Conteo

1. IInndduucccciióónn ccoommpplleettaa
 EEll pprriinncciippiioo ddeell bbuueenn oorrddeenn:: ttooddoo ccoonnjjuunnttoo
nnoo vvaaccííoo ddee eenntteerrooss ppoossiittiivvooss ppoosseeee uunn
mmíínniimmoo..

2. PPrriinncciippiioo ddeell bbuueenn oorrddeenn
 EEll pprriinncciippiioo ddeell bbuueenn oorrddeenn:: ttooddoo ccoonnjjuunnttoo
nnoo vvaaccííoo ddee eenntteerrooss ppoossiittiivvooss ppoosseeee uunn
mmíínniimmoo..
 EEjjeemmpplloo:: AA=={{nn:: 22nn--((--11))nn nnoo eess mmúúllttiipplloo 33 }}
 SSii nnoo ffuueerraa vvaaccííoo,, tteennddrrííaa uunn mmíínniimmoo mm..
 11)) mm>>11 ppuueess 2211--((--11))11== 33
 22)) ccoommoo 22mm--((--11))mm nnoo eess mmúúllttiipplloo ddee 33 Þ
 22mm--11--((--11))mm--11 eess mmúúllttiipplloo ddee 33 ((¿ppoorrqquuéé??))

3. PPrriinncciippiioo ddeell bbuueenn oorrddeenn
 PPeerroo ssii 22mm--11--((--11))mm--11 eess mmúúllttiipplloo ddee 33 Þ
 ((ccllaassee ppaassaaddaa)) 22mm--((--11))mm eess mmúúllttiipplloo ddee 33
 ¡¡CCoonnttrraaddiicccciióónn!! Þ AA eess vvaaccííoo..
 EEqquuiivvaalleenncciiaa ddeell pprriinncciippiioo ddee bbuueenn oorrddeenn yy
eell ddee iinndduucccciióónn ccoommpplleettaa:: eejjeerrcciicciioo oo lleeeerr
GGrriimmaallddii TTeeoorreemmaa 44..11

4. IInndduucccciióónn ccoommpplleettaa ffuueerrttee
 PPrriinncciippiioo ddee iinndduucccciióónn ffuueerrttee:: SSeeaa AA((nn))
uunnaa pprrooppoossiicciióónn aacceerrccaa ddeell eenntteerroo nn..
SSii ssaabbeemmooss qquuee::
 AA((nn00)) ,, AA((nn00++11)),, ……,, AA((nn11)) eess vveerrddaaddeerraa yy
 SSii kk ³ nn11 ,,ssiieemmpprree qquuee AA((nn00)) ,, AA((nn00++11)),, ……,, AA((kk))
sseeaa vveerrddaaddeerraa ssee ccuummppllee qquuee AA((kk++11)) ttaammbbiiéénn
lloo eess,,
 EEnnttoonncceess AA((nn)) vvaallee ppaarraa ttooddoo nn³nn00..

5. IInndduucccciióónn ccoommpplleettaa ffuueerrttee
 EEjjeemmpplloo:: TTooddoo nnaattuurraall mmaayyoorr qquuee 77 ssee
ppuueeddee eexxpprreessaarr ccoommoo ssuummaa ddee 33ss yy 55ss
 PPrriinncciippiioo ddee iinndduucccciióónn ffuueerrttee aa AA((nn)) == ““nn
eess ssuummaa ddee 33ss yy 55ss””.. YY nn00 == 88..
 DDeemmoossttrraarreemmooss qquuee
 AA((88)) ,, AA((99)),, AA((1100)) ssoonn vveerrddaaddeerraass yy
 SSii kk ³ 1100 ,, AA((88)) ,, AA((99)),, ……,, AA((kk)) vveerrddaaddeerraass Þ
AA((kk++11)) vveerrddaaddeerraa

6. IInndduucccciióónn ccoommpplleettaa ffuueerrttee
 AA((88)) ,, AA((99)),, AA((1100)) ,, AA((1111)) ::
 88 == 33++55,, 99 == 33++33++33,, 1100==55++55
 kk ³ 1100 yy AA((88)) ,, AA((99)),, ……,, AA((kk)) vveerrddaaddeerraass Þ
AA((kk++11)) vveerrddaaddeerraa::
 kk ³ 1100 Þ kk >> kk++11--33 ³ 88 Þ AA((kk++11--33)) vveerrddaaddeerraa
 Þ kk++11--33 == 33++....++33++55++....++55 Þ
 kk++11 == 33++ 33++....++33++55++....++55 Þ
 AA((kk++11)) vveerrddaaddeerraa::

7. Inducción ccoommoo ffoorrmmaa ddee ccoonntteeoo
 EEssqquueemmaa::
 11)) ccuueennttoo aa ““mmaannoo”” aallgguunnooss ccaassooss ppaarraa
ddiiffeerreenntteess nn
 22)) CCoonnjjeettuurroo uunnaa ffóórrmmuullaa
 33)) LLaa ddeemmuueessttrroo ppoorr iinndduucccciióónn

8. Inducción ccoommoo ffoorrmmaa ddee ccoonntteeoo
 EEjjeemmpplloo:: CCaannttiiddaadd ddee ssuubbccoonnjjuunnttooss ddee uunn ccoonnjjuunnttoo ccoonn
1100 eelleemmeennttooss..
 00)) CCoonnssiiddeerroo eell pprroobblleemmaa ggeenneerraall ppaarraa nn eelleemmeennttooss yy aann
ddiicchhaa ccaannttiiddaadd
 11)) ssii nn == 11 tteennggoo PP(({{11}})) == {{{{}},, {{11}}}}
Þ aa11 == 22
 nn == 22 PP(({{11,,22}})) == {{{{}},, {{11}},, {{22}},,{{11,, 22}}}}
Þ aa22 == 44
 nn == 33 PP(({{11,,22,,33}})) == {{{{}},,{{11}},, {{22}},,{{33}},,{{11,, 22}},,{{11,,33}},,{{22,,33}}
,,{{11,,22,,33}}}}
Þ aa22 == 88

9. Inducción ccoommoo ffoorrmmaa ddee ccoonntteeoo
 EEjjeemmpplloo:: CCaannttiiddaadd ddee ssuubbccoonnjjuunnttooss ddee uunn ccoonnjjuunnttoo ccoonn
1100 eelleemmeennttooss..
 00)) CCoonnssiiddeerroo eell pprroobblleemmaa ggeenneerraall ppaarraa nn eelleemmeennttooss yy aann
ddiicchhaa ccaannttiiddaadd
 11)) ssii nn == 11 tteennggoo PP(({{11}})) == {{{{}},, {{11}}}}
Þ aa11 == 22 == 2211
 nn == 22 PP(({{11,,22}})) == {{{{}},, {{11}},, {{22}},,{{11,, 22}}}}
Þ aa22 == 44 == 2222
 nn == 33 PP(({{11,,22,,33}})) == {{{{}},,{{11}},, {{22}},,{{33}},,{{11,, 22}},,{{11,,33}},,{{22,,33}}
,,{{11,,22,,33}}}}
Þ aa22 == 88 == 2233

10. Inducción ccoommoo ffoorrmmaa ddee ccoonntteeoo
 22)) CCoonnjjeettuurroo qquuee aann == 22nn
 33)) DDeemmoossttrraacciióónn ppoorr iinndduucccciióónn::
 BBaassee:: nn == 11 yyaa lloo cchheeqquuee
 PPaassoo iinndduuccttiivvoo SSii vvaallee ppaarraa kk vvaallee ppaarraa kk++11::
 SSeeaa SS Í AAkk++11 == {{11,,……,,kk++11}} eennttoonncceess
 oo bbiieenn kk++11 Î SS oo bbiieenn kk++11 Ï SS.. Þ
 PP((AAkk++11)) == {{SS ssiinn kk++11}} È {{SS ccoonn kk++11}}
 PPeerroo {{SS ssiinn kk++11}} == PP((AAkk))
 YY {{SS ccoonn kk++11}} == {{SS È {{kk++11}}:: SS ssiinn kk++11}} Þ
 ||{{SS ccoonn kk++11}}|| == ||{{SS ssiinn kk++11}}|| == aakk
 Þ aakk++11 == aakk ++ aakk == 22kk ++ 22kk == 22kk++11..

11. DDeeffiinniicciioonneess rreeccuurrssiivvaass
 EEjjeemmpplloo 11:: nn!! == nn´ ((nn--11))!! YY 00!! == 11
 EEjjeemmpplloo 22:: CCmm
nn == CCmm--11
nn ++ CCmm--11
nn--11 yy
 CCmm
mm == 11
 VVeennttaajjaass::
 CCáállccuulloo
 DDeemmoossttrraacciióónn ppoorr iinndduucccciióónn
 DDeessvveennttaajjaass:: PPrrooppiieeddaaddeess

12. TTrriiáánngguulloo ddee PPaassccaall

14. Ejemplo de ddeemmoossttrraacciióónn uussaannddoo
llaa ddeeffiinniicciióónn rreeccuurrssiivvaa
 CCoonnssiiddeerree llaa ssuucceessiióónn ddeeffiinniiddaa ppoorr
aann == aann--11 ++ aann--22 ssii nn ³ 22,,
yy aa00 == aa11 == 11
EEnnttoonncceess aa22 == aa11 ++ aa00 == 11 ++11 == 22
aa33 == aa22 ++ aa11 == 22 ++11 == 33
EEttcc
nn 00 11 22 33 44 55 66 77
aann 11 11 22 33 55 88 1133 2211

15. Ejemplo de ddeemmoossttrraacciióónn uussaannddoo
llaa ddeeffiinniicciióónn rreeccuurrssiivvaa
 CCoonnjjeettuurraammooss qquuee aann ³ 22 nn " nn ³ 66
 PPoorr iinndduucccciióónn ffuueerrttee ccoonn nn00 == 66 yy nn11 == 77..
 PPaassoo bbaassee:: ssaallee ddee llaa ttaabbllaa..
 PPaassoo iinndduuccttiivvoo:: ssuuppoonneemmooss vváálliiddaa llaa pprrooppoossiicciióónn ppaarraa nn ==
66,, 77,, ……,, kk ccoonn kk ³ 77 yy qquueerreemmooss ddeemmoossttrraarrllaa ppaarraa kk++11:: aakk++11
== aakk ++aakk--11
 PPaarraa aapplliiccaarr hhiippóótteessiiss iinndduuccttiivvaa aa aakk yy aakk--11 ddeebbeemmooss
cchheeqquueeaarr qquuee kk yy kk--11 eessttáánn eennttrree 66 yy kk.. PPaarraa kk eess oobbvviioo,,
ppaarraa kk--11,, ssaallee ddee ccóómmoo kk ³ 77 Þ kk--11 ³
 aakk ³ 22kk ++ 22((kk--11)) == 44kk--22 qquuee eess mmaayyoorr oo iigguuaall qquuee 22((kk++11))
ppaarraa ttooddoo kk ³ 22,, ppeerroo eessttaabbaammooss bbaajjoo llaa hhiippóótteessiiss ddee kk ³
66,, aassíí qquuee ssee ccuummppllee..

16. PPrriinncciippiioo ddee iinncclluussiióónn--eexxcclluussiióónn
 ¿CCuuaannttooss eenntteerrooss ddeell 11 aall 110000 nnoo ssoonn
mmúúllttiippllooss ddee 22 nnii ddee 33??
 ¿CCuuáánnttaass ssoolluucciioonneess eenntteerraass hhaayy aa llaa
eeccuuaacciióónn
xx++yy++zz++tt == 1188,, ccoonn xx,, yy,, zz,, tt <<==77
 ¿CCuuáánnttaass ffuunncciioonneess ssoobbrreeyyeeccttiivvaass hhaayy??
 ¿CCuuaannttaass ppeerrmmuuttaacciioonneess nnoo ddeejjaann
nniinngguunnoo ssíímmbboolloo eenn ssuu lluuggaarr oorriiggiinnaall??

17. DDiiaaggrraammaass ddee VVeennnn

18. DDiiaaggrraammaass ddee VVeennnn
Ventanal en el
comedor del
Gonville and Caius
College, Cambridge,
conmemorando la
estancia de Venn y su
principal
descubrimiento

19. DDiiaaggrraammaass ddee VVeennnn

20. DDiiaaggrraammaass ddee VVeennnn

21. PPrriinncciippiioo ddee iinncclluussiióónn--eexxcclluussiióónn
 ||((AA11
ccÇ……ÇAAnn
cc))|| ==
||UU|| -- ||((AA11È……È AAnn))cc||==
||UU|| -- ||AA11È……ÈAAnn|| ==
||UU|| -- ||AA11|| -- ||AA22|| --……-- ||AAnn|| ++
++ ||AA11ÇAA22|| ++ ||AA11ÇAA33||++ ……++||AAnn--11ÇAAnn||++ ||
AA11ÇAA22ÇAA33||++ …… ++ ||AAnn--22ÇAAnn--11ÇAAnn||--……
((--11))nn ||AA11ÇAA22Ç……ÇAAnn||

22. NNúúmmeerrooss ddee SSttiirrlliinngg
 SSoobb((mm,, nn)) == Skk==00
mm CCmm
kk ((--11))kk ((nn--kk))mm
 SS((mm,, nn)) == SSoobb((mm,,nn))//nn!!
 SSoobb((mm,, nn)) == CCaanntt.. ddee ffoorrmmaass ddee ddiissttrriibbuuiirr
mm oobbjjeettooss ddiissttiinngguuiibblleess eenn nn ccaajjaass
ddiissttiinngguuiibblleess ssiinn qquuee qquueeddeenn ccaajjaass vvaaccííaass
 SS((mm,, nn)) == CCaanntt.. ddee ffoorrmmaass ddee ddiissttrriibbuuiirr mm
oobbjjeettooss ddiissttiinngguuiibblleess eenn nn ccaajjaass
iinnddiissttiinngguuiibblleess ssiinn qquuee qquueeddeenn ccaajjaass
vvaaccííaass

23. RReessuummeenn ddee ttééccnniiccaass ddee ccoonntteeoo
 BBáássiiccaass:: ccoommbbiinnaacciioonneess,, eettcc
 IInndduucccciióónn ccoommpplleettaa
 IInncclluussiióónn--eexxcclluussiióónn
 PPrriinncciippiioo ddeell ppaalloommaarr

24. RReellaacciioonneess ddee rreeccuurrrreenncciiaa
 EEjjeemmpplloo:: ¿ddee ccuuáánnttaass ffoorrmmaass ssee ppuueeddee
bbaallddoossaarr uunn ppaattiioo ddee 22xx1166 ccoonn bbaallddoossaass
ddee 11xx22??

25. RReellaacciioonneess ddee rreeccuurrrreenncciiaa
 EEjjeemmpplloo:: ¿ddee ccuuáánnttaass ffoorrmmaass ssee ppuueeddee
bbaallddoossaarr uunn ppaattiioo ddee 22xx1166 ccoonn bbaallddoossaass
ddee 11xx22??

26. RReellaacciioonneess ddee rreeccuurrrreenncciiaa
 EEjjeemmpplloo:: ¿ddee ccuuáánnttaass ffoorrmmaass ssee ppuueeddee
bbaallddoossaarr uunn ppaattiioo ddee 22xx1166 ccoonn bbaallddoossaass
ddee 11xx22??

27. RReellaacciioonneess ddee rreeccuurrrreenncciiaa
 EEjjeemmpplloo:: ¿ddee ccuuáánnttaass ffoorrmmaass ssee ppuueeddee
bbaallddoossaarr uunn ppaattiioo ddee 22xx1166 ccoonn bbaallddoossaass
ddee 11xx22??

28. RReellaacciioonneess ddee rreeccuurrrreenncciiaa
 EEjjeemmpplloo:: ¿ddee ccuuáánnttaass ffoorrmmaass ssee ppuueeddee
bbaallddoossaarr uunn ppaattiioo ddee 22xx1166 ccoonn bbaallddoossaass
ddee 11xx22??

29. RReellaacciioonneess ddee rreeccuurrrreenncciiaa
 SSii ffuueerraa cchhiiccoo sseerrííaa mmááss ffáácciill ddee ccoonnttaarr!!
 EEmmppeecceemmooss ppoorr llooss mmááss cchhiiccooss:: 22xx11,, 22xx22,,
22xx33,, eettcc::

30. BBaallddoossaaddoo 22xx33

31. BBaallddoossaaddoo
2x2
2x3
2x4

32. BBaallddoossaaddoo
2x2
2x3
2x4

33. BBaallddoossaaddoo
 EEnn ggeenneerraall ssii vvooyy aa ccoonnssttrruuiirr ccuuaallqquuiieerr
bbaallddoossaaddoo,, tteennggoo eexxaaccttaammeennttee ddooss ffoorrmmaass ddee
eemmppeezzaarr::
 ccoonn uunnaa bbaallddoossaa vveerrttiiccaall oo
 CCoonn ddooss bbaallddoossaass hhoorriizzoonnttaalleess
 EEnn eell pprriimmeerr ccaassoo eell rreessttoo lloo bbaallddoossaammooss ccoommoo
ssii eell ppaattiioo ffuueerraa llaarrggoo nn--11 mmiieennttrraass qquuee eenn eell
sseegguunnddoo ccoommoo ssii ffuueerraa ddee nn--22
 AAssíí aann == aann--11 ++ aann--22 mmiieennttrraass qquuee aa11 ==11 yy aa22 == 22..

34. BBaallddoossaaddoo
 AAssíí aann == aann--11 ++ aann--22 mmiieennttrraass qquuee aa11 ==11 yy aa22 == 22..
 DDee aaqquuíí llaa ssuucceessiióónn eess:: 11 22 33 55
88 1133 2211 3344 5555 8899 114444 223333
337777 661100 998877 11559977
 DDee ddoonnddee hhaayy 11559977 ffoorrmmaass ddee bbaallddoossaarr
uunn ppaattiioo ddee 22xx1166..

35. BBaallddoossaaddoo
 ¿AAssiinnttóóttiiccaass??