1. บทที่ 3
สมการกําลังสอง (12 ชั่วโมง)
3.1 ทบทวนสมการกําลังสอง (2 ชั่วโมง)
3.2 การแกสมการกําลังสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ (6 ชั่วโมง)
3.3 โจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสอง (4 ชั่วโมง)
นักเรียนเคยเรียนการแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวที่อยูในรูป ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ a, b, c
เปนคาคงตัว และ a ≠ 0 ในกรณีที่สามารถแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2
+ bx + c ใหอยูในรูป
การคูณกันของพหุนามดีกรีหนึ่งสองพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มมาแลวในหนังสือเรียน
สาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 2 เนื้อหาในบทนี้เปนสาระตอเนื่องจาก
ความรูดังกลาวเกี่ยวกับการแกสมการกําลังสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณและผลตางของกําลังสอง
คําตอบของสมการกําลังสองในบทเรียนนี้จะขยายไปถึงจํานวนที่เขียนอยูในรูปของกรณฑที่สอง นอก
จากนี้ยังไดกลาวถึงการหาคําตอบของสมการ ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว และ a ≠
0 โดยใชสูตร x = 2a
4acbb- 2
−±
เพื่อใหนักเรียนมีวิธีการหาคําตอบของสมการไดมากขึ้น
ทั้งมีการนําความรูเกี่ยวกับสมการกําลังสองไปใชแกโจทยปญหา
ตัวอยางและกิจกรรมที่จัดไวในแตละหัวขอ มีเจตนาใหนักเรียนเขาใจเทคนิควิธีแกสมการ
กําลังสองและการนําไปใชแกโจทยปญหา นอกจากการทําแบบฝกหัดในหนังสือเรียนตามปกติแลว
ครูอาจใหนักเรียนฝกทักษะเพิ่มเติมโดยยกตัวอยางและเลือกโจทยที่ไมซับซอนและยุงยากตอการคิดคํานวณ
แตเนนแนวคิดและวิธีการแกปญหาเพื่อใหนักเรียนมีความรูความเขาใจมากขึ้น
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
1. แกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวได
2. แกโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียวได
3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

2. 34
แนวทางในการจัดการเรียนรู
3.1 ทบทวนสมการกําลังสอง (2 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวในรูป ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ a, b, c
เปนคาคงตัว และ a ≠ 0 โดยใชการแยกตัวประกอบได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูควรทบทวนรูปทั่วไปของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว และขั้นตอนการแกสมการรวม
ถึงการตรวจสอบคําตอบเพื่อเปนพื้นฐานในการเรียนหัวขอนี้
2. สําหรับตัวอยางที่ 1, 2, 3 และ 4 มีเจตนาใหทบทวนความรูเรื่องการแกสมการกําลังสอง
ตัวแปรเดียวโดยใชการแยกตัวประกอบของพหุนามตามที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว ในตัวอยางที่ 3 ครูควร
ชี้ใหนักเรียนเห็นรูปแบบของการแยกตัวประกอบที่เปนกําลังสองสมบูรณ ซึ่งทําใหไดตัวประกอบสอง
ตัวประกอบที่เหมือนกันและไดคําตอบของสมการสองคําตอบเหมือนกัน ดังนั้นสมการเชนนี้มีคําตอบ
เพียงคําตอบเดียว
3. สําหรับตัวอยางที่ 5, 6 และ 7 เปนตัวอยางที่ขยายความรูเดิม ในตัวอยางแสดงใหเห็นการ
แกสมการโดยการแยกตัวประกอบที่เปนผลตางของกําลังสองและคําตอบอยูในรูปของกรณฑที่สอง ครู
อาจแนะใหนักเรียนหาคําตอบของสมการเหลานี้โดยใชสมบัติของรากที่สองของจํานวนจริง แตการใชวิธี
นี้นักเรียนจะตองระมัดระวังในการหาคําตอบของสมการมาใหครบทุกคําตอบ ทั้งนี้ครูควรย้ํากับนักเรียน
วาในการแกสมการทุกครั้ง ในขั้นตอนสุดทายตองตรวจสอบคําตอบของสมการดวย
3.2 การแกสมการกําลังสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ (6 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถแกสมการกําลังสอง ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว
และ a ≠ 0 โดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณหรือใชสูตร x = 2a
4acbb 2
−− ±
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ก และ 3.2 ข
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูควรทบทวนการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ ครูอาจ
ยกตัวอยางสมการกําลังสองที่ไมสามารถแยกตัวประกอบไดโดยงาย จําเปนตองมีการเพิ่มพจนเขาและลบ
ออก เพื่อจัดบางสวนของพหุนามใหอยูในรูปกําลังสองสมบูรณ ครูควรชี้แนะใหนักเรียนสังเกตวาพจนที่
นํามาลบนั้นสามารถทําใหไดจํานวนที่อยูในรูปกําลังสอง เพื่อทําใหไดพหุนามที่เปนผลตางของกําลังสอง

3. 35
และสามารถแยกตัวประกอบตอไปได
2. สําหรับตัวอยางที่ 5 การทําสมการที่อยูในรูป ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ a ≠ 1 ใหมีพหุนาม
อยูในรูปกําลังสองสมบูรณ จะตองทําสัมประสิทธิ์ของ x2
ใหเปน 1 ครูควรชี้และย้ํากับนักเรียนวาจะ
ตองนํา a ไปหารทุก ๆ พจนของสมการ
3. ครูควรใหนักเรียนฝกการแกสมการกําลังสองโดยการแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยูในรูป
กําลังสองสมบูรณและผลตางของกําลังสองโดยการทําแบบฝกหัด 3.2 ก แลวจึงยกตัวอยางการแกสมการ
กําลังสองที่อยูในรูป ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัวที่ a ≠ 0 ซึ่งจะไดสูตรหาคําตอบของ
สมการเปน x = 2a
4acbb 2
−− ±
ครูควรย้ํากับนักเรียนวาในกรณีที่ใชสูตรนี้หาคําตอบของสมการจะ
ตองรูวา b2
– 4ac > 0 จากนั้นครูจึงคอยชี้แนะใหนักเรียนสังเกตจํานวนคําตอบของสมการ
ax2
+ bx + c = 0 ที่ขึ้นอยูกับคาของ b2
– 4ac โดยพิจารณาแยกกรณีตามที่เสนอไวในหนังสือเรียน
สวนกรณีที่ 3 กลาวถึง b2
– 4ac < 0 จะไดคําตอบของสมการที่ไมใชจํานวนจริง ในกรณีนี้ครูไมจํา
เปนตองบอกนักเรียนวาคําตอบเปนอยางไร แตใหบอกเพียงวาไมมีคําตอบที่เปนจํานวนจริงเทานั้น
ครูควรชี้แนะใหนักเรียนสังเกตวาในการหาคําตอบโดยใชสูตร จะไมมีการตรวจสอบคํา
ตอบ เพราะไดมีการตรวจสอบในขั้นตอนการพิสูจนสูตรอยูแลว แตถาไมแนใจในการคํานวณ ก็ควร
ตรวจสอบความถูกตองของคําตอบอยางไมเปนทางการดวย
4. กิจกรรม “ทําไดไหม” มีเจตนาใหนักเรียนใชเงื่อนไขในการหาคําตอบจากสูตรหาคําตอบ
ของสมการกําลังสอง ซึ่งในที่นี้นักเรียนควรวิเคราะหไดวาตองใชเงื่อนไข b2
– 4ac = 0 มาชวยในการ
หาคา k
5. กิจกรรม “เกี่ยวของกันอยางไร” มีเจตนาใหนักเรียนสังเกตเห็นความสัมพันธระหวางคํา
ตอบของสมการกําลังสอง ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ก ประกอบดวยก็ได
6. กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ข “สูตรชวยได” มีเจตนาแสดงใหเห็นการใชสูตรหาคําตอบของสม
การกําลังสองมาชวยในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2
+ bx + c ที่ไมสามารถ
เขียนเปนผลคูณของพหุนามดีกรีหนึ่งสองพหุนามไดโดยงาย ครูอาจยกตัวอยางการแยกตัวประกอบของ
พหุนาม 24x2
+ 7x – 5 มาแสดงใหเห็นวา ถาแยกตัวประกอบโดยวิธีปกติจะยุงยากอยางไร แตเมื่อใช
สูตรที่แนะนําไวมาชวย จะสามารถแยกตัวประกอบไดอยางรวดเร็ว

4. 36
3.3 โจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสอง (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. แกโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียวได
2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.3
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูทบทวนขั้นตอนการแกโจทยปญหาโดยใชสมการกําลังสอง อาจใชโจทยในตัวอยางที่ 1
มาแสดงวิธีทําและชี้ใหเห็นวาในขั้นตอนการแกสมการกําลังสองในการหาคา x นักเรียนอาจใชการแยก
ตัวประกอบของพหุนาม x2
– 22x + 105 เปน (x – 15)(x – 7) แลวหาคา x ตามวิธีทําที่เคยเรียนมากอน
แลวก็ได
นอกจากตัวอยางที่ใหไวในหนังสือเรียนแลว ครูอาจยกตัวอยางโจทยปญหาที่มีคําตอบ
เปนจํานวนอตรรกยะเพิ่มเติมดวยก็ได
ครูควรเนนใหนักเรียนเห็นความสําคัญของการตรวจสอบคําตอบ ซึ่งจะตองนําคาของตัวแปร
ไปตรวจสอบกับเงื่อนไขในโจทย ไมควรนําคาของตัวแปรไปแทนในสมการที่นักเรียนหามาได ทั้งนี้
เพราะนักเรียนอาจเขียนสมการผิด และเมื่อนําคาของตัวแปรที่หามาไดจากสมการนั้นไปแทนคาตัวแปรใน
สมการก็จะยังไดสมการที่เปนจริง แตเมื่อนําคาของตัวแปรไปตรวจสอบกับเงื่อนไขในโจทยก็จะไมสอด
คลองกับเงื่อนไขในโจทย
2. สําหรับแบบฝกหัด 3.3 เปนการแกโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสองที่อยูในรูปการบวก
การลบและการคูณของพหุนามเทานั้น ในที่นี้จะยังไมกลาวถึงสมการที่เกี่ยวของกับเศษสวนของพหุนาม
ซึ่งนักเรียนจะไดเรียนในภาคเรียนตอไป ครูไมควรใหโจทยฝกเพิ่มเติมที่เกี่ยวกับเศษสวนของพหุนาม
ครูอาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.3 ซึ่งเปนโจทยปญหาที่มีคําตอบเปนจํานวนอตรรกยะเพิ่มเติม
อีกก็ได
3. สําหรับกิจกรรม “หาอัตราสวนทองอีกวิธีหนึ่ง” ตองการใหนักเรียนไดเห็นการหาอัตรา
สวนทองโดยใชสมการกําลังสอง ถามีเวลาพอครูอาจนําวิธีการหาอัตราสวนทองตามแนวคิดที่
นักเรียนเคยเรียนมาแลวในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 2
ในกิจกรรม “อัตราสวนทอง” หนา 121 – 122 มาเชื่อมโยงโดยขยายความรูดังนี้
กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีแตละดานยาว x หนวย ใหจุด E เปน
จุดกึ่งกลางของ AB เมื่อใชจุด E เปนจุดศูนยกลางรัศมี EC เขียนสวนโคงตัด AB ที่จุด F ดังรูป ก
ลาก FG ตั้งฉากกับ AF ตัด DC ที่จุด H จะได AFHD เปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาทอง ดังรูป ข ซึ่ง
สามารถหาอัตราสวนทองไดดังนี้

5. 37
จากรูป AFHD จะได BC = a หนวย และ BE = a
2 หนวย
จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส
จะได EC2
= BC2
+ BE 2
= a2
+
2
2
a
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
EC = 4
aa
2
2
+
= 4
5a2
ดังนั้น EC = a2
5
เนื่องจาก EC = EF (เปนรัศมีของวงกลมเดียวกัน)
จะได EF = a2
5
เนื่องจาก AF = AE + EF
จะได AF = 2
a + a2
5
= 2
a)51( +
จากรูปสี่เหลี่ยมผืนผาทอง AFHD จะไดอัตราสวนของความยาวตอความกวางเทากับ
AF : AD
ดังนั้น AD
AF = a
a2
51+
= 2
51+
นั่นคือ อัตราสวนทองเทากับ 2
51+
ซึ่งคิดเปนประมาณ 1.618
A E B
CD
F A E B
CD
F
H
G
รูป ก รูป ข

6. 38
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม
คําตอบแบบฝกหัด 3.1
1.
1) 0 และ 3 2) 0 และ 2
5
3) 1 และ 3 4) ไมมีคําตอบ
5) 3
2 และ -1 6) 5
2
7) 2
5- และ 3
1 8) 5
3 และ 2
5-
9) 4
3 และ -2 10) 4
1-
11) 2
3- และ -1 12) 3
5 และ 1
13) 3
5 14) ไมมีคําตอบ
15) 3
7 และ 8 16) 3
4 และ 1
2.
1) 6 และ 6- 2) 17 และ 17-
3) 6 และ -6 4) ไมมีคําตอบ
5) 2 + 60 และ 2 – 60 6) ไมมีคําตอบ
7) 2
3 และ 2
9- 8) 3
234 −
และ 3
234 +
9) 5
102+
และ 5
102−
10) 1 และ 7
3-
11) 2 และ 3
4- 12) 2
3- และ 4
1-
13) 2
11 และ 4 14) ไมมีคําตอบ
15) ไมมีคําตอบ 16) 9
2

7. 39
คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ก
1. 103+ และ 103− 2. 104- + และ 104- −
3. ไมมีคําตอบ 4. 2
293- +
และ 2
293- −
5. 3 6. ไมมีคําตอบ
7. 3
72+
และ 3
72−
8. ไมมีคําตอบ
9. 2
332- + และ 2
332- − 10. 5
4 และ 2
3-
11. 4
339- +
และ 4
339- −
12. ไมมีคําตอบ
13. 3
4 และ 2
1 14. 2
10-
15. 6
897+
และ 6
897−
16. 0 และ 3
8
17. 3 และ -1 18. 13
302- +
และ 13
302- −
19. 2
577+
และ 2
577−
20. 2
331- +
และ 2
331- −
คําตอบกิจกรรม “ทําไดไหม”
1. -12 และ 12
2. 16
3. 25
4. 2 และ 18
คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ข
1.
1) มีคําตอบ สองคําตอบ 2) มีคําตอบ สองคําตอบ
3) ไมมีคําตอบ 4) มีคําตอบ หนึ่งคําตอบ
5) มีคําตอบ สองคําตอบ 6) ไมมีคําตอบ
7) มีคําตอบ สองคําตอบ 8) มีคําตอบ หนึ่งคําตอบ

8. 40
9) ไมมีคําตอบ 10) มีคําตอบ หนึ่งคําตอบ
2.
1) 1 และ 11 2) -2 และ 5
3) -2 + 3 และ -2 – 3 4) ไมมีคําตอบ
5) 2
7 และ -2 6) 2
3 และ 5
1
7) 7
1 8) 6
137+
และ 6
137−
9) 4
177+
และ 4
177−
10) 5
622- +
และ 5
622- −
3.
1) 2
71+
และ 2
71−
2) 1 + 5 และ 1 – 5
3) 4
331+
และ 4
331−
4) ไมมีคําตอบ
5) 0 และ 4
1 6) 0
7) 7 และ 4
13- 8) 4
53+
และ 4
53−
9) -4 และ 5 10) 17
10 และ -2
คําตอบกิจกรรม “เกี่ยวของกันอยางไร”
1. a
b- 2. a
c
ผลบวกของคําตอบของสมการเทากับ a
b- และผลคูณของ
คําตอบของสมการเทากับ a
c
คําตอบแบบฝกหัด 3.3
1. กวาง 12 เมตร
ยาว 15 เมตร
2. AB = 12 เซนติเมตร
BC = 5 เซนติเมตร

9. 41
AC = 13 เซนติเมตร
3. ความยาวของฐาน BC = 8 เซนติเมตร
4. 25 และ 27
5. กวาง 8 เซนติเมตร ยาว 15 เซนติเมตร และสูง 6 เซนติเมตร
6. 4 เซนติเมตร
7. กวาง 5 เซนติเมตร ยาว 11 เซนติเมตร
หรือกวาง 5.5 เซนติเมตร ยาว 10 เซนติเมตร
8. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD มีขนาดยาวดานละ 6 เซนติเมตร
รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก PQRS มีขนาดกวาง 4 เซนติเมตร และยาว 9 เซนติเมตร
9. 50 แถว และแถวละ 40 ตน
10. 49 ตารางวา และ 121 ตารางวา

10. 42
กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

11. 43
กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ก
กิจกรรมนี้ใชเสริมกิจกรรม “เกี่ยวของกันอยางไร” ในหนังสือเรียน หนา 82
นักเรียนทราบมาแลววาถา r1 และ r2 เปนคําตอบของสมการ ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ a, b, c
เปนคาคงตัว และ a ≠ 0 แลว
r1 + r2 = a
b-
21 rr ⋅ = a
c
ความสัมพันธของคําตอบของสมการดังกลาวสามารถนํามาแกปญหาได เชน
ตัวอยาง จงหาคา k จากสมการและสิ่งที่กําหนดใหในแตละขอตอไปนี้
1) kx2
– 2x + 7 = 0 และผลบวกของคําตอบของสมการเปน 5
2
2) 4x2
– 11x + (k – 3) = 0 และผลคูณของคําตอบของสมการเปน 2
3
วิธีทํา 1) kx2
– 2x + 7 = 0
เนื่องจาก r1 + r2 = 5
2
จะได a
b- = 5
2
ดังนั้น k
(-2)- = 5
2
นั่นคือ k = 5
ตอบ 5
2) 4x2
– 11x + (k – 3) = 0
เนื่องจาก 21 rr ⋅ = 2
3
จะได a
c = 2
3
ดังนั้น 4
3k −
= 2
3
k – 3 = 6
นั่นคือ k = 9
ตอบ 9

12. 44
จงหาคา p จากสมการและสิ่งที่กําหนดใหในแตละขอตอไปนี้
1. 3px2
– 5x – p = 0 และผลบวกของคําตอบของสมการเปน 5
1
3
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
2. 2py2
+ 4y – 6p = 0 และผลบวกของคําตอบของสมการเปน 3
4 3
-2
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
3. 5m2
– (p + 1)m – 2 = 0 และผลบวกของคําตอบของสมการเปน 5
3 [2]
4. 6x2
+ x – 3p = 0 และผลคูณของคําตอบของสมการเปน 2
3- [3]
5. px2
– 6x – 1 = 0 และผลคูณของคําตอบของสมการเปน 5
1- [5]
6. 3
2 px2
+ 2px – 4 = 0 และผลคูณของคําตอบของสมการเปน 6 [-1]

13. 45
กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ข
กิจกรรมนี้ตองการใหเห็นการนําสูตรการหาคําตอบของสมการกําลังสองมาใชในการ
แยกตัวประกอบพหุนามที่อยูในรูป ax2
+ bx + c
สูตรชวยได
นักเรียนเคยหาคําตอบของสมการกําลังสอง ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว และ
a ≠ 0 ไดจากสูตร
x = 2a
4acbb- 2
−±
เมื่อ b2
– 4ac > 0
เราสามารถอาศัยสูตรนี้ชวยในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2
+ bx + c
เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัวที่ b2
– 4ac > 0 และ a ≠ 0 ได โดยกําหนดให r1 = 2a
4acbb- 2
−+
และ r2 = 2a
4acbb- 2
−−
สูตรการแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2
+ bx + c จะไดเปน ax2
+ bx + c = a(x – r1)(x – r2)
คําอธิบายเพิ่มเติมสําหรับครู
พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2
+ bx + c เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัวที่ b2
– 4ac > 0
และ a ≠ 0 โดยใชวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณไดดังนี้
ax2
+ bx + c =
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ++
a
c
xa
b
xa 2
= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +++ −
a
c
2a
b
2a
b
xa
b
xa
22
2
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−+ 2
22
4a
4acb
2a
b
xa
ถา b2
– 4ac > 0
จะได ax2
+ bx + c =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−+
222
2a
4acb
2a
b
xa

14. 46
= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−+
2a
4acb
2a
b
xa
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
++
2a
4acb
2a
b
x
2
= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
+
2a
4acbb
xa
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −+
+
2a
4acbb
x
2
= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
−
+
2a
4acbb-
xa
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
−
2a
4acbb-
x
2
กําหนด r1 = a2
4acbb- 2
−+
และ r2 = a2
4acbb- 2
−−
ดังนั้น จะสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชสูตรไดดังนี้
ax2
+ bx + c = a(x – r1)(x – r2) เมื่อ r1 และ r2 เปนคําตอบของสมการ ax2
+ bx + c = 0
ตัวอยาง จงแยกตัวประกอบของพหุนามตอไปนี้
1) 2x2
– 3x + 1
2) 30x2
+ 7x – 18
3) 3x2
– 2x – 4
วิธีทํา
1) 2x2
– 3x + 1
จากสูตร x = 2a
4acbb- 2
−±
ในที่นี้ a = 2, b = -3 และ c = 2
จะได x = 2(2)
4(2)(1)(-3))3-(- 2
−±
= 4
13 ±
นั่นคือ r1 = 1 หรือ r2 = 2
1
ดังนั้น 2x2
– 3x + 1 = 2(x – 1) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
2
1
x
หรือ = (x – 1)(2x – 1)
ลองตรวจสอบดูซิวา
เปนจริงหรือไม

15. 47
2) 30x2
+ 7x – 18
จากสูตร x = 2a
4acbb- 2
−±
ในที่นี้ a = 30, b = 7 และ c = -18
จะได x = 2(30)
4(30)(-18)77- 2
−±
= 60
477- ±
นั่นคือ r1 = 3
2 หรือ r2 = 10
9-
ดังนั้น 30x2
+ 7x – 18 = 30
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −
3
2
x ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
10
9
-x
= 3 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
3
2
x 10 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
10
9
x
= (3x – 2)(10x + 9)
3) 3x2
– 2x – 4
จากสูตร x = 2a
4acbb- 2
−±
ในที่นี้ a = 3, b = -2 และ c = -4
จะได x = 2(3)
4(3)(-4)(-2))-2(- 2
−±
= 6
522 ±
= 3
131 ±
นั่นคือ r1 = 3
131 +
หรือ r2 = 3
131 −
ดังนั้น 3x2
– 2x – 4 = 3
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +
−
3
131x
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −
−
3
131x
= ( )[ ]131x3 +−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −
−
3
131x

16. 48
ใหนักเรียนแยกตัวประกอบของพหุนามตอไปนี้
1. 2x2
+ 11x – 6 [(x + 6)(2x – 1)]
2. 5x2
– 8x – 4 [(5x + 2)(x – 2)]
3. 3m2
– 4m – 1 3
2 7 2 7
x x3 3
−
− −
+⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
4. 5y2
– 6y – 1
3 14 3 14
5 x x5 5
−
− −
+⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
5. 24x2
+ 7x – 5
5 1
24 x x8 3−+
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
6. 2x2
+ 9x + 6
9 33 9 33
2 x x4 4
−+
+ +
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
7. 3x2
+ 12x + 1
6 33 6 33
3 x x3 3
−+
+ +
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
8. 25x2
– 10x – 1
1 2 1 2
25 x x5 5
−
− −
+⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

17. 49
แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.3
1. จํานวนสองจํานวนตางกันอยู 5 ถาผลคูณของทั้งสองจํานวนมากกวาสามเทาของผลบวกของทั้งสอง
จํานวนอยู 1 จงหาจํานวนทั้งสองนั้น
+ +⎡
⎢
⎣
11 65 1 65
,2 2 หรือ
− − ⎤
⎥
⎦
11 65 1 65
,2 2
2. รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีดานฐานยาวกวาความสูงอยู 3 เซนติเมตร ถาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเทากับ
120 ตารางเซนติเมตร ดานฐานของรูปสามเหลี่ยมนี้ยาวเทาไร [ประมาณ 17.06 เซนติเมตร]
3. ดินสอแทงหนึ่งยาว 7 นิ้ว ใสลงในกระปองทรงกระบอกรัศมี 2 นิ้ว ความสูงของกระปองเทากับ
ความยาวของดินสอพอดี ถาเลื่อนดินสอใหปลายขางหนึ่งชนกับขอบกระปองดานในที่อยูตรงขาม
ดังรูป ดินสอจะเลื่อนลงจากขอบกระปองเปนระยะทางเทาไร [ประมาณ 1.26 นิ้ว]
4. ลุงพรมีที่ดินเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาอยูติดริมคลองสองดาน วัดความยาวรอบที่ดินได 74 เมตร
ที่ดินกวาง 10 เมตร ดานที่ติดคลองลุงพรปลูกผักไว ทําใหเหลือเนื้อที่ตรงกลางเพียง 205 ตาราง
เมตร
ดังรูป จงหาความกวางของแปลงผัก [ประมาณ 1.85 เมตร]
10เมตร
ปลูกผัก
ปลูกผัก
คลอง
คลอง
205 ตารางเมตร
7 นิ้ว