Mai 2 - matemática auto-instrutivo - professor

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MAI 2 - MATEMÁTICA AUTO-INSTRUTIVO - AIDA F. DA SILVA MUNHOZ, ALCEBÍADES VIEIRA, IRACEMA IKIEZAKI

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Mai 2 - matemática auto-instrutivo - professor

  1. 1. FH" ' P' 'W ' ", : > : gx ' › _' p» *-ô›'*'~. v'. an”. Ç L-VÍ›'. . Wii n? “WWÍ” “O*~*'§ "'í". HUBLJF: :: wàla : vg : ' 'gl-p O ; à 3T¡ ju_ g3_ í [g j; zig¡ fg¡ LIVRO oo PROFESSOR CORTESIA DA EDITORA E DO AUTOR UTI: ¡uouwww- ed¡ gi' o : SARAH/ ea
  2. 2. .N. . .m5 . -êf-Hsaãi 5 *f ' . f, r; .g- Ig. .
  3. 3. MATEMÁTICA FlUTO-INSTRUTIVO
  4. 4. Supervisão Editorial: Jose' Lino Fruet Capa: João Gaxgiullí FICHA CATALOGRAFICA (Preparada pelo Centro de CataIogação-na-fonte, Câmara Brasileira do Livro, SP) Munhoz, Aída Ferreira da Silva. MAI, matemática auto-instrutivo: 2? série, 29 grau Iporl Aida F. da Silva Munhoz, Alcebfades Vieira Iel Iracema lkiezaki. São Paulo, Saraiva, 1975. p. ilust. Supiementado pelo livro do professor. 1. Matemática (29 grau) - Instrução programada l. Ikiezaki, Iracema. ll. Vieira, Aloebfades, 1940 - III. Titulo. 17. CDD-510.077 18. -510.77 Indice para catálogo sistemático: 1. Instrução programada: Matemática 510.077 (17.) 51 0.77 (1 8.) SARAIVA S. A. - LIVREIROS EDITORES RUA FORTALEZA, 53 - CAIXA POSTAL: 2362 TELEFONES: 32-1149 *í* 32-2534 "' 34-9503 "E 34-9685 END. TELEGRÁFICO: ACADÊMICA *i SÃO PAULO
  5. 5. AIDA F. DA sILvA MUNHOZ ALCEBÍADES VIEIRA IRACEMA IKIEZAKI f, í n) a e i I i i i < I I »e i . .v-g- . ~›; ' _ _. , . . n, , m Iw-qvvar-. azwu , l ii i l: , Ii «a “TW AEWi›*, í“iF; Ii iIíI" i«à f"? 'sÉPeiE / :L3 *AEÂFÇIEÃII LIVRO DO PROFESSOR A Somente o livro do professor con- ; tem as respostas dos exercicios , 7,? , , r . f. . 7 7 ir» _ 1 975
  6. 6. OTUFI m T . ..J _n m O A g OVITUFITBHI -
  7. 7. Estudante: O livro Matemática Auto-instrutivo foi programado pensando em você, na sua participação, no seu interesse, tomando-o elemento ativo no processo de aprendizagem. Procuramos apresentar cada assunto deste livro de modo simples, claro e objetivo. A cada apresentação de um conceito segue-se uma série de afirmações, algumas verdadeiras e outras falsas, e à medida que você assinala as verdadeiras a fixação desse conceito se faz naturalmente, preparando-O assim para as aplicações que vêm a seguir. Nessas aplicações, você deverá completar os exercicios propostos e é importante que esse completamento seja feito seguindo a orientação sugerida, pois ela está baseada nos conhecimentos já adquiridos por vooê. Ao final de cada capítulo, apresentamos duas seqüências de exercícios. A se- qüência A, cuidadosamente analisada, apresentada em grau crescente de dificuldade e dosada de modo a atingir os objetivos propostos em cada capitulo, dá~lhe condições de prosseguir no desenvolvimento do conteúdo para a aquisição de novos conceitos. A seqüência B ficará a critério do seu professor, face à disponibilidade de tempo e outras variáveis que direta ou indiretamente influem no processo de aprendizagem. Com a apresentação desta obra, retrato de uma longa experiência no ensino de 29 grau, reiterarnos nossa firme convicção que sempre norteou nossos ideais: nós acre- ditamos em você. Os autores.
  8. 8. a 5 ' F _a ? Wírãín
  9. 9. I Indice 1 - sEoUENcIAs REAIs 11 Seqüência, l1 - Termos eqüidistantes de uma seqüência, 13 - Convergência, 14 - Exercícios, 16. 2 - sEOüENcIAs ARITMETICAS 1a Seqüência aritmética, 18 ~ Relação entre o n-ésimo e o primeiro termo de uma P. A., 19 - Soma dos n primeiros termos de uma P. A., 22 - Exercicios, 23. 3 - sEOUENcIAs GEOMETRICAS 26 Seqüências geométricas, 26 ~ Relação entre o n-ésimo termo e o primeiro termo de uma P. G., 27 e- Soma dos termos de uma P. G., 30 ~ Produto dos n primeiros termos de uma P. G., 32 ~ ExercI'cios, 32. 4 - MATRIZES 36 Matriz, 36 z Algumas matrizes particulares, 38 - Igualdade de matrizes, 40 - Matriz soma, 41 ~ Matriz diferença, 42 - Produto de um número real por uma matriz, 43 - Produto de uma matriz por outra, 45 ~ Exercicios, Sl. 5 - DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA 55 Determinante, 55 - Abaixamento de ordem de uma matriz quadrada, 60 - Exercicios, 76. 6 - SISTEMAS LINEARES 81 Equação linear, 81 - Sistemas lineares, 82 ~ Resolução de sistemas lineares, 82 - Exercicios, 89. 7 - ANALISE COMBINATÓRIA 91 Fatorial, 91 - Problemas de contagem, 93 - Contagem das diferentes maneiras de se escrever um conjunto mudando a ordem de seus elementos, 94 - Exercicios, 106. 8 - DENOMINAÇÕES USUAIS NA ANÁLISE COMBINATÓRIA E SUAS APLICAÇÕES 112 Permutação, combinação e arranjo, 112 - Número binomial ou coeficiente binomial, 117 - Binômio de Newton, 120 - Exercicios, 124 9 - PROBABILIDADE 126 Experimento aleatório, 126 - Eventos, 127 - Probabilidade, 128 ~ Exercícios, 132. 10 - CÁLCULO DA PROBABILIDADE DE UM EVENTO IEXPERIMENTO SEM REPOSIÇÃO) 134 Alguns conceitos importantes para o cálculo de probabilidades, 134 - Cálculo da probabi- lidade de um evento (experimento sem reposição), 137 ~ Exercicios, 145.
  10. 10. 11 - CALCULO DA PROBABILIDADE DE UM EVENTO (EXPERIMENTOS COM REPOSIÇÃO) Exercicios, 151 . 12 - PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS - DETERMINAÇÃO DE PLANOS Noções primitivas, 154 - Proposições primitivas ou postulados ou axiomas, 154 - Exercicios, 158. 13 - POSIÇÕES RELATJVAS DE RETAS E PLANOS - INTERSEÇÃO DE PLANOS Posições relativas de uma reta e de um plano, 159 - Posições relativas de dois planos, 160 - Exercícios, 163. 14 - PARALELISMO Paralelismo entre retas e planos, 164 - Paralelismo entre planos, 167 - Exercicios, 169. 15 - PERPENDICULARISMO Perpendicularismo entre reta e plano, 170 v Perpendicularismo de plano e plano, 173 ~ Exercícios, 176. 16 - SUPERFÍCIES POLIÉDRICAS CONVEXAS - POLIEDROS CONVEXOS Diedros, 177 7 Ângulos diédricos, 178 - Poliedros, 179 ~ Poliedros de Platão, 182 ~ Exercicios, 183. 17 - PRISMAS E PIRAMIDES Prismas, 185 ~ Áreas e volume de um prisma, 187 ~ Pirâmide, 192 - Áreas e volume de uma pirâmide, 193 - Exercicios, 196. 18 - CILINDRO, CONE E ESFERA Cilindro, 198 - Áreas e volume de um cilindro, 199 - Cone, 201 - Áreas e volume de um cone, 201 - Esfera, 203 - Exercícios, 204. 148 154 159 164 170 177 185 198
  11. 11. seguirem-tr _é , lusa-bruna A _enganam u-sútinluqueííp¡ - _Jihad _. .tunados-scr animam: _ Ilülhllnoapnmpnzzuir . üiiüíü-#Wlw I 'na Miramar¡ _Lauren p ›_' A) “ f #Chrystian-art -sN _mui_ mai-iluminam -Jmd- ¡Ir . uma : Hlalühile &training- . euquHunl-aILuB-üau¡ , ueo- ! Et nr D! ! nr nr air el¡ mui): a um¡ _ t -rí e ' , VüÚIíld-«Ix
  12. 12. n-A n SequencIas Reais Neste capítulo, pretende-se que o aluno esteja apto a: a) conceituar seqüências. b) reconhecer seqüências convergentes e seqüências divergentes. sEoüENcIA 1. Defmição: Seja a função f zlN* -› lR , ou seja, f é uma função que faz corresponder ao natural l o número real a¡, n I-› y= an ao natural 2 o número real a2, ao natural 3 o número real a3 e assim por diante. O conjunto das imagens a¡, a2, a3, escrito nessa ordem é chamado de seqüência real e é indicado por: (ah a2: a3: '--› an» "J onde a, é o primeiro termo da seqüência, a¡ é o segundo termo da seqüência, an é o n-ésimo temo da seqüência. Pode-se, também, indicar a seqüência por (an), n G 1N*. 2. Aplicação: 19) Assinale as afirmações corretas, considerando a função f: IN*-›lR n ›-› y= a,¡, ondea, ,=3n a. (x) Ao natural 1, f faz corresponder o real a¡ = 3. b. ( ) Ao natural l, f faz corresponder o real a¡ = l. c. ( ) Ao natural 2, f faz corresponder o real a, = 4. d. (x) Ao natural 2, f faz corresponder o real a¡ = 6. e. (x) Ao natural 3, f faz corresponder o real a3 = 9. f. (x) f = [(l; 3), (2; 6), (3; 9), (4; 12), .. ., (n; 3n), .. .]. g, (x) Domínio de f é D = ]N*. h. ( ) Imagem de fé 1m = (1, 5, 9, . .., 2n, .. .]. i. (x) Imagem de f é Im = [3, 6, 9, . .., 3n, .. .]. 11
  13. 13. j. (x) (3, 6, 9, . .., 3n, .. .) é a seqüência defmida por f. l. (x) a¡ = 3 é o primeiro termo da seqüência. m. ( ) a, = 6 é o terceiro termo da seqüência. n. (x) a¡ = 6 é o segundo tenno da seqüência. o. ( x) a, = 15 é o quinto termo da seqüência. 29) Considere a função f: JN* -› lR e complete: n ›-› y= a,, , onde a, ,=2n-5 a) Ao natural 1, f faz corresponder o real a¡ = . b) Ao natural 2, f faz corresponder o real = -l. c) Ao natural 3, f faz corresponder o real = / d) Ao natural 4, f faz corresponder o real = Ô e) Ao natural n, f faz corresponder o real = . O f = [(14 ), (. .Z. ¡.. ..-. ..Í). (sãí. .. .. ), (n: ). m]- s) Dto = e Im (o = [-3;. .:. íz. .(, .:â, t-›- 272-5 1 h) r " f é 3 Seqüêmáa defmida P9¡ f- i) O primeiro termo da seqüência é a¡ = j) O segundo termo da seqüência é = __ . l) O terceiro termo da seqüência é = . m) O oitavo termo da seqüência é a8 n) O vigésimo termo da seqüência é o) O n-ésimo termo da seqüência é 3. Estudaremos apenas as seqüências onde os termos se suoedem obedecendo a uma certa lei de formação, deixando de lado as seqüências cujos tennos são tomados ao acaso. Assim, estudaremos as seqüências dadas: 19) Através da lei que associa a cada n a sua imagem an, onde an é o tenno geral da seqüência. Exemplo: an = 3n - l Então, a¡=3-l-l=2 a¡=3-2-1=5 a3=3-3-1=8 a4=3-4-1=l1etc. E a seqüência é (2, 5, 8, 11, . ..). 29) Através de uma lei de recorrência, ou seja, uma lei que pennite calcular cada termo a partir do anterior, sendo conhecido o primeiro termo da seqüência. = 2 Exemplo: a' . an= a,, _¡+5,comn>2 Então: a, =2 a¡= a¡+5=2+5=7 a3=a¡+5=7+5=12 a4=a3+5=12+5=17etc. E a seqüência é (2, 7, 12, 17, . ..). 4. Aplicação: 19) Dada a função f zlN* -› IR , complete: n ›-› y= an, onde an =5n 12
  14. 14. a) O primeiro termo da seqüência é a¡ = . b) 0 segundo termo da seqüência é a3 = . c) 0 terceiro termo da seqüência é a3 = d) O décimo quinto termo da seqüência é a¡5 = . e) O quinquagésimo termo da seqüência é 350 = . o A seqüência é (s. ›. 29) Determine o décimo quarto termo da seqüência cujo termo geral é dado por an = 3" + 2 . n _ a. /4+ 2 24242-44 3 22 . ... ... .. . .x4 . ... ... ... ... ... ... .. x4 . ... .. . ... ... . . ... ... ... .. . . 39) Escreva a seqüência cujo termo geral é dado por an = (-l)". 49) Dada a seqüência através da lei de recorrência a¡ = 3 an = 2 -a, ,_¡ - 6, com n à 2, complete: a) O primeiro termo da seqüência é a, = u b) O segundo termo da seqüência é a3 = _U0 . c) 0 terceiro termo da seqüência é a3 = d) O quarto termo da seqüência é a4 = e) O sétimo termo da seqüência é a-, = . o A seqüência é (. á;. ..Q, ... :.§,3.. .:.183:. : ). S9) Dada a seqüência através da lei de recorrência a¡ = -I _ + 2 a : m4, com n 2 2, determine o seu uinto termo. TI 2 q 29 a : 5 TERMOS EQUIDISTANTES DE UMA SEOUENCIA 5. Definição: Seja a seqüência (al, a3, a3, . .., an, .. ., ap, .. ., aq, .. ., am, .. .). Dizemos que dois termos an e am são tennos equivalentes aos termos ap e aq se o número de termos que sucedem an até ap é igual ao número de termos que precedem am até aq e, reciprocamente, ap e aq são eqüidistantes de an e am se o número de termos que precedem ap até an é igual ao número de termos que sucedem aq até am. 13
  15. 15. Assim : 316 e 322 , 3 e a a) a¡3 e a3, são equidistantes de 'a 2° 31o e 32a a3 e 335 Veja graficamente: a” ais 821 325 313 ais 32o 32s alo 313 _ 37.5 328 a3 313 315 83s 323 ° 3.2.9 . a e 3 b) a3., e a33 são equidistantes de 3° 316 e 336 3.12** *'40 “M ° 3.7.4322. . a - e a c) an e am são equidistantes de n 5 "IJ-Lar “. z›. .-. .é. -.. ° “m6 aIITk e aJãnK. CONVERGENCIA Seja a seqüência (an), n e 1N*, defmida pela função f : IN* -› lR n I-› y : an Dizemos que: 6. Seqüência convergente: A seqüência (an), n EJN*, é convergente se e somente se existir um número real a do qual . se aproximam os valores de an quando se faz n tender a infinito. Indica-se: 159m2., = a e lê-se: "limite de a¡ quando n tende a inñnito é igual a a". Assim: . . 3n a) Seja a sequencia onde an = n + 1 igual ao valor de -3ñrl- e podemos escrever: . Quando n tende a oc, o valor do quociente é aproximadamente n+1 Sn ÊÊ=3 n+1 n “+00 à 14
  16. 16. Portanto, lim an = lim 3" 3" = 3 e a seqüência é convergente. n+o° n-›oo n + 1 T . .. . . 3n - 2 3n - 2 , . . b) Seja a seqãiencia onde an = 4n . Quando n tende a co, o valor de 4n e aproximadamente igual ao valor de +1 e podemos escrever: "*°° ° 4n à í = T . . 3n-2 3 . .. . , Portanto, lim an = lim = - e a sequencia e convergente. n-»o n-›oo 4n 4 7. Seqüência divergente: Na seqüência (an), n E 1N*, se os valores de an se tornam "infinitamente grandes" ou se tomam "infinitamente pequenos" quando n tende a infinito, então essa seqüência é divergente. Indica-se: Birman = eo e lê-se: "limite de an quando n tende a infinito igual a infniito". ou lliiliman = -oo e lê-se: “limite de an quando n tende a infinito igual a menos infmito". Assim : a) Seja a seqüência onde an = 3n + 4. Quando n-»o podemos dizer que 3n + 4 tende a infmito pois o valor de 3n tende' a infinito. Portanto, lim aa = lim 3n + 4 = od e a seqüência é divergente. n-›°° n** _ _ Sn¡ Sn' Sn' b) Seja a seqüencia onde an = - n + 1 . Quando n-Nao, podemos escrever - n + 1 à - T = -511 e 0 V310¡ de -Sn tende a menos infmito. Sn¡ Portanto, lim an = lim - = - e a se üência é diver ente. n-›<›o n~›o° n + l ao q g 8. Verifique se são convergentes ou se são divergentes as seqüências onde: a) a z 3n3 n n°+l Quando n-›oo, você ode escrever : m3 a : m3 = 372 e o valor de 3n tende a ___________ p n2+ 1 É¡ . ... ... . . . z/ 3 3 . . , ' Portanto. Liglman = 131;! ” na Í 1 = "É, ____ N e a seqüenola e . ... ... ... ... . . . - 2n2+ 1 b) a" = 4x9- 1 2 Quando mac, você pode escrever % E . . 2n'+l _L . .. . , , Zz Portanto, 11m an = 11m = e a sequencia e . ... .. . . - n+°° n+°° 4n2- 1 Ú n2+ n °) a" = 3xí= -1 n2 + n n' 7 Quando n-wn, você pode escrever Wan** = 15
  17. 17. n2+n+1 = í e o valor de? tende a _____ ' . ,222. . ... ... e a seqüência e' em? .. ... . Exercícios a resolver: item 6, pág. 16. d) a" = 2n - 3 . 2 2 Quando n-wo, você pode escrever nímu = = 73 2n - 3 . . n' + n + 1 Portanto, lim” an - llimxñ- EXERCÍCIOS SEQÍÍÉNCIA A l) Considere a função fzlN* -› IR n ›-› y= a,, , onde an=2n+l e determine: a) O número real que f faz corresponder ao natural n = l. b) O número real que f faz conesponder ao natural it = 2. c) O número real que f faz corresponder ao natural n = 3. d) 0 número real que f faz. corresponder ao natural n = 4. e) O dominio e a imagem da função f. f) A seqüência definida por f. g) O 109 'termo e o 359 termo da seqüência. 2) Determine o termo gerar, o 159 termo 'e o 1469 termo da seqüência (2, 3, 4, . .., n +1, ). 3) Determine o termo geral, o 209 tamo e o 1169 termo da seqüência (S, 3, ll, 14, . .., 2 + 3n, 4) Escreva a seqüência cujo termo geral é dado por: a) an = 3 + 2n b) a¡-¡= -S+n c) an: a" d) an : :T Il e) an = n +1 o a. . = <-1›“ s) an = n, n) an = 3 - 2"" i) an = 592)"" . 1 - j) an = (_7)n2 5) Escreva a seqüência definida pela lei de recorrência: ) a¡=2 a a¡¡=3+a¡¡. ¡,n>2 b) 3¡= -3 an=4+an. ¡,n>2 a¡=3 c) an=2-an. ¡,n>2 16 6) 3¡=2 an= -5+2-an. ¡,n>2 -3 3 an z *63n-i N n: : ll , n92 31:3 í í í í í j) l n-i an = (í) - and, n 22 Classifique as seqüências em convergentes e divergentes, calculando o limite do termo geral dado por: 3) 3n=2n h) a _ 1019-: : n--nTr n b) an= n+j . 211-5 i) an= nz+n c) an= -2+3n _) a _n3+2n_¡ 1 J " 3n3-s d) an= -n- 3n+l e) h: 5n 2n3 f) ln= -?í ) _ Sn¡ g a"-nã+l
  18. 18. RESPOSTAS 1) a) 3 b)5 c) 7 d)9 e) D = [i, 2, 3, . ..]= IN* e lm = [3, s, 7, 9, ll, .. .J f) (3, 5, 7, 9, . ..) B) 3io= 21; a3s= 71 2) an= n+1 a¡5 = 16 R145 = 147 3) an = 2 + 3n 31o = 62 aug = 350 4) a) (5, 7, 9,11, . ..) b) (-4, -3, -2, -1, ) c) (2, 4, 8, 16, . ..) dit' 1 , Í 2 , í , m) NI»- NI e) ( D (-1, 1,-1, 1,. ..) s) (1, 4, 9, i6, . ..) h) (3,6, 12, 24, . ..) i) (5,-io, 20, -4o, .. .) j) <-2,1.-§. §,. ..› S) a) (2, 5, 8, ll, .. .) 6) b) c) d) E) h) i)- a) b) E) h) i) (-3, 1, S, 9, . ..) (3, 6, 12, ) l 1 l (T. í,í. ---) 1 1 l ('2'›í›íi~ ) um an = eo, divergente n9- lim a = l convei ent n_›_n a E e lim a = 0° diver ente n». n ' E , lim an = O, convergente n-›. . lim an = i , convergente n». 5 ! lim-an = -°o, divergente lim a¡ = 0, convergente n-›. . lim a = eo diver ente nã_ n › 8 lim an = 0, convergente n-›. . . 1 213.3¡ = 7, convergente 17
  19. 19. .. A n SequencIas Aritméticas Neste capítulo, pretende-so que o aluno: a) este/ a apto a reconhecer as seqüências arítméticas. b) conheça as propriedades de uma seqüência aritmética. c) adquira as técnicas de cálculo com seqüências aritméticas. SEQUENCIA ARITMETICA 9. Definição: toda seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é a soma do termo anterior com uma constante dada é chamada seqüência aritmética ou progressão aritmética (P. A.). Assim: I¡ = a a, ,=a, ,-¡ +r, com n>2 defme uma progieulo aritmética, onde' o primeiro termo é a e r é a constante chamada razão da P. A. 10. Aplicação: 19) Considere a seqüência (1, 3, 5, 7, 9, . . . , an, . . .) e assinale as afirmações corretas: a. (X) O primeiro termo da seqüência é l. b. ( ) O segundo termo da seqüência é 2. c. (X) O segundo termo da seqüência é 3. d. (X) a¡= a,+2 e. (X) O terceiro termo da seqüência é 5. f. ( ) a, = a¡ + 2 g. (X) a3=az+2 h. (X) a4 = 7 i. ( ) 0 quarto termo é igual ao segundo termo mais 2. (Y) O quarto termo e' igual ao terceiro termo mais 2. a4 = a3 'l' 2 . (Í() a5 = a4 + 2 31-2- 18
  20. 20. n. ( X) O quinto termo é igual ao quarto termo mais 2. o. (x) an= an-¡ +2, com n22 p. ( ) A constante é r = 3. q. (X) A constante é r = 2. r. (X) Na seqüência (l, 3, 5, 7, 9, . . . , an, . . , ), cada termo a partir do segundo é igual à soma do anterior com a constante 2. s. (X) A seqüência (1, 3, 5, 7_, 9, . . . , an, . . . ) é uma P. A. onde o primeiro termo é l e a razão é 2. t. (X) A seqüência (l, 3, 5, 7; 9, . . . , an, . . . ) é definida por a¡= l an= an_¡+2, com n>2 29) Considere a seqüência (-5, -2, 1, 4, 7, . . . , an, . . .) e complete: a) O primeiro termo da seqüência é a¡ = _n35_ . b) O segundo termo da seqüência é a3 = __-_-_.2__ e a3 = a¡ + 3 = + 3 = _m2_ c) 0 terceiro termo da seqüência e a3 = e a3 = a, + 3 = _m2_ + 3 = d) 0 quarto termo da Seqüência é 34 = e 34 = as + 3 = + 3 = e) 0 quinto temo da Seqüência é as = e as = a4 + = + = 0 0 Sexto tenno da Seqüência é 36 = .. .10. e as = as + = + = _.10_ S) A Seqüência (-5, -2, 1. 4. 7, m) é uma Onde a: = . ..m5 e r = ___ _ 3 31 = h) A sequencia ñca defmida por an = .. ..7;›a. -.z. ?Í. :3. . ... . com n > 2 39) Considere a seqüência defmída por a¡ = e complete: an= an_¡ +5, com n>2 a) A Seqüência é (É 11a . u/. Õaâfq.2.Õ. ,., .:. .=. .l. .- b) Para 1'¡ = 2. 32 = 31 'l' C) Para n = 3a 3a = a2 * = a¡ * ' 5- d) Para n = 4› 34 = 33 + = 31 + ' 5- °) Para 9 = 5: as = 3d¡ J' = 31 + ' 5~ o Para n = 6, 36 = a3 + = a. + - s S) Para na an = auzmj_ + = al + ' h) A Seqüência (5, 11. ÍÕ. 21, ---) é “m3 9999 3¡ = e 1' = RELAÇÃO ENTRE O n-ÉSIMO E O PRIMEIRO TERMO DE UMA P. A. ll. A relação entre o n-ésimo e o primeiro tenno de uma P. A.. é dada por isto é, o n-ésimo termo de uma P. A. é igual ao 19 termo mais (n - l) vezes a razão r. Assim, considere a P. A. onde o 19 termo é a¡ e a razão é r e complete: a) Para n = 1, você tem o 19 termo, que é b) Para n = 2, você tem o 29 termo, que é a3 = + r. c) Para n = 3, você tem o 39 termo, que é a3 = a¡ + r d) Para n = 4, você tem o 49 termo, que é a4 = a¡ + - r. e) Para n = S, você tem o 59 termo, que é as = a¡ + - r. f) Para n = 20, você tem o 209 termo, que é a3., = a¡ + - r. g) Para n = 35, você tem o 359 termo, que é a3, = a¡ + "já" - r. h) Para n qualquer, você tem o n-ésimo termo, que é an = a, + (___7_Z__¡_í_____) - r. 19
  21. 21. Então, a relação an = a¡ + (n - l)r nos permite calcular um termo qualquer da P. A. sem escrever todos os termos anteriores a ele. 12. Aplicação: 19) Seja a P. A. onde o 19 termo é 3 e a razão é 9. Calcule: a) O 59 termo da P. A. C°m° an = 31 "' (n ' ÚT» as = a¡ 'l' ' Y = 'l' 4 ' = b) O 119 termo da P. A. C°m° 31¡ = 31 'l' (n- D13 311 = a¡ 'l' ' 1' = . ... ... c) O 209 termo da P. A. C°m° an = a 32o = . ... ... ... . . . d) O 249 termo da P. A. como a. . = . ... . . ., = . ... ... ... .. . . 29) Seja a P. A. onde o 19 termo é 5 e a razão é -2. Calcule: a) 0 39 termo da P. A. Como an = a¡ + (n- l)r. 33 = . ... . ... ... . . . b) O 59 termo da P. A. C°m° an ' . ... .. . ., 35 = c) A P. A. é (s, .15,. ... á.. :.A. .:. ~.ã, ... .., ... / d) O 329 termo da P. A. C°m° an = a 332 = e) O 1019 termo da P. A. 09199 an = a 31o¡ = 39) Calcule o 19 termo de uma P. A. e escreva a P. A., sabendo que o 89 termo é 23 e a razão é 3. Como an = a¡ + (n- l)r, a3 = a¡ + - r e substituindo a3 por 23 e r por 3, vem: 31 A P. A. é (2, 49) Calcule a razão de uma P. A. e escreva a P. A., sabendo que o seu 19 termo é -14 e o 79 termo é 10. Como an = a, + (n- l)r, a7 = a, + - r e substituindo o valor de a¡ e a7 vem: 70 = . ... .. 59) Numa P. A. o seu 19 termo é 9, a razão é -4 e um de seus termos é igual a -39. Calcule aposição deste i termo na P. A. Como an = a¡ + (n - l)r, -39 = + (n-1) - e resolvendo essa equação em n, vem:
  22. 22. -39 = . ... ... . . . . ... ... ... ... ... .. . . . ... . . . . ... ... . . . Portanto, -39 é o termo da P. A. 69) Calcule o 209 termo de uma P. A., sabendo que o seu 49 termo é 5 e a razão é 2. Para calcular am, você precisa do valor de a¡ que será calculado a partir do a4. Faça então: 34 = 31 'l' ' l' = ° = a¡ + - 2 Portanto, o vigésimo termo da P. A. é . 79) Sabendo que 2x - 3, 3x - 4 e 2x + 5 são temos consecutivos de uma P. A., calcule x e escreva esses termos. 3x - 4 = 2x - 3 + r = - r = . ... ... .. . . . Exercícios a resolver: itens l a 27_ pág. 23. 13. Propriedades de uma P. A. lê) NaP. A. (a7, a7,a3,. .., a,, ,.. .,a, ¡+k, ... ,a, ¡¡. k,. .., a,n, ... ),ondeo19tem1oéa¡ earazão é r, vale a relação: 3n+3¡n=3n+k*3m-k ou seja, a soma de dois termos quaisquer de uma P. A. é igual à soma de dois termos eqüidistantes a eles. Em particular: 3) a¡ 'l' an = a1+k + 'an-k an-k+an+k . , . , . . , . . . b) an = q, isto e, cada termo de uma P. A. e a media arrtmetica de dois termos quaisquer eqüidistantes a ele. an-k + 3n+k 2 _a“'1+a““ d ” t^t c se t'os c) an-a-, on e ampaneann sao res ermos on curv . De fato: an* + an* = an + an = 2a, , = › an'= 21
  23. 23. 2a) Uma P. A. corn a razão diferente ae zero é sempre divergente, isto é, É” | a77| = ao De fato: lim | a77| = lim | a7 + (n-l)rl = eo nàoo n+1» SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P. A. 14. Na P. A. (a¡, 31, . . e somando membro a membro, vem: 22 . , an, an”, .. .) a soma dos n primeiros termos é dada por n - (a7 + an) s. .=, Defato: S77=a7+a7+a3+. ..+. ..+a77_¡+a,7 ou S77=a77+a77_¡+a77-¡+. ..+. ..+a3+a7 zsn = (31 + an) 'I' (32 'I' an-i) 'I' (33 + an-z) +(a1'l-1 + 32) 'l' (an T ai) I a7 Ian a7 + a7, a7 +Ia7, + Sn = “(312 an) Aplicação: 19) Calcule a soma dos 10 primeiros termos de uma P. A., onde o 19 termo é 2 e o 109 termo é 47. 29) 39) 49) n(a¡ + an) 70. Como S77 = _:ã: :, S70 = 2 = Calcule a soma dos 12 primeiros termos de uma P. A., onlde a7 = -4 e r = 5. Para calcular S73, você precisa calcular antes an. 312 Assim z Calcule a soma dos 8 primeiros termos de uma P. A. cujo oitavo termo é 12 e a razão é 5. Para isso complete: . ... ... .. . . <= › 12-'Íz. ..í. ..3.§ . ... ... ... .. <= › a. = = gFzêvl 72) = . ... . . . Escreva a P. A., sabendo que a soma dos vinte primeiros termos é 380 e que o vigésimo termo é S7. Para isso complete: ZÚ/ d/ * Êo ) 380 (31 l' -570 * 522: ° = .. ... ... ... ... . . ... ... ... ... ... .. . . à """"""" " _ . .. É . ... . . . à a' = .. ... ... .. . ... ... ... . . . a7 ~ 7299 - = a 32o = . ... ... ... .. <= > = 'I Y °= > 1' = '1g_" z A P. A. é í: ... /!Í›. ... T.f§z. ... :.íá. .:: Ã.. :.: ãz. ..: ..: .:. .À. ...
  24. 24. Exercícios a resolver: itens 28 a 40, págs. 23 e 24. EXERCÍCIOS SEQÍÍÊNCIA A l) Em cada seqüência aritmética abaixo, calcule: a) a razão de (2, 5, 8, . ..). b) a razão de (-l0, -8, -6, . . . ). c) a razão de (à, %,-Z-, . . . ). d) o 239 termo de (13, 9, 5, ). e) o 349 termo de (5, -2, -9, . . . ). f) o 1519 ten-no de (8, 1;. 7. -›-)- g) o 1009 termo de (-3, l, 5, . . . ). h) o 459 termo de (3n, 6n, 9n, . . . ). 2) Conhecendo o valor de a7¡, calcule a sua posição em cada uma das seqüências aritmética. ; abaixo: a) a7¡ = 72 na P. A. (2, 7,12, . ..). 63 l 3 5 b) a7¡ = '2 na P. A. (í, í,'2-7 c) a7¡ = -172 na P. A. (-1, -4, -7, . . . ). d) a7¡ = -393 na P. A. (3, -l, -5, . . . ). e) a7¡=20n-19 naP. A. (n, 2n-1, 3n-2,. ..). 3) Calcule o 259 termo de uma P. A. cujo 19 termo é 12 e cuja razão é -5. 4) Calcule o 439 tenno de uma P. A., sabendo que a7 = -20 e que a7¡ = a77-7 + 7. 5) Calcule o 139 termo de uma P. A., sabendo que a7 = 48 e que a7¡ = a7¡-¡ + 6) Calcule a razão e escreva a P. A., sabendo que o seu 19 termo é -48 e o 159 termo é -90. 7) Escreva uma P. A. cujo 19 termo é 4 e o 209 termo é -15. 8) Escreva uma P. A. onde a7 = -25 e a7¡, = 11. 9) Calcule a posição do termo a7¡ = -400 numa P. A. onde o 19 termo é 65 e a razão é -15. 10) Numa P. A., sendo a¡ = -10, r = -8 e a7¡ = -362, calcule o valor de n. 11) Numa P. A., sendo a¡ = 240, r = -7 e a7¡ = 2, calcule o valor de n. 12) Calcule o 19 termo e o 109 termo de uma P. A. cuja razão é3eo1S9termoê44. 13) Calcule o 89 termo de uma P. A. cuja razão é 8 e o 209 termo é 155. 14) Calcule o 109 termo de uma›P. A., onde r = -â- e n43 = -l3. 15) Calcule o 209 termo de uma P. A. cujo 19 termo ê 2 e o 159 tenno é -152. 16) Calcule o valor x, sabendo que 2x + 7, 3x e 5x - ll são três termos consecutivos de uma P. A. 17) Calcule o valor de x, sabendo que à, -zí e x - 1 são três termos consecutivos' de uma P. A. 3 18) Escreva três termos da forma -4x, 10x e 6x + 9, sabendo que são uês termos consecutivos de uma P. A. 19) Escreva três termos da forma 3x, x e x +%, sabendo que são três termos consecutivos de uma P. A. 20) Escreva uma P. A. onde os três primeiros termos são da x - 10 x - 5 6 s's°5' foi-ma 21) Escreva uma P. A. onde os três primeiros termos são da forma 3;X,2xex+2. 22) Determine as medidas dos ângulos intemos de um triângulo retângulo, sabendo que essas medidas são tíes termos conse- cutivos de uma P. A. 23) Determine o valor de x, de modo que x1, (x - 1)¡ e (x - 5)¡ sejam termos consecutivos de uma P. A. 24) Escreva uma P. A. onde a soma de seus três primeiros termos é 3 e o produto deles é 25) Calcule as medidas dos lados de um triângulo retângulo, sabendo que o seu perímetro é 12 cm e que essas . medidas são os três primeiros termos de uma P. A. 26) Escreva uma P. A. onde a soma do 29 termo com o 79 termo é-10easomado49termocomo99termoé 6. 27) Escreva uma P. A. onde a soma do 49 termo com o 89 termo é 20 e o 319 termo é o dobro do 169 termo. 28) Calcule a soma dos 35 primeiros termos de uma P. A. onde o 19 termo é -12 e a razão é 5. 29) Calcule a soma dos 20 primeiros ter-mos de uma P. A. onde o19termoé-7earazãoê3. 30) Calcule a soma dos 49 primeiros termos de uma P. A. onde o 19 termo é 37x/ 'Te a- razão é -Su/ T 31) Calcule a soma dos 100 primeiros termos de uma P. A. onde I = l 3 31m = 204. 32) Calcule a soma dos 15 primeiros termos da P. A. (5, 2, -l, -4, . . . ). 33) Calcule a soma dos 31 primeiros termos da P. A. (-8, -3, 2, . . . ). 34) Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P. A. 6%, -%, l 7,. ..) 35) Calcule a soma dos 30 primeiros números ímpares positivos. 36) Calcule a soma dos 55 primeiros termos de uma P. A., sabendo que o 69 termo é igual a -3 e a razão é 5. 23
  25. 25. 37) Escreva uma P. A., sabendo que a soma dos seus 8 primeiros termos e' -20 e a razão é -3. 38) Calcule o 79 termo de uma P. A., sabendo que am = 4:87- 17 e a4 = -8-. 39) Calcule o 329 termo de uma P. A., sabendo que a3¡ = -42 e 333 = 40) Calcule o 159 termo de uma P. A., sabendo que a3 = 71,- e 59 317 = RESPOSTAS l) a) r = 3 b) r = 2 l c) r = 7 d) az, = -75 e) 334 = -225 f) 815¡ = '67 g) amo = 393 h) n45 = l35n 2) a) n = 15, 159 termo b) n z 32, 329 termo c) n = 58, 589 termo d) n = 100, 1009 termo e) n = 20, 209 termo 3) a5 = -108 4) a. ” = 274 5) 313 = 54 6) r = -3; (-48, -51, -54, . ,.) 7) (4,3, 2,1, 0,. ..) 8) (-25, -21, -17, . . . ) 9) n = 32, 329 termo 10) n = 45 ll) n = 35 l3) as = 59 59 an) = --2- 15) 3,. , = -207 16) x : 17) X = -12 13) -2, 5, 12 3 l l 19) 'í' '55 4 l 6 20) (- g, 37,3, u) 21) (l, 2, 3, 4, . ) 22) 309, 609 e 909 24 um? 1 3 1 3 1 24) (3, l, í,. ..)parar= íe (í, 1, -2-, ... ) para rz-i 2 25) 3cm,4cme5cm 26) (-19, -15, -11, -7, . ..) 27) (o, 2, 4, 5, . ..) 28) 5,, = 2555 29) 5,, = 43o 3o) s. , = -4o67ñ 31) sm. , = 15450 32) S5 = -240 33) 5,, = 2077 34) S20 = 80 35) S30 = 900 36) 5,, = 5885 37) (8, 5, 2, -l, .. .) 38) a7 = 4 39) a3¡ = -36 40) 315 = ITS SEQUÉNCIA a 1) Calcule a soma dos 20 primeiros tennos de uma P. A., sabendo que o 59 tenno é 17 e o 109 termo é 32. 3:35?, =Õ; 2042,- 6204570 2) Calcule o 159 termo de uma P. A., sabendo que a soma dos 4 primeiros termos é -78 e que o 119 termo é igual à soma do 19 com o 69 termo. 273, 7:45, *i5 z -67 3) Escreva uma P. A., sabendo que a soma dos seus 10 primeiros termos e' 55 e a soma dos seus 6 primeiros termos é -3. ”Ê= Õ;Ó/ =“8; ('87 _â "'27 7147 4) Calcule apsoma dos 16 primeiros temos da P. A.(n+ 1, n+2 n+3 n , n , ... ). / áa7é7-gõz7aa7ój 5: 7622+ 36 ? Z /6 75 5) Calcule a soma dos múltiplos de 6 não negativos menores ' que 100. dv 0m = 6; ã) = 95, n: /7,- Q7576 ¡
  26. 26. 6) Calcule a soma dos números ímpares compreendidos entre 100 e 500. °Í= /0/; /Z= Z;°; o=49.7; 7&=200; 5 = ÓOÔÚÓ 7) a soma dos múltiplos positivos de 9 formados por 3 algarismos. d” 706; / Z=9; ío= g.7.7;7Z= /ÚÚ| ; 5= 55350 8) Calám o número de múltiplos de 15 compreendidos entre 100 e 3500. °3=705;°›Ê= 34.95; 7a: 227 zac/ mew¡ 9) Quantos são os números de 3 algarismos que não são divisíveis por 3'! (Sugestão: dos 900 números de 3 algarismos subtraia o total de números divisíveis por 3.) @CU mámewñ a/ Jmíacâawpoz . ie 600 raca/ mma: 22a? @mama / wz a” 10) Determine a expressão da soma dos n primeiros números ímpares naturais. ã/ '7;”Z=2;? z=7+/ n-7/.2¡ã= ,z2 ll) Escreva uma P. A., sabendo que o produto do 19 termo pelo 49 termo é 90 e o produto do 29 termo pelo 39 termo é 108. (“75;'72,*9, -6, / ÓÇZ/ â/Ã-u/ mz= âz 05,72,? , u-/ ou / ~ó, -z 4.2, . ..y ; um à: -3 12) Calcule o termo geral de uma P. A. cujo primeiro termo é 5 e cuja soma dos n primeiros termos é n' + 4n. 3a= Z73-/3 25
  27. 27. un^ a Sequencnas Geométricas Neste capítulo, pretende-se que o aluno: a) este/ g apto a reconhecer seqüências geométricas. b) conheça as propriedades de uma seqüência geométrica. c) adquira as técnicas de cálculo com seqüências geométricas. SEQUENCIA GEOMETRICA 16. Definição: toda seqüência, onde cada termo a partir do segundo é o produto do termo anterior por uma constante dada diferente de zero, é chamada seqüência geométrica ou proo geométrica (P. G.). Assim: a¡ = 3 an= a¡¡. ¡-q, com n>2 e qaêO' defme uma genética, onde o primeiro termo é a e q é a constante chamada ndo da P. G. 17. Aplicação: 19) Considere a seqüência (2, 6, 18, 54, 162, . ..) e assinale as afirmações corretas: a. (X ) 0 primeiro termo da seqüência é 2. b. ( ) O segundo termo da seqüência é 5. c. (X) O segundo termo da seqüência é 6. n d. (X) a¡= a¡-3 e. (X) O terceiro termo da seqüência é 18. f. ( ) a3 = a¡-3 g. (X) a, = az-3 n. (><) a. . = 54 ' i. (X) a. , = a3-3 j. ( ) a. . = a¡-3 l. (X) a5 = a. -3 m. (X) an = an-¡-3 26
  28. 28. n. (X) A constante é igual a 3. 0. (X) Na seqüência (2, 6, 18, S4, 162, . .., an, ), cada termo a partir do segundo é igual ao produto do. tenno anterior pela constante 3 p. ( ) A seqüência (2, 6, 18, 54, 162, . .., an, ) é uma P. G. onde o primeiro termo é 2 e a razão é4. q. (X) A seqüência (2, 6, 18, S4, 162, . .., an, ) é uma P. G. onde o primeiro termo é 2 e a razão é 3. r. (X) A seqüência (2, 6, 18, 54, . .., an, .. .) é definida por a¡=2 an= an. ¡-3, comn>2. 29) Considere a seqüência (3, -6, 12, -24, 48, -96, . ..) e complete: a) 0 primeiro termo da seqüência é a¡ = "à b) O segundo termo da seqüência é a, = -ouema3 = a¡ - (-2) = - (-2) = . c) O terceiro termo da seqüência é a3 = 12 e a3 = a3 - (-2) = - (-2) = . d) O quarto termo da seqüência é a4 = -24 e a. = a3 - (-2) = - (-2) = "~4 e› 0 quinto tenno da seqüência é as = 48 e as = a. - . G52 = 1.22.4 . - C: .?Í.7Í: Í.. '4.. §.. . . f) 0 sexto termo da seqüência é a. = -96 e a3 = a3 - = f” 2): ” g6 g) A seqüência (3, -e, 12, -24, 4a, -95, ) e uma #7- 6- onde É; §§§i§§i§í§ã°i2$3°2'§; ';': §'É); = _-_: 2. = 8 39) Considere a seqüência definida por í a! l e complete: an = an. ¡ --2-, com n > 2 *9 ^ ”“““°“ é 9' 4* b)Para n=2,a3=a¡- É- = o . ... Il c» . ... ... ... . . , / r 7 e)Para n=5,a3=a4--2- = a¡- (-2-)“= : É- . ... lu »Para n. an - à = an-(~: ~2”* 1 1 h) A seqüência (8, 4, 2, 1,? , . ..) é uma onde a¡ = _8 e q = 7 RELAÇÃO ENTRE O n-ESIMO E O PRlMElRO TERMO DE UMA P. G. 18. A relação entre o n-ésimo e o primeiro termo de uma P. G. é dada por an = a¡ ' 'IM isto é, o n-ésimo termo de uma P. G. é igual ao produto do 19 termo pela razão elevada ao expoente n -l Assim, considere a P. G., onde o 19 termo é a¡ e a razão é q, e complete: a) Para n = 1, você tem o 19 termo que é "e 6 1 b) Para n = 2, você tem o 29 termo que é a3 = __ - q. c) Para n = 3, você tem o 39 termo que é a3 = a¡ - q-ê- . 27
  29. 29. d) Para n = 4, você tem o 49 termo que é a. = a¡ -q-i. e) Para n = 5, você tem o S9 termo que é a3 = a¡ - q~4--. f) Para n = 20, você tem o 209 termo que é a33 = a¡ - qÍ-g- . g) Para n = 35, você tem o 359 termo que é a33 = a¡ - qê-'Í . h) Para n qualquer, você tem o n-ésimo termo que é an = a¡ - q-7-4Í-Í- . Então, a relação an = a¡ - q"" nos permite calcular um termo qualquer da P. G.'sem escrever todos os termos anteriores a ele. 19. Aplicação: 19) Seja a P. G. onde o 19 termo é 3 e a razão é 2. Calcule: a) O 69 termo da P. G. Ô 5 C°m° an = al ' 'ln-ly 36 = 31 ' q? " = . ... ... .. b) 0 89 termo da 'P. G. 7 C°m° an = 31 ' 471mb 3a = 31 ' = c) 0 119 termo da P. G. 70 C°m° an = 31 ° *ln-Í all = 31 ' qlq' = 29) Calcule o 19 termo de uma P. G. e escreva a P. G., sabendo que a3 é -80 e a razão é 2. Como an = a¡ - q”, a3 = a¡ - q-fu, substituindo a3 por -80 e q por 2 vem: 39) Calcule a razão de uma P. G. e escreva a P. G., sabendo que o seu 19 termo é-â- e a3 é Como a3¡ = a¡ - q"", a3 = a¡ - q--7-- , substituindo a, e a3 pelos valores dados vem: l __. /_ 7 7_ f .2,_1__ 7_(_l_)7 _L 4374 ' 2 W"" °= ' q @.72 . ... ... ... . . .azar “= ° q ' a °= ' q " . ... .. . . 7 ^ P5' é (à 7 Gu 49) Calcule a razão de uma P. G. e escreva a P. G., sabendo que a3 é 405 e o 19 'termo é S. Como an = a¡ - qn", a3 = a¡ - q-Ííu, substituindo a3 e a¡ pelos valores dados vem: = -q-í-<_: _›q“= =87 <-_= ›q'=8l <= ›q4=(i3)4 Portanto, q= .3 ou q= .:. ã.. E, para q = 3, a P. G. é (s, para q = -3. a P. G. é (5. 59) Calcule o valor n numa P. G. onde a¡ = 8, an = 1944 e a razão é 3. Substituindo os valores dados, na relação an = a¡ - q”, vem: = 6 . 311-1 e: = 31k¡ mu» = 3nd a "é" = n -1 m5 H
  30. 30. 69) »Calcule o 109 tenno de uma P. G., sabendo que o 79 termo é 192 e a razão é -2. Como an = a¡ - qn", a3 = a, -q-É e substituindo pelos valores dados vem: . ... z92.. ... = e. -C-.2Jí= a. = »$972 e 3 Logo, am = a¡ - q-g à am = 79) Calcule a razão de uma P. G. onde o 69 termo é 36 e o 49 termo é 81. Como an = a¡ - q"" , a3 = a¡ - q"5' e a. = a¡ - q'*3", substituindo pelos valores dados temos: 56' = = a¡ - q"5' e = a¡ - qi" e, dividindo membro a membro, . a6 - M* a_ 2 - Â vem- "at" - , lqa <= › 9 - . .gm e= q - e "d" Você obteve q = É ou q = _T32- 89) Sabendo que 2x -7, x + l, x + 7 são três termos consecutivos de uma P. G., calcule x e escreva esses termos. Para isso complete: X-ii X+1=(2X'7)'q x+7=(x+1). q = ›q= e resolvendo essa equação vem: Você obteve x = -10 ou x = 5 Portanto, para x = -10 os termos são , , e para x = 5, os termos são , , . Exercícios u resolver: itens l a 20. pzigs. 32 e 33. 20. Propriedades de uma P. G. 19) Numa P. G. (a3, a3, a3, . .., an, .. ., amk, .. ., am_k, .. ., am, .. .) onde o 19 termo é a¡ e a razão é q, vale a relação 'ri-im = an+k'¡m-k isto é, o produto de dois termos é igual ao produto de dois outros termos eqüidistantes deles.
  31. 31. Em particular: a) a¡ -an = an¡ - am¡ b) a? , = am¡ - 3M¡ e Ianl = vam¡ - am¡ , isto é, cada termo em módulo é igual à média geométrica entre dois termos quaisquer eqüidistantes a ele. c) a? , = am¡ -an+¡, onde an. ” an e an” são três termos consecutivos da P. G. 2'? ) Uma P. G. 'onde -l < q < l e q ; E 0 é sempre convergente, isto é, lim” an = 0. De fato, quando n-we, q"" tende a zero, pois q é um número decimal entre -1 e l. Assim, lim an = lim apq"" =0 n-»o R$00 SOMA DOS TERMOS DE UMA P. G. 21. Soma dos n primeiros termos. Numa P. G. (ah a1, a3, . .., an, anH, ), com q ; E 1, a soma dos n primeiros termos é dada por Sn = 3¡'13n ' q "q De fato, Sn = a¡ + a, + + an e multiplicando ambos os membros por q vem: Sn-q= a¡-q+a2-q+ ---+an-¡-q+an-q Sn -q= a,+a, + + an+an -q 3l'3n'q l_q com qaêl Portanto: Sn-Sn-q= a¡-an-q <= -› Sn: 22. limite da soma dos termos de uma P. G. convergente. O limite da soma dos termos de uma P. G. convergente é lim s, ,=s= a' , com -l<q<1 e q#=0 ¡Huo l-q Defato limS -MLÂVJ- a* s n' _ n-wo n-wo l-q l-q pois quando n-›c›o, an -›0 23. Aplicação: 19) Calcule a soma dos 6 primeiros termos de uma P. G. cujo primeiro termo é -20, a razão é â e o 69 termo é nã.
  32. 32. como sn_°'; a" q, s6= r "da ? = '2Ú'(' _q . ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... .. . . z _ 20 4¡ 5 3,5 72'. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . _ 76 _ 76 _ 37g ' 7 / ' g . ... ... ... ' . ... ... ... ... ... . . ... ... ... ... . ' . .. ' . " . .. ' . “: .. ... ... ... ... ... ... . . .a . ... ... ... ... ... .. 39) Calcule o limite da soma dos termos da P. G. (-18, -6, -2, . ..). Como lim Sn = S = , você precisa do valor da razão para calcular S. n-»o l - q Assim: az = an - q °= ° = 3.15.. -q = q = - 78 - / e S = ?7- -'= : _ . ... ... ... ... 49) 0 limite da soma dos termos de uma P. G. é 4 e a razão é --à-. Calcule o 19 termo da P. G. e escreva a P. G. _ a¡ _ “I _ . â 9 -f°= ° . ... .. . .-_1Í°= >a¡-: -4= q j . .â . ... ... ... ... ... É . ... . . . A P-G- é 9 . ... . ... / S9) Escreva uma P. G. onde a soma dos 5 primeiros termos é 605 e a razão é 3. Como = , S5 = a¡- , para escrever a P. G., você precisa do 19 termo a1. - 3.. .: A P. G. é (ãz. ... íãz. .írãz. ... :.: ..: ../ 31
  33. 33. PRODUTO DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P. G. 24. Numa P. G. (a¡, az, .. ., an, an”, .. .) o produto dos n primeiros termos é dado em módulo por: ¡Pnl = N/ (nx - 8:0" De fato: P" = a¡ - a¡ - a3 am¡ - an ou Pn = an . and - an. , a, - a¡ e multiplicando membro a membro vem: P12¡ = (31' an) ' (32 ' 3n-1)'(33 ' an-z) (an-l ° 32) ' (an ' al) l l 31'3n 31'3n aPan P? ! = (31'3n)n É IPM: V(31'3n)n 25. Aplicação: 19) Calcule, em módulo, o produto dos 7 primeiros termos de uma P. G., onde o 19 tenno é -6-14e a razão é -4. Como IPnI = V (a¡ - an)" , IP-, l = V( _jm - a7)-›7- para calcular esse produto, você precisa do valor de a7. . 1 5, _ / “sm” “V . ... ... ... ... ... e ¡Pnl ll ? Tv *A ? o 3x. ll II 29) Calcule, em módulo, o produto dos oito primeiros termos de uma P. G., onde o 19 termo é ã% e a razão é ExERcfcnos d) a razão de (â, %,â, ). e) o 69 termo de 08:11, à , -à, ) A f) o 119 termo de (1024, 512, 256, ). 0 l l L l) Dadas as seqüências geométricas abaixo, calcule: s) o 23' termo de (2 ' 4 ' 8 ' )' a) a “não de (1 2 4 8 ) h) 0 89 termo de (-72, -24, -8, ). y , , . - _ o l  2 b) a razão de (64, -32, 16, -8, . ..). ') ° 6' “m” d° (f ' Í ' "')' - o . à É í_ c) a razão de (-3, -6, _12, . ..). J) ° 7' mm de (2 ' 6 ' 18 ' "')' 32
  34. 34. 2) Calcule o 19 termo e escreva a P. G. cuja razão é 2 e cujo 99 termo é 512. 3) Escreva uma P. G. onde a razão é »à e o 109 termo é 2:3 . 4) Escreva uma P. G. onde a razão éê e o 89 termo é --217- . 5) Calcule a ordem do termo an = 48 numa P. G. onde o 19 termo é 3 e a razão é 2. 6) Calcule a razão de uma P. G. onde o 19 termo é 3 e o 69 termo é 96. 7) Calcule a razão de uma P. G. onde o 39 termo é l e o o , 1 6. termo eísn. 8) Escreva uma P. G. onde o 49 temio é 2 e o 69 termo é 18. 9) Calcule o 109 termo de uma P. G. de razão -àe cujo 59 termo é 3. 10) Escreva uma P. G. onde o 39 termo é -16 e o 69 termo e' 2. 11) Calcule o valor de x, sabendo que-l , x e i são três 9 81 termos consecutivos de uma P. G. 12) Escreva três termos da forma 5x - 2, x + 2 e x - 7, sabendo que são termos consecutivos de uma P. G. 13) Escreva três termos da forma x+ 1, 5x - l e 13x + 1, sabendo que são termos consecutivos de uma P. G. 14) Escreva uma P. G., sabendo que os seus três primeiros termos são da forma (x - 2)2, 3 - x e 1. 15) Escreva uma P. G., sabendo que os seus três primeiros termos sãodaformax-4,x-le3x+l. 16) Calcule os três primeiros termos de uma P. G. de razão 4, sabendo que o produto desses termos é 27. (Sugestão: chame os termos de%, x e 4x. ) _ a 17) Escreva uma P. G. onde o 29 termo é 8 e a soma dos seus três primeiros termos é -l2. 18) Escreva uma P. G. onde o 19 termo é 15 e a soma dos três primeiros termos é 315. 19) Calcule três números em P. G. cujo produto é 125 e cuja 5 soma é 3T . (Sugestão: chame os termos deâ, x e x - q. ) 20) Escreva uma P. G. onde a soma dos três primeiros termos é -14 e o produto desses termos é 216. 21) Calcule a soma dos 8 primeiros temos da P. G. (1, 2, 4, . ..). 22) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P. G. (-l, 2, -4, 8, . ..). 23) Calcule a soma dos 6 primeiros termos da P. G. (54, -l8, 6, . ..). 24) Calcule a soma dos 9 primeiros termos da P. G. -%, -%, l --2-, .. .). 25) Calcule a soma dos 7 primeiros termos da P. G. (-1-, -%, 3 4 , .. .). 26) Calcule a soma dos 8 primeiros termos da P. G. G1,? , -%, 1 8 , .. .). 27) Escreva uma P. G., sabendo que a soma dos 4 primeiros , - ,1 termos e 40 e a razao e-í. 28) Escreva uma P. G. de razão --â-e cuja soma dos 5 primeiros termos é - 55. 29) Escreva uma P. G. de razão 4 e cuja soma dos 5 primeiros tn , _341 @T1088 30) Calcule, em módulo, o produto dos 6 primeiros termos de uma P. G. cuja razão é 2 e cujo primeiro termo é-llg. 31) Calcule, em módulo, o produto dos 8 primeiros termos da P G (_ l 1 1 ---- › 1024 ' 128' 16 "" ' 32) Calcule o limite da soma dos termos das P. G.: l a) (l, %,¡. 'à-, .. .). b) (-54, -I8, -6, -2, . ..). l l C) (7, _, í, ). d) (10, ig, .. .). e) (0,5; 0,05; 0,005; . ..). f) (0,13: 0,0013; 0,000013; ). g) (0,04; 0,0004; 0,000004; . ..). h) (0,3; 0,03; 0,003; ). 33) Escreva uma P. G. cuja razão é-z-e o limite da soma dos seus - temios é 54. 3 34) Escreva uma P. G. onde o 19 termo élloe o limite da soma , 7 dos seus termos e í. 35) Escreva uma P. G. onde o 39 termo é igual a 5 e o limite da soma dos seus termos é o dobro do 19 tenno. RESPOSTAS l) a) q = 2 b) q = _g c) q = 2 d) q = 3 e) a5 = 3 f) au = s) an ? LIT h) a3 = -âí i) a. , = 972 3) “7 = 14158
  35. 35. 2) 3) 4) 5) 6) 7) 3) 10) ll) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 34 a¡ = 2, (2, 4, 8, 16, . ..) (-8l, 27, -9, 3, (-81, -27, -9, n=5,59 termo q=2 -. L 'P8 2 2 2 2 q=3°3|= í *(í. -9-. T. );0“q _ _2_ _z_ í í “"'27 "( 27' 9"3") 3 a¡°= 'T2_ (-64, 32, -l6, 8. . ..) __1 - _l_ “'27 °“ “'27 l 3 9 27 para x= -4- tem0S'T, T,-T e para x = l0 temos 48, 12, 3 para x = 0 temos l, -l, 1 para x = 2 temos 3. 9, 27 para x : ã- temos (713%, 1, . ..) para x = --l- temos ea --3- --1- 2 2 , . 2 , 2 , para x = 5 temos (l, 4, 16, . ..) x = 3; (â-,3,12,. ..) para q = -2 temos (-4, 8, -l6, . ..) para q = -à temos (-16, 8, -4, . ..) -5 temos (15, -75, 375, . ..) para q = 4 temos (15, 60, 240, . ..) para q = 2 temos (i, 5, 10, . ..) para q : â- temos (10, 5,5-, .. .) para q = -3 temos (-2, 6, ~18, . ..) para q = -í temos (-18, 6, -2, . ..) q = 2, 83=128, S3: 255 q= -2,a¡o=512,S¡o=34l Lia _í S _354 3a 6' 92 6' 9 q=2.a9=-a2.s9=-% _g -22 s _Lã q' 2'“7'64* "'192 . ul __1 S__s5 q' 2'"" 12s" 5' 12s' 27) (27, 9, 3, l, .. .) 28) (-80, 40, -20, . ..) 29) 93-12. à. --âz . ..) 3o) Inu-à 31) q = 2”. 8a = -2", IPs¡ = 2' 32) a) s= 2 o hi3_ b) s= -s1 949 3 B) S= í§ c) S= - 1 2 n) s= -3- d) s=2o e) S= % 33) (18,12,8,? ,.. .) 34›(-7- 7 7 ) 10 'E6 ' i'm-o' as) (2o, 1o, s, .. .› SEQUÊNCIA n l) Escreva uma P. G. onde a soma do 39 óom o 49 termo é 4 e o 39 termo é igual a 9 vezes o S? termo. -/ ç= ízízáçteíoüt, ~/8,ó, ao›j; g: .34, °; :272 (27, 0,3, . ..j 2) Escreva uma P. G. onde a soma dos 3 primeiros termos é igual a 28 e somando-se 2 unidades ao 29 termo estes constituem os três primeiros de uma P. A. ÉÍ*"2/'7@(76,8,4,. ..)0wg:2)g 045276,. ..) 3) Escreva uma P. G. onde a soma dos três primeiros termos é igual a -28 e a diferença entre o 39 e o 19 tenno é 12. _ / !M51- -2-ZÍ-76, -53 4, . ..j 4) Determine os valores de m para os quais existem três números reais em P. G., de modo que o 29 seja igual a 1 e a soma deles seja igual a m. mg-7ow 72223 5) Calcule a gerattiz das seguintes dízimas periódicas: a) o, s55.. . = 0,5 7* 0,06 + 4005.4.. . : b) 0,1313.. . = 0, 73 + 0, 00/3 v* . .. = c) 2,777.. .= 2% 0,7%0,07%-~ :2 “h *saulo
  36. 36. d) 3›°18°13--- c 3+ 00/0 + 0, 00007072, . , e 5 e› 0,3555.. . =03+ 00570005 s. . 00,00%: O 0.37222» z 037v 0, 002 + 0,0002 7* . . . z 72g s) 0.S4242.. .:0,540,04I2 , a 000012 7*. ,. : : g2 h) 2.15331» z 2, 75 + 0,0030 0,0003 72. . , : Mostre que o limite da soma dos termos da P. G. 4x2 2x +1' 2x-l 4x7 ' 2x-l 16X_ , ... ) é (2x - 1, Determine uma P. G. onde o limite da soma dos seus termos é 2 e o limite da soma dos quadrados de seus termos éi. 5 Sugestão: observe que (aí, aâ, ag. .. .) é uma P. G. de 18150 qz, onde q é a razão da P. G. (a¡, a¡, a3, ). 2 2 / 7zãâ7drí3_ 6' (Br) g4 32977") É dada uma seqüência infinita de quadrados onde cada um a partir do segundo tem por vértices os pontos médios dos lados do anterior. Calcule a soma das áreas desses quadrados, sabendo que o primeiro quadrado tem 10 m de lado. 0 0770000, Zíí, .., /* E 6:' 200 7722. 9) E dada uma seqüência infinita de triângulos onde cada um a partir do segundo tem por vértices os pontos médios dos lados do anterior. Calcule o limite da soma das áreas em função do lado a do primeiro triângulo. _.00 › / 2 ›y úxseíamczúegízLâgdíóLífTín , .. .) 05: 42W_ 10) É dada umakzeqüência infinita de círculos onde cada um a p_artir do segundo está inscrito no quadrado inscrito no circulo anterior. Calcule o limite da soma das áreas dos círculos em função do raio r do primeiro circulo. 0 01600522000 Irei iii/ swf. , , / 4 A S» 2 7m”. ll) Resolva as equações: X X a)x+5+; +.. .=6 x _,4 2 2 b) x2+-x§-+L9+. ..= % x; _+1 Z 31 3' °> <X+3>°*(42)~+%+--›=8x: -504,»-, « d)x+f+à+m= x+3x+sx+. ..+21x-71s , H6
  37. 37. Neste capitulo, pretende-se que o aluno: a) adquira a noção do conceito de matriz. b) saiba reconhecer a posição de um elemento qualquer de uma matriz. c) conheça as propriedades e as operações com matrizes. MATRIZ 26. Defmiçâo: Sejam os conjuntos I = [1, 2, 3,. .., n] C ]N*, J = [1, 2, 3,. .., m] C JN* e o produto cartesiano IX J= [(1, l), (1,2), .. .,(l, m), (2, l), .. .,(2, m), .. .,(n, 1), .. .,(n, m)), ou seja: IXJ= [(i, j)IiGI e jEJ] Consideremos, agora, a função f: I X J -› JR (Li) '-> Y = ai¡ 7 isto é, f é uma função tal que: ao par (l, 1) faz corresponder a" ao par (l, 2) faz corresponder an ao par (1, m) faz corresponder am¡ ao par (2, l) faz corresponder a2¡ ao par (2, m) faz corresponder am¡ . ... ... ... ... ... ... ... .. . .n. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ao par (n, l) faz corresponder an¡ ao par (n, m) faz corresponder am¡ Charrua-se matriz de ordem n por m o conjunto das imagens alla 312) ---› 31m) 3219 322) ---sagms ---) ai": anzs -'-) amns dispostas em uma tabela retangular de n linhas e m colunas do seguinte modo: 36
  38. 38. 321 322 323 31m a3¡ a3, a” . .. am onde a¡¡- é o elemento da i-ésima linha e da j-êsima coluna. 3m an: 3x13 311m 27. Aplicação: 19) Sendo I= [l, 2,3), J = [1, 2, 3,4] e a função f: I X J -› IR (í, í) | -> Y = ai¡ assinale as afirmações corretas: a. (x) O conjunto [an, an, an, 21,4, an, an, a”, a2., an, an, 2133, au] é o conjunto imagem da função f. _b. ( ) A matriz definida por f tem 3 linhas e 3 colunas. c. (x) A matriz definida por f tem 3 linhas e 4 colunas. d. ( ) A matriz definida por f é de ordem 3 por 3. e. (x) A matriz defmida por f é de ordem 3 por 4. 311 312 313 314 f. (x ) A tabela 33¡ a” a2; au ' é a matriz defmida por f. 331 332 333 334 0 elemento a1¡ está na intersecção da 2% linha com a 34 coluna. O elemento a” está na intersecção da 29 linha com a 4% coluna. O elemento a1., está na intersecção da 2? linha com a 2? coluna. O elemento au está na intersecção da 2? linha com a 48 coluna. Os elementos da 2? linha são an, an, a2, e a, ... Todos os elementos da 2? linha são da forma a2¡- corn j E [l, 2, 3, 4]. Todos os elementos da 3? linha são da forma a1¡ com j e J. Todos os elementos da 3? linha são da forma a3¡ com j E J. Todos os elementos da 39 linha são da forma a3¡- corn j E I. Os elementos da 3? coluna são an, 313 e n33. Todos os elementos da 3? coluna são da forma at, com i E I. Todos os elementos da 3? coluna são da forma 111-, com i E I. Todos os elementos da 33 coluna são da forma q, com i E J. Todos os elementos da l? coluna são da forma ah com i e I. FPPF-P'P9?B"”-'"*“'P"! ° ff%Irf%/ f / f%/ %% >< ><>< x ? xx x &/ &/%I/ NJ&IJ%ÍJ%4ê&/ /&J l 3 5 2 29) Considere a matriz M = 4 2 0 7 e assinale as afirmações corretas: -2-l34 a. (X) A matriz M tem 3 linhas e 4 colunas. b. ( ) A matriz M tem 2 linhas e 4 colunas. c. (X) A matriz M é de ordem 3 por 4. d. (X) M foi definida pela função f: I X J -› lR onde I = [l, 2, 3] e J = [1, 2, 3, 4]. -~ (i. 1') '-> ai¡ e. (X) Os elementos da l? linha são 1, 3, 5 e 2.
  39. 39. .. l . na 23 _m e Ow mm . _ . J . .ÀJWÕW mit = .x. :um m, w . I. . J _3m3m e m M . ZZ . .J 2” 7" u” , u n e mam m 2 . M mu. 4m __ 0 t JvOm . a M33"" n . n __ __ __ J a . l. WS 3 3 7m ma. emu». /lu . .. J I. .. 4% . e ee m __ m . J . M31 W n . .wów m. .. mm m m. n( m mma/ zw j . c o f ? Em __ : m 0706 4 . . e 1,74. m . w mnO 2 . .m m 4,/ 4 7 e7_. ._14. u ü m Um 2m u m. 3mm f _2m2m Je. .., miaew m . .mu m5.. 258 1.427 jmwlzwaííww a 351231( 2,1,3.2, 1_2 o. . 3 4 mâw L em; .zw __ e . n. . fo; . _o o o mnJD/ m4w "L m . .u 12.. ., . . r 3 3" . o _m . m . no.0. 2 3 4 l âmmx. .., _w 422w Zwa 1 m. __. __ . _ MaaaHH. .Z. . . PI/ l MOM" . 7. Õmd 222 amnnzz33.4 e n: . . m.0. y MMMMMh. mmmméééeee 1_ s 0.. ... . fa_ . m _mas n. .. Tim . CCCMMMMMM "X. «caí __ dv¡ s . . . . u e n" . uunumaaauu . mu mmmm J uma ,533 u u O 9 . "u" mnumnuunnu . _ : um . .me __ __ 1 mmm2m=8m m ssssaaaaaa Armmf a. 333mm 3 0.0.3" m P 000o M . e l 323 a a 3 m 3:" ÍÍÍÍOOOOOO ed 2 33 __ n. a nnnntttttt É di. a aaa a eeeemümmmm . r Odddd. l. mmdl. " W mmmm m M. . Íéf S 88% . . IL 01h13_ . .u . l lkllmmmm m o m0.. . _ . eeo u e eeeeddüdwcd m MMM . m . k. ddamln/ .Qum d SSSS. a u u . e a . .m . 0000000000 m mmmm 2._ e . ..mmm333s . m )))))))))) ü mmm . M aaa __ __ w mmmd __ __ __ m fsnifiLmman. C @D0 @QODM C cÚÚd, m, .W m. ; 3 4 ALGUMAS MATR IZES PARTlCU LARES 28. Matriz quadrada de ordem n é a matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas, ou seja. é uma matriz de ordem n por n.
  40. 40. 29. 30. Exemplo: 0 3 -2 é uma matriz quadrada de ordem 3. 1 à o 1 0 0 Exemplo: 0 1 0 é uma matriz identidade de ordem 3 e indica-se por Ig. 0 0 l 311 312 31m _ _ 321 a2¡ 32m Seja a matriz A = de ordem n por m. 3m an: 311m bu bu bm t bz¡ bg, b”, de ordem m por n onde: A = bm¡ bmz bmn bm = an¡ (lê linha de A' é igual à l? coluna de A) bm = am (24 linha de A' e' igual à 2? coluna de A) bu = 311, hi2 = 321, 521 = 312› b22 = 322, ou seia, as linhas da matriz At coincidem ordenadamente com as colunas da matriz A. Exemplo: 5 -3 0 Sendo A = < ) de ordem 2 por 3, a sua transposta será 4 l 2 5 4 A' = -3 l de ordem 3 por 2.
  41. 41. IGUALDADE DE MATRIZES 31. Definição: Sejam as matrizes M e M' de mesma ordem n por m. 311 312 31m 321 321 31m , M = e M = 3m am anm Dizemos que a matriz M é igual à matriz M' se e somente se: 311 = bu. 312 = D121-- 321 = b21, 322 = bn. -- - 31m = blm - 32m = bzm -l a 2 19) Considere as matrizes M = < 5 e M' = M = M à : 5 3 2 3 2 29) Sendo M = 2x - 3 5 e M' = 9 5 l 4 l 4 Para isso complete: M = M' ~= › . ... .. . . = 9 <= › x = 2x - 3y -3 -10 -3 39) Sendo M = e M' = 1 13 1 x + 3y sabendo que M = M'. Para isso complete: QO bu 1712 bz¡ b22 bm bm
  42. 42. MATRIZ SOMA 33. Defmição: Sejam as matrizes A e B de mesma ordem n por m onde 311 312 31m bn hi2 blm 321 322 32m '321 522 bzm A = e B = an¡ 3m anm bm bm bmn C11 C12 C11-n C21 C22 - - - C2m C = onde Cm Cn: cnm ou seja, c¡_¡ = a¡¡ +b¡j, 'V'iE[l,2, n] CVjEÍI, 2, Indica-se a matriz soma por C = A + B. Exemplo: 2 l 0 -3 2+0 1+(-3) 2 -2 4 -5 + l 2 = 4 + 1 -5 + 2 = 5 -3 -1 o -6 -3 -1+(-6) o+(-3) -7 -3 34 Aplicação: 8 ZÉ os q»- : É + ZÉ 04th CCL i Il ÉS mg; ; “1 NgQ I/ 20) 4 -s 1 -2 3 3 à -1 2 + o -1 = -6 - 2 3 -3 3 s o -2 39) Determine o valor de x, sabendo que t? í) + <: 2:) II í** dao IIO ; J
  43. 43. Para isso complete: x' - 6 + / = 0 , e, resolvendo esta equação em x, vem: x2+ x - 6 = O A , C VÊ r 5 x: _é/ Í 5_ «” xr e* 3 2 : w: , ,, O valor de x é 3 ou 4 'I 49) Determine os valores de x e y, sabendo que 3 2 -l -5 2 -3 2x -7 + y 3 = 1 -4 - 5 3x 5 -12 0 2y Para isso complete e resolva o sistema obtido: 2X + . ... . . . = à J; .' 'f J" í / í 4 y , L Z¡ - / n ', , : 3x + <. ...1;~. .1.. . = ax e; zz à' 1 3, o 221 sy ; “ -~>2.2~z v* / :j: 13 O valor de x é e o valor de y é _j MATRIZ DIFERENÇA 35. Deñnição: Sejam as matrizes A e B de mesma ordem n por m onde a" an . .. am, bu bn . .. bm¡ 321 322 32m b21 b22 '32m A = e B = an¡ 3m 311m bm bm bnm C11 C12 Cim C21 C22 - - - 02m C = onde Cn¡ C112 Cnm
  44. 44. n] e'V'jE[l, 2, m]. Indica-se a matriz diferença por C = A - B. Exemplo: 011 = 311-bu, C12 = 312 -bn 01m = 31m 'blm 021 :321 'b21.<'a2 :322 *bn u-Czm :32m 'bzm °n1=an1'bn1›°nz=3n2'bnz ---°nm=3nm'bnm ou seja, c¡¡= a¡¡-b¡¡, *v°iE[l,2,. .. 2-o 1-(-3) 4-1 -5-2 -1-(-6) o-(-3) 3 2 3 _ . 0 . I. á = Beque 3) 3 -2 1 e B = 5 4 ~3 Para isso complete: 29) Determine a matriz X, sabendo que X - A A = Então a matriz X 31m 32m , e um numero real k. anm a" 3,12 . . . 321 322 - - - an¡ an: PRODUTO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ 37. Deñni 'oz Seja a matriz A
  45. 45. o produto de k por A é uma matriz B = m onde ou seja, b¡¡ = kaühfie [1, 2, n] eVj Efl, 2, m). Indica-se esse produto por B = k - A. -3 2 -3 2 -15 10 Exemplo: Seja k = S e A = 4 5 Então: 5 - A = 5 4 5 = 20 25 2 -1 2 -l 10 -5 38. Aplicação: 1 -j- -3 2 19) Sendo A = -3 2 e B = 5 -8 , determine amatriz X, sabendo queX + 2A = B. 4 5 7 0 Para isso complete: l -3 2 311 312 1 2 321 322 + 2 ' . . . . . = . . . . . 331 332 . . . . . . . . . . . . . . . . 311 * 2 ' 1 = °= > 311 = . ... ... ... ... . . . / 312 * 2 ' 72_ = °= ° 312 . ... . . ... . . ... ... ... .. . . 321 + 2 = °= 321 = . ... ... ... ... .. 322 * 2 = °= ° 322 - . ... ... ... . . . 331 + 2 = °= 331 = . ... ... ... ... . . . 332 + 2 = °= > 332 = . ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . -5 / Então a matriz X = /Í -/2 ' / - /0
  46. 46. 29) Calcule os valores de x e y, sabendo que 2x _2 4;- +L -9y 5 2 -2 o 2 -5 4x 3 3 1 l5y 21 -lg 7 10 Para isso complete e resolva o sistema obtido: 2X +_â ° ÃZÊJZJ= 5.2.. . = > 2X . ..'. .3., )(. .=. ... :.2 . ... . . . 4x + i - / õy = = 4x . ... if . . . . . . . . . . . . . . . . . ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' " '4x+6_y:4 4x+5y= 7 z/ _ycízg L 2x ~ 3.7: - 2 _, 1:2 e o valor de y é _m1 PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA 39. Defmição: Consideremos duas matrizes A e B, onde o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, isto é, a" an . . . a", a2¡ a” . . . agp A = de ordem n por p e 3m an: anp bu b12 blm bz¡ bzz - - - bzm B = de ordem p por m bp1 bpz bpm C11 012 01m C21 C22 « - - 04m C = onde: cn¡ cm °nm
  47. 47. c" = a" - b" + an - bz¡ + + a¡p - bp, (Soma dos produtos dos elementos' da lê lir1ha de A pelos correspondentes elementos da lê coluna de B) 012 = 311' bn *l 312 ' bzz + + alp - bp, (lê linha de A com a 2? coluna de B) c¡m = ' au - bm¡ + an - bgm + . .. + a¡p - bpm (lê linha de A com a m-ésima coluna de B) 0,¡ = a1, - b" + a2¡ - bu + + a, p - bp, (2ê linha de A com a 1? coluna de B) cn = 32¡ - bn + a1, - bz¡ + + azp - bp, (23 linha de A com a 2? coluna de B) czm = a1¡ - b¡m + a2¡ - bzm + . .. + azp - bpm (24 linha de A com a m-ésirna coluna de B) cm = am - b" + am - b” + + app - bp¡ (n-ésima lir1ha de A com a lê coluna de B) cm = am - bu + am - bn + . . . + am, - bp, (n-ésima linha de A com a 23.¡ coluna de B) cnm = am - b¡m + am - bgm + . . . + app - bpm (n-ésima linha de A com a m-ésima coluna de B) istoé, c¡¡= a¡¡-b¡¡+a¡, -b¡¡+a¡, -baj+. ..+a¡p-bpj, viE[1,2,. ..n] evjE[1,2,. ..m]. Assim, ci¡ é a soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de A pelos correspondentes elementos da j-ésima coluna de B. Exemplo: 0 2 l 2 1 5 4 l 3 2 Sejam as matrizes A = e B = onde: 0 3 2 6 4 l 6 5 O 3 a matriz A é de ordem 2 por 4; a matriz B é de ordem 4 por 3; a matriz produto de A por B é de ordem 2 por 3. Então: C11 C12 C13 C = A - B = onde: C21 ('42 às c¡¡=2-0+l-l+5-4+4-5=4l (lêlirmadeAcomalêcolunadeB) c¡2=2-2+1-3+5-l+4-0=l2 (lêlinhadeAcoma2êcolunadeB) c,3=2-l+l-2+5-6+4-3=46 (lêlinhadeAcoma3êcolunadeB) on=0-0+3-1+2-4+6-5=4l (2êlinhadeAcomalêcolunadeB) q, =O-2+3-3+2-l+6-0=l1(2êlinhadeAcorna2êcolunadeB) c,3=0-l+3-2+2-6+6-3=36 (2êlinhadeAcoma3êcolunadeB) Portanto,
  48. 48. 40. Aplicação: 19) 29) l 2 2 1 0 Sendo A = e B = -1 0 , complete: 3 4 -2 5 3 a) A matriz A é de ordem por _H3 b) A matriz B é de ordem por c) O número de colunas de é igual ao número de calcular a matriz produto de A por B. , Éh/ fãs de B e portanto podemos d) A matriz A-B é de ordem por , isto é, tem linhas e colunas. e) Então, C11 °12 C = A - B = onde: ('41 C22 C11 = . ... ... ... ... ... ... ... .. de A com a . ... ... .. de B) cu = de A com a . ... ... ... ... .. . . de B) ou = . ... ... ... ... ... ... .. . . de A com a . ... .. m de B) 022 = . ... ... ... ... ... ... ... ... .. de A com a . ... ... .. de B) 0C= A'B= <-/ / O) a) A matriz A é de ordem por "Z b) A matriz B é de ordem por c) O número de _____ __ de A é igual ao número de de B e portanto podemos calcular a matriz produto de A por B. d) A mñtfíz A ° B é de Ordem P0¡ › isto é, tem “Ilhas e 00111113- e) Então, C11 C = A - B = cn onde: C31 . c. . = « . ... ... ... ... .. de A com a de B) 021 = : ... /je (g de A com a de 1;) 031 = &ã; ________________ __ de A com a de B) 47
  49. 49. .. .3.. f)C= A-B= .a. 7.9.. 39) Calcule a matriz produto de A por B quando: p-i s) (0 3 d) a)A= eB= 0 4 l 2 -l ÍwdJamaéfAa/ eazakmz/ vozzaâazmazmz / wz 3, a .45 Mui de aaa/ em Z/ wá 3. A. B= (ô a 2) 4 6 -4 l -l -3 2 -2 b)A= -2 3 e B= l 3 -l 2 5 &um; mdízgA dama/ cm â/ wz zzâdeoadem Z/ uoz 3,4 mamã; A.5 Mádmozdem â/ wz . j. -4 -f 7 A.3 - 9 5 / ~/ /9 -9 (4 5 3) (15 c)A= eB= 0 1 2 -4 2 ; Émaa »za/ QA deozmm Z/ oozãzâdeúzafepz .3/002 áamaózâ ¡LB/ sezádeozdem z/ ooz / .- lí) 3 -2 d)A= (4 1-2) eB= <-3 s) 1 e Ófmdda mczíág/ A de 03416722 / foz 31a mamãe. - 5 dama/ em . í/wz 2,4 27245322.- A.5 4mm/ de adam 070a 2. A-ô = (7 75) Exercícios a resolver: ítem ll, págs. 5l e 52.
  50. 50. a 3 4 10 49) Calcule os valores de a e b na igualdade - = 2 b 2 -2 Para isso efetue o produto indicado nessa igualdade. Assim: 415146 (1o ) e pela igualdade de matrizes você tem S9) Calcule o valor de x na igualdade -l l (2 -l 3) o x+3 O = (12 8) 2x-l 2 Para isso complete: '-2 - 1 -( + 3( ) 8 §>< 1 gbo ; os Z II Il 4543 IQ N &G/ e pela igualdade você tem x 2 69) Calcule o valor de x na igualdade (x 2x l) - l -l = *(10 S) -5 5 Para isso complete: . ... ... ... ... ... = @o s) e pela igualdade você tem . ... ... ... .. . . = 10 e resolVendo a equação em X' Vem: x2%2x~5=/ O<= >xZ%2x-75=0 AT474ÕÚ= ÓÃ '= -5 pzüiâ / 'X 2 *~x"= 5 Você obteve x-= *Õ oux= «3 2 l x 3 79) Calcule os valores de x e y na igualdade < 5 - < 5 = < > 3 -l y 7 Para isso complete: = e= › e resolvendo o sistema vem: 7 = 7
  51. 51. _n 2x+y=3 7 5x= %0%[: ã 22.24 = 5 <= :É] C Y= .:. Í.. ..- Você obteve x = 89) Calcule os valores de x, y e z na igualdade l l -l x -2 1 -l 2 y = 6 0 0 -4 -16 X-fy-Z -2 x+3/mz s -2 x-y+2z = 6 @x-gwâz: ó n42' '76 : '42: '76t: > é / scoíoúíuérzdd o @cz/ oz de z / oeía M0702 4 725w duas ; emma/ s eíocdçobs Mm. - XfLy-Í= -Z x+_y=2 x=0 X-_y+3= 6 <: > x-_y= '?: ly=2 Você obteve x = Ú , y = e z = 4 Exercícios a resolver: item 13. pág. 53. 99) No 79 exercício você tinha a equação matricial e, efetuando o produto, você obteve o sistema í x + y X - Y 3 7 Agora, tendo o sistema, você irá escrever a equação matricial correspondente. _ 2 l x 3 Assim: 2X + y _ 3 <= › - . = 3x - y = 7 3 _l y 7 w . . . u matriz dos coeficientes das mcógnitas 50
  52. 52. Escreva, agora, as equações matriciais correspondentes aos sistemas: a) 3x+5y= l j g _L . = -3-x - 2)' = -5 33.. . b) -2x+ y-3z= -13 _2 1 -5 x -73 3x-2y- z= 4 = › 3 -2 -¡ _ y = 4 x-5Y-22= 5 7 -5 -2 z 5 c) 2x+4y+ z= -5 2 4 1 x _5 . -3x-6y-2z= 8 e= › -5 -é -g _ y = 3 -4y-3z= 1 0 -4 ~3 z 7 Exercícios : i resolver: item 13. pág. 53. EXERCÍCIOS SEQÚENCIA A °) M = à” d) M = @a + àc l) Calcule os valores de x, y, z e w nas matrizes _ 7) Calcule os valores de x, y e z nas matnzes -1 2 -l y -l 2 1 X -7 -5 y 2 4 A=35 B=35 eC= 3:, A= ,B= eC= de 3 0 -4 3 modo que B+C= 2-A. de modo que A = B = C. 8) Calcule o valor de x nas matrizes 2) Calcule o valor de x de modo que 0 3 -6 2 2 A= 3x2 , B= x1+l eC= 2x demodo -1 = -1 1 _ - '2- l l 5x - 3 7 1 que A - B = íC. 2x2 - 6 3 4 3) Calcule o valor de x nas matrizes M = e 3 2 l -11X 3 4 9) Calcule x e y de modo que M' = de modo que M = M”. 3 2 l 4) Calcule os valores de x e y de modo que l O x2 l 2 2y à -l 4 2 -3 2 12 2 _ _3 -L _l_ = _ ( x y ) = ( ) l 4 5 2 0 2 4 l l 3 0 13 0 5X*Y s x o -10 -2y e o s -3 5) Calcule os valores de x e Y de modo que m) Detemíge “gm matriz X de modozaque' Íendoz 9 - - (2x+2 -4 3x+5y+4)= (x+3y -4 y-zx). 2 A = -3 0 -12 e B = -1 0 -3 2 -l 3 -3 6 0 1 6) Sendo A = , B = ( e '9 3 0 '12 1 'í 4 0 -5 _ 0 -12 3 - se tenha x +-â-A = B. 5 10 -l C = , calcule a matriz M dada por: 4 -2 3 ll) Calcule os produtos: a) M AH, a) (4 4) _ (1 a) b)M= B_C 3 5 -2 4 51
  53. 53. É m h m 5 . m __ v. m . .. . . w __ 3 w m = .. M314 000 8536 e __ x . .m 15.. ... . l j) z u ) a __ . _ = = __ z z __ __ __ __ 5 3 2 l 0 ) o mzzz Zz 5 5 z Zz = 9 _ 011.217. e l j 0 5 5 + 5 9 2 .1_2 . v1 52 0 _ _ 2 1.1. 303 . W_++ _+ Yv. ++++ __ 2 __ l 41 24 <_. __ l _ _ 1_ . › . . _ 1 7 __ ) 32 s 2 x = V. __ x V. l_20 A. 3 9 w. ++_++_++____ A. . uYe1_.4ow44.09_22 v. w 124.95 axxx xx xük xhxx T v. o e 9(((( 3 e 4.30 332_ 22.. . _ 3 3 m 4 NT __ __ __ __ 3.21.2 4 / K 4.4 694 2 3. . . [K . .JlLflfLrílL M M M M __ / I D¡ __ __ __ __ __ __ __ __ E . w w a m, E x x x x x o . m o o x x x x a w É R D, P: 9 0: 9 . M. N. .n m. ; @ m . z. e = j j 3 v. . 1 _8 X j 000.1 X e 0 3 z ) d l _) 845 J l [K l. l _ 2V. / [K 3224 m 0.0 1.12 mu. .. 41.. . v __ É v. . __ . .r j o 0 21 11 31|¡ 1.. l l N] j ( ) _S 102 m125 __ 48 3 20 Í __ 2112 . _ +1 53 13 56|. . 220 _ . . 1 m ) / k X_ x _, + ll _ Í . 34.1. (213 E 3.1 __ i YZ 11 (_ ( . + + [K 30. I/ . . ü u [K 2 ( . . . x x . . . x v. o j ( x v. . x . . . j) . .ÍSK 3/ ) xl. . . [k 3/ 1/0) . . b . jqaoxaoxm/ . 0 . ..coa I/ 2 21.01.. ) 141 m 10 x20 . . 3 v. . 01741 4.11.. 2 ) 2 104.1.” . 4.2 l 010. X . l u 234234101 1 424 l 2020.42 24051 2 / ._320x2x (Í ( / L ( / .¡ / K e( (( f( __ KK( w a m, a o n. m, M n w o m o o ) 2 l
  54. 54. w m. m m Wu . M o i 0 ü. .. . s. . __ __ n ol m . M uu u» w > 21 a M 53 É É __ . É. 4 n M. _m x/ .. , . f . B m Jm x : M476 mâüozzu . ... ..m @É . _ . É MÍ. xx / l/J/ OIZ/ AK 372% d Z . .m+ 3 ___ x. ) _ . ,n “ea em 543 M32/ , m M_ 124m 344m3 _ . ( J( Ju , . . w mp5 0 2 mw / / [WA 644 . m __ x x a. u .2 . .a2 2 1x , a m . .m __ : um 7.1/ a. .. ..J à. . 4_ A % m)M . x02 s) Vu 0 70// m. . ü s .34 n _ mas( a/ kma_ m. . . m . m s/ ux dzv. 2 m . .a2 7_ Ú ae x/ m a 4x43 10m : V Wa 2%. ); 8 me m. ) _22 m %. .- m n _ . .., m a4( a</ I u a “jm X mx? ” __ v_ m» . em. - m . m m/ .lm mÍ_ x? .. . _. .._ . ..m m m m x a D . ..). 0 9 ü D, D j 1.3 NJ | Í 54./ FW 31._ di. . 00)085B6 23 , 1.( [K (ñ _ fm A. .. . . __ __ __ __ __ N X Yz x Yz x V. : à el (( [K ( 3 G1.. . . . o mx Z l/ ..3 ) )) ( 19.. .¡ l/ xab¡ 4.15 -i-ul 505 5219 à. . . )su47_s44s wñuwza. .. a2 42041.44 wm)é 2 1.1. 3.10 Ul% ) 4.2_.3 1 2 12 2 l a / VG/ wm/ WMGGHHHHHHC/ h [vç mms. , o o o o 9 w »woman w w w w m _m a m m s n
  55. 55. 9) Resolva o sistema de equações matriciais: 10) Calcule os valores de x, y e z na matriz X+Y=2A+B d 2 3 y-3 X-Y=4A-3B °“° , A = 5-x y 5 , sabendo que A e uma A= (2 -1)eB= (-1 o) 1 H2 x 1 1 1 2 matriz simétrica, isto é, A' = A x.7 44.37: '4 / x=2,_y=44z=3 2'/ 73
  56. 56. Determinante de uma Matriz Quadrada Neste capítulo, pretende-se que o aluno esteja apto a: a) calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem 2 e de ordem 3 (regra de Sarrus). bl calcular o determinante de matrizes de ordem maior que 3, por abaixamento de ordem, aplicando os teoremas de Lap/ ace e Jacobi e a regra prática de Chió. c) reconhecer e aplicar as propriedades dos determinantes. DETERMINANTE 41. 42. Defmição: Consideremos o conjunto Q de todas as matrizes M quadradas de ordem n. ÍZQ »IR M ›-› y = determinante de M Seja a função , onde determinante de M é um número real que se obtém da seguinte forma: l - Se M é de ordem l, ou seja, M = (an), então determinante de~M é igual a a" ou ainda detM= an; 311 312 2 - Se M é de ordem 2, ou seja, M = ( ) , então detM = a" - an-an - an; 321 322 311 312 313 3 ~ Se M é de ordem 3, ou seja, M = a2, an a2; , 331 331 333 detM = 311' 322 ' 333 + 312 ° 32a ° 331 "' 313 ' 321 '332 ' 331' 322 ' 313 ° " 332 ' 323 ' 31¡ ' 333 ' 321' 3x2- l Para o cálculo do determinante de M, quando M é de ordem 3, existe uma regra prática chamada regra de Sarrus que consiste em: l - escrever as duas primeiras colunas ao lado da última coluna. 2 - adicionar os produtos obtidos de acordo com o seguinteesquema:
  57. 57. Íz' , *---->'332°323'311 z¡ , " r/ z/ ~----I- - 333 ° 321 ' 312 / z Í* z, f, I l¡ I I z / * z z *En* *312 , Max »311 , ,312 N f *s z 321 ,311 :3e§ ,151 322 r z ' N ' , › z * * r 33'! ,352 1333 30x 33k ~ *x '---'› +313'321'332 * *--'---> +312'323"331 *------> 3' 311' 322 ' 333 311 312 313 Indicaremos, também, determinante da matriz M = a2¡ a2¡ a” 331 332 333 311 312 313 por detM = az¡ a1¡ au 3 - se M é uma matriz de ordem 4 ou de ordem maior que 4, o detemninante de M é calculado por meio do abaixamento de ordem da matriz, que se faz empregando algumas propriedades que daremos no decorrer do assunto. 43. Aplicação: 19) Assinale as afirmações corretas: a. M = (an) m = a" 311 312 e ÔÔM: mdetM-Mvhz-¡lzr 312 _ 321 322 4 3 f( )M= mdctM=2-3-4-5=-14 2 5 4 3 g (X)M= íàdetM=4-S-2-3=l4 2 5 -l 3 h. ()<)M= í= detM= -2 0 2 -“l 3 l()M= É= detM=2 0 2
  58. 58. l 1 ul __ __ l. . . l ) u 5 5 (c _ _ 3 3 2 2 0 11 O 1 0 = __ = = __ = = M M M M M M M f. t t. Í. f. t. f. .u a a a m. .m a ) ) ) ) j j N] . l. 1 O . l. o . l. 3 4 3 3 5 2 5 2 5 . l. 0 . l 3 4 3 4 O 0 , - L ( ( / l ( [ __ __ = = : = : M M M M M M M ) xl¡ ) x) ) n/ ) X X X X ( ( ( (x ( I. ( i. . L m n. o. n. . a. . 29) Calcule os determinantes das matrizes abaixo: -1 2 l Ç ) , então det M a)M= _i í _ _ _ 'A3 ' "É. l 6 -5 2 4 3 1 3 l 6 -5 2 4 3 _4_ 3 1 b)M > , então det M 2 -1 l 2 , então, pela regra de Sarrus, devemos escrever as duas primeiras colunas 4 5 ”~-›+(-1) . 6 - 4 = -24 N» + l c) M = 6 3 ao lado da última coluna, a fim de se obter os produtos para o cálculo do determinante de M. Assim: =
  59. 59. detM: 6 1 2 =5+12-24+3-8-5o= -72 / l 4 - _ _. I/ /r-> z", “Í, /"> . ... ... ... ... .. . . / Í / z z, x x x Í / Í/ '/ -1'~_ . .3<7 <z"i ag / o ”: t' Er 174.' 1 , /,-4,><:3: s z , a «g * Nx *s *w . ... . ... . . . . ... .. t . ... ... . ... ... .. Portanto: . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . u. / z/x, “/ '.. ?./ «.Í: //. -.. /= *Ê , ,' a. ...2_. ..(-.2j_, = H2 7 : Â , f/; Z/ 2 *21 / 0 / z/¡rzíja «fg / / xgfsã. :.2.. e.(: .2/í. :.ZZ. .
  60. 60. 1 -2 3 dét-M = 2 o -1 = . ... ... .. 1 -2 3 3 - x 1 39) Calcule o valor de x, sabendo que = O. 2x -4 Para isso, calcule o determinante e resolva a equação obtida: -4-(3-x)-2x-l=0%› -/2,c4,y-2x = O 2x = 72 x = 6 Você obteve: x = 1 x - 1 3 49) Calcule o valor de x, sabendo que x 0 -l = O. 0 5x l Para isso, calcule o determinante e resolva a equação obtida: 0%0+ 75xZ-0 +5x *X/ X-Í/ =O /5x¡+ ãx-xz* x = O 74% + 6X - 0 7x37* 5x = 0 , y - o X- Í7x 7' 3 ) = 0 i oco :3 X = f? Você obteve: x = ou x = -àã- ' l l 1 S9) Calcule o valor de x, sabendo que x 2 3 = 0. x2 4 9 Para isso, calcule o determinante e resolva a equação obtida: /auafy4x -Zxz- /2- 9x = 0 Xz-ôx +6= 0 x: C72 2 3
  61. 61. V005 Obteveí X = .. ... . . ... .. . . 011 X = . ... ... . 7 Exercícios a resolver: ítens l a 3. págs. 76 e 7 . ABAIXAMENTO DA ORDEM' DE UMA MATRIZ QUADRADA 44. Complemento alguébrico: Chama-se de complemento algébrico de um elemento q¡ de uma matriz quadrada M o número real igual ao produto de (-1)"¡ pelo determinante da matriz Mü que se obtém suprimindo-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz M. Indicaremos o complemento algébrico de ai¡ por C¡¡. Assim, o complemento algébrico de a2¡ na matriz 3:11 312 313 , rx 2+ l 312 ara M = -i-¡aü- -ân---azsu é C2¡ = ('1) ' 4°¡ Mila Onde M21 = x1" 332 33s 3:61 332 333 312 313 Portanto, C2¡ = -1 - = '(312 - 33s - 332 - 313) = -an - aaa + 332 - 313 332 333 45. Aplicação: -l 0 l Sendo M = 2 3 -3 , calcule os complementos algébricos que se pedem. Para isso complete: 5 -2 4 _,511_ . . . . . . . . a) c” = M) ' det Mm l onde M” = . . . . 4 . . . . . . Então. C31 = -1)*""' - = . ... ... .. . . . . . . . b) C ( 1) ________ __ d tM d M . ..: í . . . . . . . = - - e , on e = 32 'a2 u . . . . 5 . ..: Z . ... ... . Então, C32 = (-l)""' - = . . . . _ _tz . ..17. . . . . . . . c) c" = M) 2 ° GHMJZ ' “me M” = . . . . . : 4 . ... ... Emo C22 = ('17 "" " ' 5 = . ... ... ..
  62. 62. 2 + 3 . ..: Z . . . . . d) C23 = (-1) """" " - det Mía_ , onde Mg¡ = 46. Teorenn de laplace: 'ÍO determinante de uma matriz M é igual d dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos respectivos complementos algébricos. ” Vamos, então, aplicar o Teorema de Laplace para calcular o determinante de uma matriz. 2 3 4 Assim, sendo M = -3 5 -2 , calculemos o seu determinante aplicando Laplace para os elemen- 2 -1 4 tos da 1? linha: - ---2-----3----4- - VdetM= -3 5 -2 =2-C¡¡+3-C¡¡+4-C¡3= 2 -1 4 = 2(-1)| +l ° det M" + 3 ' (-l)l§2 ' dCÍ Mn+4 ' (-l)l§3 ' det M" '-' 5 -2 -3 -2 -3 5 . = 2(-1)= - +3 - (-1)*- +4(-1›* = -1 2 -l 2-(20-2)-3 -(-l2+4)+4-(3-. l0)=36+24:-28=32 Então, detM = 32. 47. Aplicação: Calcule os determinantes das matrizes abaixo aplicando o Teorema de laplaee: Para_ maior facilidade aplique Laplace para os elementos da 2? linha, onde aparecem dois elementos iguais: : zero. Assim, complete: detM=4'Cg¡+0°Cn-5°C23+0'C¡q -1 .3 'Z 2 'Í 'Z 2+¡ 2143 detM=4l(_l) . ... ... . . .. f 2 _f +0_5.(_l) . ... ... . . .. _â / '7 +0: 'Z 0 / 4 -2 Í = -4 - ( › + s - ( . :.. Z.Q. .› = .
  63. 63. Ív¡ @É a s m n e m u. e C s . 0 4 a _ m: __ w m LM u_ 0 m . rm j . E m 0 3 4 O W . m 4 m v m 1 . e _ m v. C4 e . m 0 1.. 7.. 0 m 0+" m a . .É É o m c, __ a . .m M m ü a P A d 1 4 0 4 0 Para maior facilidade, você vai aplicar Laplace para os elementos da coluna. 3.c + 0.C , ac + ac +O. C det M = ; f . __ â 2V" , f Cí_ M_ _ H C_ / Í 6m 6 : m z 237 à : ao zm / t 404 3 : 4 Ú . 0237 ao f 7 / no/ /v __ 23x/ r/ x_ 077.0 + 5 2.40.4 .74 % = A /2 0 Ú . .x a f a ( f + a u. w . Mt z , f a 7. 7 _ 0.a , a p 4. m e . .u . r.. e V I. 0 S e r a S . m , C C r e X E 48. Observações: I - O Teorema de Laplace nos permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n recaíndo no cálculo de determinante_ de matrizes de ordem menor que n. 62
  64. 64. II - Para maior facilidade de cálculo, deve-se aplicar o Teorema de Laplace aos elementos da linha ou coluna que tem o maior número de zeros. Ill - Daremos a seguir o Teorema de Jacobi que nos permitirá obter zeros numa linha ou coluna. . 49. Teorema de Jacobi: "Somando-se aos elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz M uma combinação linear dos elementos respectivos de outras linhas (ou colunas) obteremos uma matriz M' tal que det M = det M2" Exemplo: Vamos calcular o determinante da matriz M, onde 4 - 5 3 M = 3 -l 4 , aplicando antes o Teorema de Jacob¡ de modo a obter, por exemplo, zeros na 2 4 3 1? linha. Para isso: l - Vamos somar aos elementos da l? linha os respectivos elementos da 3? linha multiplicados por -2:" 4 5 3 4-2-2 5-2-4 3-2-3 0 -3 -3 detM= 3 -l 4 = 3 -1 4 = 3 -l 4 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 - Vamos somar aos elementos da 2? coluna os respectivos elementos da 3? coluna multiplicados por -l: 0 -3 -3 O -3 -l - (-3) -3 0 0 -3 detM= 3 -l 4 = 3 -l-1-4 4 = 3 -5 4 e 2 4 3 2 4- 1 - 3 3 2 l 3 por Laplace vem: det M _3 . c” = -3 - (_1)“3- 3 -Í = -3(3 +10) = -39 Observação: poderíamos ter obtido zeros numa outra linha ou coluna qualquer, fazendo outras combinações lineares convenientes. 50. Aplicação: l 2 -3 19) Seja a matriz M = -2 -1 l . Calcule det M, aplicando antes o Teorema de Jacobi para 3 1 -4 obter zeros na 1? coluna, facilitando assim a aplicação do Teorema de Laplace. Para isso, some aos elementos da 2? linha os elementos da l? linha multiplicados por 2: 1 2 -3 1 2 _3 detM= -2 -1 1 = -2+. ..2.. . -1+. .2.. -2 1+ Z-(-ô) = 3 1 -4 3 1 -4 1 2 -3 - = 42 3 1 -4
  65. 65. Agora some aos elementos da 3? linha os elementos da l? linha multiplicados por -3: l 2 -3 l 2 -3 detM = 0 3 -5 = 0 3 -5 = 3 l -4 32.3.. - enjoa 12.3.. - -4-. ..3.. -(-. .§) Aplique, então, o Teorema de Laplace, calculando det M: d"" = . ... . . .. ... . WÍÇÍÊÍ . ... .. 5 -3 -2 29) Seja a matriz M = -3 2 -4 . Calcule det M, aplicando antes o Teorema de Jacobi para -5 8 6 obter zeros na 3? linha. Para isso, some aos elementos da 3? linha os elementos da l? linha multiplicados por l: S -3 -2 5 -3 -2 detM= -3 2 -4 = -3 2 -4 = -5 8 5 -5+. .Í. ..-. ›§. . 8+. ../ ... -(Í~.3.. ) 6+. ../ Í.. -(-. .2.) Agora some aos elementos da 2? coluna os elementos da 3? coluna multiplicados por vê. s -3 -2 -3- f «22) . áiTzír . ... .. detM= -3 2 -4 = 2-341 4:54.) ;54. = . ... Z. . 2.4.. . o s 4 . é. .54.. Aplique, então, o Teorema de Laplace e calcule det M: _ / 333 5 “2” _ , , = _ a : _7 2 4225x4433 4/7/ . _3 7 453 z/ 4. 2 734 - l 3 l - 2 › 2 9 3 -3 39) Sendo M = , calcule det M. 3 -7 -4 8 4 - l 2
  66. 66. coluna, 95 2 0 ~ 7 2 : _50-/5 30 - @mea/ am ; mama/ s mas; pasa oííâeáwwá 2242 7-“c0Zaaz72a, -â/ Jo/77z; a3 $350, : z / ~2/. /9 @já 9 572/543 % f. 0 50725 «r 2 q «2 -/ -4 f-O 2+2 z/ gímw' 2.4 ákzhvú #Ãzíà 2.40 , aplique antes o Teorema de Jacobi para obter zeros e í 0+2 3+0 / - f 2/3 e aplicando o Teorema de Laplace para a O 2-2 -7+ / /52 de »zoa/ o àfse / sá âkaía. /f-r/ Z. z/ ÓZ fl: Para isso, aplique o Teorema de Jacobi para obter zeros na 3? coluna, fazendo as seguintes combinações lineares: a) Some aos elementos da 2? linha os elementos da l? 'linha multiplicados por -3. b) Some aos elementos da 3? linha os elementos da l? linha multiplicados por 4. c) Some aos elementos 4? linha os elementos da l? linha multiplicados por 2. vem: 49) Sendo M calcule det M. 0922677203, / wz Âzõ/ ?ZOZÚOÇ as zamíam afaéw, a) ó/ 4 dez M _ 0565 M = í C 25.3 2 -2 / 7 4 1 -3 3 0 2 36” : M772: daí/ v: z -2/_9-/0/
  67. 67. x 1 2 59) Calcule o valor de x na igualdade 2 3 x2 = 0 4 6 x Observe que calculando o determinante pela regra de Sarrus você terá uma equação do 39 grau em x, o que não é muito conveniente. Vamos então procurar calcular os valores de x aplicando as propriedades vistas. Assim, faça: a)3?linha-2-2?linha b) aplique o Teorema de Laplace. X l- 2 X l 2 2 3 X2 = 2 3 X2 = (E225) ' C33 = Óúuznâãf. ) ' Êüãtâ' = 4 e x : :Quo X5215 = (›<. ..-. .22<Í) - (õzc. :..2.. ) = o X = x-2x2=O---›x-(/ __-_Zx)= O=â ou x = _L e você pode escrever ou "2" 3x-2=o= › x= / 2 V = - - ° Exercícios a resolver: item S. pág. 77. Sl. Regra de Chió: é uma regra prática para fazer sucessivos abaixamentos de ordem de uma matriz para o cálculo do seu determinante. Essa regra é justificada pelo Teorema de Jacobi e pelo Teorema de Laplace. Aplica-se a regra de Chió quando se tem um elemento aü = 1, na matriz. Quando não se tem ai¡ = l pode-se obtê-lo aplicando o Teorema de Jacobi e propriedades que serão vistas no item 53. Regra de Chió: 1 - Suprimimos a linha e a coluna que se cruzam no elemento ai¡ = l. 2 - De cada elemento restante da matriz subtraímos o produto dos elementos que se encontram nas interseções das perpendiculares traçadas dos elementos considerados à linha e à coluna suprimidas. 3 - Com as diferenças obtidas construímos uma matriz cujo determinante multiplicado por (-1)¡*¡ é igual ae determinante da matriz inicial. Exemplo: Calcular o detM onde M = 2 5 14 pela regra de Chió.
  68. 68. S-2-3 14-2-5 . _ _5TI4 6 _ _ l. _ _ _ _3_| I5 7. . _ l. _ . í Tr--- - _rLlauwlü = Então, det M Calcule o determinante das matrizes abaixo aplicando a regra de Chió: ) 2 9 n 3 0 5 1 l l. 2 4 . . fl . w = a M ) a 52. Apli a m# w 3 2 3 _ . __ z m Om Q 7 s. . 2 2m 2. . . 2" . u a 1_ A. . 1. t_ _um 1 _ 2_ 2 Z . u . n 2 o 1_ 7 0_ ç. . 2.o. .. 2. . l. l. 2 5 OM : rm . 2. 1 __ (. ._x ln ) l . D 1_ . n . _ _ (_ 4 m p lj . .., o. . 3.1_ __ u u n 3 2 3 l a. . l1l. l . _ _ _ _ ) 4.2, ; 752.1 _ _ 1 . .m 4 2 l a _ _ __ 7_ Í 7 6 2 0 _ _ _ _ _ ---". -+---- m m _ . ... ... .. -JL. . 1. 3 . l. 2 2 0 3 . l. _3 _A10 5 J ¡›. l . .a _ul . . l e nnnnnnnnn lLlL n. _ __ . m a . .., 1 o. . m . a" _ 4 2 o 3 um k T. -- l- 04 k 2l.3.l5 . ) m O 1 7.2_ P H2 4 Í P . _ _ l _ _ _ m FL . ... ... -- m 7.. 3 5 m (c 0 1.. 7 2 wll_lr W = __ ( Co, __ __ : m . Mt _. . Mr __ m m m . m. m . m. P d Continue na página seguinte.
  69. 69. .WMV . _ 7/ _ 00 . r/ r/ »V477 1/ 4 r_ / a o_ . _ _ _ 7.6 _ _ .1/ 274 d# xr 10.0 05V &M; _ . l/ _/ .l _ NM uma. a . . / .l_ 7 6 ? u _ n# _ J/ 6 2 _ 6 __ _ m . 2 3 H g â _ _ M. 6 õ , m a0 m W . ,m . . ll_ll Cá >É0W7 . __ _3 4 . __ o 1_ 7.--_r-. _ . ... -- Ú _ . .2 0_/ _2u4/ / _l 0 l 3 1-1.. › . .--. na . Úu __ _ _ . . __ . ... ... --. TL 2.417 A. .. . _ . _ 411m4 247,. . _u 337 / llrlrrnl_ _ _ ¡. _-¡_-¡I / l . . 640463/_04_ 2_ _6 J_ 6 4¡ . Illàllülhl d »V __ 6___3 fg. /. l / .l M l. LI_l. l_I a = __ m; = : 53. Propriedades dos determinantes: Vamos enunciar aqui algumas propriedades que serão úteis no cálculo de determinantes. Seja, então, M uma matriz quadrada de ordem n. Valem as propriedades: 19) Se os elementos de uma linha (ou coluna) da matriz M forem todos iguais a zero, então detM = 0. 2'! ) Se a matriz M tem duas linhas (ou colunas) iguais, então detM = 0.
  70. 70. 3'! ) 4a) s? ) 6?) Multiplicando-se uma linha (ou coluna) da matriz M por um número real k, o determinante da nova matriz M' é igual ao produto de k pelo det M. Exemplo: l 3 4 2 5 3 l 3 e %detM'= :5- . =5.de¡M 20 2 4 2 M! 5 3 20 2 Se a matriz M tem duas linhas (ou duas colunas) formadas por elementos proporcionais, então det M = 0. Exemplo: Trocando-se entre si os lugares de duas linhas (ou duas colunas) da matriz M, o detemiinante da nova matriz é igual ao determinante de M multiplicado por -l. Exemplo: 2 3 0 M = O l -2 -l 2 -3 -í= =› det M' = -detM O 3 2 M'= -2 1 0 -3 2 -1 Se a matriz M é tal que cada elemento da i-êsima linha (ou j-ésima coluna) é dado por a¡¡ = b¡¡ + cü, então o seu determinante é igual à soma do determinante da matriz M' que se obtém substituindo o elemento a¡¡ por bü, com o determinante da matriz M" que se obtém substituindo a¡¡ por cü. . Exemplo: 2 3+2 4 2 3+2 4 M: -l -2+5 0 -: -›detM= -l -2+5 0 = 0 -1+3 l 0 -l. +3 l 2 3 4 2 2 4 = -l -2 0 + -1 S 0 0 -l l 0 3 1
  71. 71. 7!) Se a matriz M tem uma linha (ou coluna) que é combinação linear de outras linhas (ou colunas), então det M = 0 Exemplo z M = onde a 3? coluna é igual à soma da l? com o dobro da 2? coluna, 54. Aplicação: 19) Dadas as matrizes abaixo, justifique, pelas propriedades dadas, por que o determinante é nulo: -2 3 5 : :)M= -4 6 1o l 0 -2 de: M = o. pois . ... ... ... ... . ... ... ... .. 2-2 2 0 O l 0 3 a 2a+3c c d)M= b 2b+3d d c 2c+3a a detM = o. pois . ... .. . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 70
  72. 72. e)M= detM = o, pois l o -3 6 21 -1 o 2 -1 f) M = o -1 2 7 detM = o, pois . ... ... ... ... . . . . ... .. . 2x 3x' -x3 / g) M = -1 o 2 4x 6x2 - 2x3 i)M= b+a c l , eom(a+b+c)#=0: a+c b 7 ; uma 0 / l/ Ó detM=0,pois 'ma c q: (uma c 7 : gawac/ *f c / ;b+c cz f¡ lavzóac a, / l/ a 7 : O 29) Sem calcular o valor dos determinantes das matrizes abaixo, mostre que: 14 7 49 21 2 0 l 3 a) det M é divisível por 7, onde M = -4 3 0 4
  73. 73. Para isso, lembrando que quando se multiplica os elementos de uma linha de uma matriz M por k se tem det M' = k - det M, complete: É. O Ll- . E 7 3341 M. 7101.. det M' . . m. 7 é __ M t . .M341 . É. . P wroqw o 7032 . M . a d 4240 . l. u 7_ = __ . M M a a d d _ det M" detM = detM", ou seja, detM é . ..mna42aá. ... .. por 2. 49 14 49 49 14 14 b) det_M é divisível por 2, onde M Para isso, complete: det M - c) det M é divisível por 14, onde M Para isso, complete: detM = det M” »detwa ou seja, detM é por 14. isto é: det M = 72
  74. 74. f 75 4 jãü 50 72 50v 97 64.173 __ M e m __ 0 m, su . l m. 39 d , w 26 ü . e = M M a t d a ) d 7 2 20v 20 É = 50 5565 M', goza/ am? axé M z 'mzzmeí 00330. Para isso, adicione aos elementos da 1? coluna os elementos da 2? coluna multiplicados por l e os elementos da 3? coluna multiplicados por l, assim: e) det M é divisível por 1o, onde M 5 3 5 III/ CQUI 3 S 2 / detM = 2 / Q s aaa . M L mad/ u' ou /56/@1 dez/ “M »e/ cíamõaáffpoz 70; b Ç, f) detM é divisível por (a+b+ c) = /= O, onde M ó C c: a a Ó 'ama / b c = g0H<C+CZ : faaóxc/ J. Í C ÁZ @Wei íC%a%Ó 7 a ó Cid/ V' E ó c C a a ó @x00 daí/ V 21 0 e somando aos elementos da l? coluna 3x' -l2 = x 2 @Ah / úfófC/ j. daí/ lí' ao 46/4 : ma” M zwxáwõcàefpoz, /aaózc/ 5,/ g) detM é divisível por (x + 2) a* 0, onde M 3 -2 < Para isso, complete: 21 -12 3x' 0 X detM = 73
  75. 75. 74 39) os elementos da 2? coluna multiplicados por 1, vem: 2 a (x+2›-<x-2_› detM=3- 41;. ; 2 o =3- 2 o = -2 3 -(. à.. Í.: '-. .) -2 3 <5 Q 4 =3 (x+2) . ... .. í . ... ... . . . . . zbzzvircz” daí M 515m0). @fez/ M . ... .11,. (X66 na Í›L/ V/&¡Z . xztvfn/ M e 74152233455( z; Resolva a equação 4x x' - 5 O = 0 4x -4 2 Observe que se desenvolvemos o determinante acima teremos uma equação do 49 grau, o que não é muito conveniente. Vamos então procurar detemiinar os valores de x aplicando as propriedades vistas. Assim, adicione aos elementos da 1? coluna os elementos da 2.3 coluna multiplicados por l e fatore os elementos da l? coluna: x1 - x -x 1 x(x - l) -x l . ;í. Íff. iz. z5 x'- 5 o = o = =› . ;.A. :.: ;.<. >;: lci<; :.. í' x'- 5 0 = 0 4 * 4 -4 2 . .frÍzÇ/ .íuí -4 2 Veja, x = 1 é uma solução, pois para x = l todos os elementos da l? coluna são nulos e portanto o determinante é nulo. Se x ; É l, então você pode escrever: x(x-1) -x 1 -x 1 (x+5)-(x-1) xí-s o = oe= ›(x-1). májff xz-S o = o 4(x- 1) -4 2 _4 2 -x l e sendo x á 1, você tem xz-S O = 0 4 -4 2 x 1 ç 2 . ... ... .. . Z x + 5 0 = 0 «= › (-1)“ - (x'+x) 4 r) = 0 4 Ú 2 - a - n c . . - . n no
  76. 76. x - ( )(2x - ) = 0 <= = 0 <--› x = 6x -2x 2 49) Resolva a equação -9x x' 4 = 0 x' -3 -l Para isso, complete: a) O valor x = 0 é solução, pois se x = 0 os elementos da anulam e, portanto, o determinante é 73609 . . ... ... ... ... ... u. 6x -2x 2 -2x 2 -9x x* 4 =0=›x- x' 4 = o«= › x' -3 -1 . ... -3 -1 -2x 2 = › . ..19. x' 4 = o * -3 -l Somando aos elementos da l? coluna os elementos da 2? coluna multiplicados por 1 e fatorando vem: 6-2x -2x 2 -2.(_§_; §) -2x 2 4.3.4.25? x: 4 = o«= › x* 4 = o x. ..-. ..õ -3 -1 (. ..“. .:. .3› -3 -1 o portanto x = s o oooo soluçao pois da /9 cââazza , se arm azia é a dexa/ mancada e” mão. c) Se x ; E 3, então você pode escrever: -z-(x-s) -zx 2 -2x 2 (x+3)-(x-3) x* 4 = o«= ›(x-3›- . ..E115 x' 4 = o<-= › (x-s) -a -1 . ... -3 -1 *Z -2x 2 f-3 -1 Somando aos elementos da l? coluna os elementos da 39 coluna multiplicados por l e aplicando o Teorema de Laplace, vem:
  77. 77. e: 7 0 _m _m _. __ = 2 4 x x _ = = 0 0 . a 2x 3 __ __ . . O H M m7m . _ x mà Q 10 N "ll mxm 7_ 7_ . u Í z = x 3 . n 2" ) . W O m . u __ 7 _ 2 4 1_ n M + . . x ) 7M . a 2x 3 4 7 : _ _ / n . É . JL à 4 _v_ 2 3 v; o . + 1¡ l. . m e x ( m w. pl t o b H_ p 0 e . É o V vo. 7 o. : , a D. 9. m e . .H . r.. e Iv. U S e r a S O , m C r e x E EXERCÍCIOS SEQÚÉNCIA A l) Calcule os determinantes abaixo: 0 0 __ 0 __ __ . . 0 5 l s 3 + + 4 e __ 4 . .W 4 _A x x 2 + a x l M. 6 x 3 e 3 . h u. . + 4 x _ x x S 2 1 x 2 2 S . a _ . m e R m, M M. ; m ' 3 2) Calcule os determinantes abaixo, aplicando a regra de Sarrus: -2x x-l 76
  78. 78. 3 -1 2x- 5 0 b) -2 x+2 2 *x+3 -1 -3 -2 l = -48 x+2 h) d) 4) Calcule os determinantes abaixo, pelo Teorema de Laplace: 6) Calcule os determinantes abaixo, aplicando a regra de Chió: 2 2 9 6 4 5 2 1 0 4 9 9 2 3 6 . .L 1 . l. _ _ _ . 3 8 O 2 1 3 1 5 3 2 6 1 3 7 4 1 . l. . l. . l _ . . 1 _ _ . l. 5 3 4 2 0 4 3 5 3 0 3 4 4 5 3 _ . l . .l . .M M, 0 ü a, o 0 3 0 2 _ _ 3 4 7 0 1 I. . 0 4.. 3 2 . M. 5 4. 5 0 1 3 4 l 0 3 0 0 5 o o 2 0 0 2 0 E. .. 2 o 2 1 2 1 o -1 s 2 o 4 0 o o s s 1 6 10 5) Calcule os determinantes abaixo, aplicando antes o Teorema 7) Justifrque por que os determinantes das matrizes abaixo são nulos: de Jacobi para obter zeros: -3 1 3 -1 2 5 a) 4 -5 a) 2
  79. 79. 8) 78 -3 2 l -3x° 2-3x sx” b) 5 0 0 f) Sendo M = 3x4 x¡ -8 ) -3 2 1 0 -2 l -21 2 -3 o det M é divisível por (x -1), com x ? É 1. c) 7 _l l 9) Resolva as equações: 14 O 2 x 2 5 2 'l 3 a) x x -3 = 0 d) 4 5 2 x x x 6 4 5 l 1 l l '2 1 3 1 2x 1 l O °) l 2 'l b) l l x- 5 1 _ '3 4 5 l l 1 3x + 2 2 3 -3x 2x x x2 _4 2x2 2 0 *z 'zx '39 c) 3x-6 8 1 =0 2 3 -5x 2x -x 2 _ X 16 2 'x “ZX” 3 ° 3x3-5x -21x o s) x 2*¡ 2 '3 d) -15 -5x -1 = o 'x '2“1 'l 2 2x+4 8x+26 2 x 2x + 5 4 l Sem calcular o determinante das matrizes abaixo, mostre que: RESPOSTAS 2 6 -4 s D a, 7 l 2 -5 3 , o detM é divisível b) '14 a) Sendo M = C) 31 0 O l 3 d) 5 . -2 1 4 7 à) as por 2. 2) a) 3 b -46 -4 6 2 6)) 7 b) Sendo M = 1 9 o , d) -7 e) 18 -5 30 15 f) o o det M é divisível pol' 3o. S) 5° 3) a) 3 l 2 3 b) . t 5 c) Sendo M = 4 5 6 . l c) -3;- 21 24 9 5 o det M é divisível por 9. d) o; l e) L a a c ll . Zi d) Sendo M = c a a , O 13 a c a g) -4; 2 o detM é divisível por (2a + c), com 2a9É-c. h) _5; 4 x -2 2 4) a) 32 , b) 16 e) Sendo M = 3X -12 1 , c) 51 e) 57 o det M é divisível por (x - 2), com x 95 2. f) -228
  80. 80. 6) 7) 9) a) 44 b) -156 c) -14 d) -448 a) 7 b) -l6 c) -1 d) 126 e) -90 f) -36 a) 3? coluna = 0 b) l? linha = 3? linha c) 7 - 34.¡ coluna = 1'? Coluna d) 3?linlla= l9lirlha+2?linha e) 2-l§linha+2?linlla=3?linha f) 2-l? linlia+2?linha=3§linha g) 2 - 14.' coluna + 34.¡ coluna + 4? coluna = 24.' coluna a) -3;0;2 w-âám c) -N/ ã-; In/ B_ d) -3; O; 3; 13 sEQüENclA a l) Determine, quando existirem, as matrizes inversas das ma- trizes seguintes: Observaçiio: uma matriz A é inversível se existe uma matriz B tal que A-B= B-A= l onde l é a matriz identidade. A matriz B recebe o nome de matriz inversa de A e é indicada por A4. Vale a afirmação: “Uma matriz A é ínversível se e somente se det A $ 0". 21 -/ _3-/ a)A= <s3)A'/ _ÕZ Sugestão: Calcule det A e resolva a equação: (: :)~(: :)e B” = 2 2 à_ ma: (2 a) 2 J) -7 7 c)C= (2 _lj C4 = O Ti' 3 0 -7 _Ê 0D: (d a) Ã D# 2 6 4 5 -f 4 -5 = É = eu: (3 4) '3 4 -1 3 2) Determine k, de modo que a matriz A = ( 2 j k seja inversível. 3) Para que valores de m a matriz < b) KiÉ-ó' m 5 é inversível? -3 -l 7” i4 75 4) Mostre que são nulos os determinantes: x 3a + 5x y 3h + 5y z 3c+5z Z Y x z , com x+y+z=0 y x 3a + x l 3b+ x 1 3c + x l senzoz cosza sei-FB 00315 d) 5) Sendo 6) Mostre que sen27 cos27 m x n y = k, calcule os determinantes: p z m a n b Wax( p c m 2a P 2° = -70K n 2b x x b p = x(x-a)-(x-b)-(x-c) x x x c X X X X 7) Resolva as equações: b) 1 l l l 1 2 2 2 = Oí'VÍÍ¡ V/ ÍJ l 2 x+6 -3 1 2 3 x-2 log¡ 16 logx 2 log¡ 4 . l o l u¡ (41 l l 79
  81. 81. 1 x+2 l l a) 2 3 4 z Z C) =0 ("7767 l l x-5 1 4 9 16 l l l -x+3 1 1 1 b) 5 3 2 = _ logx2 1 / 6 d) = o - 7 2 25 9 4 logzx 1 2 l l l 8) Determine os valores de x para os quais o determinante _ abaixo é nulo: c) -3 l 2 ' 20 9 1 4 2 3 3 'z Í eáâzíriaewâem- 1' 'í 1 l l l 'l 2 “l 6 xíwâma+íêwfcm+ -2 3 -l 4 4 5 13 3 +l9caâauzxgx= 5 d) = -ÕÚÚ s _l 6 2 ' 4 9 l 16 -8 27 -1 64 a a+m a+3m 1 l 1 M b b b 3 = 0 9) ome que + n * n e) log 5 log S0 log 500 = 2 ° ° H ° J' 3' (log 5)' (log 5o)' (log 500)' 10) Calcule os determinantes de Vandermonde: Obs. : Determinante de Vandermonde é todo determinante ll) Resolva as equações: associado à matrizde ordem n onde cada colunfe' 1 l l formada de potências de mesma base com expoente variando de 0 a n- l. Os elementos da 2? linha se a) 5 3 x = o v ' (57 3; chamam elementos característicos e vale a propriedade: 25 9 x¡ "o determinante de Vandermonde e' igual ao produto de todas as diferenças entre os elementos caracterís- 1 1 1 ticos onde o índice que indica a coluna em cada 2 minuendc é maior que o índice correspondente de b) x 2* 3x = 15 V ' cada subtraendo". x2 4x2 9x2 Exemplo: 12) Calcule o valor do detenninante abaixo, sendo a¡, a1, a3 e l 1 1 1 a4 os 4 primeiros termos de uma P. A. de razão k: a b c d = l 1 l 1 a2 b¡ c¡ d¡ a a a u 6 l 2 3 3 3 3 3 = 72 Á” b d ° ° ai a3 a3 a3 a a a a = (d-l)'(d-b)'(d-c)°(c-a)-(c-b)'(b-a) 31 32 a3 34
  82. 82. Sistemas Lineares Neste capítulo, pretende-se que o aluno esteja apto a: a) resolver sistemas de n equações a n incógnitas por meio de determinantes. b) discutir a existência de soluções desses sistemas. EQUAÇÃO LINEAR 55. Definição: Chama-se equação linear a n incógnitas (x1, x1, . . . , xn) toda equação da forma: aux¡ + aux, + + amxn = b onde a" , an, . . . am são números reais chamados coeficientes e b e' um número real chamado termo independente. 56. A solução de uma equação linear a n incôgnitas é a ênupla ordenada de números reais (aq, a2, . . . , an) que verifica a igualdade ana¡ + ana¡ + + ama¡ = b. 57. Assim, assinale as afirmações corretas: a. (X) 3x + 4y = 2 é uma equação linear nas incógnitas x e y. b. ( ) 3x2 + 4y = 2 é uma equação linear nas incôgnítas x e y. c. (X) 3x + 2y - 5z = 0 é uma equação linear nas incógnitas x, y e z. d. ( ) 3x + 2y - Sz = 0 tem coeficientes 3, 2 e -5 e o termo independente é 3. e. ( X) 3x + 2y - Sz = O tem coeficientes 3, 2 e -5 e o termo independente é zero. f, (X) -3x + 2y = -8 é uma equação linear nas incógnitas x e y cujos coeficientes são -3, 2 e o termo independente é -8. g. (X) (O, -4) é solução da equação linear -3x + 2y = -8. h. ( ) (0, O) é solução da equação linear -3x + 2y = -8. i. ( ) (0, -l0) é solução da equação linear -3x + 2y = -8. j. (X) (2, -l) é solução da equação linear -3x + 2y = -8. l. ( ) (2, -2) é solução da equação linear -3x + 2y = -8. m. (>() (-2, -7), (3, à), (4, 2) também são soluções de -3x + 2y = -8. n. (X) a equação linear -3x + 2y = -8 tem lnfmitas soluções. 81

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