Перемещения при изгибе

1. Перемещения при изгибе
Под расчетом на жесткость понимают оценку упругой податливости балки
под действием приложенных нагрузок и подбор таких размеров
поперечного сечения, при которых перемещения не будут превышать
установленных нормами пределов.
l
f макс ≤ [ f ] = Условие жесткости при изгибе
400...800
Перемещение центра тяжести сечения по направлению перпендикулярному к
оси балки, называется прогибом. Прогиб обозначается буквой w
Наибольший прогиб в пролете или на консоли балки, называется стрелой
прогиба и обозначается буквой f.
Угол, θ , на который каждое сечение поворачивается по отношению к
своему первоначальному положению и есть угол поворота.
Угол поворота считается положительным, при повороте сечения против
хода часовой стрелки
Угол поворота сечения равен значению производной от прогиба по
координате Z в этом же сечении, то есть:
dϖ
=θ
dz

2. Уравнение упругой линии балки
dϖ2 M ( z)
2
=
d z EI x
Существуют три метода решения дифференциального уравнения упругой
линии балки. Это метод непосредственного интегрирования, метод Клебша и
метод начальных параметров.
Метод непосредственного интегрирования
Проинтегрировав уравнение упругой линии балки первый раз, получают
выражение для определения углов поворота:
dϖ dM ( z )
EI x = EI xθ ( z ) = +C
dz dz
Интегрируя второй раз, находят выражения для определения прогибов:
dM ( z ) 2
EI xϖ( z ) = 2
+ Cz + D
d z
Значения постоянных интегрирования С и D определяют из начальных
условий на опорах балки

3. Уравнение упругой линии балки
Метод Клебша
Для составления уравнений необходимо выполнить следующие основные
условия:
•начало координат, для всех участков, необходимо расположить в крайнем
левом конце балки;
•интегрирование дифференциального уравнения упругой линии балки
проводить, не раскрывая скобок;
•при включении в уравнение внешнего сосредоточенного момента М его
необходимо помножить на (Z-a)0 где а - координата сечения, в котором
приложен момент;
•в случае обрыва распределенной нагрузки ее продлевают до конца балки, а
для восстановления действительных условий нагружения вводят
«компенсирующую» нагрузку обратного направления

4. Уравнение упругой линии балки
Метод начальных параметров
Для углов поворота:
Ri ( z − d i )
2
M pi ( z − d i ) 1  M i ( z − ai ) Fi ( z − bi )
2
qi ( z − ci ) 
3
θ = θ0 + ∑ +∑ + ∑ +∑ +∑ 
2 EI x EI x EI x  1 2 6 
Для прогибов:
Ri ( z − d i ) M pi ( z − d i ) 1  M i ( z − ai ) Fi ( z − bi ) qi ( z − ci ) 
3 2 2 3 4
w = w0 + θ 0 z + ∑ +∑ + ∑ +∑ +∑ 
6 EI x 2 EI x EI x  2 6 24 
Где θ—угол поворота сечения, w—прогиб, θ0 - угол поворота в начале
координат, w0—прогиб в начале координат, di—расстояние от начало
координат до i-той опоры балки, ai—расстояние от начало координат до
точки приложения сосредоточенного момента Mi , bi—расстояние от начало
координат до точки приложения сосредоточенной силы Fi , сi—расстояние от
начало координат до начала участка распределенной нагрузки qi , Ri и Мрi—
реакция и реактивный момент в опорах балки.

5. Определение прогибов для простых случаев
l/2 l/2 l
R F R
B
A
F
Fl 3
fl / 2 =− Fl 3
48EI fl = −
3EI
q
R l
R В
A
l
ql 4
5ql 4 fl = −
fl / 2 =− 8 EI
384 EI