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目反 理 公式文档项 应 论
2009.9.8
albert.xu@watervilleinc.com
LOGISTIC 三参数模型
 一共有 m 道 目,题 n 个被试
 ( i=1,2,…,m; j=1,2,…,n )
 “ 能力为 θj 的被 在 目试 项 i 上答 的概率”对
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  • 2. LOGISTIC 三参数模型  一共有 m 道 目,题 n 个被试  ( i=1,2,…,m; j=1,2,…,n )  “ 能力为 θj 的被 在 目试 项 i 上答 的概率”对  D = 1.702 )( 1 1 )( iji bDa i iji e c cP −− + − += θθ )( )( 1 )1( )(1)( iji iji bDa bDa i jiji e ec PQ −− −− + − =−= θ θ θθ
  • 3. 目的信息函数项  其中 是 被 能力水平对 试 θ 的 大似然估 (基于二 分布理极 计 项 )论 2)()( 22 2'2 ]1][[ )1(D )()( )( )|ˆvar( )/( )( iiii bDabDa i ii ii i i eec ca QP PddE I −−− ++ − = == θθ θθ θ θθ θ θ θˆ
  • 4.  目的信息函数求 以求 大 (对项 导 极 值 θ 个 目信息函数为这 值时项 到峰 , 句 就是 的达 值 换 话说 动态选题 bi 在 个附近的 候信息量这 时 最大):  的对应 3PLM 和 2PLM 分 是:极值 别 目的信息函数项 2 811 ln 1 max i i i c Da b ++ +=θ 2 222 max )813)(8112( )811)(1(2D )( iii iii i ccc cca I +++++ ++− =θ 4 D )( 22 max i i a I =θ
  • 6. 似然函数 1 1 i i m u u i i i L P Q − = = ∏ 1 ln ( ln (1 )ln(1 )) m i L u P u P = = + − −∑
  • 7. P 的一 数阶导 ( ) 1 i i i i i i P Da P c Q cθ ∂ − = ∂ − ( ) ( ) 1 i i i i i i P D b Q P c a c θ∂ − − = ∂ − ( ) 1 i i i i i i P Da Q P c b c ∂ − − = ∂ − 1 i i i P Q c c ∂ = ∂ −
  • 8. 似然函数对 θ 的一 数阶导 1 1 ( )ln ( )( ) (1 ) m i i i i i i m i i i i i i i i u P PL PQ Da u P P c P c θ θ= = − ∂∂ = × ∂ ∂ − − = − ∑ ∑
  • 9. 似然函数对 θ 的二 数阶导 2 2 22 2 2 2 1 ( )( )(1 )ln (1 ) m i i i i i i i i D a uc P P c PL c Pθ = − − −∂ = ∂ − ∑
  • 10. 似然函数对 a 的一 数阶导 1 1 ln ( )( )( ) (1 ) m i i i i i i m i i i i i i i i u P PL a PQ a D u P P c b P c θ = = − ∂∂ = × ∂ ∂ − − − = − ∑ ∑
  • 11. 似然函数对 b 的一 数阶导 1 1 ln ( )( ) (1 ) m i i i i i i m i i i i i i i i u P PL b PQ b Da u P P c P c = = − ∂∂ = × ∂ ∂ − − = − ∑ ∑
  • 12. 似然函数对 c 的一 数阶导 1 1 ln (1 ) m i i i i i i m i i i i i u P PL c PQ c u P P c = = − ∂∂ = × ∂ ∂ − = − ∑ ∑
  • 13. 似然函数的二 偏 未完成阶 导 2 2 22 2 1 ( ) ( )ln (1 ) m i i i i i i D b P c QL a a P c θ = − −∂ = ∂ ∂ − ∑ 2 22 2 2 1 ( )( )ln ln (1 ) m i i i i i i i i D a b P c QL L a b b a P c θ = − − −∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ − ∑ 2 2 2 1 ln ln ( )( ) (1 ) m i i L L D b P c Q a c c a P c θ = ∂ ∂ − − = = ∂ ∂ ∂ ∂ − ∑