2 Sistem LTI Waktu Kontinu.pdf

f(t) f[n]
F(w) F(W)
F(s) F(z)
Control Systems Engineering, Electrical Engineering Department, FTEIC-ITS
Matlab Computation Simulink Simulation
Sistem LTI Waktu Kontinu
Analisis, Komputasi, dan Simulasi
1. Representasi Sinyal Waktu
Kontinu dalam Bentuk Impuls
2. Konvolusi Integral
3. Sifat-sifat Sistem LTI Waktu
Kontinu
4. Representasi Persamaan
Diferensial
6. Diagram Simulasi Sistem LTI
Waktu Kontinu
7. Kestabilan Sistem LTI Waktu
Kontinu
5. Respons Impuls Sistem LTI
Waktu Kontinu

Pengantar
SINYAL DAN SISTEM: Analisis, Komputasi, dan Simulasi
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Representasi Sinyal Waktu Kontinu dalam Bentuk Impuls
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Ƹ
𝑥(𝑡) = ෍
𝑘=−∞
∞
𝑥(𝑘𝛥)𝛿𝛥(𝑡 − 𝑘𝛥)𝛥
𝑥 𝑡 = lim
∆→0
෍
𝑘=−∞
∞
𝑥 𝑘∆ 𝛿∆ 𝑡 − 𝑘∆ ∆
𝑥 𝑡 = න
−∞
∞
𝑥(𝜏)𝛿(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Konvolusi Integral: Definisi
Jika input 𝑥(𝑡) adalah penjumlahan berbobot dari himpunan sinyal 𝑥𝑖(𝑡)
𝑥(𝑡) = 𝑎1𝑥1(𝑡) + 𝑎2𝑥2(𝑡)+. . . +𝑎𝑁𝑥𝑁(𝑡) = ෍
𝑖=1
𝑁
𝑎𝑖𝑥𝑖(𝑡)
maka output sistem linear 𝑦(𝑡) merupakan penjumlahan berbobot dari 𝑦𝑖(𝑡)
𝑦(𝑡) = 𝑎1𝑦1(𝑡) + 𝑎2𝑦2(𝑡)+. . . +𝑎𝑁𝑦𝑁(𝑡) = ෍
𝑖=1
𝑁
𝑎𝑖𝑦𝑖(𝑡)
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Konvolusi Integral: Definisi
Telah diketahui bahwa, sinyal impuls satuan dapat digunakan sebagai sinyal dasar untuk
membentuk sinyal 𝑥(𝑡) sembarang, yakni:
𝑥(𝑡) = න
−∞
∞
𝑥(𝜏)𝛿(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
Untuk sistem LTI berlaku
𝑦(𝑡) = න
−∞
∞
𝑥 𝜏 ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
atau
𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡)
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Konvolusi Integral: Sifat-sifat
Sistem LTI
Waktu Kontinu
• Konvolusi dengan unit impuls
𝑥(𝑡) ∗ 𝛿(𝑡) = න
−∞
∞
𝑥(𝜏)𝛿(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 = 𝑥(𝑡)
• Konvolusi dengan unit step
𝑥(𝑡) ∗ 𝑢(𝑡) = න
−∞
∞
𝑥(𝜏)𝑢(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 = න
−∞
𝑡
𝑥(𝜏)𝑑𝜏
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Konvolusi Integral: Menghitung Respons
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Konvolusi Integral: Interpretasi grafis
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Untuk menyelesaikan konvolusi integral
𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) = න
−∞
∞
𝑥(𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Konvolusi Integral: Interpretasi grafis
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Sifat-sifat Sistem LTI Waktu Kontinu
Hubungan input-output sistem melalui respons impuls dari sistem dan dikenal sebagai Konvolusi
Integral
𝑦(𝑡) = න
−∞
∞
𝑥(𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
Konsekuensi dari representasi tersebut adalah karakteristik dari sistem linear waktu kontinu secara
lengkap dicirikan oleh respons impulsnya.
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Sistem dengan atau tanpa memory
Suatu sistem disebut tanpa memory (memoryless) jika output pada waktu tertentu hanya
bergantung kepada input pada saat yang sama. Untuk sistem LTI, sifat ini dipenuhi jika
berlaku
𝑦(𝑡) = 𝐾𝑥(𝑡)
di mana K adalah gain/konstanta. Jadi respons impuls yang mencirikan sistem tanpa
memory
ℎ(𝑡) = 𝐾𝛿(𝑡)
Karena itu, jika h(t_0)≠0 untuk t_0≠0, maka sistem tersebut memiliki memory.
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Sistem invertible atau non-invertible
Suatu sistem disebut invertible jika dapat didesain sebagai sistem inversi yaitu jika
dirangkai seri dengan sistem aslinya akan menghasilkan output yang sama dengan
inputnya. Konsep sistem inversi ini ditunjukkan pada Gambar 2 7.
Jadi untuk sistem LTI invertible harus berlaku
ℎ(𝑡) ∗ ℎ1(𝑡) = 𝛿(𝑡)
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Sistem invertible atau non-invertible
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Sistem kausal atau nonkausal
Agar sistem LTI kausal, maka harus memenuhi
ℎ(𝑡) = 0 untuk 𝑡 < 0
Suatu sinyal 𝑥(𝑡) disebut kausal jika 𝑥(𝑡) = 0 untuk 𝑡 < 0. Jika suatu
sistem LTI mendapat input sinyal kausal, maka outputnya diberikan
oleh
𝑦(𝑡) = න
0
𝑡
𝑥(𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 = න
0
𝑡
ℎ(𝜏)𝑥(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Sistem stabil atau tidak stabil
Salah satu jenis stabilitas adalah stabilitas BIBO, yaitu jika diberi input yang
magnitudonya berhingga (bounded), maka magnitudo outputnya juga berhingga.
Jika input 𝑥(𝑡) berhingga, yaitu 𝑥(𝑡) ≤ 𝑘1 untuk semua t, maka output sistem
diberikan oleh
𝑦(𝑡) = න
−∞
∞
ℎ(𝜏)𝑥(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 ≤ න
−∞
∞
ℎ(𝜏) 𝑥(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏 ≤ 𝑘1 න
−∞
𝑡
ℎ(𝜏) 𝑑𝜏
Jadi agar stabil BIBO maka harus memenuhi
න
−∞
∞
ℎ(𝜏) 𝑑𝜏 < ∞
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Sistem stabil atau tidak stabil
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Representasi Persamaan Diferensial
Sistem LTI waktu kontinu, dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial linear
koefisien konstan sebagai berikut
𝑑𝑁
𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑁
+ ෍
𝑖=0
𝑁−1
𝑎𝑖
𝑑𝑖
𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑖
= ෍
𝑖=0
𝑀
𝑏𝑖
𝑑𝑖
𝑥(𝑡)
𝑑𝑡𝑖
dengan i =1,2,3, . . . , N-1, bj, j=1,…M adalah bilangan real dan N >M. Dalam bentuk
operator D persamaan di atas dapat ditulis
𝐷𝑁 + ෍
𝑖=0
𝑁−1
𝑎𝑖𝐷𝑖 𝑦(𝑡) = ෍
𝑖=0
𝑀
𝑏𝑖𝐷𝑖 𝑥(𝑡)
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial tersebut diperlukan 𝑁 kondisi awal
𝑦(𝑡0), 𝑦′(𝑡0), . . . , 𝑦(𝑁−1)(𝑡0)
Dengan 𝑡0 adalah waktu di mana input 𝑥(𝑡) mulai diberikan pada sistem dan 𝑦’(𝑡)
adalah turunan dari 𝑦(𝑡). Bilangan bulat 𝑁 merupakan derajat atau orde sistem.
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Solusi Persamaan Diferensial
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Penyelesaian dari persamaan differensial merupakan respons dari
sistem LTI waktu kontinu, yang terdiri atas dua bagian. Dalam
matematika, kedua bagian dari penyelesaian 𝑦(𝑡) merupakan
Penyelesaian Homogen 𝑦ℎ(𝑡) dan Penyelesaian Partikular/ Khusus
𝑦𝑝(𝑡). Jadi respons total sistem diberikan oleh
𝑦 𝑡 = 𝑦ℎ 𝑡 + 𝑦𝑝 𝑡
Penyelesaian homogen merupakan respons sistem ketika tanpa input,
sedangkan penyelesaian partikular/ khusus merupakan respons sistem
terhadap input tertentu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Solusi homogen PD
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Persamaan homogen yang bersesuaian dengan bentuk umum PD
𝑑𝑁𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑁
+ ෍
𝑖=0
𝑁−1
𝑎𝑖
𝑑𝑖𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑖
= 0
Dengan asumsi bahwa solusi dari persamaan ini berbentuk fungsi eksponensial,
𝑦ℎ(𝑡) = 𝐶𝑒𝜆𝑡
maka
෍
𝑘=0
𝑁
𝑎𝑘 𝜆𝑘 = 0
Ini merupakan Persamaan Karakteristik untuk sistem tersebut dan nilai 𝜆 yang
memenuhi persamaan tersebut merupakan Nilai Karakteristik. Jelas bahwa
terdapat 𝑁 akar-akar karakteristik 𝜆1, 𝜆2, . . . . . 𝜆𝑁.
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Solusi homogen PD
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Jika akar-akar tersebut berbeda, maka solusi homogen diberikan oleh:
𝑦ℎ(𝑡) = 𝐶1𝑒𝜆1𝑡 + 𝐶2𝑒𝜆2𝑡+. . . . . . . +𝐶𝑁𝑒𝜆𝑛𝑡
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Solusi Khusus PD
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Solusi PD
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Respons sistem LTI waktu kontinu
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Dalam konteks sinyal dan sistem, juga terdapat dua bagian dari
respons sistem 𝑦(𝑡) yang disebut sebagai zero input response 𝑦𝑧𝑖 𝑡
dan zero state response 𝑦𝑧𝑠 𝑡 . Jadi respons total sistem LTI waktu
kontinu diberikan oleh jumlahan
𝑦 𝑡 = 𝑦𝑧𝑖 𝑡 + 𝑦𝑧𝑠 𝑡
Perlu dicatat bahwa kedua bagian ini berbeda dengan penyelesaian
homogen dan nonhomogen. Pada bagian berikut dijelaskan
perbedaannya disertai prosedur dan contoh.
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Sistem LTI
Waktu Kontinu
Zero input response diberikan oleh penyelesaian homogen dengan konstanta pengali
telah dievaluasi menggunakan kondisi awal dari output. Sehingga, zero input
response disebut juga free response atau natural response.
𝑦𝑧𝑖 𝑡 = ቚ
𝑦ℎ 𝑡
𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑎𝑙𝑖 𝑠𝑢𝑑𝑎ℎ 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑔𝑢𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑑𝑖𝑠𝑖 𝑎𝑤𝑎𝑙
Zero state response merupakan jumlahan dari penyelesaian homogen dan
penyelesaian khusus dengan kondisi awal nol. Zero state response merupakan
respons dari sistem terhadap sinyal input dan dengan kondisi awal nol. Sehingga,
Zero state response disebut juga forced response.
𝑦𝑧𝑠 𝑡 = ฬ
𝑦ℎ 𝑡 + 𝑦𝑝 𝑡
𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑎𝑙𝑖 𝑠𝑢𝑑𝑎ℎ 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑔𝑢𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑑𝑖𝑠𝑖 𝑎𝑤𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑙
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Respons Impuls Sistem LTI Waktu Kontinu
Tinjau sistem yang dinyatakan oleh persamaan PD input-output sebagai berikut
𝑑𝑁
𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑁
+ ෍
𝑖=0
𝑁−1
𝑎𝑖
𝑑𝑖
𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑖
= ෍
𝑖=0
𝑀
𝑏𝑖
𝑑𝑖
𝑥(𝑡)
𝑑𝑡𝑖
Jika input x(t) berupa fungsi (t), maka
𝑑𝑁𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑁 + ෍
𝑖=0
𝑁−1
𝑎𝑖
𝑑𝑖𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑖
= ෍
𝑖=0
𝑀
𝑏𝑖
𝑑𝑖𝛿(𝑡)
𝑑𝑡𝑖
di mana semua kondisi awal nol.
Respons impuls tidak lain adalah solusi dari Persamaan ini.
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Respons Impuls Sistem LTI Waktu Kontinu
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Diagram Simulasi Sistem LTI Waktu Kontinu
Tinjau sistem yang dinyatakan oleh persamaan diferensial
𝐷𝑁
+ ෍
𝑖=0
𝑁−1
𝑎𝑖
𝐷𝑖
𝑦(𝑡) = ෍
𝑖=0
𝑁
𝑏𝑖𝐷𝑖
𝑥(𝑡)
atau
𝐷𝑁
𝑦 − 𝑏𝑁𝑥 + 𝐷𝑁−1
𝑎𝑁−1𝑦 − 𝑏𝑁−1𝑥 +. . . +𝐷 𝑎1𝑦 − 𝑏1𝑥 + 𝑎0𝑦 − 𝑏0𝑥 = 0
Jika dikalikan D-N dan disusun kembali diperoleh
𝑦 = 𝑏𝑁𝑥 + 𝐷−1
(𝑏𝑁−1𝑥 − 𝑎𝑁−1𝑦)+. . . +𝐷−(𝑁−1)
(𝑏1𝑥 − 𝑎1𝑦) + 𝐷−𝑁
(𝑏0𝑥 − 𝑎0𝑦)
Sisi kanan dari Persamaan ini dapat direalisasikan dengan menggunakan tiga operasi
dasar, yaitu: penjumlahan, perkalian dengan suatu koefisien, dan integrator.
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Sistem LTI
Waktu Kontinu
Persamaan diferensial yang menyatakan hubungan input-output
integrator adalah
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑥(𝑡)
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Diagram Simulasi Bentuk Kanonik 1
𝑦 = 𝑏𝑁𝑥 + 𝐷−1(𝑏𝑁−1𝑥 − 𝑎𝑁−1𝑦)+. . . +𝐷−(𝑁−1)(𝑏1𝑥 − 𝑎1𝑦) + 𝐷−𝑁(𝑏0𝑥 − 𝑎0𝑦)
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Bentuk Kanonik 2 diperoleh dengan mengubah persamaan diferensial di
atas menjadi dua persamaan ekuivalen sebagai berikut
𝐷𝑁
𝑣(𝑡) = ෍
𝑗=0
𝑁−1
𝑎𝑗𝐷𝑗
𝑣(𝑡) + 𝑥(𝑡)
sehingga persamaan output dapat dinyatakan
𝑦(𝑡) = ෍
𝑖=0
𝑁
𝑏𝑖𝐷𝑖 𝑣(𝑡)
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Diagram Simulasi
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Kestabilan berdasar respons impuls sistem
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Menurut stabilitas BIBO, yaitu jika diberi input bounded, maka outputnya
juga harus bounded. Berdasar respons impuls sistem LTI, maka syarat
stabil BIBO adalah
න
−∞
∞
ℎ(𝜏) 𝑑𝜏 < ∞
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Kestabilan berdasar respons impuls sistem
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Kestabilan berdasar akar pers. karakteristik
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Karena respons impuls diperoleh jika inputnya 𝑥(𝑡) = 𝛿(𝑡), maka
dengan menggunakan metode koefisien tak tentu, diperoleh solusi
khusus dari PD berbentuk 𝛿(𝑡) dan turunannya, yang berarti bahwa
ℎ𝑝(𝑡) pasti bounded.
Jadi yang menentukan stabilitas sistem hanya komponen homogen
dari respons impuls, yaitu ℎℎ(𝑡). Sedangkan ℎℎ(𝑡) bergantung kepada
akar-akar persamaan karakteristik sistem, yaitu 𝜆 .
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Sistem LTI
Waktu Kontinu
Penyelesaian Homogen
ℎℎ 𝑡 = 𝐶1𝑒𝜆1𝑡
+ 𝐶2𝑡𝑒𝜆1𝑡
+. . . +𝐶𝑝𝑡𝑝−1
𝑒𝜆1𝑡
+ ⋯ + 𝐶𝑁−1𝑒𝜆𝑛−1𝑡
+ 𝐶𝑁𝑒𝜆𝑛𝑡
• Jika semua akar-akarnya memiliki bagian real negatif berarti sistem
Stabil.
• jika terdapat akar yang memiliki bagian real positif berarti sistem
Tidak Stabil.
• Jika terdapat akar imajiner murni (bagian realnya nol) berarti
sistem Stabil Marjinal.
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Ringkasan
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Latihan
• Kerjakan semua latihan Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinu
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

Sumber
Penulis Yusuf Bilfaqih Ali Fatoni Achmad Jazidie
Institusi Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Kategori Buku Ajar
Bidang Ilmu Teknik
ISBN 9786230269219
Penerbit Deepublish
Ukuran 17.5×25 cm
Halaman xxxv, 376 hlm
Jenis Cover Softcover
Tahun 2023
Sistem LTI
Waktu Kontinu
Kontinu
Diferensial
Waktu Kontinu
Kontinu
Waktu Kontinu

2 Sistem LTI Waktu Kontinu.pdf

2 Sistem LTI Waktu Kontinu.pdf

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Similar a 2 Sistem LTI Waktu Kontinu.pdf

Similar a 2 Sistem LTI Waktu Kontinu.pdf(6)

Mais de yusufbf

Mais de yusufbf(20)

2 Sistem LTI Waktu Kontinu.pdf