Clase 5 teorema de superposición

 El teorema de superposición, como los métodos de mallas y nodos pueden usarse
para encontrar la solución a redes con dos o mas fuentes que no están en serie y
paralelo.
 La mas obvia ventaja de este método es que no requiere el uso de una técnica
matemática como los determinantes para encontrar los voltajes o las corrientes
requeridas. En vez de eso, cada fuente es tratada independientemente, y la suma
algebraica se encuentra para determinar una cantidad particular desconocida de
la red.

 El teorema de superposición establece lo siguiente:
 La corriente o el voltaje de un elemento en una red lineal bilateral es igual a la
suma algebraica de las corrientes o voltajes producidos independientemente por
cada fuente.
 Cuando se aplica el teorema, es posible considerar los efectos de dos fuentes al
mismo tiempo y reducir el número de redes que se tienen por analizar, pero en
general
 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

 Para considerar los efectos de cada fuente independientemente se requiere que las
fuentes sean removidas y reemplazadas sin afectar el resultado final.
 Para remover una fuente de voltaje al aplicar este teorema, la diferencia en
potencial entre las terminales de la fuente de voltaje debe hacerse igual a cero
(corto circuito); remover una fuente de corriente requiere que sus terminales sean
abiertas (circuito abierto).
 Cualquier resistencia o conductancia interna asociada con las fuentes desplazadas
no es eliminada pero, no obstante debe ser considerada.

 En la figura 1 se examinan las distintas sustituciones requeridas al remover una
fuente ideal, y en la figura 2 se analizan las sustituciones con fuentes practicas
que tienen cierta resistencia interna.
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 1 𝑅𝑒𝑚𝑜𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2 𝑅𝑒𝑚𝑜𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑟á𝑐𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠

 La corriente total a través de cualquier porción de la red es igual a la suma
algebraica de las corrientes producidas independientemente por cada fuente.
 Esto es, para una red de dos fuentes, si la corriente producida por una fuente es en
una dirección, mientras que la producida por la otra es en al dirección opuesta a
través del mismo resistor, la corriente resultante es la diferencia de las dos y tiene
la dirección de la mayor.
 Esta regla se cumple para el voltaje en una porción de una red determinada por
polaridades, y su aplicación puede extenderse a redes con cualquier numero de
fuentes.

 El principio de superposición no es aplicable para el calculo de la potencia ya que
la perdida de potencia en un resistor varía con el cuadrado (no lineal) de la
corriente o del voltaje, como se ilustra en la figura 3.
Escriba aquí la ecuación.
Figura 1.
Demostración que
la superposición no es aplicable
Para cálculos de potencia

 En general por, por tanto
 La potencia total entregada a un elemento resistivo debe ser determinada usando
al corriente total o el voltaje total en el elemento y no puede ser determinada por
una simple suma de los niveles de potencia establecidos por cada fuente.

 Problema 1
 Determine 𝐼1 para la red de la figura 4
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 4

 Solución
 Haciendo 𝐸 = 0𝑉 para la red de la figura 4 se obtiene la red de la figura 5a, donde
un corto circuito equivalente ha reemplazado la fuente de 30V
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 5 (a) Contribución de 𝐼 𝑎 𝐼1; (b) Contribución de 𝐸 𝑎 𝐼1

 Solución
 Como se muestra en la figura 5a, la fuente de corriente escogerá la trayectoria de corto
circuito, e 𝐼′1 = 0𝐴. Al aplicar la regla del divisor de corriente
 Al establecer 𝐼 en cero ampere resultará la red de la figura 5b, con la fuente de
corriente reemplazada por un circuito abierto. Aplicando la ley de Ohm, tenemos
𝐼′1 =
𝑅 𝑠𝑐 𝐼
𝑅𝑠𝑐 + 𝑅1
=
0Ω 𝐼
0Ω + 6Ω
= 0𝐴
𝐼′′1 =
𝐸
𝑅1
=
30𝑉
6Ω
= 5𝐴

 Solución
 Observe en este caso que la fuente de corriente no tiene efecto sobre la corriente a
través del resistor de 6Ω. El voltaje del resistor debe fijarse en 30 V porque los
elementos son paralelos.

 Problema 2
 Usando la superposición, determine la corriente a través del resistor de 4Ω de la
figura 6. Observe que está es una red de dos fuentes.

 Solución
 Considerando los efectos de la fuente de 54𝑉(figura 8)
 𝑅 𝑇 = 𝑅1 + 𝑅2 𝑅3 = 24Ω + 12Ω 4Ω = 24Ω + 3Ω = 27Ω
 𝐼 =
𝐸1
𝑅 𝑇
=
54𝑉
27Ω
= 2𝐴 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 8 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐸1 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐼3

 Solución
 Usando al regla del divisor de corriente, tenemos
 𝐼′3 =
𝑅2 𝐼
𝑅2+𝑅3
=
12Ω 2𝐴
12Ω+4Ω
=
24𝐴
16
= 1.5𝐴

 Solución
 Considerando los efectos de la fuente de 48𝑉(figura 9)
 𝑅 𝑇 = 𝑅3 + 𝑅1 𝑅2 = 4Ω + 24Ω 12Ω = 4Ω + 8Ω = 12Ω
 𝐼 =
𝐸2
𝑅 𝑇
=
48𝑉
12Ω
= 4𝐴
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 9 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐸2 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐼3

 Solución
 La corriente total a través del resistor de 4Ω es:
 𝐼3 = 𝐼′′3 − 𝐼′
3 = 4𝐴 − 1.5𝐴 = 2.5𝐴(𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐼′′
3)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 10 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐼3

 Problema 3
 a. Usando la superposición, encuentre la corriente a través del resistor de 6Ω de la
red de la figura 11.
 b. Demuestre que la superposición no es aplicable a los niveles de potencia.

 Solución
 Considerando el efecto de la fuente de 36𝑉 (Figura 12)
𝐼′2 =
𝐸
𝑅 𝑇
=
𝐸
𝑅1 + 𝑅2
=
36𝑉
12Ω + 6Ω
= 2𝐴
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐸 𝑎 𝐼2

 Solución
 Considerando el efecto de la fuente de 9A (Figura 13). Aplicando el divisor de
corriente
𝐼′′2 =
𝑅1 𝐼
𝑅1 + 𝑅2
=
12Ω 9𝐴
12Ω + 6Ω
=
108𝐴
18
= 6𝐴
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 13 Contribución de I a 𝐼2

 Solución
 La corriente total a través del resistor es (figura 14):
𝐼2 = 𝐼′2 + 𝐼′′2 = 2𝐴 + 6𝐴 = 8𝐴
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 14 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐼2

 Solución
 Inciso b
 La potencia para el resistor de 6Ω es:
 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐼2 𝑅 = 8𝐴 2 6Ω = 384𝑊
 La potencia calculada para el resistor de 6Ω debida a cada fuente, mal usando el
principio de superposición, es:
 𝑃1 = 𝐼′2
2
𝑅 = 2𝐴 2
6Ω = 24𝑊
 𝑃1 = 𝐼′′2
2 𝑅 = 6𝐴 2 6Ω = 216𝑊 ⟹ 𝑃1 + 𝑃2 = 240𝑊 ≠ 384𝑊

 Solución
 Como se menciono, el principio de superposición no es aplicable para los cálculos
de la potencia ya que la potencia es proporcional al cuadrado de la corriente o del
voltaje I2R o V2/R
 La figura 15 es una gráfica de la potencia entregada al resistor de 6Ω en función
de la corriente

Figura 15 Trazado de potencia entragada al resistor de 6Ω
en función de la corriente a través del resistor.

 Solución
 Obviamente, 𝑥 + 𝑦 ≠ 𝑧, 𝑜 24𝑊 + 216𝑊 ≠ 384𝑊, y la superposición no se cumple.
Sin embargo, para una relación lineal, como entre el voltaje y la corriente del
resistor tipo fijo de 6Ω, la superposición puede ser aplicada, como se demuestra
mediante la gráfica de la figura 16 , donde 𝑎 + 𝑏 = 𝑐, o 2𝐴 + 6𝐴 = 8𝐴
Figura 16 Trazado de I en función de V para el
resistor de 6Ω

 Problema 4
 Usando el principio de superposición, encuentre la corriente 𝐼2 a través del resistor
de 12 𝑘Ω de la figura 17

 Solución
 Considerando el efecto de la fuente de corriente de 6𝑚𝐴 (Figura 18)
Efecto de la fuente de
Corriente 𝐼 sobre la corriente 𝐼2

 Solución
 Regla del divisor de corriente:
 𝐼′2 =
𝑅1 𝐼
𝑅1+𝑅2
=
6𝑘Ω 6𝑚𝐴
6𝑘Ω+12𝑘Ω
= 2𝑚𝐴
 Considerando el efecto de la fuente de voltaje de 9𝑉 (Figura 19):
 𝐼′′2 =
𝐸
𝑅1+𝑅2
=
9𝑉
6𝑘Ω+12𝑘Ω
= 0.5𝑚𝐴

 Solución
 Considerando el efecto de la fuente de corriente de 6𝑚𝐴 (Figura 19)
Efecto de la fuente de
Corriente 𝐸 sobre la corriente 𝐼2

 Solución
 Como 𝐼′2 𝑒 𝐼′′2 tienen la misma dirección a través de 𝑅2, la corriente deseada es la
suma de las dos:
 𝐼2 = 𝐼′2 + 𝐼′′2
 𝐼2 = 2𝑚𝐴 + 0.5𝑚𝐴
 𝐼2 = 25𝑚𝐴

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