Universidad OLmeca

1. Ecuaciones Diferenciales
Parciales
Equipo 3

2. HISTORIA
El estudio de las Ecuaciones Diferenciales es tan viejo
como el del Cálculo mismo.
En 1671 Newton (1643-1729) trabajó sobre la teoría de
“Fluxiones”. Su investigación se relacionó con
“Ecuaciones Fluxionales” que ahora llamaríamos
ecuaciones diferenciales. Él dividió a las ecuaciones
diferenciales en tres categorías.
• En la primera, estas tendrían a forma dy/dx = f(x) o
dy/dx = f(y).
• En la segunda, tendrían la forma dy/dx = f(x, y).
• Y en la tercera categoría están las ecuaciones
diferenciales parciales.

3. Definición
Una ecuación diferencial parcial para una función
con derivadas parciales
es una relación de la forma
donde es una función de las variables , en
donde solamente ocurrirán un número finito de derivadas.

4. Es decir…
Son aquellas ecuaciones que contienen
derivadas parciales dependientes de dos o
más variables independientes.

5. Como se Clasifican
Así como las ecuaciones diferenciales
ordinarias, las ecuaciones diferenciales
parciales se clasifican en función a:
 Orden
 Grado
 Linealidad

6. ORDEN
Se llama orden de una ecuación diferencial al orden
de la derivada superior que interviene
en la ecuación.
Es decir, la derivada de mayor orden que aparece en
la ecuación.

7. GRADO
Si F es un polinomio, se define grado de
la ecuación diferencial como el grado de
y(x) y sus derivadas.

8. LINEALIDAD
una ecuación se dice lineal si
donde los ai no todos son cero.
En el caso de la ecuación diferencial la linealidad es
caracterizada por la forma
Donde an(x) es una función de x no cero.

9. Se observan dos características en dicha
forma: la variable dependiente, en este
caso la variable y, junto todas sus
derivadas son de primer grado, es decir, la
potencia en y es 1; por otro lado, cada
coeficiente depende solo de la variable
dependiente de x.

10. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
• Se dice que una forma diferencial P(x, y) dx +Q(x, y) dy es
exacta en un dominio D, si existe una función U(x, y) cuya
diferencial es dicha forma en D, es decir:
∂U ∂U
dU = dx + dy = P( x, y ) dx + Q( x, y ) d
∂x ∂y
• Si P(x, y) dx + Q(x,y) dy es exacta, entonces la ecuación
diferencial P dx + Q dy = 0 se denomina ecuación diferencial
exacta, o ecuación en diferenciales totales.

11. Clasificación de las EDP de segundo
orden
Las EDP de segundo orden se clasifican
habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que son
de interés fundamental, a continuación se dan
ejemplos de estos cuatro tipos:

12. Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de
segundo orden del tipo:

13. Elípticas
• Elípticas: Las que no tienen derivada con respecto al
tiempo son elípticas.
Ejemplo. Laplace Elíptica
Esta es una ecuación bidimensional, de segundo
orden, lineal, homogénea y de coeficientes
constantes.

14. • Parabólicas: las que tiene primera derivada
con respecto al tiempo son parabólicas.
Ejemplo: Difusión Parabólicas.
Es la ecuación unidimensional de difusión del
calor, de segundo orden, lineal, homogénea y
de coeficientes constantes.

15. • Hiperbólicas: Las ecuaciones con segunda derivada
con respecto al tiempo son usualmente hiperbólicas.
Ejemplo: Onda Hiperbólica.
Es la ecuación de onda unidimensional, que describe
fenómenos de tipo oscilatorios y es de segundo
orden, lineal, homogénea y de coeficientes
constantes.

16. EDP de orden superior
Si bien las EDP de segundo orden se aplican a una inmensa
cantidad de fenómenos físicos; otra cantidad menor de
procesos físicos hallan solución en EDP de órdenes
superiores, como ejemplos podemos citar:
Flexión mecánica de una placa elástica:
Vibración flexional de una viga:

17. SOLUCION DE ECUACIONES
EN DERIVADAS PARCIALES LINEALES
• La solución de ecuaciones diferenciales en
derivadas parciales lineales, resulta mas
complejo que la solucion de ecuaciones
diferenciales ordinarias debido a que no
existen metodos generales de resolucion
efectivos sino para un diverso grupo de
ecuaciones.

18. Existen 3 tipos de soluciones para las Ecuaciones
Diferenciales Parciales.
o Solución general
o Solución completa
o Métodos de Laplace

19. Solución general
Toda ecuación en derivadas parciales de
primer orden posee una solución
dependiente de una función arbitraria, que se
denomina usualmente solución general de la
EDP. En muchas aplicaciones físicas esta
solución general es menos importante que las
llamadas soluciones completas.

20. solución completa:
Una solución completa es una solución
particular de la EDP que contiene tantas
constantes arbitrarias independientes como
variables independientes intervienen en la
ecuación. Por ejemplo la integración de las
ecuaciones del movimiento de un sistema
mecánico mediante el método basado en el
ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una
integral completa, mientras que la solución
general resulta menos interesante desde el
punto de vista físico.

21. Métodos de Laplace:
La transformada de Laplace se puede utilizar para la
solución de ecuaciones diferenciales parciales de forma
similar que la solución de ecuaciones diferenciales
ordinarias. Regularmente este método se emplea para
solucionar ecuaciones con condiciones iníciales, es
decir cuando las ecuaciones tienen derivadas con
respecto al tiempo.
El método consiste en aplicar la transformada de
Laplace a la ecuación diferencial parcial y a las
condiciones de borde, resolver la ecuación resultante y
obtener la transformada inversa

22. APLICACIONES
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en
todos las ramas de la ingeniería para el
modelamiento de fenómenos físicos.
Ecuación de la conducción del calor. La constante
C , llamada difusivilidad, es igual a 1 donde la
conductividad térmica K, el calor específico, la
densidad (masa por unidad de volumen) se toman
como constantes.

23. Esta ecuación es aplicable a las pequeñas
vibraciones transversales de una cuerda flexible y
tensa como la cuerda de un violín, que
inicialmente se ha colocado sobre el eje y se ha
hecho vibrar. La función es la elongación de un
punto cualquiera de la cuerda en el instante . La
constante , donde c la tensión (Cte.) de la cuerda.

24. Ejemplo:
Encontrar la superficie solución de la E.D.P
que tenga la propiedad de contener la
curva intersección de la superficie z = y2 con
el plano x = 0.