8. แบบฝึกหัดที่ 1 6. จงหาสมการเส้นสัมผัสของวงกลมที่มีสมการเป็น x y 10 x 0 2 2
ณ จุดที่วงกลมตัดเส้นตรง 4 x 3 y 20
1. จงหาจุดศูนย์กลาง ความยาวรัศมีของสมการวงกลมต่อไปนี้ 7. จงหาพื้นที่ของบริเวณที่อยู่นอกวงกลม x + y - 2 x - 2 y = 0 2 2
สมการ จุดศูนย์กลาง รัศมี แต่อยู่ภายในวงกลม x
2
+ y
2
+ 2x - 4y - 11 = 0
2 2
x + y - 4x + 6y - 3 = 0
8. จงหาจุดตัดของกราฟ x y 1 และ x y x 3y 0
2 2
2 2
9. จงเขียนกราฟของอาณาบริเวณซึ่งกาหนดโดยเซตต่อไปนี้
2 x + 2 y + 12 x - 4 y - 20 = 0
2 2
(1) x , y / x y 4
2 2
x , y / x y 9
x + y + 2x - 4y + 5 = 0
(2) 2 2
2 2
x + y + 10 x - 2 y + 42 = 0
2 2
x + y - 2x + 2y + 2 = 0
2. จงหาสมการในรูปแบบทั่วไปของวงกลมที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
พร้อมทั้งเขียนกราฟของสมการของสมการวงกลม
2.1 มีจุดศูนย์กลางที่จุด ( 0, 0) และ สัมผัสกับเส้นตรง 4x + 3y = 10
ลองทำดู คุณทำได้
2.2 มีจุดศูนย์กลางที่จุด (1, 2) และ สัมผัสกับเส้นตรง 3x - 4 y = 15
3. จงหาสมการของวงกลมเมื่อมีเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นเส้นตรงที่เชื่อม
ระยะห่างระหว่างจุด ( 4, - 5) และ ( - 6, 3)
4. จงหาสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกับวงกลม
x
2
+ y
2
+ 6x - 4y - 3 = 0 และสัมผัสกับเส้นตรง 4x + 3y + 1= 0
5. จงหาสมการวงกลม ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ 1,1 และสัมผัสกับ
เส้นตรงซึ่งมีสมการเป็น 3 x 2 y 18 0
9. วงรี (Ellipse)
วงรีเป็นโค้งรูปไข่ที่เสมือนการยืดวงกลมให้ยาวขึ้นตามแนวเส้นผ่าน
.
P(x,y )
ศูนย์กลางเส้นใดเส้นหนึ่ง บทนิยามในเชิงเรขาคณิตของวงรี คือ .
F1 ( C,0 ) O
.
F2 (C,0 )
บทนิยามเชิงเรขาคณิตของวงรี
วงรี (circle) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลบวก
ของระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังจุด F1 และ F2 ที่ตรึงอยู่กับที่มีค่าคง
ตัว โดยค่าคงตัวนี้มีค่ามากกว่าระยะห่างระหว่างจุดที่ตรึงอยู่กับที่ทั้ง เพื่อความสะดวก ให้ผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ บนวงรีถึงจุด
สอง จุดสองจุดที่ตรึงอยู่กับที่นี้เรียกว่า โฟกัส (focus) ของวงรี โฟกัสทั้งสองเท่ากับ 2a โดยที่ a > c จะได้ว่า ถ้า P ( x, y) เป็นจุดใด ๆ บน
วงรีแล้ว
.P
1
.P 2 P F1 + P F 2 = 2a
จากสูตรระยะทาง จะได้
. .
F
(x + c)
2
+ y
2
+ (x - c)
2
+ y
2
= 2a
F1 2
หรือ (x - c)
2
+
2
y = 2a - (x + c)
2
+ y
2
ยกกาลังสองทั้งสองข้าง จะได้
2 2 2 2 2 2 2 2
x - 2cx + c + y = 4a - 4a ( x + c) + x + 2cx + c + y
P1 F1 + P2 F2 = เป็นค่าคงตัว
P 2 F1 + P2 F2
หรือ 4a ( x + c)
2
+ y
2
= 4a
2
+ 4cx
ในการหาสมการรูปแบบอย่างง่ายของวงรี จะต้องสร้างระบบพิกัด หารด้วย 4 แล้วยกกาลังสองทั้งสองข้างของสมการ จะได้
ฉากให้โฟกัสอยู่บนแกน X ที่ F ( - C, 0) และ F (C, 0) จุดกาเนิดอยู่
1 2 a ( x c) y
2 2
2
a cx
2
2
กึ่งกลางระหว่างโฟกัส ดังรูป 2
a x
2
+ 2a cx
2
+
2
a c
2
+
2 2
a y = a
4
+ 2a cx
2
+ c x
2 2
10. (a
2
-
2
c )x
2
+
2
a y = a (a
2 2 2
-
2
c ) (1) ทานองเดียวกัน ให้ x = 0 จะได้ y = ± b ดังนั้นวงรีตัดแกน
เนื่องจาก a > c ดังนั้น a
2
- c
2
> 0 เมื่อหาร (1) ด้วย 2
a (a
2
2
c ) Y ที่จุด (0, - b ) และ (0, b ) ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดทั้งสองนี้เรียกว่า
จะได้ แกนโท (minor axis) ของวงรี ความยาวของแกนโทเท่ากับ 2b หน่วย
x
2
+
y
2
= 1 (2) จะเห็นว่า 2a > 2b ดังนั้นแกนเอกยาวกว่าแกนโท ดังรูป
2 2 2
a a - c
Y
ให้ 2
b = a
2
- c
2
(โดยที่ b > 0 )
เนื่องจาก จะได้ว่า และสมการสุดท้ายเป็น
.
2 2
b < a b < a
(0 , b )
2 2
y
x
2
+ 2
= 1 เมื่อ a > b
a b b
สมการนี้เป็นสมการของวงรี . . X
.
( a,0 ) ( c,0 ) O c ( c ,0 ) (a ,0 )
ในการเขียนกราฟของวงรีรูปนี้ จะต้องทราบระยะตัดแกน X และ
ระยะตัดแกน Y
2
(0 , b )
ให้ y 0 จะได้ x = 1
2
a
2 2
ถ้าสร้างระบบพิกัดฉากให้จุดโฟกัสของวงรีอยู่บนแกน Y ที่จุด
x = a
(0, ± c) ดังแสดงในรูป จะได้ วงรีในแนวตั้งและสมการของวงรีเป็น
x = ±a
2 2
y
x
2
+ 2
= 1 เมื่อ a > b
b a
ดังนั้นวงรีตัดแกน X ที่จุด ( - a, 0) และ (a , 0) จุดทั้งสองนี้
เรียกว่า จุดยอด (vertrices) ของวงรี (vertrices คือ รูปพหูพจน์ (0 , a )
ของ vertex) ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดเรียกว่า แกนเอก (major (0 , c ) .
axis) ของวงรี ความยาวของแกนเอกเท่ากับ หน่วย จุดกึ่งกลางของ
.
2a c
แกนเอกเรียกว่า จุดศูนย์กลาง (center) ของวงรี วงรีรูปนี้มีจุด ( b,0 ) O b ( b,0 ) X
ศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิด
(0 , c ) .
(0 , a )
11. ข้อสรุปเกี่ยวกับวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิดและแกนเอกอยู่บน ข้อสรุปเกี่ยวกับวงรีทมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิดและแกนเอกอยู่บน
ี่
แกนพิกัดแกน X สรุปได้ดังนี้ แกนพิกัดแกน Y สรุปได้ดังนี้
วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิดและแกนเอกอยู่บนแกนพิกัด วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิดและแกนเอกอยู่บนแกนพิกัด
2 2
สมการรูปแบบมาตรฐาน
2
x + y = 1, a > b > 0
สมการรูปแบบมาตรฐาน
2
x y
2
+ 2
= 1, a > b > 0 2 2
a b b a
จุดยอด (± a , 0 ) จุดยอด (0, ± a )
แกนเอก อยู่บนแกน X มีความยาว 2a หน่วย แกนเอก อยู่บนแกน Y มีความยาว 2a หน่วย
แกนโท อยู่บนแกน Y มีความยาว 2b หน่วย แกนโท อยู่บนแกน X มีความยาว 2b หน่วย
โฟกัส (± c, 0 ), c = a - b
2 2 2
โฟกัส 2
(0, ± c ), c = a - b
2 2
เลตัสเรกตัมยาว 2b
2
กราฟ
.
a
กราฟ a
(0, c) .
b . b
. O
. b
a
. . a (0, c) .
.
( c,0 ) O (c,0 )
b
. a
12. ตัวอย่างที่ 1 วงรีรูปหนึ่งมีสมการเป็น 25 x
2
+
2
4 y = 100 จงหาโฟกัส Y
จุดยอด ความยาวของแกนเอกและแกนโท พร้อมทั้งเขียนกราฟของวงรี
วิธีทา จัดสมการให้ขวามือของเครื่องหมายเท่ากับเป็น 1
2 2
25 x + 4 y = 100
นา 100 หารทั้งสองข้างของสมการ
X
2 2
25 x 4y
+ = 1
100 100
2 2
x y
+ = 1
4 25
2 2
x y
2
+ 2
= 1
2 5
เนื่องจากตัวหารของ y
2
มากกว่าตัวหารของ x
2
ดังนั้นวงรีมีแกน
ตัวอย่างที่ 2 จงหาสมการของวงรีซึ่งมีจุดโฟกัสอยู่ที่ (- 3, 0 ) และ
เอกอยู่บนแกน Y
(3, 0 ) จุดยอดจุดหนึ่งอยู่ที่ (5, 0 )
วิธีทา เนื่องจากโฟกัสอยู่ที่ (- 3, 0 ) และผ่านจุด (2, 1 )
จากสมการของวงรีรูปนี้ 2
a = 5
2
และ 2
b = 2
2
2 2
y
เพราะว่า 2
c = a
2
- b
2
จึงได้ 2
c = 25 - 4 = 21
ดังนั้นสมการวงรีอยู่ในรูป x
2
+ 2
= 1
a b
ดังนั้น a = 5, b = 2 และ c = 21 จุดยอดจุดหนึ่งอยู่ที่ (5, 0 ) ดังนั้น a = 5
โฟกัสของวงรีคือ (0, ± 21 ) เนื่องจาก c = 3, a = 5 และ 2
b = a - c
2 2
จุดยอดคือ (0, ± 5 ) 2
b = 25 - 9 = 16
2
ความยาวแกนเอกเท่ากับ 10 ดังนั้นสมการของวงรีคือ x
2
+
y
= 1
25 16
ความยาวแกนโทเท่ากับ 4
13. Y Y
X
ตัวอย่างที่ 3 จงหาโฟกัสและเขียนกราฟของวงรีที่มีสมการเป็น
2 2
โฟกัสของวงรีคือ ( ± 5, 0)
4x + 9y - 36 = 0
การเขียนกราฟต้องทราบจุดยอดของวงรี
วิธีทา จัดสมการให้ขวามือของเครื่องหมายเท่ากับเป็น 1
จุดยอดคือ ( ± 3, 0)
2 2
4x + 9 y = 36
ความยาวแกนเอกเท่ากับ 6
นา 36 หารทั้งสองข้างของสมการ ความยาวแกนโทเท่ากับ 4
2 2
x y
+ = 1
9 4
2 2
เนื่องจากตัวหารของ x มากกว่าตัวหารของ y ดังนั้นวงรีมีแกน
เอกอยู่บนแกน X
จากสมการของวงรีรูปนี้ 2
a = 3
2
และ 2
b = 2
2
เพราะว่า 2
c = a
2
- b
2
จึงได้ 2
c = 9- 4 = 5 ดังนั้น
a = 3, b = 2 และ c 2
= 5
14. วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด( h , k ) และแกนเอกอยู่บนแกนพิกัด วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด( h , k ) และแกนเอกอยู่บนแกนพิกัด
วงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h, k) และแกนเอกขนานกับแกน X วงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h, k) และแกนเอกขนานกับแกน X
สมการรูปแบบมาตรฐาน สมการรูปแบบมาตรฐาน
2 2 2 2
(x - h) (y - k) (x - h) (y - k)
+ = 1, a > b > 0 2
+ 2
= 1, a > b > 0
2 2
a b b a
จุดยอด (h ± a, k) จุดยอด (h, k ± a)
โฟกัส (h ± c, k) , c = a
2 2
- b
2
โฟกัส ( h, k ± c) , c = a
2 2
- b
2
ความยาวของไดเรกตริกซ์
2
ความยาวของไดเรกตริกซ์
2
2b 2b
a a
กราฟ กราฟ
V2 ( h , k a )
F2 ( h , k c )
B2 (h,k b)
B 1 ( h b, k )
O ( h , k )
B 2 ( h b, k )
F1 ( h c, k ) F2 ( h c, k )
V1 ( h a, k ) O(h,k) V2 ( h a, k )
F1 ( h , k c )
V1 ( h , k a )
B1 ( h , k b )
O
O
