3 Transformasi Fourier Waktu Kontinu.pdf

f(t) f[n]
F(w) F(W)
F(s) F(z)
Control Systems Engineering, Electrical Engineering Department, FTEIC-ITS
Matlab Computation Simulink Simulation
TRANSFORMASI FOURIER WAKTU KONTINU
Analisis, Komputasi, dan Simulasi
4. Sifat Trans. Fourier
5. Respons Frekuensi
1. Deret Fourier
2. Sifat Deret Fourier
3. Transformasi Fourier
6. Aplikasi Trans. Fourier
7. Relasi Transformasi
dengan Deret Fourier

Pengantar
SINYAL DAN SISTEM: Analisis, Komputasi, dan Simulasi
Transformasi Fourier
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

Deret Fourier Waktu Kontinu
1. Deret Fourier
Waktu Kontinu
Pasangan persamaan Deret Fourier dari sinyal periodik
𝑥(𝑡) = ෍
𝑛=−∞
∞
𝑐𝑛𝑒𝑗𝑛𝜔𝑡
di mana Koefisien Deret Fourier diberikan oleh persamaan
𝑐𝑛 =
1
𝑇
න
𝑇
𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡

1. Deret Fourier
Waktu Kontinu

Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

Waktu Kontinu
Koefisien 𝑐𝑛 mendefinisikan fungsi bernilai kompleks pada frekuensi
diskret 𝑛𝜔0.
Grafik 𝑐𝑛 lawan 𝑛𝜔0 disebut Spektrum Magnitudo.
Grafik ∠𝑐𝑛 lawan 𝑛𝜔0 disebut sebagai Spektrum Fase.
Kedua spektrum di atas terdiri dari garis-garis yang menunjukkan
magnitudo dan fase pada frekuensi 𝜔 = 𝑛𝜔0, sehingga spektrum
tersebut disebut sebagai Spektrum Garis.
𝑐𝑛 = 𝑐−𝑛 dan ∠𝑐−𝑛 = −∠𝑐𝑛
Ini menunjukkan bahwa spektrum magnitudo merupakan fungsi simetri
genap, sedangkan spektrum fase merupakan fungsi simetri ganjil.
grafik sudut cn,

1. Deret Fourier

Deret Fourier Trigonometri
Waktu Kontinu
Sinyal periodik 𝑥(𝑡) dapat pula dinyatakan sebagai berikut
𝑥(𝑡) = 𝑎0 + ෍ 𝑎𝑛 c𝑜𝑠
2𝜋𝑛𝑡
𝑇
+ 𝑏𝑛 𝑠𝑖𝑛
2𝜋𝑛𝑡
𝑇
di mana Koefisien Deret Fourier diberikan oleh persamaan
𝑎0 = 𝑐0 =
1
𝑇
න
𝑇
𝑥(𝑡)𝑑𝑡
𝑎𝑛 = 2 𝑅𝑒 𝑐𝑛 =
2
𝑇
න
𝑇
𝑥(𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑛𝑡 𝑑𝑡
𝑏𝑛 = −2 𝐼𝑚 𝑐𝑛 =
2
𝑇
න
𝑇
𝑥(𝑡) 𝑠𝑖𝑛 𝜔 𝑛𝑡 𝑑𝑡
1. Deret Fourier

Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

Waktu Kontinu
Jika sinyal periodik 𝑥(𝑡) memiliki sifat simetri, maka akibat dari sifat
simetri ini pada nilai koefisien deret Fourier dapat dilihat pada Tabel 3-1.
1. Deret Fourier

1. Sifat Pendekatan Kuadrat Terkecil
Misalkan sinyal 𝑥(𝑡) dapat didekati dengan deret eksponensial dalam
bentuk 𝑥𝑁(𝑡), sehingga eror 𝜀(𝑡) = 𝑥(𝑡) − 𝑥𝑁(𝑡) memiliki nilai kuadrat
rata-rata terkecil.
𝜀 𝑡 = 𝑥 𝑡 − 𝑥𝑁 𝑡 = ෍
−∞
∞
𝑐𝑛𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡 − ෍
𝑛=−𝑁
𝑁
𝑑𝑛𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡
𝑀𝑆𝐸 =
1
𝑇
න
<𝑇>
𝜀(𝑡) 2𝑑𝑡
Eror minimumnya diberikan oleh
𝑀𝑆𝐸 ෍
𝑛 >𝑁
𝑐𝑛
2
𝑚𝑖𝑛
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

2. Linearitas
Waktu Kontinu
Misal 𝑥(𝑡) dan 𝑦(𝑡) merupakan sinyal periodik dengan periode sama dan
deret Fouriernya masing-masing diberikan oleh
𝑥(𝑡) = ෍
𝑛=−∞
∞
𝛽𝑛 𝑒𝑥𝑝( 𝑗𝑛𝜔0𝑡) dan 𝑦(𝑡) = ෍
𝑛=−∞
∞
𝜒𝑛 𝑒𝑥𝑝( 𝑗𝑛𝜔0𝑡)
Jika kita mempunyai sinyal jumlahan
𝑧(𝑡) = 𝑘1𝑥(𝑡) + 𝑘2𝑦(𝑡),
di mana k1 dan k2 konstanta sembarang, maka
𝑧(𝑡) = ෍
𝑛=−∞
∞
(𝒌𝟏𝜷𝒏 + 𝒌𝟐𝝌𝒏) 𝑒𝑥𝑝( 𝑗𝑛𝜔0𝑡)
1. Deret Fourier

3. Perkalian dua sinyal
Waktu Kontinu
Perkalian dua sinyal periodik dengan periode yang sama
𝑧(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)
𝑧(𝑡) = ෍
𝑛=−∞
∞
𝛽𝑛 𝑒𝑥𝑝( 𝑗𝑛𝜔0𝑡) ෍
𝑚=−∞
∞
𝜒𝑚 𝑒𝑥𝑝( 𝑗𝑚𝜔0𝑡)
= ෍
𝑛=−∞
∞
෍
𝑚=−∞
∞
𝛽𝑛𝜒𝑚 𝑒𝑥𝑝( 𝑗(𝑛 + 𝑚)𝜔0𝑡)
= ෍
𝑘=−∞
∞
෍
𝒎=−∞
∞
𝜷𝒌−𝒎𝝌𝒎 𝑒𝑥𝑝( 𝑗𝑘𝜔0𝑡)
1. Deret Fourier

4. Konvolusi dua sinyal
Waktu Kontinu
• Untuk sinyal periodik dengan periode sama, didefinisikan Konvolusi
Periodik sebagai berikut
𝑧(𝑡) =
1
𝑇
න
<𝑇>
𝑥(𝜏)𝑦(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
𝛼𝑛 =
1
𝑇
න
0
𝑇
න
0
𝑇
𝑥(𝜏)𝑦(𝑡 − 𝜏)𝑒−𝑗𝑛𝜔0𝑡
𝑑𝑡𝑑𝜏
𝛼𝑛 =
1
𝑇
න
0
𝑇
𝑥(𝜏)𝑒−𝑗𝑛𝜔0𝜏
1
𝑇
න
0
𝑇
𝑦(𝑡 − 𝜏)𝑒−𝑗𝑛𝜔0(𝑡−𝜏) 𝑑𝑡 𝑑𝜏
𝛼𝑛 =
1
𝑇
න
0
𝑇
𝑥(𝜏)𝑒−𝑗𝑛𝜔0𝜏
1
𝑇
න
−𝜏
𝑇−𝜏
𝑦(𝜎)𝑒−𝑗𝑛𝜔0𝜎 𝑑𝜎 𝑑𝜏
𝛼𝑛 = 𝛽𝑛𝛾𝑛
1. Deret Fourier

5. Teorema Parseval
Waktu Kontinu
Teorema Parseval menunjukkan relasi antara daya rata-rata suatu
sinyal periodik dan daya dari harmonisanya yang diberikan oleh
persamaan berikut
1
𝑇
න
<𝑇>
|𝑥(𝑡)|2
𝑑𝑡 = ෍
𝑚=−∞
∞
|𝛽𝑚|2
Persamaan ini menunjukkan bahwa daya rata-rata total dari 𝑥(𝑡)
merupakan penjumlahan dari daya rata-rata komponen harmonisanya.
1. Deret Fourier

6. Pergeseran waktu
Waktu Kontinu
Jika 𝑥(𝑡) mempunyai koefisien deret Fourier 𝑐𝑛, maka sinyal 𝑥(𝑡 − 𝜏)
mempunyai koefisien
𝑑𝑛 =
1
𝑇
න
<𝑇>
𝑥(𝑡 − 𝜏)𝑒−𝑗𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡
= 𝑒−𝑗𝑛𝜔0𝜏
1
𝑇
න
<𝑇>
𝑥(𝜎)𝑒−𝑗𝑛𝜔0𝜎𝑑𝜎
𝑑𝑛 = 𝑐𝑛 𝑒𝑥𝑝( − 𝑗𝑛𝜔0𝜏)
1. Deret Fourier

7. Integrasi sinyal periodik
Waktu Kontinu
Deret Fourier dari sinyal 𝑥 𝑡
𝑥(𝑡) = ෍
𝑚=−∞
∞
𝑐𝑛𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡
Integrasi kedua sisi persamaan ini menghasilkan
න
−∞
𝑡
𝑥(𝜏)𝑑𝜏 = ෍
𝑛=−∞
∞
𝑐𝑛
𝑗𝑛𝜔0
𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡, 𝑛 ≠ 0
1. Deret Fourier

Contoh Sifat Deret Fourier
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

Transformasi Fourier Waktu Kontinu
Pasangan Transformasi Fourier untuk sinyal aperiodik.
𝑥(𝑡) =
1
2𝜋
න
−∞
∞
𝑋( 𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡
𝑑𝜔
𝑋(𝜔) = න
−∞
∞
𝑥( 𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡
𝑑𝑡
X(ω) dinamakan transformasi Fourier dari x(t) dan memainkan
peran yang penting sebagaimana peran cn untuk sinyal
periodik.
X(ω) adalah spektrum dari x(t) dan merupakan fungsi kontinu.
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

Waktu Kontinu
Umumnya X(ω) adalah fungsi kompleks, sehingga dapat ditulis
𝑋(𝜔) = 𝑋(𝜔) 𝑒𝑗𝜑(𝜔)
𝑋(𝜔) merupakan spektrum magnitudo dan 𝑋(𝜔) 2 merupakan
spektrum energi.
Korespondensi satu-satu antara x(t) dengan 𝑋(𝜔) dinotasikan
dengan
𝑥(𝑡) ↔ 𝑋(𝜔)
ℱ 𝑥 𝑡 = 𝑋(𝜔) = න
−∞
∞
𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
1. Deret Fourier

Waktu Kontinu
Spektrum magnitudo merupakan fungsi Simetri Genap,
|𝑋(w)| = |𝑋(−w)|
sedangkan spektrum fase merupakan fungsi Simetri Ganjil.
(w) = −(−w)
1. Deret Fourier

Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

1. Linearitas
Jika 𝑥1(𝑡) ↔ 𝑋1(𝜔) dan 𝑥2(𝑡) ↔ 𝑋2(𝜔)
maka
𝑎𝑥1(𝑡) + 𝑏𝑥2(𝑡) ↔ 𝑎𝑋1(𝜔) + 𝑏𝑋2(𝜔)
di mana a dan b adalah konstanta sembarang.
1. Deret Fourier
Waktu Kontinu

2. Pergeseran waktu & pergeseran frekuensi
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

3. Penyekalaan waktu
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier
Jika 𝑥(𝑡)  𝑋(w)
maka 𝑥(𝛼𝑡) ↔
1
𝛼
𝑋
𝜔
𝛼
;  adalah konstanta real.

4. Derivatif
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
 𝑗w 𝑋 w atau
𝑑𝑛𝑥(𝑡)
𝑑𝑡𝑛
 𝑗w
𝑛
𝑋 w
Sebaliknya
න
−∞
𝑡
𝑥(𝜏)𝑑𝜏 ↔ 𝜋 𝑋(0)𝛿(𝜔) +
1
𝑗𝜔
𝑋(𝜔)
Derivatif terhadap waktu bersesuaian dengan perkalian dengan jw dalam
domain frekuensi, integrasi terhadap waktu yang bersesuaian dengan
pembagian dengan jw tidak selalu berlaku. Kondisi ini hanya benar untuk
kelompok sinyal tertentu.
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

5. Teorema Parseval
Relasi Parseval untuk sinyal nonperiodik menyatakan bahwa
𝐸 = න
−∞
∞
𝑥(𝑡) 2
𝑑𝑡 =
1
2𝜋
න
−∞
∞
𝑋(𝜔) 2
𝑑𝜔
sedangkan
𝑃 =
1
2𝜋
න
−∞
∞
𝑆(𝜔)𝑑𝜔
Di mana
𝑆(𝜔) = 𝐿𝑖𝑚
𝜏→∞
|𝑋𝜏(𝜔)|2
2𝜏
𝑆(w) dikenal sebagai Spektrum Kerapatan Daya atau Spektrum Daya
dari 𝑥(𝑡) yang menyatakan distribusi daya dari sinyal.
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

5. Teorema Parseval
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

6. Konvolusi dan modulasi
𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡)  𝑋(w)𝐻(w)
|𝑌(w)| = |𝑋(w)| |𝐻(w)|
𝑌(w) = 𝑋(w) + 𝐻(w)
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

Waktu Kontinu
1. Deret Fourier
Jika 𝑥(𝑡) ↔ 𝑋(𝜔) dan 𝑚(𝑡) ↔ 𝑀(𝜔)
maka
𝑥(𝑡)𝑚(𝑡) ↔
1
2𝜋
𝑋(𝜔) ∗ 𝑀(𝜔)
Konvolusi sinyal dalam domain frekuensi dilakukan dengan
cara yang sama dengan konvolusi domain waktu, yaitu
𝑋 𝜔 ∗ 𝐻 𝜔 = න
−∞
∞
𝑋 𝜏 𝐻 𝜔 − 𝜏 𝑑𝜏
= න
−∞
∞
𝐻 𝜏 𝑋 𝜔 − 𝜏 𝑑𝜏

7. Dualitas
Jika
𝑥(𝑡) ↔ 𝑋(𝜔)
maka
𝑋(𝑡) ↔ 2𝜋𝑥(−𝜔)
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

7. Dualitas
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

Respons Frekuensi
Jika diberikan input periodik 𝑥(𝑡) = 𝑒𝑗𝜔𝑡 , maka output sistem
tersebut menjadi :
𝑦(𝑡) = න
−∞
∞
ℎ(𝜏)𝑒𝑗𝜔(𝑡−𝜏)𝑑𝜏
atau
𝑦(𝑡) = 𝑒𝑗𝜔𝑡 න
−∞
∞
ℎ(𝜏)𝑒−𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏
𝑦(𝑡) = 𝑒𝑗𝜔𝑡𝐻(𝜔)
Di mana
𝐻(𝜔) = න
−∞
∞
ℎ(𝜏)𝑒−𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

Respons Frekuensi
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier
𝐻(𝜔) disebut Respons Frekuensi atau Fungsi Transfer Sinusoidal dari
sistem. Perhatikan bahwa respons frekuensi tidak lain merupakan
transformasi Fourier dari respons impuls.
Jika 𝑋(𝜔), 𝑌(𝜔) dan 𝐻(𝜔) masing-masing merupakan transformasi
Fourier dari 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) dan ℎ(𝑡), maka dengan menggunakan sifat
konvolusi
𝑦(𝑡) = න
−∞
∞
ℎ(𝜏)𝑥(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 ↔ 𝑌(𝜔) = 𝐻(𝜔)𝑋(𝜔)
atau
𝐻(𝜔) =
𝑌(𝜔)
𝑋(𝜔)

Respons Frekuensi
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier
Gunakan transformasi Fourier pada kedua sisi representasi PD Sistem
ℱ ෍
𝑘=0
𝑁
𝑎𝑘
𝑑𝑘𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑘
= ℱ ෍
𝑘=0
𝑀
𝑏𝑘
𝑑𝑘𝑥(𝑡)
𝑑𝑡𝑘
atau
𝑌(𝜔) ෍
𝑘=0
𝑁
𝑎𝑘(𝑗𝜔)𝑘 = 𝑋(𝜔) ෍
𝑘=0
𝑀
𝑏𝑘(𝑗𝜔)𝑘
sehingga
𝐻(𝜔) =
𝑌(𝜔)
𝑋(𝜔)
=
σ𝑘=0
𝑀
𝑏𝑘(𝑗𝜔)𝑘
σ𝑘=0
𝑁
𝑎𝑘(𝑗𝜔)𝑘

Respons Frekuensi
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

Respons sistem dengan input periodik
Dengan menggunakan prinsip superposisi
𝑥(𝑡) = ෍
𝑛=−∞
∞
𝑐𝑛𝑒𝑗𝜔𝑛𝑡 → 𝑦(𝑡) = ෍
𝑛=−∞
∞
𝑐𝑛𝑒𝑗𝜔𝑛𝑡𝐻(𝑛𝜔)
atau
𝑦(𝑡) = ෍
𝑛=−∞
∞
𝑑𝑛𝑒𝑗𝜔𝑛𝑡
di mana
𝑑𝑛 = 𝑐𝑛𝐻(𝑛𝜔)
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

Respons sistem dengan input periodik
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

Modulasi
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier
Modulasi Amplitudo: 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 cos w0𝑡
𝑌(𝜔) =
1
2𝜋
𝑋(𝜔)∗
𝜋[𝛿(𝜔 − 𝜔0) + 𝛿(𝜔 + 𝜔0)]

Demodulasi
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier
Demodulasi sinkron terdiri dari sebuah pengali, dengan input
pengali berupa sinyal termodulasi dan sinyal pembawa cos w0𝑡
𝑧(𝑡) = 𝑦(𝑡) cos w0
𝑡
sehingga
𝑍(𝜔) =
1
2
𝑋(𝜔) +
1
4
[𝑋(𝜔 − 2𝜔0) + 𝑋(𝜔 + 2𝜔0)]

Demodulasi
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

Filtering
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

Teorema Sampling
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier
Suatu proses sampling dapat diilustrasikan seperti pada Gambar 3-
13. Output dari sampler adalah
𝑥𝑠(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑝(𝑡)
𝑝(𝑡) = σ𝑛=−∞
∞ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)

Teorema Sampling
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

Relasi Deret dan Transformasi Fourier
Hubungan antara koefisien deret Fourier, 𝑐𝑛 , dan
Transformasi Fourier, 𝑋 𝜔 , diberikan oleh
𝑐𝑛 = ቤ
1
𝑇
𝑋 𝜔
𝜔=𝑛𝜔0
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

Ringkasan
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

Latihan
• Kerjakan semua latihan Bab 3 Transformasi Fourier Waktu
Kontinu
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

Sumber
Penulis Yusuf Bilfaqih Ali Fatoni Achmad Jazidie
Institusi Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Kategori Buku Ajar
Bidang Ilmu Teknik
ISBN 9786230269219
Penerbit Deepublish
Ukuran 17.5×25 cm
Halaman xxxv, 376 hlm
Jenis Cover Softcover
Tahun 2023
Waktu Kontinu
1. Deret Fourier

3 Transformasi Fourier Waktu Kontinu.pdf

3 Transformasi Fourier Waktu Kontinu.pdf

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados(20)

Similar a 3 Transformasi Fourier Waktu Kontinu.pdf

Similar a 3 Transformasi Fourier Waktu Kontinu.pdf(18)

Mais de yusufbf

Mais de yusufbf(20)

3 Transformasi Fourier Waktu Kontinu.pdf