106 Aritmética                                         Concepto deequivalentes                                          Fr...
Aritmética 107Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. Encontrar el valor de x  a) 3 =   24     4      x  b...
108 Aritmética                                          Proporción directa                                           Fracc...
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17 aritmetica parte iv_p106-p109

  1. 1. 106 Aritmética Concepto deequivalentes Fracciones proporción En las páginas 31 a 36 del Tomo VI, Vol. 2, Reflexiones adicionales se aborda el concepto de proporción. El an- tecedente a esta lección es el concepto deLas razones finalmente son razón (Tomo V, Vol. 2).números racionales, son frac- La página 31 (Fig. 1) muestra estas cincociones. Por lo tanto tiene sus imágenes sobre un mismo motivo; de éstas,propiedades y están sujetas a tres se ven igual, salvo por el tamaño, son a,sus principios. d y e. Las otras dos (b y c) se notan distor- sionadas con respecto a las anteriores. EstoUna cualidad fundamental de ocurre porque las dimensiones de las imá-los números racionales es la genes: largo y ancho que cambian de unade equivalencia. a otra imagen no forman siempre razonesDefinición: equivalentes y entonces no siempre se for-Dos números racionales A man proporciones de la manera en que se Fig.2 By P son equivalentes si y definen en el cuadro verde de la página 32 En el recuadro del profesor (Fig.2) se afirma: Qsolamente si A×Q = P×B (Fig.2). En efecto, con los datos recabados “si una razón es equivalente a otra entonces en esta última página se pueden formar tres esta equivalencia se expresa igualándolas Los número racionales equi- proporciones con las correspondientes razo- ( 2 = 4 ) ” y en la página 34(Fig.3) se procedevalentes se construyen así: 3 6 nes de los casos a, d y e, mientras que al a justificar tal afirmación, justificación que seDado el número racional A sustenta en el principio de que: una razón A B considerar las razones de los casos b y c noy K cualquier número racional B es posible formar proporciones. no se altera si se multiplica o divide A y B pordiferente de cero, entonces: el mismo número diferente de cero. (A×K) (BK) es otro número ra-cional equivalente a A . BEl anterior es el discurso es-trictamente matemático y enel material analizado estamosante una propuesta de ense-ñanza anclada en un contextoque pretende ser real y quedebe ser significativo para elalumno. De este contexto realsurgen las nociones de razóny proporción, conceptos queinmediatamente encuentraninterpretación en la realidad,y constituyen una buena rutapara acceder al conocimientomatemático de este tipo denúmeros y a su aplicación. Fig.3 La página 36, muestra una aplica- ción del tema. Para la actividad 1 las razones DE, AC for- EB CB man una propor- ción. Esto significa que los triángulos (encimados) ABC y ADE son similares. Fig.1 Este hecho hay que aplicarlo para resol- La respuesta a la pregunta de la actividad ver el problema de 3: “¿qué se nota de las imágenes cuyas ra- la actividad 2. Es zones pueden formar proporciones?” Fue irrelevante que aho- dada al principio del párrafo: Son iguales ra los triángulos no salvo por el tamaño, mientras que entre las estén encimados. que no se puede formar una proporción, las Además, hay que Fig.4 imágenes no son iguales, una aparece más aplicar lo aprendido ancha o larga que la otra. en la página 34.
  2. 2. Aritmética 107Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. Encontrar el valor de x a) 3 = 24 4 x b) 5 = 35 x 42 c) 12 = x 7 56 a) x = 36 5 452. Un automóvil viaja 176 millas con 8 galones de gasolina. ¿Qué distancia viajará conel tanque lleno si este se llena con 14 galones.
  3. 3. 108 Aritmética Proporción directa Fracciones equivalentes Reflexiones adicionales Las cualidades de los objetos y las tablas con sus valores sugieren la idea de que se puedeLo que en el análisis hemos tomar en cuenta a más valores, pero sobre todollamado cualidad, en el dis- que de alguna forma estas cualidades están re-curso formal de la mate- lacionadas: el peso depende del número de ho-mática se llama variable. jas, el grosor también depende de esto, lo cualConcepto que hace referen-cia a características reales o es algo de sentido común, bajo el supuesto deabstractas de objetos también que todas las hojas sean del mismo material yreales o abstractos que cam- tengan las mismas dimensiones.bian de valor.En contraste con el concep- En la tabla de la página 46 (Fig. 2), se pue-to de variable se tiene el deconstante, que es también de observar que con las columnas se formanuna característica de los ob- razones equivalentes, es decir, con estas razo-jetos reales o abstractos que nes se pueden formar proporciones.se considera pero que nocambian de valor. Por ejem- En la tabla de la página 48 (Fig. 3) se registraplo: en los experimentos deltema el peso de cada hoja se la variación del peso del alambre con relación aconsidera constante, no cam- la variación de la longitud y como antes los da-bia; lo mismo se puede decir tos de las columnas forman razones equivalen- Fig.1del diámetro del cable. tes, las cuales dan lugar a proporciones, esta En las páginas 44 a 51 del Tomo VI, Vol. 2,Sean A y B dos variables. Sedice que entre A y B hay una se aborda la proporción directa. Los contextosrelación de proporcionalidad en los que se han planteado los problemas dedirecta, o de forma más espe- proporciones en páginas anteriores siemprecífica, que A es directamente se expresa la proporción entre dos cualidadesproporcional a B, si existe de los objetos en consideración: largo y an-una constante k tal queA = k × B. cho, cantidad de agua y jugo, aceite salado yA la constante k se le llama vinagre, gramos de harina y gramos de leche,constante de proporcionalidad. etc. Otra característica de los problemas de proporcionalidad es que se consideran algu-Sean B1, B2, B3, B4…Bn. nos casos particulares de los objetos proble-valores diferentes de la varia-ble B. Los correspondientes ma. Ahora en este nuevo tema la perspectivavalores de la variable A serán: es más amplia, las cualidades de los objetos siguen siendo dos pero se considera su com-A1=k × B1 portamiento de forma más extensa como seA2=k × B2 observa en los experimentos como el mostra-A3=k × B3A4=k × B4 do en la imagen (Fig.1).…An=k × BnEs claro que la tabla formada Fig.3con estos valores tiene pro-piedades similares a las de es una cualidad conjunta de las cualidades denuestras lecciones. peso y longitud del cable y explica las trans- formaciones que indican las flechas curvas de color rojo que tienen estas tablas. Si se calculan las razones Peso ÷ Lon- gitud estas tendrán el valor de 20 para los datos de cualquier columna. En general se puede escribir: Peso ÷ Longitud = 20. Al valor 20 se le llama Constante de propor- cionalidad. En el experimento de las hojas, la constante de proporcionalidad es 7, En efecto: Peso ÷ (Número de hojas) siempre tiene el valor 7 y se puede escribir: Peso ÷Número de hojas = 7 Fig.2
  4. 4. Aritmética 109Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. El perímetro del círculo se calcula mediante la fórmula: P = 2πr, donde P representaal perímetro, la letra π representa al número 3.14 y la letra r al radio del círculo.Da los valores al radio para llenar la tablaPerímetro Radio 0-¿El comportamiento del perímetro y el radio es directamente proporcional?- En caso de contestar afirmativamente la pregunta anterior, responde: ¿cuál es elvalor de la constante de proporcionalidad?- Dibuja una gráfica cartesiana para los valores de la tabla.2. El área del círculo se calcula mediante la fórmula: A = πr2, donde A representa alárea, la letra π representa al número 3.14 y la letra r al radio del círculo.Da los valores al radio para llenar la tablaÁrea Radio 0-¿El comportamiento del área y el radio es directamente proporcional?- En caso de contestar afirmativamente la pregunta anterior, responder: ¿cuál es elvalor de la constante de proporcionalidad?- Dibuja una gráfica cartesiana para los valores de la tabla.

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