Análisis de Señales

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Fermin Toro
Facultad de Ingenieria
Alumna:
Edgflormar Peña
CI: 19.639.634

2. Ejercicio: Realice la serie exponencial de Fourier donde se muestren
los tres primeros términos de la serie para un tren de pulso
rectangular de altura 5 unidades y de ancho 7 unidades cuyo
periodo sea 8 unidades.
Solución:
Serie de Fourier en forma exponencial:
𝐹( 𝑡) = ∑ 𝐶 𝑘 𝑒−𝑗𝑘𝑤0 𝑡
∞
𝑘=−∞
donde:
𝐶 𝑘 =
1
Τ0
∫ 𝐹( 𝑡) 𝑒−𝑗𝑘 𝑤0 𝑡
𝑑𝑡
𝑇0
2
−
𝑇0
2
En este caso:
𝐹( 𝑡) = 5; 𝑇0 = 8; 𝑤0 =
2𝜋
𝑇0
=
2𝜋
8
=
𝜋
4
𝑠
Luego:
𝐶 𝑘 =
1
8
∫ 5𝑒−𝑗𝑘𝑤0 𝑡
𝑑𝑡
4
−4
= −
5
8𝑗𝑘𝑤0
𝑒−𝑗𝑘 𝑤0 𝑡
|
4
−4
= −
5
8𝑗𝑘𝑤0
(𝑒−4𝑗𝑘 𝑤0 − 𝑒4𝑗𝑘 𝑤0 𝑡
)

3. Pero:
𝑠𝑒𝑛 (
𝑘𝑤0 𝑇0
2
)
𝑘𝑤0
2
=
(𝑒−4𝑗𝑘 𝑤0 − 𝑒4𝑗𝑘 𝑤0 𝑡
)
−𝑗𝑘𝑤0
Luego:
𝐶 𝑘 =
5𝑠𝑒𝑛 (
𝑘𝑤0 𝑡
2
)
8 (
𝑘𝑤0
2
)
=
5𝑠𝑒𝑛 (
𝜋𝑘𝑡
8
)
𝜋𝑘
La serie exponencial de Fourier es entonces:
𝐹( 𝑡) =
5
𝜋
∑
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋𝑘𝑡
8
)
𝑘
𝑒
−𝑗𝑘
2𝜋
𝑇0
𝑡
∞
𝑘=−∞
=
5
𝜋
∑
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋𝑘𝑡
8
)
𝑘
𝑒
−𝑗𝑘
𝜋
4
𝑡
∞
𝑘=−∞
Los tres primeros términos de la serie son:
𝐹( 𝑡) =
5
𝜋
[𝑠𝑒𝑛 (
𝜋𝑡
8
) 𝑒
−𝑗
𝜋
4
𝑡
+
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋𝑡
4
)
2
𝑒
−𝑗
𝜋
2
𝑡
+
𝑠𝑒𝑛 (
3𝜋𝑡
8
)
2
𝑒
−𝑗
3𝜋
4
𝑡
]