2. Direction of B

3. La ley de Biot-Savart
El vector dB es perpendicular tanto a
dl (que es un vector que tiene
unidades de longitud y está en la
dirección de la corriente) como del
)
vector unitario r dirigido del elemento
aP
La magnitud de dB es
proporcional a la corriente y a la
longitud dl del elemento.
r
La magnitud de dB es inversamente r µ o I dl × r
ˆ
proporcional a r2, donde r es la B= ∫ 2
distancia del elemento a P. 4π r

4. La ley de Biot-Savart r
r µ o Idl × r
ˆ
dB =
r
4π r 2
a
µ0 = 4π x 10-7 T m/A. permeabilidad del
θ espacio libre
dx
r ) )
x
dl × r = k (dxsenθ )
r µ o I dxsenθ
dB =
4π r 2 a
r= = a cscθ
senθ
r µ o I θ dxsenθ
2
a
B= ∫ tan θ = ⇒ x = actgθ
4π θ r 2 1
x
dx = a csc 2 θdθ

5. r µ o I θ dxsenθ
2
r µ o I θ a csc 2 θsenθdθ
B= ∫
2
B= ∫
4π θ r1
2
4π θ a 2 csc 2 θ
1
r µo I θ 2
B= ∫ senθdθ
4πa θ 1
r µo I
B= (cosθ1 − cosθ 2 ) Alambre recto finito
4πa
Alambre recto infinito θ1 = 0 y θ 2 = π
r µI
r µo I
µI
B= o
(cos 0 − cos π ) = [1 − (− 1)] B =
o
4πa 4πa 2π a

6. Campo magnético debido a un alambre
recto
Corriente en
alambre
B= µ0 I
2π r
Distancia perpendicular
del alambre al punto en
el cual B debe ser
determinado.
El valor de la constante µ0, llamada la permeabilidad del
espacio libre , es µ0 = 4π x 10-7 T m/A.

7. Ejemplo
Un alambre eléctrico vertical en la pared de un
edificio lleva una corriente de 25 A hacia arriba.
¿Cuál es el campo magnético en un punto 10 cm al
norte de este alambre?
.
r

8. El dibujo muestra una vista seccional de tres alambres. Ellos
son largos, rectos y perpendiculares al plano del papel. Su
seccion transversal esta en las esquinas de un cuadrado. Las
corrientes en los alambres 1 y 2 son I 1 = I 2 = I y están
dirigidos hacia dentro en el papel.
¿Cuál es la dirección de la corriente en el alambre 3 y cuál es
el cociente I 3/I, tal que el campo magnético neto en la
esquina vacía es cero?
la corriente en el alambre 3 se debe dirigir hacia fuera
del plano del papel

9. (2) Una trayectoria de corriente de la forma mostrada en la figura produce un
campo magnético en P, el centro del arco. Si el arco subtiende un ángulo de
30.0º y el radio del arco es de 6.00 m, ¿cuáles son la magnitud y dirección del
campo producido en P si la corriente es de 3.00 A.
a trayectorias a - b y c - d
r )
) dl × r = 0
r b
r
r µ o I dl × r
ˆ
B= ∫ 2
4π r
c trayectorias b - c
r )
d d l × r = dl sen90 = dl
r µ o I dl µo I µ o Il r µ o I (rθ ) µ o Iθ
B= ∫ 2= 2 ∫
dl = B= =
4π r 4π r 4π r 2
4π r 2
4π r

10. La ley de Biot-Savart
r r r r r r
r µ o Idl × r ) r
ˆ r µ o Idl × r r µ o I dl × r
r=
4π ∫ r 3
dB = dB = B=
4π r 2
r 4π r 3
Campo magnético sobre el eje de un lazo de corriente circular
Las componentes en y de B se anulan
y en x se suman
r r
r µo I dl × r cos θ
BP =
4π ∫ r3
⎛a⎞
rdl ⎜ ⎟
r µI r µ I a(adφ )
BP = o ∫ ⎝3 ⎠ = o ∫
4π r 4π r3
r µI 2π
a dφ2
µ o Ia 2 2π
µo Ia 2
BP = o ∫ = ∫ dφ B=
4π 0 (x 2
+a 2
)
3
2
(
4π x + a
2 2
)
3
2
0 (
2 x +a
2
)
2 3/ 2

11. Campo magnético sobre el eje de un lazo de corriente circular
µ o Ia 2
B=
(
2 x +a
2
)
2 3/ 2
µo I
B=
En el centro del lazo (x = 0): 2a
En puntos muy µ o Ia 2 µ = IA = I (πa 2 ) µo a ⎛ µ ⎞ 2
B= B= ⎜ 2⎟
2x ⎝ π a ⎟
3 ⎜
lejanos µ
I= 2
⎠
3
(x >> a): 2x πa
µo µ
B=
2π x 3

12. Un conductor consiste de una espira circular de radio R = 0.100 m y de dos
largas secciones rectas, como se muestra en la figura. El alambre yace en el
plano del papel y conduce una corriente I = 7.00 A. Determine la magnitud y
dirección del campo magnético en el centro de la espira.
r r
r dl r r
r µ o I dl × r
4π ∫ r 3
B=
r µ o I r (rdθ )sen90 r µ o I 2π µ o I(2π )
B= ∫ B= ∫ dθ =
4π r 3
4π r 0 4π r
µo I 4π ×10 −7 × 7
B= B=
2 × 0.1
= 4.4 ×10 −5 T
2r

13. Fuerza Entre Dos Alambres
d

14. Fuerza Entre Dos Alambres
I1 I2
d

15. Fuerza Entre Dos Alambres
I1 I2

16. Fuerza magnética entre dos conductores paralelos
Dos alambres que conducen corriente ejercen
fuerzas magnéticas entre sí.
La dirección de la fuerza depende de la dirección de
la corriente.
µ 0 I1
F1 = I 2 LB1 B1 =
2πd
µ 0 I1 I 2 L
F1 =
2πd
µ0 I 2
F2 = I1 LB2 B2 =
2πd
µ 0 I1 I 2 L
F2 =
2πd

17. Corrientes en la Corrientes en dirección
misma dirección opuesta fuerza repulsiva.
fuerza atractiva.

18. Si dos alambres paralelos a 1 m de distancia conducen
la misma corriente y la fuerza por unidad de longitud de
cada alambre es de 2 × 10−7 N/m, entonces la corriente
se define como 1 amperio (A).
I
1m
I I=1A
F / L = 2 x 10-7 Nm-1
Si un conductor conduce una corriente estable de 1 A,
entonces la cantidad de carga que fluye por sección
transversal del conductor en 1 s es 1 C.

19. Un alambre horizontal lleva una corriente I1 = 80 A dc. Un
segundo alambre paralelo 20 cm debajo ¿cuánta corriente I2,
debe llevar, de modo que no caiga debido a la gravedad? El
alambre inferior tiene una masa de 0.12 g por metro de la
longitud.
Campo magnético debido la
corriente I1

20. En la figura la corriente en el largo alambre recto es I1 =
5.00 A y el alambre se ubica en el plano de la espira
rectangular, la cual conduce 10.0 A. Las dimensiones son
c = 0.100 m, a = 0.150 m y l = 0.450 m. Determine la
magnitud y dirección de la fuerza neta ejercida sobre la
espira por el campo magnético creado por el alambre.

21. Campo magnético producido por un solenoide en un punto de su eje:
µ o nIa 2
dB = dx
2( x + a
2
)
2 3/ 2
a
tan θ = ⇒ a = x tan θ
x
0 = x sec 2 θdθ + tan θdx
dx 1 cosθ 1
=− dθ = − dθ
x cos θ senθ
2
senθ cosθ
µ o nI
x 2 tan 2 θ dx
B= ∫
2 (x 2 + x 2 tan 2 θ ) 1
3/ 2
1 + tan 2 θ =
cos 2 θ
µ o nI
tan 2 θ dx
µ o nI tan 2 θ cos 3 θ dx
B= ∫
2 x(1 + tan 2 θ ) B= ∫
3/ 2
2 x
µ o nI sen 2θ cos 3 θ dx µ o nI sen 2θ cosθ dx µ o nI sen 2θ cosθ dθ
B= ∫ ( 2 ) = ∫ = ∫−
2 cos θ x 2 x 2 senθ cosθ
µ o nI θ 2
µo nI
B= ∫ − senθdθ B= (cos θ 2 − cos θ1 )
2 θ1 2

22. En el punto medio del solenoide, suponiendo que el solenoide es largo
comparado con a:
B = µ o nI
En el punto extremo del solenoide, suponiendo que el solenoide es largo
comparado con a:
B = 1 µ o nI
2

23. Ley de Ampere
El caso general:
∫ B • dl = µ0Iencl
La corriente neta a través
Cualquier trayectoria
de la superficie encerrada
cerrada .
por esta trayectoria cerrada.

25. Ley de Ampère
La integral de línea de B·dl alrededor de cualquier trayectoria
cerrada es igual a µ0I, donde I es la corriente estable total que
pasa a través de cualquier superficie delimitada por la
trayectoria cerrada.
r r
∫ B • dl = µ0 I
r r
∫ B • dl = ∫ Bdl = B ∫ dl = Bl
r r µ0 I
∫ B • dl = 2πa 2πa = µ0 I

26. Ley de Ampere
r r El signo viene de la
∫ B • dl = µ 0 Ι
dirección del lazo y regla
de la mano derecha
I
r r
∫ B • dl = 2 µ 0 Ι B I
r r I
∫ B • dl = 0
B
I

27. Ley de Ampere
r r El signo viene de la
∫ B • dl = 2 µ 0 Ι I dirección del lazo y regla
de la mano derecha
B I
r r I
∫ B • d l = −2 µ 0 Ι
BI
r r I
∫ B • d l = −2 µ 0 Ι
B I

28. Corrientes de 1A, 5A,
Test 2A, fluyendo en 3
alambres según lo
a mostrado
1A
b 5A Cuál es la ΣB.ds a
través de lazos a,
b, c, d?
2A
c
ΣB.ds -1µ0 +3µ0 +4µ0 +6µ0
a
b
c
d

29. I
Un conductor largo, cilíndrico es sólido en todas
partes y tiene un radio R . El flujo de las cargas
eléctricas es paralelo a al eje del cilindro y pasa
uniformemente a través de la sección transversal
entera. El arreglo es, en efecto, un tubo sólido de la I1
corriente I0. Utilizar la ley de ampere para demostrar
que el campo magnético dentro del conductor a una
distancia r del eje es
µ0 I
B= r
2π R 2
r r
∫ B • dl = µ 0 I J=
I I1
= 2 r2
I1 = 2 I
B ∫ dl = µ 0 I1 πR πr
2
R
⎛r ⎞ µ0 r
2
B(2π r ) = µ 0 ⎜ 2 I⎟ B= I
⎝R ⎠ 2π R 2

30. Fuera del toroide (r<R):
r r
∫ B ⋅ ds = µ 0 I = 0
Dentro del toroide:
B=0
Fuera del toroide (r>R):
r r
∫ B ⋅ ds = µ 0 I = 0
r r
∫ B ⋅ ds = ∫ Bds = B ∫ ds = Bs
B=0
B 2πr = µ 0 NI B =
µ 0 NI
2πr

31. Si suponemos que el solenoide
es muy largo comparado con el
radio de sus espiras, el campo
es aproximadamente uniforme y
paralelo al eje en el interior del
solenoide y es nulo fuera del
solenoide.
r r
∫ B • dl = ∫ BdlBC = B ∫ dlBC = Bx
Bx = µ 0 NI
µ0 NI
B=
x
B = µ 0 nI

32. Resumen
⎡ µ 0 ⎤ ds × r
ˆ
dB = ⎢ ⎥ I
Ley de Biot-Savart ⎣ 4π ⎦ r
2
µ0 I
conductor recto infinito B=
2π a
Centro de espira circular µ0 I
B=
2R
µ 0 NI
Centro de N espiras circulares B=
2R
F µ 0 I1 I 2
•Fuerza entre dos alambres =
l 2π a

33. Otros ejemplos de campo
magnético
µ0 I
• Interior de alambre recto B= r
2π R 2
µ 0 NI
• centro de un solenoide toroidal con N vueltas B=
2π R
• Interior del solenoide n vueltas por unidad de longitud B = µ 0 nI
r r
• Ley de Ampere
∫ B • dl = µ0 I

34. Corriente de desplazamiento y la forma general de la ley de Ampère
r r
∫ B ⋅ ds = µ0I
La ley de Ampère de la forma anterior
sólo es válida si el campo eléctrico es
constante en el tiempo.
Los campos magnéticos son producidos tanto por campos eléctricos constantes
como por campos eléctricos que varían con el tiempo.
Ley de Ampère-Maxwell:
r r dΦ E
∫ B ⋅ d s = µ 0 (I + I d ) Id = ε0
dt
Se debe aclarar que la expresión anterior sólo es válida en el vacío. Si un
material magnético está presente, se debe utilizar la permeabilidad y la
permitividad características del material.

35. Dos largos, los alambres rectos están
separados 0.120 m. Los alambres llevan
corrientes de 8.0 A en direcciones
opuestas, como el dibujo indica .
Encontrar la magnitud del campo
magnético neto en los puntos
etiquetados (a) A y (b) B.
En el punto A : B1 es ascendente y B2 está abajo, los
restamos para conseguir el campo neto.
En el punto B: B 1 y B 2
son ambos abajo así
que sumamos los dos.

36. El dibujo demuestra una barra fina, uniforme, la cual
tiene una longitud 0.40 m y una masa de 0.080 kg. La
barra está en el plano del papel y es unida al piso por
una bisagra en el punto P. Un campo magnético
uniforme de 0.31 T se dirige perpendicular en el plano
del papel. Hay una corriente I = 3.8 A en la barra , cuál
no rota a la derecha o a la izquierda. Encontrar el
ángulo θ. (clave: La fuerza magnética actúa en el
centro de gravedad.)

37. Los dos rieles conductores en el dibujo
están inclinados hacia arriba un ángulo de
30.0° con respecto a la tierra. El campo
magnético vertical tiene una magnitud de
0.050 T. La barra de aluminio de 0.20
kilogramo (longitud = 1.6 m) desliza sin
fricción abajo de los rieles a velocidad
constante. ¿Cuánta corriente atraviesa la
barra ?

38. La bobina en figura contiene 380 vueltas y
tiene un área por vuelta de 2.5 x 10-3 m2. El
campo magnético es 0.12 T, y la corriente
en la bobina es 0.16 A. Una zapata se
presiona perpendicular contra el eje para
que no gire la bobina. El coeficiente de
fricción estática entre el eje y la zapata es
0.70. El radio del eje es 0.010 m. ¿Cuál es la
magnitud de la fuerza normal mínima que la
zapata ejerce en el eje?
En el equilibrio el
esfuerzo de torsión
magnético en la
bobina que lleva es
balanceado por el
esfuerzo de torsión
debido a la fricción.

39. Materiales Ferromagnéticos
• Hierro
• Cobalto
• Níquel
• Gadolinium
• Dysprosium
• Aleaciones que contienen estos
elementos (e.g. aleación de acero)

40. Ferromagnetismo
• Los materiales ferromagnéticos experimentan el
fenómeno de la magnetización espontánea
cuando el material se pone en un campo
magnético.
• El ferromagnetismo implica la alineación de una
fracción apreciable de los momentos magnéticos
moleculares.
• El ferromagnetismo aparece solamente debajo de la
temperatura de curie.
• Los materiales ferromagnéticos en estado natural se
encuentran generalmente desmagnetizados incluso
debajo de la temperatura de curie.

41. Ejemplo De Temperaturas Curie
• Fe – 1043 K
• Co – 1403 K
• Ni – 631 K
• Gd – 289 K
• Dy – 105 K

42. Las características magnéticas son debidas la
rotación de cargas eléctricas. Rotación orbital.
Electron
N µl
momento
magnético
Orbital

43. Spin de Rotación del Electron
µs
momento
Spin magnético
El electrón gira en
su eje como la
tierra.

44. Vector de magnetización e intensidad de campo magnético
El estado magnético de una sustancia se describe por medio de una cantidad
denominada vector de magnetización M, cuya magnitud se define como el
momento magnético por unidad de volumen de la sustancia.
El campo magnético total en un punto en una sustancia depende tanto del
campo externo aplicado como de la magnetización de la sustancia.
r r r
B = Bext + µ 0 M
La intensidad de campo magnético H de una sustancia representa el efecto
de la corriente de conducción en alambres sobre una sustancia (Bext =µ0H)
r r r
B = µ 0 (H + M)

45. Clasificación de sustancias magnéticas
Ferromagnetismo
Son sustancias cristalinas cuyos átomos tienen momentos magnéticos
permanentes que muestran intensos efectos magnéticos.
Todos los materiales ferromagnéticos están constituidos con regiones
microscópicas llamadas dominios. Ejemplos: hierro, cobalto, níquel.

46. Dominios Magnéticos
B=0 B B

47. Si sobre un material ferromagnético se aplica una corriente, la magnitud del
campo magnético H aumenta linealmente con I.
La curva B versus H se denomina curva de magnetización:
Dominios Magnéticos
Este efecto se conoce como histéresis magnética.
La forma y tamaño de la histéresis dependen de las propiedades de la
sustancia ferromagnética y de la intensidad del campo aplicado.
La histéresis para materiales ferromagnéticos “duros” es característicamente
ancha, lo que corresponde a una gran magnetización remanente.
El área encerrada por la curva de magnetización representa el trabajo
requerido para llevar al material por el ciclo de histéresis.

48. Materiales Magnéticos Duros
• Los materiales magnéticos duros,
tales como níquel y cobalto son
difíciles de magnetizar pero tienden a
conservar su magnetismo.
• La alineación del dominio persiste
después de quitar el campo externo .
• Esto da lugar a un magnétismo
permanente.

49. Materiales Magnéticos Suaves
• Los materiales magnéticos suaves, tales como
hierro, se magnetizan pero tienden fácilmente
a perder su magnetismo una vez que se quite
el campo externo.
• La agitación termal produce el movimiento del
dominio y el material vuelve rápidamente a su
estado no imantado.
• Los materiales magnéticos naturales, tales
como magnetita, alcanzan su magnetismo
porque se han expuesto al campo magnético de
la tierra durante mucho tiempo.

50. Paramagnetismo y diamagnetismo
Al igual que los ferromagnéticos, los materiales paramagnéticos están
hechos de átomos que tienen momentos magnéticos permanentes, mientras
que los diamagnéticos carecen de ellos.
Aluminio, calcio, cromo son ejemplos de sustancias paramagnéticas mientras
que el cobre, oro y plomo son ejemplos de sustancias diamagnéticas.
Para las sustancias paramagnéticas y diamagnéticas, el vector de
magnetización M es proporcional a la intensidad de campo magnético H:
r r
M = χH
Donde χ es un factor adimensional llamado susceptibilidad magnética.
Para sustancias paramagnéticas χ es positiva y para sustancias
diamagnéticas χ es negativa.