para cualquier error polinomial e(X) en F(X) de grado menor que 2n-1, nosotros podemos utilizar los siguientes pasos para determinar c(X). Calcular los syndromes de r(X), de la siguiente manera s1=ra,s2=ra2,…..,s2t=r(a2t). Después formar el polinomio syndrome Sz=s1+s2z+s3z2+…+s2tz2t-1. Construir la tabla del algoritmo euclidiano para el polinomio z2t y S(z) en F[z] y detenerse hasta que el primer renglón j donde grad (rj)