直観主義命題論理におけるタブロー法による定理証明器

1. 直観主義命題論理におけるタブロー法による定理証明器の開発 yorisilo 某日

2. 目次背景と目的準備直観主義論理クリプキモデルクリプキモデルを用いた意味論タブロー法目的現状今後付録タブロー法における展開規則の適用方法（アルゴリズム）直観主義論理として妥当な式（恒真式）直観主義論理における意味論的帰結参考文献

3. 背景と目的背景直観主義論理に基づいて命題の恒真性を証明するのは，古典論理の場合に比べて難しくより複雑な推論が必要となる．直観主義論理では古典論理の場合と異なり，推論規則を適用する順番が重要である．目的タブロー法による証明のための効率的なアルゴリズムを提案する．

4. 直観主義論理直観主義論理一般に古典論理における推論規則から二重否定除去則（::E）を除いたものを直観主義論理という．

5. 直観主義論理直観主義論理一般に古典論理における推論規則から二重否定除去則（::E）を除いたものを直観主義論理という．

6. 直観主義論理直観主義論理直観主義論理では健全性・完全性を備えた意味論は真理値表からは定義することができないクリプキモデルによる意味論を考える

7. 直観主義論理クリプキモデル PV は原子式の集合 W は世界の集合を到達可能関係といい，W 上の半順序関係とする． V を各世界に対して，原子式の部分集合を割り当てる関数とする．つまり，V : W ! PV である．定義クリプキフレーム⟨W; ⟩ に対して，M = ⟨W; ; V⟩ をクリプキフレーム⟨W; ⟩ に基づくクリプキモデルM という．また，V がモデルM の世界w 2 W に与える原子式A 2 PV の集合を VM(w) PV で表す．ただし，VM は次の条件をみたさなければならない．w w′ならばVM(w) VM(w′)

8. 直観主義論理モデルの例 W = f1; 2; 3; 4g 1 2; 2 3; 2 4 V(1) = fPg; V(2) = fP; Qg; V(3) = fP; Q; Rg; V(4) = fP; Qg

9. 直観主義論理クリプキモデルを用いた意味論 ⊩ を世界w 2 W と論理式A との二項関係とする．w ⊩ A を「世界 w において論理式A が実現可能である」という意味になるように以下で帰納的に定義する．定義論理式の解釈 1 w ⊩ A iff A 2 V(w) 2 w ⊩ A ^ B iff w ⊩ A かつw ⊩ B 3 w ⊩ A _ B iff w ⊩ A またはw ⊩ B 4 w ⊩ A ! B iff すべてのw w′であるw′について，w′ ⊩ A ならばw′ ⊩ B 5 w ⊩ :A iff すべてのw w′であるw′について，w′ ⊮ A また，w w′ならばV(w) V(w′) より， w ⊩ A かつw w′ならばw′ ⊩ A が成立する．

10. タブロー法タブロー法タブロー法とは与えられた論理式A に対して次々と展開規則を適用していき，証明図を得るための方法である．得られる証明図の概形は次のような形のものである．ここで，0 2 W とする．

14. タブロー法タブロー法の展開規則図1: 展開規則

28. タブロー法タブロー法による証明の例展開規則を適用させるw ⊮ A やw ⊩ A の選び方によってはバックトラックや分岐が必要となる可能性があり，証明図を無駄に長くすることがある．前提として，というタブロー法による途中の証明があるとする．

29. タブロー法タブロー法による証明の例バックトラックを必要とする0 ⊩ A ^ B に対して展開規則を適用した場合バックトラックを必要としない0 ⊮ A _ B に対して展開規則を適用した場合

40. 目的展開規則の適用の仕方によっては証明に不必要なバックトラックや分岐を行うことがある Statman[2] によれば，バックトラックと分岐を完全に排除することはできない．バックトラックや分岐を可能な限り制限し，効率よく証明を行える展開規則，アルゴリズムを考える．

41. 現状 Avellone らのアルゴリズム[1] を元に，展開規則の改良中である．分岐やバックトラックを可能な限り行わないようにするためのアルゴリズムを模索中である．

42. 今後与えられた論理式に対して，証明図を出力するタブロー法による定理証明器を実装する．健全性・完全性を備え，バックトラックや分岐を可能な限り行わないような効率のよいアルゴリズムを開発する．

43. 付録

44. タブロー法展開規則の適用方法（アルゴリズム）展開規則の適用方法 1 与えられた論理式A が世界w で実現可能でないと仮定して， w ⊮ A を縦に並べたものから分析を始める． 2 w ⊮ A ! B とw ⊮ :A においては，w′ として新たな世界の記号を入れて，w w′ を枝の先に付けて分析する． 3 w ⊩ A ! B とw ⊩ :A においては，すべての到達可能な世界に対して到達可能な関係を枝の先につけて分析する． 4 同じ枝の中に，w ⊩ p;w ⊮ p が生じたら矛盾を表すを付けて分析をやめる（p は原子式）． 5 矛盾を生じない枝が1 つでもあれば，与式は妥当ではない．そして，その枝が与式の反証モデルである． 6 すべての枝で矛盾が生じれば，与式は妥当式である． 7 1 つでも枝が閉じれば，与式は充足可能なモデルが存在する．

45. 意味論直観主義論理として妥当な式（恒真式）古典論理におけるトートロジーにあたる論理式を直観主義論理として妥当な式という．定義論理式A が直観主義論理として妥当iff あらゆるモデル M = ⟨W; ; V⟩ に対するすべての世界w 2 W においてw ⊩ A ある論理式A が妥当でないことを証明したいのなら，w ⊮ A となるようなw を含むモデルを作ればよい．また，ある論理式A が妥当であることを証明したいのなら，w ⊮ A となるようなw を含むモデルがあると仮定して，矛盾を導けばよい．w ⊮ A となるようなw を含むモデルをA の反証モデルという．

46. 意味論直観主義論理における意味論的帰結直観主義論理のクリプキモデルによる意味論を定義したので直観主義論理における意味論的帰結は以下のように定義することができる．定義 j= C (論理式C が論理式の集合から直観主義論理における意味論的に帰結する．) iff あらゆるモデルのすべての世界w において次が成り立つ．の要素のすべての論理式A に対して， w ⊩ A であるならばw ⊩ C

47. 参考文献 [1] Alessandro Avellone, Guido Fiorino, Ugo Moscato. “A Tableau Decision Procedure for Propositional Intuitionistic Logic”. The 6th International Workshop on the Implementation of Logics ,vol.5, no.2, pp.25–48, 2009. [2] R. Statman. Intuitionistic logic is polynomial-space complete. Theoretical Computer Science, 9(1):67–72, 1979. [3] 戸田山和久，“論理学をつくる”，名古屋大学出版会，2000． [4] 萩谷昌己，西崎真也， “論理と計算のしくみ”，岩波書店， 2007． [5] 亀山幸義“命題論理の体系” http://logic.cs.tsukuba.ac.jp/ kam/lecture/complogic2014/4.pdf 筑波大学計算論理学講義テキスト．

直観主義命題論理におけるタブロー法による定理証明器

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Destaque

Destaque (20)

直観主義命題論理におけるタブロー法による定理証明器