metode numerik

1. 6. Pencocokan Kurva
Regresi & Interpolasi

2. Pendahuluan
 Data yang berasal dari hasil pengamatan
lapangan, pengukuran atau tabel yang diambil
dari buku-buku acuan.
 Nilai antara, turunan, integral  mudah dicari
untuk fungsi polinom
 Fungsi sulit perlu disederhanakan menjadi fungsi
polinom  f (x) p (x) n »
n
n np (x) = a + a x + a x2 +...+ a x
0 1 2

3. Pendahuluan (Cont.)
 Bantuan beberapa titik dicocokan dalam kurva pn(x).
 Metode pencocokan titik dengan sebuah kurva ada 2
macam :
X
Y
X
Y
Regresi Interpolasi

4. Regresi
 Untuk data dengan berketelitian rendah
 Kurva tidak perlu melewati semua titik yang tersedia
 Kurva yang dibentuk merupakan kecenderungan dari
sekelompok data
 Dipilih kurva yang memiliki selisih antara titik data
dengan kurva hampiran sekecil mungkin
 Ketidaktelitian disebabkan oleh : kesalahan
mengukur, ketidaktelitian alat ukur atau kelakuan
sistem yang diukur.

5. Regresi (Cont.)
 Prinsip penting yang harus diketahui dalam
pencocokan kurva untuk data hasil pengukuran :
– Fungsi mengandung sesedikit mungkin parameter bebas
– Deviasi fungsi dengan titik data dibuat minimum
 Manfaat Pencocokan Kurva untuk data hasil
pengukuran :
– Bagi ahli sains/rekayasa : mengembangkan formula empirik
untuk sistem yang diteliti
– Bagi ahli ekonomi : menentukan kurva kecenderungan
ekonomi untuk meramalkan kecenderungan yang akan
datang

6. Regresi Linier
 Persamaan kurva : f(x) = a + bx dari titik-titik
(xi,yi).
 Karena (xi,yi) merupakan hasil pengukuran
yang mengandung galat, maka dapat ditulis :
g(xi) =yi + ei, i = 1,2,…,n
 Deviasi persamaan kurva dengan nilai data :
ri = yi – f(xi) = yi – (a + bxi)

7. Regresi Linier (Cont.)
 Total kuadrat deviasinya :
n
å å( )
2 2
R = r = y - a -
bx
i i i =
i
1
 Agar R minimum, maka haruslah :
¶ = -2 ( - - ) = 0 dan
R = -2 ( - - ) = 0 ¶
¶ å i i a y a bx
R
¶ å i i i b x y a bx
 Kedua persamaan dibagi -2, menjadi :
( )
( ) 0 0
å å å å
y a bx y a bx
- - = Þ - - =
0 0
i i
= = = =
1 1 1 1
n
å å å å
- - = Þ - - =
i
i i i i i
= = =
1 1 1
i
n
i
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
i i
x y a bx x y ax bx

8. Regresi Linier (Cont.)
 Selanjutnya :
å å å
a + bx =
y
= = =
n
1 1 1
å + å 2
=
å
i
= = =
i i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ax bx x y
1 1
1
å å
na + b x =
y
1 1 atau
= =
+ =
n
å å å
i
2
= = =
i i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
a x b x x y
1 1
1
 Dalam bentuk persamaan matrik :
ù
ú ú ú ú
û
é
=
ê ê ê ê
ë
ù
ú ú
û
é
ê ê
ë
ù
ú ú ú ú
û
é
ê ê ê ê
ë
å
å
å
n x
=
å å
=
=
= =
n
i
y
i i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
x y
a
b
x x
1
1
1
2
1
1
å å å
n x y x y
= = =
1 1 1
n
-
i i i i
ö çè
n x x
b
i
a y bx
n
i i
i
n
i
n
i
n
i
= -
÷ø
- æ
=
å å
= =
1
2
1
2
Solusinya :

9. Regresi Kuadratik
 Persamaan kurva : f(x) = a + bx +cx2 dari titik-titik
(xi,yi).
 Karena (xi,yi) merupakan hasil pengukuran
yang mengandung galat, maka dapat ditulis :
g(xi) =yi + ei, i = 1,2,…,n
 Deviasi persamaan kurva dengan nilai data :
ri = yi – f(xi) = yi – (a + bxi+cxi
2)

10. Regresi Kuadratik (Cont.)
 Total kuadrat deviasinya :
n
å å
2 ( 2 )2
R = r = y - a - bx -
cx
i i i i =
i
1
 Agar R minimum, maka haruslah :
¶ å i i i a y a bx cx
¶ = -2 ( - - - 2 ) = 0
R
¶ å i i i i b x y a bx cx
¶ = -2 ( - - - 2 ) = 0
R
¶ å i i i i c x y a bx cx
¶ = -2 2 ( - - - 2 ) = 0
R

11. Regresi Kuadratik (Cont.)
 Kedua persamaan dibagi -2, menjadi :
å å å å å
2 2
y - a - bx - cx Þ y - a - bx -
cx
( )
i i i i i i
å å å å å
x ( y - a - bx - cx )
Þ x y - ax - bx -
cx
i i i i i i i i i
å å å å å
2 2 2 2 3 4
x y a bx cx x y ax bx cx
i i i i i i i i i
ù
ú ú ú
û
å å å å
a bx cx y
i i i
å å 2 å 3
å
ax bx cx x y
i i i i i
å å å å
2 3 4 2
ax bx cx x y
i i i i i
é
=
ê ê ê
2 3
2 3 4 2
ë
ù
ú ú ú
û
+ + =
+ + =
é
ê ê ê
ë
ù
ú ú ú
û
ß
é
ê ê ê
ë
+ + =
ß
- - - Þ - - -
å
å
å
å å
n x x
i i
å å å
x x x
i i i
å å å
i
y
x y
i i
i i
i i i
x y
a
b
c
x x x
2
2
2 2 3
( )

12. Linearisasi
 Regresi linier hanya cocok untuk data yang
memiliki hubungan linier antara variabel
bebas dengan variabel terikatnya.
 Penggambaran grafik dan pemeriksaan data
secara visual untuk memastikan apakah
berlaku suatu model linier

13. Linearisasi Pangkat Sederhana
 Mencocokkan data dengan fungsi y = Cxb
y Cxb
ln(y) = ln(C) +
bln(x)
=
Y = a + bX
ù
úû
12.7139
é
-
êë
Sistem persamaan linier :
ù
= úû
é
êë
ù
úû
é
-
êë
-
1.0659
7 1.2447
1.2447 6.2522
a
b
Solusinya adalah : a = 1.8515, b = 0.1981
C = ea = e1.8515 = 6.369366
Jadi kurva yang dipakai :
y = 6.369366x0.1981

14. Linearisasi Fungsi Eksponensial
 Mencocokkan data dengan fungsi y = Cebx
y Cebx
y = C +
bx e
ln( ) ln( ) ln( )
y = C +
bx
=
ln( ) ln( )
Y = a + bX
Sistem persamaan linier :
ù
12.7139
é
= úû
é
ù
é
7 8.26
a
Solusinya adalah : a = ….., b =……..
Jadi kurva yang dipakai :
úû
êë
ù
êë
úû
êë
16.007
8.26 14.416
b
C = ea = ea = .......
y = Cebx

15. Interpolasi
 (n+1) buah titik berbeda (x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn).
 Menentukan polinom pn(x) yang menginterpolasi semua titik-titik
tersebut sedemikian rupa sehingga :
yi = pn(xi) untuk i=0,1,2,..,n
 Selanjutnya p(x) dapat digunakan untuk menghitung hampiran
y(x).
 Jika x0<xk<xn, maka p(xk) disebut nilai interpolasi.
 Jika xk<x0 atau xk>xn, maka p(xk) disebut nilai ekstrapolasi.
 Interpolasi bermanfaat untuk mencari nilai hampiran sebagai
pengisi kaitan data yang hilang.

16. Interpolasi Linier
 Interpolasi dua buah titik
dengan sebuah garis lurus.
Misal (x0,y0) dan (x1,y1).
 Persamaan garis lurus yang
terbentuk :
p1(x) = a0 + a1x
 a0 dan a1 dicari dengan cara
berikut :
y = a +
a x
= +
0 0 1 0
y a a x
1 0 1 1
Dengan proses eliminasi dan
subtitusi didapatkan :
a = y -
y
1 0
x x
a = x y -
x y
1 0 0 1
1 0
0
1 0
1
x -
x
-
Setelah disubtitusi dalam
persamaan dan dilakukan sedikit
otak-atik aljabar didapatkan :
p x = y + y -
y -
( ) ( ) 0
1 0 x x
( )
1 0
x -
x
( )
1 0
X
Y
(x0,y0)
(x1,y1)

17. Interpolasi Kuadratik
 Interpolasi tiga buah titik dengan sebuah persamaan polinom kuadrat.
 Persamaan polinom kuadrat yang terbentuk :
 Persamaan dari 3 titik dengan a0, a1 dan a2 adalah sebagai berikut :
0
Misal (x0,y0), (x1,y1) dan (x2,y2).
p2(x) = a0 + a1x + a2x2
a + a x + a x =
y
a a x a x y
1
2
2
0 1 0 2 0
2
+ + =
0 1 1 2 1
2
a + a x + a x =
y
0 1 2 2 2
 Dengan metode eliminasi Gauss, didapatkan nilai a0,a1 dan a2.
Y
X
(x0,y0)
(x1,y1)
(x2,y2)

18. Interpolasi Kubik
 Interpolasi empat buah titik dengan sebuah persamaan polinom kubik.
Misal (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2), dan (x3,y3).
 Persamaan polinom kuadrat yang terbentuk :
p3(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3
 Persamaan dari 4 titik dengan a0, a1, a2 dan a3 adalah sebagai berikut :
3
a + a x + a x + a x =
y
a + a x + a x + a x =
y
a + a x + a x + a x =
y
3
3 3
2
0 1 2 2 3
2
3
3 2
2
0 1 2 2 2
1
3
3 1
2
0 1 1 2 1
0
3
3 0
2
0 1 0 2 0
a + a x + a x + a x =
y
 Dengan metode eliminasi Gauss, didapatkan nilai a0,a1 dan a2.
Y
(x3,y3)
X
(x0,y0)
(x1,y1)
(x2,y2)

19. Resume
Interpolasi linier, kuadratik, kubik dan
seterusnya relatif kurang disukai disebabkan
persamaan yang diperoleh (terutama yang
berderajat tinggi) akan berkondisi buruk.

20. Interpolasi Lagrange
 Nama diambil dari penemunya Joseph Louis Lagrange (Perancis)
 Bentuk umum derajat <n untuk (n+1) titik berbeda :
= å
p x = y L x = y L x + y L x + +
y L x
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
x x x x x x x x x x
= - - - - -
( )( )...( )( )...( )
i - i +
n
0 1 1 1
( )( )...( )( )...( )
n i i
x -
x
( )
j
( )
( )
0 1 1 1
0
0 0 1 1
0
i i i i i i i n
i j
n
i j j
i
n n
n
i
x x x x x x x x x x
x x
L x
- - - - -
-
= P
- +
¹ =
 Contoh Kasus :
Diberikan fungsi y = f(x) dengan 3 buah titik data dalam tabel berikut :
X 1 4 6
Y 1.5709 1.572
7
tentukan nilai f(3.5)!
1.575
1

21. Interpolasi Lagrange
function Lagrange (x:real; n: integer):
real;
var
i, j : integer;
pi, L : real;
begin
L = 0;
for i:=0 to n do
begin
pi :=1;
for j:=0 to n do
if i<>j then
pi:=pi*(x-x(j))/(x(i)-x(j));
endfor
L:=L+y(i)*pi;
endfor;
Lagrange :=L;
end.
Kurang disukai karena :
– Jumlah komputasi yang
dibutuhkan untuk satu kali
interpolasi besar.
– Hasil komputasi pada derajat
yang lebih rendah tidak bisa
digunakan untuk menghitung
derajat yang lebih tinggi.

22. Interpolasi Newton
 Bentuk umum :
(i) Rekurens :
pn(x) = pn-1(x)+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
(i) Basis :
p0(x) = f(x0) = y0
a f x
( )
=
0 0
a f x x
[ , ]
=
a =
f x x x
2 2 1 0
[ , ,..., , ]
...
[ , , ]
1 1 0
1 1 0
a f x x x x
n n n- =
f x -
f x
i j
f x x - f x -
x
i j j k
f x x x x = f x x x -
f x x x
[ , ,..., , ] [ , ,..., ) [ , ,..., )
n n 1 1 n 1 n
2 0
0
1 1 0
...
[ , ] [ ]
[ , , ]
( ) ( )
[ , ]
x x
x x
f x x x
x x
f x x
n
n n
i k
i j k
i j
i j
-
-
=
-
=
- - -
-
 Bentuk umum juga dapat ditulis :
p x f x x x f x x x x x x f x x x
= + - + - - + +
( ) ( ) ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ] ...
0 0 1 0 0 1 2 1 0
x x x x x x f x x x x
( )( )...( ) [ , ,..., , ]
n n n
0 1 1 1 1 0
n
- - - - -

23. Tabel Selisih Terbagi Newton
i xi yi=f(xi) ST-1 ST-2 ST-3 …
0 x0 f(x0) f[x1,x0] f[x2,x1,x0] f[x3,x2,x1,x0] …
1 x1 f(x1) f[x2,x1] f[x3,x2,x1] …
2 x2 f(x2) f[x3,x2] …
3 x3 f(x3) …
… … …
ST : Selisih Terbagi
Contoh Kasus :
Diberikan data pada tabel dibawah ini, taksirlah nilai fungsi di x = 2.5! Dengan
polinom newton orde 3. xi 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
f(xi) 1.0000 0.5403 -0.4161 -0.9900 -0.6536

24. Interpolasi Spline
 Tidak semua kasus semakin tinggi derajat kurva akan semakin bagus.
 Misal untuk kasus dimana terdapat perubahan kecekungan yang
sangat mendadak  fungsi tangga.
 Solusi : dibuat polinom per-potong yang berderajat rendah.
(x1,y1)
(x0,y0)
(x2,y2)
(x3,y3)
(xk,yk)
(xk+1,yk+1)
(xn,yn)
 y = Sk(x) dan y = Sk+1(x) masing-masing terletak

25. Spline Linier
 Setiap pasang titik