1. UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
FACULTAD DE INGENIERÍAS FÍSICO-QUÍMICAS
ESCUELA DE INGENIERÍA DE PETRÓLEOS
Trabajos métodos numéricos
Primer Semestre Académico 2010
METODOS DE GAUSS JORDAN CON Y SIN PIVOTEO,
GAUSS-JORDAN
DESCOMPOSICIÓN LU Y SU INVERSA
FREDY ANDRES REYES SANCHEZ
DOCENTE: PhD EDUARDO CARRILLO
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
ESCUELA INGENIERIA DE PETROLEOS
MÉTODOS NUMÉRICOS
BUCARAMANGA
2010

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FACULTAD DE INGENIERÍAS FÍSICO-QUÍMICAS
ESCUELA DE INGENIERÍA DE PETRÓLEOS
Trabajos métodos numéricos
Primer Semestre Académico 2010
1. Resuelva:
3
6 2 2 2
3 4 1
ó
1 1 1 3
6 2 2 2 → 6 ; 3
3 4 1 1
1 1 1 3 1 1 1 1 3
0 4 8 20 → → 0 1 2 5 → 7 →
4
0 7 2 8 0 7 2 8
3
1 1 1 3 1 1 1
5
0 1 2 5 → → 0 1 2 9
12
0 0 12 27 0 0 1
4
9
4
5 2 94 5 18
4
1
2
3 1 1
2 1 94 3 1
2
9
4
1
4
ó
6 2 2 2 6 2 2 2
3 1
3 4 1 1 → ; → 0 5 2 2
6 6 10
1 1 1 3 0 23 4
3 3
→ 2
15
6 2 2 2
0 5 2 2
0 0 8 18
5 5

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Primer Semestre Académico 2010
18
5 9
8 4
5
2 2 94 2 9 5 1
2 2
5 5 5 2
2 2 1
2 2 94 2 1 9
2 3 9
2
3
2 1
6 6 6 6 4
ó
1 1 1 3
6 2 2 2 → 6 ; 3
3 4 1 1
1 1 1 3 1 1 1 1 3
0 4 8 20 → → 0 1 2 5 → 7 →
4
0 7 2 8 0 7 2 8
3
3 1
1 1 1 3 1 1 1 1 1 1
5
0 1 2 5 → → 0 1 2 9 → 2 → 0 1 0 2
12 9
0 0 12 27 0 0 1 0 0 1
4
4
1 0 1 1 0 0
→ → 0 1 0 → → 0 1 0
0 0 1 0 0 1
1 1 9
; ;
4 2 4
ó
6 2 2 2 6 2 2 2
3 1
3 4 1 1 → 6 ; → 0 5 2 2
6 0 23 4 10
1 1 1 3 3 3
→ 2
15
1
6 2 2 2 1 13 13 3
5 2
0 5 2 2 → ; ; → 0 1 2
8 18 6 5 8 5 5
0 0 5 5 9
0 0 1 4

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1 1
2 1 13 13 3
1 1 0 13 2
→ → 0 1 1 1
5 0 2 → 3
→ 0 1 0 2
0 0 1 9 0 0 1 9
4 4
1
1 0 0 4
1 1
→ → 0 1 0 2
3
0 0 1 9
4
1 1 9
; ;
4 2 4
2. Use la regla de la multiplicación matricial para demostrar que las ecuaciones
se derivan de la ecuación
Solución:
→
→
3. Use la eliminación de Gauss simple y descomponga los siguientes sistemas
7 2 3 12
2 5 3 20
6 26
Después, multiplique las matrices resultantes [L] y [U] para determinar que [A] se genera.
Solución:
0
7 2 3 2 1
2 5 3 → ; →
7 7
1 1 6

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7 2 3 1.286
0 4.429 2.143 → →
4.429
0 1.286 5.571
7 2 3
0 4.429 2.143
0 0 6.193
2
0.2857
7
1
0.1429
7
1.286
0.290
4.429
1 0 0
0.2857 1 0
0.1429 0.290 1
1 0 0 7 2 3
0.2857 1 0 0 4.429 2.143
143
0.1429 0.290 1 0 0 6.193
193
7 2 3
1.999 5.000 3.000
1.003 0.9986 6.000
4. Use la descomposición LU para resolver el sistema de ecuaciones del problema 3.
Muestre todos los pasos del cálculo. También resuelva el sistema para un vector alterno
del lado derecho.
12 18 6
Solución:
1 0 0 12
0.2857 1 0 20
0.1429 0.290 1 26
Sustitución hacia adelante:

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12
0.2857 20
0.1429 0.29 26
12
20 0.2857 12 16.57
26 0.1429 12 0.29 16.57 29.09
12
16.57
29.09
7 2 3 12
0 4.429 2.143 16.57
0 0 6.193 29.09
Con la sustitución hacia atrás:
29.09
4.697
6.193
16.57 2.143 4.697
1.469
4.429
12 2 1.469 3 4.697
0.7184
7
0.7184
1.489
4.697
12 18 6
Ahora para el vector alterno:
Solución:

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Primer Semestre Académico 2010
1 0 0 12
0.2857 1 0 18
0.1429 0.290 1 6
Con la sustitución hacia adelante:
12
0.2857 18
0.1429 0.29 6
12
18 0.2857 12 14.57
14
6 0.1429 12 0.29 14.57
29 3.49
12
14.57
3.49
7 2 3 12
0 4.429 2.143 14.57
0 0 6.193 3.49
Con la sustitución hacia atrás:
3.49
0.564
6.193
14.57 2.143 0.564
3.563
4.429
12 2 3.563 3 0.564
0.938
7
0.938
3.563
0.564
5. Determine la matriz inversa para el problema 3. Revise sus resultados verificando que
Solución:

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Primer Semestre Académico 2010
1 0 0 1
0.2857 1 0 0
0.1429 0.290 1 0
Con la sustitución hacia adelante:
1 0.286 0.226
7 2 3 1
0 4.429 2.143 0.286
0 0 6.193 0.226
Con la sustitución hacia atrás tenemos:
0.172 0.047 0.036
Que es el resultado de la primera columna.
Ahora para la segunda columna:
1 0 0 0
0.2857 1 0 1
0.1429 0.290 1 0
Con la sustitución hacia adelante:
0 1 0.29
7 2 3 0
0 4.429 2.143 1
0 0 6.193 0.29
Con la sustitución hacia atrás tenemos:
0.078 0.203 0.047
Ahora para la tercera columna:
1 0 0 0
0.2857 1 0 0
0.1429 0.290 1 1
Con la sustitución hacia adelante:
0 0 1

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Primer Semestre Académico 2010
7 2 3 0
0 4.429 2.143 0
0 0 6.193 1
Con la sustitución hacia atrás tenemos:
0.047 0.078 0.161
Entonces la matriz inversa es:
0.172 0.078 0.047
0.047 0.203 0.078
0.036 0.047 0.161
Verificando que
7 2 3 0
0.172 0.078 0.047 1.002 0.001 0.002
2 5 3 0.047 0.203 0. .78 0.001 1 0.001
1 1 6 0
0.036 0.047 0.161 0.003 0.001 0.997
6. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando la descomposición LU con pivoteo
parcial:
7 4 51
4 4 9 62
12 3 8
1 7 4 12 1 3
4 4 9 → → 4 4 9
12 1 3 1 7 4
4 12 1 3
→ ; → 0 3.667 8 →
12 12
0 7.083 4.25
12 1 3 3.667
→ 0 7.083 4.25 →
7.083
0 3.667 8
12 1 3
0 7.083 4.25
0 0 5.8

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4
0.3333
12
1
0.08333
12
3.667
0.5177
7.083
1 0 0
0.08333 1 0
0.3333 0.5177 1
1 0 0 8
0.08333 1 0 51
0.3333 0.5177 1 62
Con la sustitución hacia adelante:
8
0.08333 51
0.3333 0.5177 62
8
51 0.08333 8 51.667
62 0.5177 51.667 0.3333 8 32.59
8
51.667
32.59
12 1 3 8
0 7.083 4.25 51.667
0 0 5.8 32.59
Con la sustitución hacia atrás:
32.59
5.619
5.8
51.667 4.25 5.619
3.923
7.083

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Trabajos métodos numéricos
Primer Semestre Académico 2010
8 1 3.923 3 5.619
1.065
12
1.065
3.923
5.619

12. UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
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Trabajos métodos numéricos
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BIBLIOGRAFÍA
Tomado y desarrollado de la Chapra, ejercicios propuestos 9.11 y
10.1 - 10.5.