2. Contenidos:
● Escalares y vectores
● Sistemas de coordenadas
● Algunas propiedades de los vectores
● Componentes de un vector
● Vectores unitarios
3. Vectores
Las magnitudes físicas fundamentales que
estudiamos en el capítulo de introducción son
tales que están determinadas por medio de un
único número. Llamaremos a este tipo de
magnitudes escalares.
Existe otro tipo de magnitudes físicas que
están determinadas por más de un único
número. Ellas son las magnitudes que
denominaremos vectores.
4. Vectores
Algunos ejemplos de magnitudes escalares son:
Temperatura
Resistencia eléctrica
Diferencia de potencial
Presión
5. Vectores
Algunos ejemplos de vectores son:
Fuerza: coloquialmente hablamos de cuánta
fuerza ejercemos y de hacia dónde y dónde la
ejercemos.
Velocidad: acostumbramos hablar de qué tan
rápido nos movemos y hacia dónde.
Desplazamiento: decimos cuánto nos hemos
movido y hacia dónde.
6. Vectores
De los tres ejemplos anteriores se ve que los
vectores tienen algunos elementos en común:
●Están completamente definidos por más de un
número o valor.
●Intuitivamente están asociados a las ideas de
magnitud y dirección.
●En este capítulo, estas nociones las
formularemos matemáticamente.
7. Vectores
Comenzaremos considerando el concepto de posición
Podemos indicar un punto por
un par de coordenadas (x,y) en
un sistema de coordenadas
cartesiano, como en la figura:
8. Vectores
Ahora, podemos imaginar que en
el punto P(4,2) se encuentra un
objeto.
Decimos entonces, que la
posición de dicho objeto está
descrita por el punto P cuyas
coordenadas son x = 4m e y = 2m
9. Vectores
Como vemos, se requieren dos
números, x = 4 m e y = 2 m, para
determinar e informar la
posición de un objeto.
Notemos que, en el ejemplo, el
objeto está sobre un plano.
En general, se requieren más de
dos números para establecer la
posición de un objeto. Por
ejemplo, en el espacio.
10. Vectores
En algunas situaciones usamos coordenadas,
indicamos, por ejemplo, la “intersección de un
par de calles”. En otras situaciones decimos
“dos cuadras hacia el centro”.
Dos cuadras: idea de la distancia entre dos
puntos. Cantidad de cuadras que se debe
recorrer para llegar a la posición deseada.
Hacia el centro: idea de la dirección en la que se
debe caminar para llegar a la posición deseada.
11. Vectores
Matemáticamente, ¿de dónde proviene nuestra noción de
la vida diaria en la que se indica la posición de un objeto
por medio de qué tan lejos se encuentra y en qué
dirección?
y Distancia desde el origen
0 hasta el punto P:
P(x0 , y0)
y0 r
r= x + y
2
0
2
0
x
0 x0
Ángulo formado por la flecha,
con respecto al eje x:
θ = tan − 1 ( y 0 / x 0 )
12. Definición de vector
Podemos indicar la posición de cualquier punto por
medio de los valores de r y del ángulo θ
Decimos que la flecha que comienza en el origen 0 y
termina en el punto P representa gráficamente a un
vector.
y
P(x0 , y0) El largo de la flecha se
y0 r
llama módulo del vector.
x
0 x0 El ángulo que el vector
forma con respecto al eje
x es su dirección.
13. Vectores
Algunos ejemplos de magnitudes físicas
vectoriales que estudiaremos en el transcurso
de esta asignatura:
Desplazamiento Torque
Velocidad Momento lineal
Aceleración Momento angular
Fuerza ...
14. Equivalencia de vectores
Consideraremos dos vectores como equivalentes
cuando sus módulos y direcciónes sean iguales
B Los vectores A y B son equivalentes,
y tienen igual módulo y dirección.
D
A Los vectores A y C no son equivalentes,
tienen la misma dirección, pero su
módulo es distinto.
x
Los vectores A y D no son equivalentes,
C E tienen el mismo módulo, pero sus
direcciones son distintas.
Los vectores A y E no son equivalentes,
difieren tanto en módulo, como en
dirección.
15. Equivalencia de vectores
Ejemplo:
y y B
A B A
x x
0 0
El transporte de A paralelo al El transporte de A paralelo al
eje x produce un nuevo vector eje y produce un nuevo vector
equivalente B equivalente B
18. Multiplicación por un Escalar
y y B = αA
A
x x
0 0
Al multiplicar un vector por un número (un escalar)
obtenemos un nuevo vector, con la misma dirección que
el inicial, pero con una longitud distinta.
19. Multiplicación por un Escalar
Ejemplo:
y y
A
x x
0 0
B = −A
Con la elección: α=−1
hemos invertido el vector
22. Vectores unitarios
Hemos visto gráficamente algunas operaciones sobre
los vectores. Sin embargo, para nuestros estudios
posteriores necesitaremos una descripción analítica de
los mismos.
y
ˆ j
Definiremos los vectores i y ˆ ,
ˆ
j los cuales tienen las siguientes
x
0 tres propiedades:
iˆ
Tienen la dirección positiva del eje
Son perpendiculares (ortogonales)
Tienen módulo uno (adimensionales)
23. Descomposición de vectores
y
De la suma de vectores
sabemos que:
A
Ay A = Ax + Ay
De la multiplicación por
un escalar sabemos que
ˆ
j x Ax ax i
0 iˆ Ax Ay ay j
Luego:
A ax i ay j
24. Todo vector puede ser descompuesto como una
suma de los vectores unitarios multiplicados por
la componente escalar de cada eje.
A ax i a y j
y
ay A
Por ejemplo, en la figura:
j A 6i 4 j
0 x
i ax
25. Operaciones con vectores
Consideremos los vectores:
A ax i ay j B bx i by j
Suma de vectores:
C = A+ B = ( axi + a y ˆ
ˆ j ) + (
bx i + b y ˆ
ˆ j )
C = ( a x + bx ) iˆ + (a y )
+ by ˆ
j
C = cx i + c y ˆ
ˆ j
26. Operaciones con vectores
Resta de vectores:
C = A− B = ( axi + ay ˆ
ˆ j ) − ( bx i + b y ˆ
ˆ j )
C = ( a x − bx ) iˆ + ( a y − by ˆ
j )
C = cxi + c y ˆ
ˆ j
O sea, que para la suma y resta de vectores, se tiene:
c x = a x ± bx c y = a y ± by
27. Multiplicación de un vector por un escalar:
(
C = αA = α a x i + a y ˆ
ˆ j )
C = ( αa x ) iˆ + ( αa ) ˆj
y
C = cxi + c y ˆ
ˆ j
O sea, que para este caso, se tiene:
cx = α ax cy = αay
28. Producto Escalar de dos vectores
El producto escalar de dos vectores A y B es una
cantidad escalar igual al producto de las magnitudes de los
dos vectores y el coseno del ángulo entre los dos vectores.
A ⋅ B = A B co s (θ )
P roy ección de A sobre B Proyección de B sobre A
A cos θ B
B A
θ
A
θ
B cos θ
29. Se cumplen las siguiente propiedades:
A⋅ B = B⋅ A Conmutativa
(
A⋅ B + C ) = A⋅ B + A⋅C Distributiva
A ⋅ ( λB ) = λ A⋅ B Asociativa
y El producto escalar entre
ˆ vectores unitarios es:
j
i ⋅i = ˆ⋅ ˆ = k⋅k = 1
ˆ ˆ j j ˆ ˆ
ˆ
k ˆ
x
i
z i ⋅ ˆ = ˆ⋅k = k⋅i = 0
ˆ j j ˆ ˆ ˆ
30. Si los vectores están expresado en componentes:
A = A x i + A y ˆ + Az k
ˆ j ˆ B = B x i + B y ˆ + Bz k
ˆ j ˆ
Entonces, se define el producto escalar como:
A ⋅ B = A x B x + A y B y + Az B z
Caso particular: A= B
A ⋅ A = A x A x + A y A y + Az Az
A ⋅ A = A x + A y + A z2
2 2
A⋅ A = A
2
31. Si conocemos la magnitud de
y un vector, |A|, y su dirección, el
ángulo θ, entonces podemos
ay A calcular sus componentes de la
|A | siguiente forma:
j θ x ax = |A|cos(θ)
0 i ax ay = |A|sin(θ)
Inversamente, si conocemos
sus componentes podemos
A = a 2
x + a 2
y
calcular su módulo y su
dirección, de la siguiente
forma: (
θ = tan −1 a y / a x )
32. La descomposición de un vector
en un plano, en vectores unitarios
ortogonales, puede ser extendida
al caso del espacio
tridimensional.
Basta considerar tres vectores
ortogonales unitarios, como se
aprecia en la figura.
Luego, un vector arbitrario
se descompone como:
A ax i ay j az k
