1) O documento é um exercício de matemática discreta com 7 questões sobre provas por métodos diretos, contraposição, indução e propriedades de números. 2) As questões 1 e 2 pedem para provar propriedades de soma, produto e paridade de inteiros. 3) As questões 3 a 7 pedem para provar identidades numéricas usando indução matemática.

1. Exercício de Matemática Discreta Primeiro Semestre 2015
Prof. Leandro Balby Marinho 01/05/2015
Monitores: Dandara Sousa, Hugo Gabriel, Wesley Santos
________________________________________________________________________
Questão 1.
Prove as seguintes proposições:
a. A soma de um inteiro ímpar com um inteiro par é ímpar. (faça demonstração
direta).
b. Se o produto de dois inteiros não é divisível por um inteiro n, então nenhum
dos inteiros é divisível por n. (faça demonstração por contraposição).
Questão 2.
Faça o que se pede:
a. Prove que o produto xy é ímpar se, e somente se, ambos x e y são inteiros
ímpares.
b. Prove que para todo inteiro x, o número 3(x² + 2x + 3) ­ 2x² é um quadrado
perfeito.
c. Prove por contradição que se x é um número primo par, então x = 2.
d. Prove por contradição que a soma de dois inteiros pares é par.
Questão 3.
Prove a proposição dada ou prove porque ela é errada.
a. O produto de quaisquer três inteiros consecutivos é par.
b. O produto de um inteiro e seu quadrado é par.
c. Qualquer inteiro positivo pode ser escrito como a soma dos quadrados de dois
inteiros.
d. A soma de três inteiros consecutivos é divisível por três.
Questão 4.
Prove por indução matemática que
1² + 2² + 3² + … + n² = (n(n + 1)(2n + 1)) / 6, n ​≥ ​1.
Questão 5.
Prove por indução matemática que
6 + 12 + 18 + .. + 6n = 3n(n + 1), n é natural.
Questão 6.
Demonstre as seguintes afirmações usando indução
a. n​3​
+ 2n é divisível por 3
b. 7n ­ 2n é divisível por 5.

2. Questão 7.
Demonstre por indução matemática que ​1​3​
+ 2​3​
+ 3​3​
+ ... + n​3​
= (n​2​
/4)(n + 1)​2​
, ​ ​∀​n ε
N