1.
Projet sur :
PROCESSUS DE WIENER (ou
le Mouvement Brownien)
Réalisée par:
Gmar Safa

2.
Sommaire:
1.Définition et intérêt
2.Problématique
3.Le principe de processus
4.Autre approche de ce processus
5.application

3.
Définition et intérêt
 Définition: un processus de Wiener, Aussi connu sous mouvement brownien,
est un processus stochastique gaussienne en temps continu avec des
incréments indépendants, utilisé pour modéliser le mouvement brownien
mêmes et différents phénomènes aléatoires observées dans le domaine des
mathématiques appliquées, financement et la physique.
 intérêt: il joue un rôle important en mathématiques pures, où il a donné vie à
l'étude de martingale À temps continu, ce qui est essentiel pour la description et
la modélisation des processus stochastiques plus complexes

4.
En 1827 ,Robert Brown à étudié le mouvement du fluide situé
à l’intérieur des grains de pollen. Il remarqua alors que ce
liquide suivaient un ”mouvement de grouillement continue”
apparemment chaotique.
Problématique
La difficulté de modélisation du mouvement brownien réside
dans le fait que ce mouvement est aléatoire et que statistiquement, le
déplacement est nul : il n’y a pas de mouvement d’ensemble.

5.
REPRESENTATION DE PROCESSUS

6.
Le principe de processus
Définition de processus stochastique: Un processus stochastique est une collection de
variables aléatoires indicées {X(t)}, où t ET Ç IR.
 Un processus stochastique {W(t) : t ~ O} est appelé mouvement brownien standard, ou
processus de wïener de volatilité σ s'il satisfait aux conditions suivantes :
o W0 = 0
o Wt suit une loi normale de moyenne 0 et de variance σ 2 t (N (0, σ√ t))
o {Wt} est un processus `a accroissement stationnaire, c`ad que, pour
s < t, l’accroissement Wt − Ws ne dépend que de la valeur de t − s. Ainsi
Wt − Ws (qui a la même distribution que Wt−s − W0 = Wt−s ) suit une normale de moyenne 0 et
de variance σ 2 (t − s) : N (0, σ√ t − s)
o4 {Wt} est un processus `a accroissement indépendants, c’est `a dire que pour toute séquence
de temps t1 ≤ t2 ≤ ... ≤ tn, les accroissements ”non imbriqués”: Wt2 − Wt1 , Wt3 − Wt2 , ..., Wtn
− Wtn−1 sont des variables aléatoires indépendantes.

7.
Il est intéressant de noter
qu'une combinaison linéaire de
mouvements browniens
standards indépendants avec
coefficients non tous nuls est, à
une constante pré , un
mouvement brownien

8.
Autre approche de ce processus
Il est aussi possible de définir la notion de mouvement Brownien avec
dérive. Il s’agit d’un processus stochastique de la forme {µt + Wt | t ≥ 0}
o`u µ est une constante et {Wt} un mouvement brownien :
1 W0 = 0
2 Wt suit une loi normale de moyenne µt et de variance σ 2 t (N (µt, σ√ t)
3 {Wt} est un processus à accroissement stationnaire. Ainsi Wt − Ws suit
une normale de moyenne µ(t − s) et de variance σ 2 (t − s) : N (µ(t − s),
σ√ t − s)
4 {Wt} est un processus à accroissement indépendants

9.
application
01 02
03
 Soit Z une variable aléatoire de loi N(0,1).Est-ce que le processus (√tZ)t≥0 est un
mouvement Brownien?
 correction:
Notons Xt =√tZ. On a bien que Xt est de loi N(0,1) pour tout réel positif t. Par contre, le
processus (Xt) n’est pas un mouvement
Brownien car les accroissements ne sont pas stationnaires. En effet:
X2 - X1 =(√2-1)Z ͠ N(0,(√2-1 )2) ≠ N(0,2-1)
On peut aussi dire que les accroissements ne sont pas indépendants.
Par exemple X2 - X1 =(√2-1)Z n’est pas Indépendante de X1 = Z ( elles sont même
totalement corrélées car colinéaires).
On a donc un contre-exemple ou un processus qui a les mêmes lois marginales que le
mouvement Brownien mais qui n'est pas un Mouvement Brownien

10.
Merci