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que não tenh...
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Analise Combinatoria I1

  1. 1. Professor Tiago Bevilaqua Análise Combinatória I O princípio fundamental da contagem nada mais é que a maneira mais simples possível de determinar de quantas maneiras diferentes que um evento pode acontecer. Se eu, por exemplo, estiver pintando a minha casa e decidir que quero uma só cor para a parte externa e uma só cor para o interior. Na loja em que eu vou procurar tintas eles me oferecem 6 cores de tintas para a fachada e 4 cores de tinta para o interior. Fachada Interior branco 1 azul 2 branco creme 3 amarelo 4 branco 5 azul 6 azul creme 7 amarelo 8 branco 9 azul 10 verde creme 11 amarelo 12 branco 13 azul 14 rosa creme 15 amarelo 16 branco 17 azul 18 amarelo creme 19 amarelo 20 branco 21 azul 22 vermelho creme 23 amarelo 24 Tenho então 6x4 = 4x6 = 24 possibilidades de combinações de cores para pintar minha casa. Pelo princípio fundamental da contagem sabemos então que, tendo uma quantidade n de acontecimentos INDEPENDENTES (e no exemplo isso se expressa pelo fato de que não pensamos se as cores combinam, por exemplo), basta que multipliquemos o número de possibilidades de cada acontecimento para saber o número total de possibilidades. Se pensarmos então, por exemplo, em quantos números diferentes de 4 algarismos podemos existem, teremos quatro espaços a preencher da seguinte forma: ___ ___ ___ ___ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} 9 possibilidades 10 possibilidades 10 possibilidades 10 possibilidades 5 Teremos então um total de 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 9 ⋅10 = 9000 números de 4 algarismos. Note que para a primeira opção temos apenas nove opções, pois se escolhermos o zero geraremos um número de apenas três algarismos. 1
  2. 2. Professor Tiago Bevilaqua Se dissermos agora que queremos saber quantos números de 4 algarismos existem e que não tenham nenhum algarismo repetido, basta repetir o processo para os novos dados. A diferença agora é que, além de não poder colocar o zero na “casa” mais à esquerda, teremos a cada escolha uma opção a menos, que é o número que já foi escolhido. ___ ___ ___ ___ 9 possibilidades 9 possibilidades 8 possibilidades 7 possibilidades (os dez algarismos menos (os dez algarismos menos (os dez algarismos menos (os dez algarismos menos o zero) o da primeira casa) os da primeira e segunda os da primeira, segunda casa) e terceira casa) Concluímos então que o número de números de quatro algarismos não repetidos existentes é de 9 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 4536 números. Nesse último exemplo tivemos uma escolha condicionada para o primeiro algarismo (a partir da esquerda), pois não podíamos colocar o zero. A partir do segundo algarismo o que fizemos pelo princípio fundamental da contagem foi continuar a multiplicação, sempre descontando uma unidade. É disso que se trata o cálculo do que chamamos de arranjo simples e já que temos a idéia bem compreendida podemos formalizar esse conhecimento utilizando a linguagem cobrada nos vestibulares. O que fizemos então foi o cálculo do arranjo simples de nove elementos tomados três a três. Assim introduzimos a fórmula de arranjo da seguinte maneira: n! Anp = An, p = (n − p )! E, no caso em questão: 9! 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6! 9 ⋅ A9,3 = 9 ⋅ = 9⋅ = 9 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 4536 (9 − 3)! 6! Relembrando, esse ponto de exclamação depois do número indica que deve ser realizado o cálculo de fatorial. O fatorial de um número nada mais é que o produto de todos os números naturais não nulos menores ou iguais a ele, ou seja: 6!= 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 720 = 6 ⋅ 5! 3!= 3 ⋅ 2 ⋅1 = 6 1!= 1 Assim, de maneira mais geral, podemos dizer que, para qualquer n natural diferente de zero ( 0!= 1 , por definição) temos: n!= n ⋅ (n − 1)! Se quisermos saber, por exemplo, quantas palavras com três letras não repetidas podemos formar com todas as letras do alfabeto teremos: 26! 26! 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23! A26,3 = = = = 26 ⋅ 25 ⋅ 24 = 15600 palavras (26 − 3)! 23! 23! 2
  3. 3. Professor Tiago Bevilaqua EXERCÍCIOS n! 1. (PUC-SP) A expressão é igual a: (n + 2)! n a. 2 1 b. (n + 2)(n + 1) n c. (n + 2)(n + 1) 1 d. n n e. (n + 2) 2. (PUC-SP) Se (n − 6)!= 720 então a. n=12 b. n=11 c. n=10 d. n=13 e. n=14 (n + 1)!+ n! 3. (UFPA) Simplificando , obtém-se (n + 2)! 1 a. ( n + 2) n! b. (n + 1) 1 c. (n + 2)(n + 1) 1 d. (n + 1) n! e. ( n + 2) 4. (PUC-PR) A soma das raízes da equação (5 x − 7)!= 1 vale: a. 5 b. 7 c. 12 d. 3 e. 4 ( K !) 3 5. (FGV-SP) A expressão , é igual a: [( K − 1)!]2 a. K3 b. K 3 ( K − 1)! 2 c. [( K − 1)!] 2 d. (K !) 3 2 e. K [( K − 1)!] 3
  4. 4. Professor Tiago Bevilaqua n!+2 ⋅ (n − 1)! 6. (UEL-PR) Se o número natural n é tal que = 18 , então n é um (n − 2)! número: a. menor que 3 b. divisível por 5 c. divisível por 2 d. maior que 10 e. múltiplo de 7 n! 7. (CEFET-PR) O valor de n para que = (n + 1)! é: n +1 a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 101!+102! 8. (FMABC-SP) Simplifique 100! a. 101103 b. 102! c. 100000 d. 101! e. 10403 9. (UFRN) A quantidade de número de dois algarismos distintos que se pode formar com os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9 é igual a: a. 5 b. 10 c. 15 d. 20 e. 25 10. (MACK-SP) Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras é: a. 1680 b. 8! c. 8!⋅4! d. 8!/4 e. 32 11. (UFCE) A soma e o produto das raízes da equação (x+1)!=x!+6x são: a. 3e6 b. 3e3 c. 6e1 d. 3e0 e. nda 12. (PUC-SP) A quantidade de números de quatro algarismos distintos que, podem se pode formar com os algarismos 1, 2, 4, 7, 8 e 9 é: a. 300 b. 340 c. 360 d. 380 e. 400 4
  5. 5. Professor Tiago Bevilaqua 13. (UEL-PR) Num pequeno pais, as chapas dos automóveis tem duas letras distintas seguidas de 3 algarismos sem repetição. Considerando-se o alfabeto com 26 letras, o número de chapas possíveis de se firmar é: a. 1 370 b. 39 000 c. 468 000 d. 676 000 e. 3 276 000 14. (PUC-PR) O número de placas de veículos que poderão ser fabricadas utilizando-se das 26 letras do alfabeto latino e dos 10 algarismos arábicos, cada placa contendo três letras e quatro algarismos, não podendo haver repetição de letras e algarismos é: a. 67 600 000 b. 78 624 000 c. 15 765 700 d. 1 757 600 e. 5 760 000 15. (PUC-SP) A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas de 4 algarismos. Com letras A e R e os algarismos impares, quantas placas diferentes podem ser constituídas, de modo que a placa não tenha nenhum algarismo repetido, e nenhuma letra repetida? a. 480 b. 360 c. 120 d. 240 e. 200 16. (UFSC) Calcule o número de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR aparecem juntas e nessa ordem. 17. (UFCE) A quantidade de número inteiros compreendidos entre 30 000 e 65 000 que podemos formar utilizando-se somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7 de modo que não fiquem algarismos repetidos é: a. 48 b. 66 c. 96 d. 120 e. 72 18. (CEFET-PR) A quantidade de números formados por 4 algarismos distintos, escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 que contem 1 e 2 e não contem o 7, é: a. 284 b. 422 c. 144 d. 120 e. 620 RESPOSTAS 1 b 10 a 2 a 11 d 3 d 12 c 4 d 13 c 5 b 14 b 6 c 15 d 7 a 16 24 8 e 17 b 9 d 18 c 5

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