Apostila de analise combinatória 1

1. Professor Tiago Bevilaqua
Análise Combinatória I
O princípio fundamental da contagem nada mais é que a maneira mais simples
possível de determinar de quantas maneiras diferentes que um evento pode
acontecer.
Se eu, por exemplo, estiver pintando a minha casa e decidir que quero uma só cor
para a parte externa e uma só cor para o interior. Na loja em que eu vou procurar
tintas eles me oferecem 6 cores de tintas para a fachada e 4 cores de tinta para o
interior.
Fachada Interior
branco 1
azul 2
branco
creme 3
amarelo 4
branco 5
azul 6
azul
creme 7
amarelo 8
branco 9
azul 10
verde
creme 11
amarelo 12
branco 13
azul 14
rosa
creme 15
amarelo 16
branco 17
azul 18
amarelo
creme 19
amarelo 20
branco 21
azul 22
vermelho
creme 23
amarelo 24
Tenho então 6x4 = 4x6 = 24 possibilidades de combinações de cores para pintar minha
casa.
Pelo princípio fundamental da contagem sabemos então que, tendo uma quantidade
n de acontecimentos INDEPENDENTES (e no exemplo isso se expressa pelo fato de que
não pensamos se as cores combinam, por exemplo), basta que multipliquemos o
número de possibilidades de cada acontecimento para saber o número total de
possibilidades.
Se pensarmos então, por exemplo, em quantos números diferentes de 4 algarismos
podemos existem, teremos quatro espaços a preencher da seguinte forma:
___ ___ ___ ___
{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
9 possibilidades 10 possibilidades 10 possibilidades 10 possibilidades
5
Teremos então um total de 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 9 ⋅10 = 9000 números de 4 algarismos. Note
que para a primeira opção temos apenas nove opções, pois se escolhermos o zero
geraremos um número de apenas três algarismos.
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Se dissermos agora que queremos saber quantos números de 4 algarismos existem e
que não tenham nenhum algarismo repetido, basta repetir o processo para os novos
dados. A diferença agora é que, além de não poder colocar o zero na “casa” mais à
esquerda, teremos a cada escolha uma opção a menos, que é o número que já foi
escolhido.
___ ___ ___ ___
9 possibilidades 9 possibilidades 8 possibilidades 7 possibilidades
(os dez algarismos menos (os dez algarismos menos (os dez algarismos menos (os dez algarismos menos
o zero) o da primeira casa) os da primeira e segunda os da primeira, segunda
casa) e terceira casa)
Concluímos então que o número de números de quatro algarismos não repetidos
existentes é de 9 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 4536 números.
Nesse último exemplo tivemos uma escolha condicionada para o primeiro algarismo (a
partir da esquerda), pois não podíamos colocar o zero. A partir do segundo algarismo
o que fizemos pelo princípio fundamental da contagem foi continuar a multiplicação,
sempre descontando uma unidade. É disso que se trata o cálculo do que chamamos
de arranjo simples e já que temos a idéia bem compreendida podemos formalizar esse
conhecimento utilizando a linguagem cobrada nos vestibulares. O que fizemos então
foi o cálculo do arranjo simples de nove elementos tomados três a três. Assim
introduzimos a fórmula de arranjo da seguinte maneira:
n!
Anp = An, p =
(n − p )!
E, no caso em questão:
9! 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6!
9 ⋅ A9,3 = 9 ⋅ = 9⋅ = 9 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 4536
(9 − 3)! 6!
Relembrando, esse ponto de exclamação depois do número indica que deve ser
realizado o cálculo de fatorial. O fatorial de um número nada mais é que o produto
de todos os números naturais não nulos menores ou iguais a ele, ou seja:
6!= 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 720 = 6 ⋅ 5!
3!= 3 ⋅ 2 ⋅1 = 6
1!= 1
Assim, de maneira mais geral, podemos dizer que, para qualquer n natural diferente
de zero ( 0!= 1 , por definição) temos:
n!= n ⋅ (n − 1)!
Se quisermos saber, por exemplo, quantas palavras com três letras não repetidas
podemos formar com todas as letras do alfabeto teremos:
26! 26! 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23!
A26,3 = = = = 26 ⋅ 25 ⋅ 24 = 15600 palavras
(26 − 3)! 23! 23!
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EXERCÍCIOS
n!
1. (PUC-SP) A expressão é igual a:
(n + 2)!
n
a.
2
1
b.
(n + 2)(n + 1)
n
c.
(n + 2)(n + 1)
1
d.
n
n
e.
(n + 2)
2. (PUC-SP) Se (n − 6)!= 720 então
a. n=12
b. n=11
c. n=10
d. n=13
e. n=14
(n + 1)!+ n!
3. (UFPA) Simplificando , obtém-se
(n + 2)!
1
a.
( n + 2)
n!
b.
(n + 1)
1
c.
(n + 2)(n + 1)
1
d.
(n + 1)
n!
e.
( n + 2)
4. (PUC-PR) A soma das raízes da equação (5 x − 7)!= 1 vale:
a. 5
b. 7
c. 12
d. 3
e. 4
( K !) 3
5. (FGV-SP) A expressão , é igual a:
[( K − 1)!]2
a. K3
b. K 3 ( K − 1)!
2
c. [( K − 1)!]
2
d. (K !)
3 2
e. K [( K − 1)!]
3

4. Professor Tiago Bevilaqua
n!+2 ⋅ (n − 1)!
6. (UEL-PR) Se o número natural n é tal que = 18 , então n é um
(n − 2)!
número:
a. menor que 3
b. divisível por 5
c. divisível por 2
d. maior que 10
e. múltiplo de 7
n!
7. (CEFET-PR) O valor de n para que = (n + 1)! é:
n +1
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
101!+102!
8. (FMABC-SP) Simplifique
100!
a. 101103
b. 102!
c. 100000
d. 101!
e. 10403
9. (UFRN) A quantidade de número de dois algarismos distintos que se pode
formar com os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9 é igual a:
a. 5
b. 10
c. 15
d. 20
e. 25
10. (MACK-SP) Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número de modos
distintos das pessoas ocuparem as cadeiras é:
a. 1680
b. 8!
c. 8!⋅4!
d. 8!/4
e. 32
11. (UFCE) A soma e o produto das raízes da equação (x+1)!=x!+6x são:
a. 3e6
b. 3e3
c. 6e1
d. 3e0
e. nda
12. (PUC-SP) A quantidade de números de quatro algarismos distintos que,
podem se pode formar com os algarismos 1, 2, 4, 7, 8 e 9 é:
a. 300
b. 340
c. 360
d. 380
e. 400
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13. (UEL-PR) Num pequeno pais, as chapas dos automóveis tem duas letras
distintas seguidas de 3 algarismos sem repetição. Considerando-se o
alfabeto com 26 letras, o número de chapas possíveis de se firmar é:
a. 1 370
b. 39 000
c. 468 000
d. 676 000
e. 3 276 000
14. (PUC-PR) O número de placas de veículos que poderão ser fabricadas
utilizando-se das 26 letras do alfabeto latino e dos 10 algarismos arábicos,
cada placa contendo três letras e quatro algarismos, não podendo haver
repetição de letras e algarismos é:
a. 67 600 000
b. 78 624 000
c. 15 765 700
d. 1 757 600
e. 5 760 000
15. (PUC-SP) A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas de 4
algarismos. Com letras A e R e os algarismos impares, quantas placas
diferentes podem ser constituídas, de modo que a placa não tenha nenhum
algarismo repetido, e nenhuma letra repetida?
a. 480
b. 360
c. 120
d. 240
e. 200
16. (UFSC) Calcule o número de anagramas da palavra CLARA em que as letras
AR aparecem juntas e nessa ordem.
17. (UFCE) A quantidade de número inteiros compreendidos entre 30 000 e 65
000 que podemos formar utilizando-se somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7
de modo que não fiquem algarismos repetidos é:
a. 48
b. 66
c. 96
d. 120
e. 72
18. (CEFET-PR) A quantidade de números formados por 4 algarismos distintos,
escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 que contem 1 e 2 e não contem o 7, é:
a. 284
b. 422
c. 144
d. 120
e. 620
RESPOSTAS
1 b 10 a
2 a 11 d
3 d 12 c
4 d 13 c
5 b 14 b
6 c 15 d
7 a 16 24
8 e 17 b
9 d 18 c
5