Valor esperado de función de v.a.r. Valor esperado de función de vector aleatorio Valor esperado de vectores y matrices Valor esperado condicional Función característica

1. m
co
2013
fra
lb
e.
Análisis Estadístico y
Probabilístico
Francisco A. Sandoval

2. m
co
e.
AGENDA
fra
lb
CAP. 5: Valor Esperado

3. lb
e.
Valor esperado de una función de v.a.r.
Valor esperado de una función de vec. a.
Valor esperado de vectores y matrices.
Valor esperado condicional
Funciones características
fra
•
•
•
•
•
co
CAP. 5: Valor Esperado
m
Agenda

4. Objetivos
fra
lb
e.
co
m
• Caracterización del valor esperado para v.a.r.,
vec.a. y condicional.
• Definir la función característica.

5. m
fra
lb
e.
co
VALOR ESPERADO DE FUNCIÓN DE
VARIABLE ALEATORIA REAL

6. Valor esperado de función de v.a.r.
m
Definición 1: Teorema Fundamental del Valor Esperado
Si 𝑦 = 𝑔(𝑥), entonces
∞
∞
Demostración:
∞
𝑌&𝑝 𝑦 𝑌 𝑑𝑌
lb
𝐸 𝑦 &=
−∞
e.
−∞
𝑔 𝑋 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
co
𝑌&𝑝 𝑦 𝑌 𝑑𝑌 =
fra
−∞
∞
=
&
∞
∞
𝑌
−∞
𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 𝑑𝑋𝑑𝑌

7. Valor esperado de función de v.a.r.
𝑝𝑥 𝑋
∞
−∞
𝑌&𝛿 𝑌 − 𝑔 𝑋
e.
𝐸 𝑦 =
∞
−∞
co
m
• Dado 𝑥 = 𝑋, 𝑦 pasa a ser una variable
aleatoria discreta que puede asumir un único
valor 𝑔(𝑥).
𝑑𝑌&𝑑𝑋
fra
lb
• Considerando la propiedad de la función
impulso
𝐸 𝑦 = 𝐸 𝑔 𝑥
∞
=
−∞
𝑔 𝑋 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋

8. Valor esperado de función de v.a.r.
fra
lb
e.
co
m
• A partir de la definición 1, es posible llegar a
la definición de cantidades específicas bastante
importantes en la teoría de v.a.
• Conceptos como media, varianza y valor
medio cuadrático son fácilmente definidos a
través de una elección adecuada de la función
𝑔.

9. Media
m
Definición 2: Media
La media 𝑚 𝑥 de una v.a. 𝑥 es definida a través de la definición 1,
tomando 𝑔 𝑥 = 𝑥. Es decir:
co
∞
−∞
𝑋&𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
e.
𝑚 𝑥 = 𝐸,𝑥- =
fra
lb
Ejemplos: Calcular la media de v.a. específicas muy prácticas:
• media de una v.a. uniforme
• medía de una v.a. gaussiana
• media de una v.a. discreta

10. Varianza (𝜍 2 ) y desviación estándar (𝜍)
𝑥
fra
lb
e.
co
m
Ejemplos: Calcular la varianza de v.a. específicas:
• varianza de una v.a. uniforme
• varianza de una v.a. gaussiana
• varianza de una v.a. discreta

11. Ejemplo: Media de v.a. uniforme
𝑚𝑥 =
𝑎
1
𝑎+ 𝑏
𝑋
𝑑𝑋 =
𝑏− 𝑎
2
m
𝑏
fra
lb
e.
co
donde 𝑎 y 𝑏 son parámetros de la función densidad de probabilidad uniforme.
fdp

12. Ejemplo: Media de v.a. gaussiana
𝑚𝑥 =
𝑋
−∞
1
2𝜋𝜍
𝑋−𝑚 2
−
𝑒 2𝜎2
𝑑𝑋
m
∞
∞
−∞
2𝜋𝜍
𝛼2
− 2
𝑒 2𝜎
∞
𝑑𝛼& +
𝛼
−∞
1
2𝜋𝜍
𝛼2
− 2
𝑒 2𝜎
𝑑𝛼
e.
𝑚𝑥 = 𝑚
1
co
efectuando un cambio de variable 𝑋 − 𝑚 = 𝛼 en la integral, se obtiene
lb
La primera integral es una integral de una función densidad de probabilidad gaussiana a
lo largo de ℝ, siendo por tanto igual a 1.
Por tanto:
fra
La segunda integral es nula porque se trata de la integral de una función impar
(producto de una función impar por una función par) a lo largo de un intervalo simétrico
en relación al origen.
𝑚𝑥 = 𝑚
donde 𝑚 es uno de los parámetros de la función densidad e probabilidad gaussiana.

13. Ejemplo: Media de v.a. gaussiana
m
Aclaraciones:
fra
lb
e.
co
• Una función 𝑓(𝑥) es par en el intervalo ,𝑎, −𝑎- si 𝑓 𝑥 = 𝑓 −𝑥
• una función 𝑓(𝑥) será impar en el intervalo 𝑎, 𝑏 si 𝑓 𝑥 = −𝑓(−𝑥).

14. Varianza (𝜍 2 ) y desviación estándar (𝜍)
𝑥
co
∞
m
Definición 3: Varianza
La varianza 𝜍 2 de una v.a. 𝑥, es definida a través de la definición 1,
tomando 𝑔 𝑥 = 𝑋 − 𝑚 𝑥 2 . Es decir:
−∞
𝑋 − 𝑚 𝑥 2 &𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
e.
𝜍 2 = 𝐸, 𝑥 − 𝑚 𝑥 2 - =
𝑥
fra
lb
• La raíz cuadrada 𝜍 𝑥 de la varianza de una v.a. 𝑥 se
denomina desviación estándar de la v.a.
• La varianza (o desviación estándar) es un
parámetro asociado a la dispersión de la v.a. en
torno de su medía.

15. Valor cuadrático medio
co
∞
m
Definición 4: Valor cuadrático medio
El valor cuadrático medio 𝐸 𝑥 2 de una v.a. 𝑥, es definida a través
de la definición 1, tomando 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 . Es decir:
−∞
𝑥 2 &𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
e.
𝜍 2 = 𝐸,𝑥 2 - =
𝑥
lb
• El concepto de valor cuadrático medio es importante y
bastante utilizado en:
fra
– problemas de optimización y estimación de parámetros.
– cuantizadores (optimizar los niveles de cuantización a
través del críterio del mínimo error cuadrático)

16. Valor cuadrático medio
fra
lb
e.
co
m
Ejemplos: Calcular el valor cuadrático medio de v.a. específicas:
• valor cuadrático medio de una v.a. uniforme
• valor cuadrático medio de una v.a. gaussiana

17. m
fra
lb
e.
co
VALOR ESPERADO DE FUNCIÓN DE
VECTOR ALEATORIO

18. Valor esperado de función de vector aleatorio
e.
co
m
• El concepto de valor esperado de una variable
aleatoria 𝑦, es examinado en una situación mas
general en que 𝑦 es función de varias variables
aleatorias, o sea
𝑦 = 𝑔(𝒙)
fra
lb
Definición 5: Teorema Fundamental del Valor Esperado (Caso
General )
Si 𝑦 = 𝑔(𝒙), entonces
𝐸 𝑦 = 𝐸 𝑔 𝒙
=
∞
∞
∞
…
−∞ −∞
−∞
𝑔 𝒙 𝑝 𝑥 𝑿 𝑑𝑿

19. Valor esperado de función de vector aleatorio
co
m
Propiedad 1:
El valor esperado de una constante 𝑎 (que equivale a una v.a. que asume un
único valor 𝑎 es igual a la propia constante, o sea,
𝐸 𝑎 = 𝑎
Propiedad 2:
El valor esperado es un operador lineal, o sea,
𝑛
e.
𝑛
𝐸
𝑎𝑖 𝑥𝑖 =
lb
𝑖=1
𝑎 𝑖 𝐸,𝑥 𝑖 -
𝑖=1
donde *𝑥 𝑖 + son v.a. y *𝑎 𝑖 + son constantes reales.
fra
Propiedad 3:
El módulo del valor esperado de una variable aleatoria es menor o igual al
valor esperado del módulo de la v.a., o sea,
𝐸,𝑥- ≤ 𝐸 , 𝑥 -

20. Valor esperado de función de vector aleatorio
e.
co
m
Propiedad 4:
El operador valor esperado preserva el orden, en el sentido de que si dos v.a. 𝑥
y 𝑦 son tales que
𝑥 𝜔 ≥ 𝑦 𝜔 , ∀&𝜔 ∈ Ω
entonces
𝐸 𝑥 ≥ 𝐸,𝑦-
lb
Propiedad 5:
En el caso de 𝑛 v.a. estadísticamente independientes 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 , se tiene
para cualquier conjunto de funciones *𝑔1 , 𝑔2 , … , 𝑔 𝑛 +,
𝑛
fra
𝐸
𝑖=1
𝑛
𝑔 𝑖 (𝑥 𝑖 ) =
𝐸,𝑔 𝑖 (𝑥 𝑖 )𝑖=1

21. Valor esperado de función de vector aleatorio
fra
lb
e.
co
m
• A partir del resultado general del Teorema
Fundamental del Valor Esperado, es posible
llegar a la definición de algunas cantidades
específicas ampliamente utilizadas en la teoría
de v.a.

22. Correlación
co
m
Definición 6: Correlación 𝑟 𝑥𝑦
La correlación 𝑟 𝑥𝑦 entre dos variables aleatorias 𝑥 y 𝑦,
considerando 𝒙 = 𝑥, 𝑦 𝑇 es definida tomando 𝑔 𝒙 = 𝑔 𝑥, 𝑦 =
𝑥𝑦 en la ecuación de la definición 5, o sea
∞
−∞ −∞
𝑋𝑌&𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑌& 𝑑𝑋 𝑑𝑌
fra
lb
e.
𝑟 𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥𝑦 =
∞

23. Covarianza
=
∞
lb
∞
e.
co
m
Definición 7: Covarianza 𝑘 𝑥𝑦
La covarianza 𝑘 𝑥𝑦 entre dos variables aleatorias 𝑥 y 𝑦,
considerando 𝒙 = 𝑥, 𝑦 𝑇 es definida tomando 𝑔 𝒙 = 𝑔 𝑥, 𝑦 =
(𝑥 − 𝑚 𝑥 )(𝑦 − 𝑚 𝑦 ) en la ecuación de la definición 5, donde 𝑚 𝑥 y
𝑚 𝑦 representan, respectivamente, las medias de las v.a. 𝑥 y 𝑦. Si
tiene en este caso,
𝑘 𝑥𝑦 = 𝐸 (𝑥 − 𝑚 𝑥 )(𝑦 − 𝑚 𝑦 )
fra
−∞ −∞
(𝑋 − 𝑚 𝑥 )(𝑌 − 𝑚 𝑥 )&𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑌& 𝑑𝑋 𝑑𝑌

24. Correlación – covarianza
co
m
La covarianza y la correlación se encuentran relacionadas por la
ecuación:
𝑘 𝑥𝑦 = 𝑟 𝑥𝑦 − 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦
lb
𝐸 𝑥− 𝑚𝑥 𝑦− 𝑚𝑦
𝐸 𝑥𝑦& − 𝑦𝑚 𝑥 − 𝑥𝑚 𝑦 + 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦
𝐸 𝑥𝑦 − 𝑚 𝑥 𝐸 𝑦 − 𝑚 𝑦 𝐸 𝑥 + 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦
𝐸 𝑥𝑦 − 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦
fra
𝑘 𝑥𝑦 && =
=
=
=
e.
Demostración:

25. Correlación – covarianza
fra
lb
e.
co
m
• En el caso particular de 𝑥 = 𝑦, para el cuadro
del slide anterior, establece una relación entre
la varianza y el valor medio cuadrático de una
v.a. Se tiene,
𝜍 2 = 𝐸 𝑥 2 − 𝑚2
𝑥
𝑥

26. Covarianza
fra
lb
e.
co
m
• La covarianza entre dos v.a. es un parámetro real
que indica, de cierta forma, la relación estadística
entre dos v.a.
• Cuanto mayor es el valor del módulo de 𝑘 𝑥𝑦 más
fuerte es la relación estadística entre 𝑥 y 𝑦.
• Para examinar cuantitativamente el
relacionamiento estadístico entre dos variables,
es más adecuado la utilización de una cantidad
normalizada, puesto que permite caracterizar la
relación estadística máxima entre dos v.a.

27. Coeficiente de Correlación
e.
co
m
Definición 8: Coeficiente de Correlación 𝜌 𝑥𝑦
El coeficiente de correlación 𝜌 𝑥𝑦 entre dos v.a. 𝑥 y 𝑦 es definido por
𝑘 𝑥𝑦
𝜌 𝑥𝑦 =
𝜍𝑥 𝜍𝑦
donde 𝜍 𝑥 y 𝜍 𝑦 representan respectivamente las desviaciones
estándar de las variables 𝑥 y 𝑦, y 𝑘 𝑥𝑦 la covarianza entre ellas.
lb
Se puede demostrar que
fra
−1 ≤ 𝜌 𝑥𝑦 ≤ 1
Por ser limitado, el coeficiente de correlación es más adecuado
para indicar la relación estadística entre dos variables que la
covarianza.

28. fra
lb
e.
co
m
Coeficiente de Correlación

29. v.a. descorrelacionadas
lb
e.
co
m
Definición 9: v.a. descorrelacionadas
Dos v.a. 𝑥 y 𝑦 son descorrelacionadas cuando
𝜌 𝑥𝑦 = 0
o equivalentemente
𝑘 𝑥𝑦 = 0
Lo que es equivalente individualmente a
𝑟 𝑥𝑦 = 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦
fra
Si dos v.a. son estadísticamente independientes, también son
descorrelacionadas, puesto que
𝑟 𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥 &𝐸 𝑦 = 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦
El recíproco de este hecho, sin embargo, no es verdad.

30. v.a. ortogonales
co
m
Definición 10: v.a. ortogonales
Dos v.a. son ortogonales cuando
𝑟 𝑥𝑦 = 0&
lb
e.
Dos v.a. descorrelacionadas son ortogonales si y solamente si por lo
menos una de ellas tiene media nula.
fra
Los conceptos de media, varianza, valor medio cuadrático,
covarianza y correlación, definidos hasta el momento,
constituyen casos particulares de los conceptos más
generales de momento conjunto y momento conjunto central.

31. Momento conjuntos
𝑘
𝑘
𝑘
e.
co
m
Definición 11: Momentos Conjuntos
Los momentos conjuntos de 𝑛 v.a.’s & 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 son definidos
considerando
𝑘
𝑘
𝑘
𝑔 𝒙 = 𝑥1 1 𝑥2 2 … 𝑥 𝑛 𝑛
donde las potencias 𝑘1 , 𝑘2 . … 𝑘 𝑛 son números enteros, cada uno
de ellos positivos o igual a cero, los momentos conjuntos son
entonces dados por
∞
lb
𝐸 𝑥1 1 𝑥2 2 … 𝑥 𝑛 𝑛 =
∞
fra
−∞ −∞
∞
…
−∞
𝑘
𝑘
𝑘
𝑋1 1 𝑋2 2 … 𝑋 𝑛 𝑛 &𝑝 𝒙 𝑿 𝑑𝑿
La suma 𝑘1 + 𝑘2 + ⋯ + 𝑘 𝑛 se denomina orden del momento
conjunto.

32. Momentos conjuntos
fra
lb
e.
co
m
Observe que:
3
2
• Las cantidades 𝐸,𝑥1 𝑥2 𝑥 𝑛 -, 𝐸,𝑥1 𝑥2 -, 𝐸,𝑥3 constituyen todos los momentos conjuntos de
tercer orden.
• La media constituye momentos de primer
orden.
• el valor medio cuadrático y la correlación
constituyen momentos de segundo orden.

33. Momentos conjuntos centrales
𝑔 𝒙 = 𝑥1 − 𝑚 𝑥1
𝑥2 − 𝑚 𝑥2
𝑘2
… 𝑥𝑛 − 𝑚𝑥𝑛
co
𝑘1
m
Definición 12: Momentos conjuntos centrales
Los momentos conjuntos centrales de 𝑛 v.a.’s 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 son
definidos considerando
𝑘𝑛
𝑥1 − 𝑚 𝑥1
∞
𝑘1
∞
𝑥2 − 𝑚 𝑥2
∞
fra
𝐸
lb
e.
donde las potencias 𝑘1 , 𝑘2 . … 𝑘 𝑛 son números enteros, cada uno
de ellos positivos o igual a cero, los momentos conjuntos centrales
son entonces dados por
=
−
…
−∞ −∞
𝑘𝑛
𝑚𝑥𝑛
𝑝𝒙
−∞
𝑿 𝑑𝑿
𝑘2
… 𝑥𝑛 − 𝑚𝑥𝑛
𝑋1 − 𝑚 𝑥1
𝑘1
𝑘𝑛
𝑋2 − 𝑚 𝑥2
𝑘2
… 𝑋𝑛

34. Momentos conjuntos centrales
fra
lb
e.
co
m
Observe que
• La varianza y la covarianza constituyen ambos
momentos centrales de segundo orden.

35. m
fra
lb
e.
co
VALOR ESPERADO DE VECTORES Y
MATRICES

36. Valor esperado de vectores y matrices
fra
lb
e.
co
m
• El valor esperado de un vector 𝒚 es definido
como u vector de la misma dimensión, cuyas
componentes son los valores esperados de las
componentes de 𝒚.
• El valor esperado de una matriz 𝑨 es definido
como una matriz de la misma dimensión,
cuyos elementos son los valores esperados de
los elementos de 𝑨.

37. Vector media
fra
lb
e.
co
m
El vector media 𝒎 𝒙 de un vector aleatorio
𝒙 = 𝑥1 &𝑥2 &… 𝑥 𝑛 𝑇 es definido por
𝒎 𝒙 = 𝐸,𝒙esto significa que
𝑚 𝑥1
𝐸 𝑥1
𝐸 𝑥2 = 𝑚 𝑥2
𝒎 𝒙 =&
⋮
⋮
𝑚𝑥𝑛
𝐸,𝑥 𝑛 o sea, el vector media de un vector aleatorio 𝒙 es el
vector cuyas componentes son las medias de las
componentes de 𝒙.

38. Matriz covarianza
𝒙− 𝒎𝒙
𝒙− 𝒎𝒙
e.
𝐾𝑥 = 𝐸
co
m
La matriz covarianza 𝐾 𝑥 de un vector aleatorio
𝒙 = 𝑥1 &𝑥2 &… 𝑥 𝑛 𝑇 es definida por
𝑘 𝑥1 𝑥2
𝑘 𝑥2 𝑥1
⋮
𝑘 𝑥 𝑛 𝑥1
𝑘 𝑥 𝑛 𝑥2
lb
𝜍 21
𝑥
fra
𝑲𝒙 =
𝜍 22
𝑥
⋮
…
𝑇
𝑘 𝑥1 𝑥 𝑛
… 𝑘 𝑥2 𝑥 𝑛
⋱&&&&& ⋮&&&&
… &𝜍 2 𝑛
𝑥

39. Media y Covarianza de Vectores aleatorios
co
m
Determinar la expresión del vector media y de la matriz covarianza
de un vector aleatorio 𝒚 definido como una función lineal de otro
vector aleatorio 𝒙, en función del vector media y de la matriz
covarianza del vector 𝒙. En este caso considere
𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝒃
e.
𝐸 𝒚 = 𝐸 𝑨𝒙 + 𝒃 = 𝑨𝐸 𝒙 + 𝒃
O sea,
Por otro lado, se tiene
o aún,
𝒚− 𝒎𝒚
𝒚− 𝒎𝒚
fra
𝑲𝒚 = 𝐸
lb
𝒎 𝒚 = 𝑨𝒎 𝒙 + 𝒃
𝑇
= 𝐸
𝑲𝒚 = 𝐸 𝑨 𝒙− 𝒎𝒙
finalmente,
𝑨𝒙 − 𝑨𝒎 𝒙
𝒙− 𝒎𝒙
𝑲 𝒚 = 𝑨𝑲 𝒙 𝑨 𝑇
𝑇
𝑨𝑇
𝑨𝒙 − 𝑨𝒎 𝒙
𝑇
&

40. Matriz covarianza
co
m
Propiedad 6:
Dado un vector aleatorio 𝒙, con matriz covarianza 𝑲 𝒙 , es posible hacer que sus
componentes estén descorrelatadas dos a dos, a través de una transformación
lineal.
fra
lb
e.
Demostración:

41. Ejemplo
fra
lb
e.
co
m
Considere un vector aleatorio 𝒙 con matriz convarianza
2 1
𝑲𝒙 =
1 2
Encuentre la matriz 𝑷, que transforma el vector aleatorio 𝒙, en un
vector aleatorio 𝒚 con componentes descorrelatadas dos a dos.

42. m
co
fra
lb
e.
VALOR ESPERADO CONDICIONAL

43. Valor esperado condicional
∞
𝑌&𝑝 𝑦|𝑀 𝑌 &𝑑𝑌&
co
𝐸 𝑦 𝑀 =
m
Definición 11: Valor esperado condicional
El valor esperado de 𝑦, condicionado al evento 𝑀, es definido por
−∞
e.
Definición 12: Valor esperado condicional
Para le caso particular 𝑦 = 𝑔(𝑥) el valor esperado de 𝑦,
condicionado al evento 𝑀, es definido por
lb
∞
fra
𝐸 𝑔(𝑥) 𝑀 =
−∞
𝑔(𝑋)&𝑝 𝑥|𝑀 𝑋 &𝑑𝑋&
Y en el caso de función de vector aleatorio
∞
𝐸 𝑔(𝒙) 𝑀 =
−∞
𝑔(𝑿)&𝑝 𝒙|𝑀 𝑿 &𝑑𝑿&

44. m
co
fra
lb
e.
FUNCIONES CARACTERÍSTICAS

45. Funciones Características de una variable
aleatoria real
co
m
Definición 13: Función Carácterística de v.a.r.
La función característica de una v.a. 𝑥 es definida como
𝑀 𝑥 𝑣 = 𝐸 𝑒 𝑗𝑣𝑥
o sea
∞
𝑒 𝑗𝑣𝑋 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
e.
𝑀𝑥 𝑣 =
−∞
fra
lb
donde 𝑀 𝑥 es una función de la v.a.r. 𝑣 y toma valores en el conjunto
de los números complejos.

46. fra
lb
e.
co
Calcular la función característica de:
• una v.a. uniforme
• una v.a. exponencial
• una v.a. de Poisson
• una v.a. gaussiana
m
Ejemplo: Cálculo de función característica

47. Funciones Características de una variable
aleatoria real
fra
lb
e.
co
m
• En la determinación de funciones
características de v.a., las manipulaciones
algebraicas trabajosas pueden ser evitadas.
• Para esto, basta observar que, de no ser por
una sustitución de variables bastante simple,
𝑀 𝑥 𝑣 coincide con la Transformada de
Fourier de 𝑝 𝑥 (𝑋).

48. Funciones Características de una variable
aleatoria real
=
−∞
𝑝 𝑥 𝑋 𝑒 −2𝜋𝑓𝑋 𝑑𝑋
e.
ℱ 𝑝𝑥 𝑋
co
∞
m
• La Transformada de Fourier de 𝑝 𝑥 (𝑋) es
definida por
lb
se llega fácilmente a la relación
fra
𝑀𝑥 𝑣 = ℱ 𝑝𝑥 𝑋
𝑣
𝑓=−
2𝜋

49. Funciones Características de una variable
aleatoria real
m
• Análogamente, conocida la función carácterística de
una v.a. es posible obtener la fdp utiliando la
transformada inversa de Fourier, dada por
−1
𝑀 𝑥 𝑣 | 𝑣=−2𝜋𝑓 =
fra
𝑝𝑥 𝑋 = ℱ
lb
se obtiene así
−∞
𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑋 𝑑𝑓
ℱ 𝑝𝑥 𝑋
e.
𝑝𝑥 𝑋 =
co
∞
1 ∞
2𝜋 −∞
𝑀 𝑥 𝑣 𝑒 −𝑗𝑣𝑋 𝑑𝑣
donde ℱ −1 caracteriza la Transformada Inversa de
Fourier.

50. Funciones Características de una variable
aleatoria real
Propiedad 7:
co
m
𝑀𝑥 0 = 1
Propiedad 8:
lb
Propiedad 9:
Si 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, entonces
e.
𝑀 𝑥 (𝑣) ≤ 1
fra
𝑀 𝑦 𝑣 = 𝑒 𝑗𝑣𝑏 𝑀 𝑥 𝑎𝑣

51. Funciones Características de una variable
aleatoria real
co
m
Propiedad 10:
Si *𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 + son v.a. estadísticamente independientes y
𝑛
𝑦 = 𝑖=1 𝑥 𝑖
entonces
𝑛
𝑀𝑦 𝑣 =
𝑀 𝑥 𝑖 (𝑣)
lb
Propiedad 11:
e.
𝑖=1
fra
𝐸 𝑥 𝑘 = −𝑗
𝑘
𝑑𝑘
𝑀 𝑣
𝑑𝑣 𝑘 𝑥
𝑣=0

52. Ejemplo: Funciones Características
fra
lb
e.
co
m
Sean 𝑥 y 𝑦 dos v.a. estadísticamente independientes, ambas con fdp uniforme en el
intervalo (−1,1- . Determinar la fdp de la v.a. 𝑧 definida como la suma de 𝑥 y 𝑦.

53. Ejemplo: Funciones Características
fra
lb
e.
co
m
Sean 𝑥 y 𝑦 dos v.a. estadísticamente independientes, ambas con fdp de Poisson de
parámetro 𝑎. Determinar la fdp de la v.a. 𝑧 definida como la suma de 𝑥 y 𝑦.

54. Teorema del Límite Central
𝑛
𝑦𝑛 =
m
Definición 14: Teorema del Límite Central
Sea 𝑦 𝑛 una v.a. definida por
co
𝑥𝑖
𝑖=1
e.
donde *𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 + son v.a. estadísticamente independientes,
identicamente distribuidas, todas con media 𝑚 y varianza 𝜍 2 .
fra
lb
Entonces, la v.a. 𝑧 𝑛 que caracteriza la suma normalizada
𝑦𝑛 − 𝑚 𝑦𝑛
𝑧𝑛 =
𝜍𝑦𝑛
y tal que
1 − 𝑍2
lim &𝑝 𝑧 𝑛 𝑍 =
𝑒 2
𝑛→∞
2𝜋

55. m
fra
lb
e.
co
FUNCIÓN CARACTERÍSTICA DE
VECTOR ALEATORIO

56. Función Característica de Vector Aleatorio
o sea
𝑀𝒙 𝒗 =
∞
∞
𝑗𝒗 𝑇 𝒙 &𝑝
𝑒
e.
∞
𝑗𝒗 𝑇 𝒙
𝑒
co
𝑀𝑥 𝒗 = 𝐸
m
Definición 15: Función Característica de Vector Aleatorio
La función característica de un vector aleatorio 𝒙, de dimensión 𝒏
es definida por
…
−∞ ∞
−∞
𝑥
𝑿 𝑑𝑿
fra
lb
donde 𝑀 𝑥 es una función de las 𝑛 variables *𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣 𝑛 + que
caracterizan el vector 𝒗, y toma valores en el conjunto de números
complejos.

57. Función Característica de Vector Aleatorio
Propiedad 12:
co
m
𝑀𝒙 𝟎 = 1
Propiedad 13:
lb
Propiedad 14:
Si 𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝒃, entonces
e.
𝑀 𝒙 (𝒗) ≤ 1
fra
𝑀 𝒚 𝒗 = 𝑒 𝑗𝒗
𝑇
𝒃
𝑀 𝒙 (𝑨 𝑇 𝒗)
Demostración
𝑀 𝒚 𝒗 = 𝐸 𝑒 𝑗𝒗
como 𝒗 𝑇 𝑨 = 𝑨 𝑇 𝒗 𝑇
𝑇
𝒚
= 𝐸 𝑒 𝑗𝒗
𝑇
𝑨𝒙+𝒃
= 𝑒 𝑗𝒗𝒃 𝐸 𝑒 𝑗𝒗
𝑇
𝑨𝒙

58. Funciones Características de una variable
aleatoria real
co
𝑛
m
Propiedad 15:
Si las componentes *𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 + del vector aleatorio 𝒙 son estadísticamente
independientes, entonces
𝑀𝒙 𝒗 =
𝑀 𝑥 𝑖 (𝑣 𝑖 )
e.
𝑖=1
… 𝑥
𝑘𝑛
𝑛
= −𝑗
fra
𝐸
𝑘
𝑘
𝑥1 1 &𝑥2 2
lb
Propiedad 16:
𝑘1 +𝑘2 +⋯+𝑘 𝑛
𝑑 𝑘1 +𝑘2+⋯+𝑘 𝑛
𝑘
𝛿𝑣1 1
𝑘
𝛿𝑣2 2
…
𝑘
𝛿𝑣 𝑛 𝑛
𝑀𝒙 𝒗
𝒗=𝟎

59. Ejemplo: Función Característica de vectores
aleatorios
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Sea 𝒙 un aleatorio bidimensional con función característica dada por
2
2
𝑀 𝒙 𝒗 = 𝑒 − 2𝑣1 +2𝑣2 +𝑣1 𝑣2
Se desea determinar el vector media 𝒎 𝒙 y la matriz covarianza 𝑲 𝒙 del aleatorio 𝒙.

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REFERENCIAS

61. Referencias
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• ALBUQUERQUE, J. P. A.; FORTES, J. M.; FINAMORE, W. A.
(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;
Rio de Janeiro: Publicação CETUC.
• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios
em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide]
• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad, Teoría
de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]
• ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and
Random Processes For Electrical
Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall,
University of Toronto, 2008.

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