1. 目反 理 公式文档项 应 论
2009.9.8
albert.xu@watervilleinc.com

2. LOGISTIC 三参数模型
 一共有 m 道 目，题 n 个被试
 （ i=1,2,…,m; j=1,2,…,n ）
 “ 能力为 θj 的被 在 目试 项 i 上答 的概率”对
 D = 1.702
)(
1
1
)( iji bDa
i
iji
e
c
cP −−
+
−
+= θθ
)(
)(
1
)1(
)(1)( iji
iji
bDa
bDa
i
jiji
e
ec
PQ −−
−−
+
−
=−= θ
θ
θθ

3. 目的信息函数项
 其中 是 被 能力水平对 试 θ 的 大似然估 （基于二 分布理极 计 项
）论
2)()(
22
2'2
]1][[
)1(D
)()(
)(
)|ˆvar(
)/(
)(
iiii bDabDa
i
ii
ii
i
i
eec
ca
QP
PddE
I
−−−
++
−
=
==
θθ
θθ
θ
θθ
θ
θ
θˆ

4.  目的信息函数求 以求 大 （对项 导 极 值 θ 个 目信息函数为这 值时项
到峰 ， 句 就是 的达 值 换 话说 动态选题 bi 在 个附近的 候信息量这 时
最大）：
 的对应 3PLM 和 2PLM 分 是：极值 别
目的信息函数项
2
811
ln
1
max
i
i
i
c
Da
b
++
+=θ
2
222
max
)813)(8112(
)811)(1(2D
)(
iii
iii
i
ccc
cca
I
+++++
++−
=θ
4
D
)(
22
max
i
i
a
I =θ

5. 的 信息函数测试 总
∑=
=
m
i
iII
1
)()( θθ

6. 似然函数
1
1
i i
m
u u
i i
i
L P Q −
=
= ∏
1
ln ( ln (1 )ln(1 ))
m
i
L u P u P
=
= + − −∑

7. P 的一 数阶导
( )
1
i i i i i
i
P Da P c Q
cθ
∂ −
=
∂ −
( ) ( )
1
i i i i i
i
P D b Q P c
a c
θ∂ − −
=
∂ −
( )
1
i i i i i
i
P Da Q P c
b c
∂ − −
=
∂ −
1
i i
i
P Q
c c
∂
=
∂ −

8. 似然函数对 θ 的一 数阶导
1
1
( )ln
( )( )
(1 )
m
i i i
i i i
m
i i i i i
i i i
u P PL
PQ
Da u P P c
P c
θ θ=
=
− ∂∂
= ×
∂ ∂
− −
=
−
∑
∑

9. 似然函数对 θ 的二 数阶导
2 2 22
2 2 2
1
( )( )(1 )ln
(1 )
m
i i i i i
i i i
D a uc P P c PL
c Pθ =
− − −∂
=
∂ −
∑

10. 似然函数对 a 的一 数阶导
1
1
ln
( )( )( )
(1 )
m
i i i
i i i
m
i i i i i
i i i
u P PL
a PQ a
D u P P c b
P c
θ
=
=
− ∂∂
= ×
∂ ∂
− − −
=
−
∑
∑

11. 似然函数对 b 的一 数阶导
1
1
ln
( )( )
(1 )
m
i i i
i i i
m
i i i i i
i i i
u P PL
b PQ b
Da u P P c
P c
=
=
− ∂∂
= ×
∂ ∂
− −
=
−
∑
∑

12. 似然函数对 c 的一 数阶导
1
1
ln
(1 )
m
i i i
i i i
m
i i
i i i
u P PL
c PQ c
u P
P c
=
=
− ∂∂
= ×
∂ ∂
−
=
−
∑
∑

13. 似然函数的二 偏 未完成阶 导
2 2 22
2
1
( ) ( )ln
(1 )
m
i i i
i i i
D b P c QL
a a P c
θ
=
− −∂
=
∂ ∂ −
∑
2 22 2
2
1
( )( )ln ln
(1 )
m
i i i i i
i i i
D a b P c QL L
a b b a P c
θ
=
− − −∂ ∂
= =
∂ ∂ ∂ ∂ −
∑
2 2
2
1
ln ln ( )( )
(1 )
m
i i
L L D b P c Q
a c c a P c
θ
=
∂ ∂ − −
= =
∂ ∂ ∂ ∂ −
∑