Eletromagnetismo complexas

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ELETROMAGNETISMO

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Eletromagnetismo complexas

  1. 1. Eduard Montgomery Meira CostaEletromagnetismoTeoria, Exercícios Resolvidos e Experimentos Práticos
  2. 2. Aos meus filhos e minha esposa. Ao Deus Criador.Aos meus protetores espirituais.
  3. 3. DEDICATÓRIA Dedico a toda minha família, especialmente aos meus filhos eminha esposa. Ao amigo Professor Fernando Simões de Sant’Anna. A todos os amigos e ex-alunos que souberam buscar entenderos princípios do eletromagnetismo, e que um dia serão (ou que já são)engenheiros eletricistas. Aos que sabem respeitar e detêm as virtudes da simplicidade,humildade e sinceridade, e aliado a essas virtudes, buscam noconhecimento a chave para a liberdade.
  4. 4. PREFÁCIO Eletromagnetismo é uma das principais teorias necessáriasao entendimento da matéria e suas propriedades. Além do mais, éuma das principais bases para físicos e engenheiros eletricistas, deque estes últimos muito necessitam para entender os fenômenos queregem todas as teorias voltadas à área, como circuitos, transmissão erecepção de sinais e potência, correntes, resistências, capacitâncias,indutâncias, entre tantas outras. Baseado no conhecimento das quatro equações de Maxwell,o eletromagnetismo aparenta ser complicado, devido à necessidadedo prévio conhecimento da física, do cálculo diferencial e integrale da álgebra vetorial. Todos os conceitos do eletromagnetismosão amplamente utilizados em toda a área tecnológica, desde oscomponentes eletrônicos, como os resistores, capacitores, indutores,diodos, LEDs, transistores, etc., até suas grandes aplicações, comodínamos, geradores de corrente alternada, LASERs, MASERs,televisores, rádios, computadores, medidores, radares, entre tantosoutros. Assim, é de grande necessidade o amplo conhecimento destateoria para aplicar a novas pesquisas e tecnologias. Para tanto, este livroestá baseado em teorias diretas, além de vários exemplos resolvidos ediscutidos detalhadamente, no porquê da utilização específica de cadaequação e de cada teoria, além de mostrar quando se devem utilizaraproximações para as aplicações reais. Para completar o arcabouçoteórico, vários experimentos práticos para montagem, verificação ecomprovação da teoria estudada são apresentados. Com a realizaçãodestes experimentos, o estudante terá como comprovar a teoria, eadaptar-se a aplicá-la ao cotidiano da engenharia, encontrando soluçõespráticas para problemas reais, bem como adquirir maturidade paradesenvolver idéias inovadoras com os fenômenos eletromagnéticos. Este livro é ricamente ilustrado, trabalhando desde a base daLei de Coulomb e as cargas elétricas, passando pelos fundamentosdas quatro equações de Maxwell (o que inclui campo elétrico e campomagnético, e todas as suas características e aplicações), até apresentaros campos variantes no tempo e as ondas eletromagnéticas conhecidascomo ondas planas uniformes. Devido à sua estrutura de exemplos resolvidos passo a passoe aplicações experimentais, a teoria é apresentada de forma suficiente
  5. 5. VIII Eletromagnetismo – Teoria, Exercícios Resolvidos e Experimentos Práticos e direta. Para o estudante que deseja entender mais detalhes a respeito da formulação que baseia cada equação da teoria e mais experimentos a respeito desta, deve buscar as bibliografias contidas na Seção de Referências. Eduard Montgomery Meira Costa, D.Sc. Eng. Elétrica.
  6. 6. “A inveja determina inferioridade, pois quem me inveja, apenas me mostra claramente que sou superior.” Eduard M. M. Costa“A história tem demonstrado que os mais notáveis vencedores normalmente encontraram obstáculos dolorosos antes de triunfarem. Venceram porque se negaram a serem desencorajados por suas derrotas.” B. C. Forbes
  7. 7. SUMÁRIOCapítulo 1 - Cargas Elétricas, Lei de Coulomb e Campo Elétrico 11.1 Cargas Elétricas 11.2 Lei de Coulomb 111.3 Campo Elétrico 221.4 Experimentos Práticos 391.4.1 O Gerador de Van De Graaff 401.4.2 Outros Geradores Eletrostáticos mais Simples 421.4.3 Experimentos com Cargas Elétricas e Campos Elétricos 431.5 Exercícios 55Capítulo 2 - Lei de Gauss, Fluxo Elétrico e Densidade de Fluxo Elétrico 612.1 Fluxo Elétrico e Densidade de Fluxo Elétrico 612.2 Lei de Gauss 832.3 Divergente, Operador Nabla e Teorema da Divergência 1122.4 Experimentos com Cargas Elétricas e Campos Elétricos 1192.5 Exercícios 121Capítulo 3 - Potencial e Energia no Campo Elétrico 1253.1 Trabalho de uma Carga em Movimento 1253.2 Potencial Elétrico 1303.3 Gradiente do Potencial Elétrico 1343.4 Campos do Dipolo Elétrico 1443.5 Energia no Campo Eletrostático 1473.6 Experimentos com Campos Potenciais 1523.7 Exercícios 155Capítulo 4 - Materiais Elétricos e Propriedades 1594.1 Corrente, Densidade de Corrente e Continuidade da Corrente 1594.2 Condutores: Propriedades e Condições de Contorno 1684.3 Semicondutores 1734.4 Dielétricos: Propriedades e Condições de Contorno 1744.5 Capacitância 1834.6 Experimentos com Materiais Elétricos 1964.7 Exercícios 201Capítulo 5 - Equações de Poisson e Laplace 2095.1 A Equação de Poisson 2095.2 A Equação de Laplace 2135.3 Exercícios 220
  8. 8. XII Eletromagnetismo – Teoria, Exercícios Resolvidos e Experimentos PráticosCapítulo 6 - Campo Magnético 2256.1 A Lei de Biot-Savart 2256.2 A Lei Circuital de Ampère 2306.3 Rotacional e Teorema de Stokes 2416.4 Fluxo Magnético e Densidade de Fluxo Magnético 2456.5 Potencial Escalar e Potencial Vetor Magnéticos 2496.6 Experimentos com os Campos Magnéticos 1 2596.7 Exercícios 264Capítulo 7 - Força e Energia no Campo Magnético 2717.1 Forças nos Campos Magnéticos 2717.2 Torque nos Circuitos Fechados 2837.3 Energia nos Campos Magnéticos 2877.4 Indutâncias 2887.5 Experimentos com os Campos Magnéticos 2 2927.6 Exercícios 299Capítulo 8 - Materiais Magnéticos, Propriedades e Circuitos Magnéticos 3078.1 Materiais Magnéticos 3078.2 Circuitos Magnéticos 3188.3 Força e Energia Potencial em Circuitos Magnéticos 3308.3.1 Considerações sobre Indutâncias com Núcleos Ferromagnéticos 3378.4 Experimentos com os Materiais Magnéticos 3408.5 Exercícios 343Capítulo 9 - Equações de Maxwell e os Campos Variantes no Tempo 3539.1 A Lei de Faraday 3539.2 Corrente de Deslocamento 3649.3 Variações nos Campos Potenciais 3709.4 Experimentos com os Campos Variantes 3779.5 Exercícios 384Capítulo 10 - Ondas Eletromagnéticas 38910.1 Ondas Eletromagnéticas 38910.2 Vetor de Poynting 41310.3 Ondas Eletromagnéticas em Bons Condutores e Efeito Pelicular 418
  9. 9. Sumário XIII10.4 Reflexão e Transmissão de Ondas Eletromagnéticas e Coeficiente de Onda Estacionária 42910.5 Experimentos com Ondas Eletromagnéticas 44710.6 Exercícios 450Apêndice 4571. Álgebra Vetorial 4572. Transformações de Sistemas de Coordenadas 4623. Regras Básicas de Derivadas 4634. Tabela Básica de Derivadas 4655. Regras de Integrais 4656. Integrais Básicas 4667. Tabela de Permissividade 4678. Tabela de Condutividade 4689. Tabela de Permeabilidade 468Referências Bibliográficas 469
  10. 10. Capítulo 1 Cargas Elétricas, Lei de Coulomb e Campo Elétrico Neste capítulo são apresentados os conceitos de carga elétrica, Lei deCoulomb e campo elétrico de várias distribuições de cargas, além de exemplosde experimentos que podem ser desenvolvidos para conceber na prática osprincípios relativos às suas aplicações reais.1.1 Cargas Elétricas O conceito de carga elétrica é uma propriedade física fundamental quedetermina algumas das interações eletromagnéticas da matéria. Pode-seconceber a carga elétrica como uma quantidade de energia (ou capacidadede realizar trabalho) concentrada em um ponto do espaço (volumeinfinitesimal). As cargas elétricas são concebidas em dois tipos, que são as cargaselétricas positivas e as cargas elétricas negativas. Todas as cargas elétricas sãobaseadas na carga fundamental (ou carga elementar) que é o elétron. O elétrontem como carga o valor de e = - 1,6 x 10-19 C,em que a unidade C é o Coulomb, que provém do nome do pesquisador CharlesCoulomb, quem primeiro estudou os fenômenos destas e suas interaçõesfísicas, como campo elétrico e forças entre cargas. Todas as cargas elétricassão múltiplos desta carga elementar. O sinal negativo é definido por sua cargaser contrária à carga do próton. O elétron tem massa me = 9,11 x 10-31 kg. Quando várias cargas elétricas elementares atravessam uma seção retade um fio em um determinado tempo, define-se uma corrente elétrica I, quetem unidade de Ampère [A] que é igual à Coulomb/segundo [C/s]. Concebe-se a corrente elétrica por meio dos elétrons em movimento, desde que estessão os elementos que podem se mover de uma forma mais fácil nos átomos
  11. 11. 2 Eletromagnetismo – Teoria, Exercícios Resolvidos e Experimentos Práticos(elementos nas camadas eletrônicas), através da aplicação de alguma formade energia, como os campos elétricos, as forças de atrito, temperatura, etc.Assim, necessariamente, são os elétrons em movimento que geram raios ecorrentes elétricas, pois é impossível se fazer uma corrente de cargas positivas(pois seria a desestruturação de núcleos atômicos). As cargas elétricas exibem interações físicas com a matéria através doscampos gerados por elas quando estáticas (campos elétricos) e em movimentocontínuo (campos magnéticos), sendo estudadas como partículas, ou naforma de campos eletromagnéticos variantes quando em variação de suasquantidades, sendo estudadas como ondas. Daí, uma das formalizações quepermitem entender a dualidade onda-partícula. Quando várias cargas se encontram distribuídas em uma região,determinam-se densidades de cargas relativas a estas distribuições. Estasdensidades podem ser descritas como:• Densidade linear de carga: rL [C/m];• Densidade superficial de carga: rS [C/m2];• Densidade volumétrica de carga: r [C/m3],em que o valor total da carga é a soma de toda a carga distribuída,respectivamente: Se as cargas são distribuídas uniformemente na região (rL, rS ou rconstantes), tem-se Q = rLL, Q = rSS e Q = rv, respectivamente. Caso contrário,deve-se resolver as integrais. Exemplo 1.1: Considerando as distribuições de cargas dadas a seguir,em coordenadas cartesianas, calcular os valores das cargas totais na regiãodefinida:a) no eixo z, na região – 3 < z < 8,3 cm;b) paralelo ao eixo y, na região – 4,35 < y < 25,42 mm, pelo ponto x = 3 cm; passando p p pc) na região 5,35 < x < 7,42 m e – 4,2 < z < – 1,35 cm, sendo esta região um plano passando pelo ponto y = 51 mm;
  12. 12. Cargas Elétricas, Lei de Coulomb e Campo Elétrico 3d) na região 2,52 < y < 2,84 m e –1,2 < z < – 0,23 cm, sendo esta região um plano passando pelo ponto x = 6,5 cm; , ;e) na região –2,3 < x < 6,32 m, 4,43 < y < 15,33 mm e –1,32 < z < 18,2 cm;f) de um cubo centrado na origem de lados l = 25,4 cm. A solução deste problema se dá pelas equações citadas anteriormente,depois de sua identificação. Assim, tem-se: a) A distribuição de cargas é uniforme (r é constante). Logo, encontra-seque a carga total que está distribuída na linha é: Q = rL L = 3 x 10-9 x (8,3 x 10-2 – (–3 x 10-2)) = 33,9 x 10-11 C, desde que o comprimento da linha onde a carga está distribuída é ovalor maior subtraído do valor menor e o mesmo está dado em centímetros(a unidade C é do sistema MKS, logo, tem de ter os valores de comprimentodados em metros); b) No caso deste problema, a carga se encontra paralela ao eixo y, e variacom a posição x e com o próprio y. Neste caso, x é uma posição fixa, cujovalor é x = 3 x 10-2 m, e como a carga não varia com z, o valor onde a linha seencontra (z = 0) não interfere no cálculo da carga. Entretanto, em relação a y,o valor da carga varia ponto a ponto, necessitando integrar rL. Assim, tem-se:pois os valores de y estão dados em milímetros. c) Identificando o problema, verifica-se que a carga está distribuída emuma superfície no plano xz, sendo o valor de z dado em cm, o que equivale a10-2 metros. Como a carga está distribuída uniformemente (constante em todaa região), tem-se o valor total da carga dada como: Q = rSS = 4,2 x 10-7 x (7,42 – 5,35) x (–1,35 x 10-2 – (–4,2 x 10-2)) =2,478 x 10-8 C
  13. 13. 4 Eletromagnetismo – Teoria, Exercícios Resolvidos e Experimentos Práticos Observe que o valor da área do retângulo é a multiplicação do comprimentototal de um lado (diferença entre o valor final de x e seu valor inicial) com ocomprimento total do outro lado (diferença entre o valor final de z e seu valorinicial); d) Aqui é necessário integrar na superfície yz com os limites definidose transformados para metros (caso específico da variável z que está emcentímetros). Como a função depende de x e a superfície a ser integrada éyz, então o valor de x é constante e pode ser substituído com o valor dado:x = 6,5 x 10-2 m. Assim, tem-se: Esta integral em z pode ser solucionada utilizando o artifício de somar1 – 1 no numerador para dividir a equação na forma: . Entretanto, a última parte da equação pode ser dividida novamente emtermos de frações parciais como: ,donde se encontram, solucionando esta equação, os valores A = -1/2 e B = 1/2,ficando a integral fácil de resolver, pois:
  14. 14. Cargas Elétricas, Lei de Coulomb e Campo Elétrico 5 Daí, tem-se e) Para encontrar a carga aqui, vê-se que a distribuição é volumétrica euniforme em toda a região definida, que é um paralelepípedo de lados lx =6,32 – (–2,3) = 8,62 m, ly =15,33 x 10-3 – 4,43 x 10-3 = 10,9 x 10-3 m e lz =18,2x 10-2 – (–1,32 x 10-2) = 19,52 x 10-2 m. Calculando o valor da carga, tem-sediretamente: Q = rv = 2,3 x 10-5 x 8,62 x 10,9 x 10-3 x 19,52 x 10-2 = 4,21834 x 10-7 C. f) Neste problema, vê-se que a carga está distribuída em um volume, eessa distribuição depende de todas as coordenadas. Além do mais, como amesma está centralizada na origem e são dados os comprimentos totais doslados, deve-se integrar no volume considerando a metade de cada comprimentoiniciando no valor negativo do eixo até o mesmo valor positivo, convertidopara metros. Ou seja, deve-se considerar a região como sendo: –12,52 x 10-2 <x < 12,52 x 10-2, –12,52 x 10-2 < y < 12,52 x 10-2, –12,52 x 10-2 < z < 12,52 x10-2. Dessa forma, tem-se: . Observando esta integral, o valor das duas parcelas da distribuiçãovolumétrica da carga depende unicamente de uma potência ímpar de y, o quezerará esta parte quando integrar, pois a distribuição na parte negativa (valorinicial do eixo y) é igual à da parte positiva (valor final do eixo y). Ou seja,fazendo: ,
  15. 15. 6 Eletromagnetismo – Teoria, Exercícios Resolvidos e Experimentos Práticosquando se resolve a integral de y, tem-se: ,o que reduz o trabalho de integração, pois se encontra facilmente: Em outros termos, a carga total contida no volume na parte negativa doeixo y é igual em módulo e contrária em sinal à carga contida no volume naparte positiva deste eixo, o que faz o conjunto destas duas partes ter cargalíquida igual a zero. O mesmo resultado é encontrado resolvendo primeiro emqualquer outra coordenada, entretanto ter-se-á mais trabalho na integração. Exemplo 1.2: Considerando as distribuições de cargas dadas a seguir,em coordenadas cilíndricas, calcular os valores das cargas totais na regiãodefinida:a) distribuída em um anel de raio r = 5 cm;b) distribuída num arco 35º < f < 125º, fixa em z = 5 cm e com r = 2 dm;c) na superfície r = 74,3 cm, 45,2º < f < 105,35º e –10,5 < z < 15,2 cm;d) na superfície 1,35 < r < 4,33 m, 33,2º < f < 63,35º e z = 1,3 cm;e) na região 3,2 < r < 5,3 m, 23,12º < f < 231,34º e – 4,37 < z < 8,12 cm;f) de um cilindro centrado na origem de raio r = 88 cm e altura h = 12,6 cm. A solução deste problema exige a utilização dos mesmos conceitos decálculo de cargas e a utilização das coordenadas cilíndricas. Assim, tem-se:

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