Problema de transporte

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O problema de transporte (PT).
# Definição e apresentação sobre forma de rede.
# Formulação do caso equilibrado e não equilibrado.
# Exemplos
# Propriedades fundamentais.

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Problema de transporte

  1. 1. II. Programação Linear (PL)Capítulo 7.1: O problema de transporte (PT).  Definição e apresentação sobre forma de rede.  Formulação do caso equilibrado e não equilibrado. Exemplos  Propriedades fundamentais. 
  2. 2. Problema de Transporte. Exemplo ProtótipoUm dos principais produtos da firma Lactosal é o leite.Os pacotes de leites são empacotados em 3 fábricase depois são distribuídos de camião para quatro armazénsConhecendo os custos de transporte, a procura previstapara cada armazém e as capacidades de produção decada fábrica, pretende-se: OPTIMIZAR O PROGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DIÁRIO DO LEITE. 
  3. 3. Problema de Transporte. Exemplo Protótipo Os dados dos custos de uma carga de leite para cada combinação fábrica-armazém e das ofertas(produção) e procuras, em cargas de camião/dia, são os seguintes: Custo por carga de camião24 cargas diárias 24 cargas diárias de leite devem Armazéns de leite devemser produzidas ee ser produzidas Fábricas 1 2 3 4 Oferta distribuídas distribuídas 1 1 2 3 4 6 2 4 3 2 4 8 3 0 2 2 1 10 Procura 4 7 6 7 
  4. 4. Formulação do Problema de Transporte. Exemplo Protótipo. Custo por carga de camião ArmazénsFábricas 1 2 3 4 Oferta 1 1 2 3 4 6 2 4 3 2 4 8 3 0 2 2 1 10Procura 4 7 6 7 Minimizar z = x11 + 2 x12 + 3 x13 + 4 x14 + 4 x21 + 3 x22 + 2 x23 + 4 x24 + 2 x32 + 2 x33 + x34 sujeito a: x11 + x12 + x13+ x14 = 6 x21 + x22 + x23+ x24 = 8 x31 + x32 + x33+ x34 = 10 x11 + x21 + x31 = 4 x12 + x22 + x32 = 7 x13 + x23 + x33 = 6 x14 + x24 + x34 = 7 xij ≥ 0 ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 ) 
  5. 5. Matriz de Restrições do Problema de Transporte. Exemplo Protótipo.A matriz das restrições do problema de transporte para o exemplo protótipo apresenta a seguinte estrutura: x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34 A= 
  6. 6. Problema de Transporte sob a forma de Rede. Exemplo Protótipo. Fábricas Armazéns c11 11 x11 11 22 22 33 c34 33 x34 44 
  7. 7. Problema de Transporte. Do Exemplo ao Modelo do PT Cargas de leite Cargas de leite Unidades de um produto Unidades de um produto 3 fábricas 3 fábricas m origens m origens 4 armazéns 4 armazéns n destinos n destinosProdução da fábrica i i Produção da fábrica ai oferta da origem i i ai oferta da origemProcura no armazém jj Procura no armazém bj procura no destino jj bj procura no destino cc custo por unidade ij custo por unidade Custo de transporte Custo de transporte ij por carga da fábrica i i transportada da origem i i transportada da origem por carga da fábrica para o armazém jj para o armazém para o destino jj para o destino 
  8. 8. Problema de Transporte. Do Exemplo ao Modelo do PTxij cargas a distribuir xij cargas a distribuir xij unidades a xij unidades a da fábrica ii da fábrica distribuirda origem ii distribuirda origem para o armazém jj para o armazém para o destino jj para o destino Determinar o plano Determinar o plano Determinar o plano Determinar o plano óptimo de distribuiçãoóptimo de distribuiçãoóptimo de distribuição óptimo de distribuição diária do leite das diária do leite das desse produto das desse produto das fábricas pelos fábricas pelos origens pelos destinosarmazéns tendo como origens pelos destinos armazéns tendo como tendo como objectivo objectivo a objectivo a tendo como objectivominimização do custo minimização do custo a minimização do a minimização do total total custo total custo total 
  9. 9. Problema de Transporte. Caso Equilibrado. Oferta total = Procura total Destino 1 2 … n Oferta Origem c11 c12 c1n 1 x11 x12 … x1n a1 c21 c22 c2n 2 x21 x22 … x2n a2 . . . . . . . . . . . . . . . cm1 cm2 cmn m xm1 xm2 … xmn am Procura b1 b2 … bn ∑ i =∑ bj a Um problema de transporte está equilibrado se a oferta total é igual à procura total, caso contrário está não equilibrado. 
  10. 10. Problema de Transporte.Caso equilibrado. Exemplo protótipo Oferta total = Procura total Destino 1 2 3 4 OfertaOrigem 1 2 3 4 1 x11 x12 x13 x14 6 4 3 2 4 2 x21 x22 x23 x24 8 0 2 2 1 3 x31 x32 x33 x34 10 Procura 4 7 6 7 24 =24 Para o exemplo protótipo a oferta total é igual à procura total . Este problema está equilibrado. 
  11. 11. Problema de Transporte. Formulação como problema de PL. m nMinimizar z = ∑∑ cij xij i =1 j =1sujeito a: n restrições de ∑x j =1 ij = ai , i = 1,2,..., m oferta restrições de m procura ∑x i =1 ij = b j , j = 1,2,..., n xij ≥ 0 , i = 1,2,..., m , j = 1,2,..., n 
  12. 12. Problema de transporte sob a forma de rede. Origens Destinos c11 a1 11 x11 11 b1 . . . . . . ai cij ii xij jj bj . . . . . . cmn am m m xmn nn bn Esta figura ilustra o problema de transporte sob a forma de rede representados por nodos e arcos. Os nodos representam as origens e os destinos e os arcos representam os percursos das origens aos destinos através dos quais o produto pode ser transportado. 
  13. 13. Problema de Transporte. Estrutura especial da matriz de restrições. A matriz dos A matriz dos coeficientes das O problema de transporte apresenta uma coeficientes das restrições ééapenas estrutura especial evidenciada pela disposição restrições apenasconstituída por uns (1) constituída por uns (1) das restrições: eezeros (0) . .Cada zeros (0) Cada variável xx tem como variável ijij tem como coeficientes apenas 22 coeficientes apenas x11 x12 ... x1n x21 x22 ... x2n … xm1 xm2 ... xmn uns : :um na linha uns um na linhaassociada ààorigem ii ee associada origemoutro na linha relativa outro na linha relativa . ao destino jj ao destino A= . . . restrições das . . origens restrições dos destinos 
  14. 14. Problema de Transporte. Oferta total superior à procura total Destino 1 2 … n n+1 OfertaOrigem c11 c12 c1n 0 1 x11 x12 … x1n x1 n+1 a1 c21 c22 c2n 0 2 x21 x22 … x2n x2 n+1 a2 . . . . . . . . . . . . . . . cm1 cm2 cmn 0 m … xmn xm1 xm2 xm n+1 am Procura b1 b2 … bn ∑ a i -∑ b j Adicionar destino fictício 
  15. 15. Oferta total superior à procura total.Exemplo 1: Plano de Produção.Uma multinacional produz aviões comerciais para diversascompanhias de aviação. A última etapa no processo deprodução é a produção de motores seguido da sua instalaçãono avião.Para cumprir os contratos estabelecidos deve ser determinadoo plano óptimo de produção dos motores para os próximosquatro meses. 
  16. 16. Oferta total superior à procura total.Exemplo 1: Plano de Produção. Os dados para o plano da produção para os quatro meses futuros são os seguintes: Mês Instalações Produção Custo Custo unitário programadas máxima unitário de de produção armazenamento 1 10 25 1.08 2 15 35 1.11 0.015 3 25 30 1.10 0.015 4 20 10 1.13 0.015 os custos em milhões de dólares 
  17. 17. Oferta total superior à procura total.Exemplo 1: Plano de Produção.Este problema pode ser reformulado como um problema detransporte, tomando como:  Origem i - produção de motores no mês i (i =1,2,3,4)  Destino j - instalação de motores no mês j (j=1,2,3,4)  xij - quantidades de motores produzidos no mês i a serem instalados no mês j  xij = 0, se i>j (primeiro produzir, depois instalar)  cij - custo por unidade de produção e armazenamento  cij= M, se i>j, como não existe custo real associado com estes dados, podem ser penalizados com um M arbitrariamente grande. 
  18. 18. Oferta total superior à procura total.Exemplo 1. Restrições de ofertas.As restrições de oferta correspondem à produção de motorespara cada mês i. Estas restrições são de desigualdadelimitadas pela capacidade máxima de produção por mês. Mês Instalações programadas Produção máxima Custo unitário Custo unitário de x11 + x12 + x13+ x14 ≤ 25 1 10 25 de produção 1.08 armazenamento x21 + x22 + x23+ x24 ≤ 35 2 15 35 1.11 0.015 x31 + x32 + x33+ x34 ≤ 30 3 25 30 1.10 0.015 4 20 10 1.13 0.015 x41 + x42 + x43+ x44 ≤ 10 Como estas restrições são de desigualdade éépreciso introduzir variáveis de Como estas restrições são de desigualdade preciso introduzir variáveis de folga para converte-las em restrições de igualdade. folga para converte-las em restrições de igualdade.Isto significa que éépreciso introduzir um destino fictício, em que as variáveis Isto significa que preciso introduzir um destino fictício, em que as variáveisde folga representam aacapacidade de produção não utilizada por cada mês . . de folga representam capacidade de produção não utilizada por cada mês 
  19. 19. Oferta total superior à procura total.Exemplo 1. Restrições de procuras.As restrições de procura correspondem ao plano deinstalação para cada mês j. Estas restrições são de igualdade,correspondendo ao número de instalações requisitadas paracada mês. Mês Instalações Produção Custo unitário Custo unitário de x11 + x21 + x31+ x32 = 10 programadas máxima de produção armazenamento 1 10 25 1.08 x21 + x22 + x23+ x24 = 15 2 15 35 1.11 0.015 x31 + x32 + x33+ x34 = 25 3 25 30 1.10 0.015 4 20 10 1.13 0.015 x41 + x42 + x43+ x44 = 20 Como ééimpossível produzir motores num mês determinado para serem Como impossível produzir motores num mês determinado para sereminstalados num mês anterior, todas as variáveis de decisão correspondentes instalados num mês anterior, todas as variáveis de decisão correspondentes aa ii>j devem ser nulas. Para obter isto, éépreciso penalizar os custos >j devem ser nulas. Para obter isto, preciso penalizar os custos correspondentes aaestas variáveis com um M arbitrariamente grande, tal correspondentes estas variáveis com um M arbitrariamente grande, tal como no método do “big M”. como no método do “big M”. 
  20. 20. Oferta total superior à procura total. Exemplo 1. Quadro do problema de transporte. Este problema reformulado como problema de transporte apresenta o seguinte quadro: Os custos são calculados Os custos são calculados Destinotomando os dados dos custos tomando os dados dos custos 1 2 3 4 5 Oferta de produção eede Origem de produção dearmazenamento. Por exemplo armazenamento. Por exemplo 1.080 1.095 1.125 1.110 0 para aavariável xx que 1 x11 x12 x13 x14 x15 25 para variável 24 que 24 representa oonúmero de M 1.110 1.125 1.140 0 representa número de 2 x21 x22 x23 x24 x25 35motores produzidos no mês 22 motores produzidos no mêsaaserem instalados no mês 4, M M 1.100 1.115 0 serem instalados no mês 4, 3 x31 x32 30 oocusto correspondente x33 x34 x35 custo correspondente cc ==1.11 ++0.015+0.015 24 1.11 0.015+0.015 M M M 1.130 0 10 24 =1.140 4 x41 x42 x43 x44 x45 =1.140 Procura 10 15 25 20 30 30 Como a oferta total é superior à procura total foi adicionado um destino fictício com uma procura igual a: Oferta Total -Procura Total = 100 -70 = 30 u. 
  21. 21. Problema de Transporte.Oferta total inferior à procura total Destino 1 2 … n OfertaOrigem c11 c12 c1n 1 x11 x12 … x1n a1 c21 c22 c2n 2 x21 x22 … x2n a2 . . . . . . . . . . . . . . . cm1 cm2 cmn m xm1 xm2 … xmn am 0 0 0 m+1 xm+1,1 xm+1,2 … xm+1,n ∑ bj -∑ ai Procura b1 b2 … bn Origem fictícia 
  22. 22. Oferta total inferior à procura totalExemplo 2: distribuição de recursos de agua.Uma empresa administra a distribuição de água duma região.Para isto é preciso canalizar a água de 3 rios que estãosituados fora da região e distribui-la para 4 cidades.Agora o gerente da empresa pretende distribuir toda a águadisponível dos 3 rios para as 4 cidades, de forma a pelomenos satisfazer as necessidades essenciais de cada uma, minimizando o custo total. 
  23. 23. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2: distribuição de recursos de água. Os dados dos custos e requerimentos para o plano de distribuição de água são os seguintes:♦ A cidade 3 tem uma fonte♦ A cidade 3 tem uma fonteindependente da água que satisfaz Cidade 1 2 3 4 Fornece as suas necessidades Riomínimas♦O rio 3 não pode fornecer 1 16 13 22 17 50a cidade 4, o que significa nostermos do problema de transporte 2 14 13 19 15 60que este percurso é impossível.Neste caso é preciso penalizar 3 19 20 23 - 50este percurso com um M Necessidadesarbitrariamente grande. mínimas 30 70 0 10♦A cidade 4 aceita toda a água Procura 50 70 30 ∞que seja possível enviar além dasua necessidade mínima de 10 os custos por unidade de medida.u.m. 
  24. 24. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2: distribuição de recursos de água.Este problema pode ser reformulado como um problema detransporte, tomando como:  Origem i – o rio i (i =1,2,3)  Destino j – a cidade j (j=1,2,3,4)  xij - quantidade de água a enviar do rio i para a cidade j  cij - custo unitário da distribuição da água do rio i para a cidade j 
  25. 25. Oferta total inferior à procura totalExemplo 2. Restrições de ofertas.As restrições de oferta correspondem às restrições dos rios(origens). Como deverá ser distribuída toda a água disponíveldos 3 rios, estas 3 restrições são de igualdade, uma por cadario. Cidade 1 2 3 4 Fornece Rio 1 16 13 22 17 50 x11 + x12 + x13+ x14 = 50 2 14 13 19 15 60 x21 + x22 + x23+ x24 = 60 3 19 20 23 - 50 x31 + x32 + x33+ x34 = 50Necessidades mínimas 30 70 0 10Procura 50 70 30 ∞ 
  26. 26. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Restrições de procura. As restrições de procura determinam a quantidade de água que deve ser fornecida a cada cidade, e têm limites superiores e inferiores (excepto a cidade 2, onde coincidem a procura com a necessidade mínima). Cidade 1: procura > necessidade Cidade1 procura > necessidade 1: 1 Cidade 1 2 3 4 Fornece Rio x11 + x21 + x31 ≥ 30 limite inferior 1 16 13 22 17 50 x11 + x21 + x31 ≤ 50 limite superior 2 14 13 19 15 60 3 19 20 23 - 50 Cidade 2: procura = necessidade Cidade2 procura = necessidade 2: 2 Necessidades 30 70 0 10 mínimas x12 + x22 + x32 = 70 Procura 50 70 30 ∞ Cidade 3: procura > necessidade Cidade3 procura > necessidade 3: 3 O limite superior para a cidade 4 pode ser calculadocomo a diferença entre a oferta total (50+ 60+50=160) x13+ x23 + x33 ≤ 30 limite superior e a soma das necessidades mínimas para as restantes Cidade 4: procura > necessidade cidades (30+ 70 =100) ⇒ 160 - 100 = 60 unidades. Cidade4 procura > necessidade 4: 4 (a quantidade máxima que pode receber a cidade 4 x14 + x24 + x34 ≥ 10 limite inferior para além da necessidade mínima ) x14 + x24 + x34 ≤ 60 limite superior 
  27. 27. Oferta total inferior à procura totalExemplo 2. Quadro do problema de transporte. Cidades 1 2 3 4 Oferta Origem 16 13 22 17 Rio 1 x11 x12 x13 x14 50 14 13 19 15 Rio 2 x21 x22 x23 x24 60 19 20 23 M Rio 3 x31 x32 x33 x34 50 0 0 0 0 Rio Ficticio x41 x42 x43 x44 50 Procura 50 70 30 60 Como a oferta total é inferior à procura total foi adicionada uma origem fictícia com uma oferta igual a: Procura Total -Oferta Total = 210 -160 = 50 unidades. 
  28. 28. Oferta total inferior à procura totalExemplo 2. Análise do rio fictício.Para satisfazer as necessidades mínimas de água é preciso re-analisar os dadospara cada cidade de forma a garantir que o mínimo procurado não seja fornecidopelo rio fictício. Cidade 3: Como não tem Cidade3 3: Como não tem 3 necessidade mínima, então não é necessidade mínima, então não é Cidade 1 2 3 4 Fornece Rio preciso alterar nada. preciso alterar nada. 1 16 13 22 17 50 2 14 13 19 15 60 Cidade 4: procura > necessidade Cidade4 procura > necessidade 4: 4 3 19 20 23 - 50 (60 > 10). Como o rio fictício (60 > 10). Como o rio fictícioNecessidades 30 70 0 10 mínimas fornece apenas 50 unidades, pelo fornece apenas 50 unidades, peloProcura 50 70 30 ∞ menos fica garantido que as 10 menos fica garantido que as 10 unidades mínimas não podem ser unidades mínimas não podem ser obtidas deste rio. Não é preciso obtidas deste rio. Não é preciso alterar nada. alterar nada. 
  29. 29. Oferta total inferior à procura totalExemplo 2. Análise do rio fictício. Cidade 2: procura = necessidade Cidade2 procura = necessidade 2: 2 Cidade 1 2 3 4 Fornece Esta cidade não pode ser fornecida Esta cidade não pode ser fornecida Rio pelo rio fictício. Para isto é preciso pelo rio fictício. Para isto é preciso penalizar com M o percurso que une penalizar com M o percurso que une 1 16 13 22 17 50 o rio fictício com a cidade 2. o rio fictício com a cidade 2. 2 14 13 19 15 60 3 19 20 23 - 50Necessidades mínimas 30 70 0 10 Cidade 1: procura > necessidade Cidade1 procura > necessidade 1: 1Procura 50 70 30 ∞ Esta cidade deve ser dividida em 2 Esta cidade deve ser dividida em 2 destinos: um que verifica a destinos: um que verifica a necessidade mínima (onde o rio necessidade mínima (onde o rio fictício fica penalizado) e o outro fictício fica penalizado) e o outro que corresponde à quantidade de que corresponde à quantidade de água que pode ser tomada além do água que pode ser tomada além do requerimento mínimo. requerimento mínimo. 
  30. 30. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Formulação como P.T. Este é o quadro final dos custos para o problema de distribuição da água, formulado como problema de transporte: Cidades 1 1 2 3 4 Oferta Origem 16 16 13 22 17 A cidade 1 foi dividida Rio 1 50em duas para garantir as 14 14 13 19 15 Rio 2 60 necessidades mínimas de 30 unidades. 19 19 20 23 M Rio 3 50 O rio fictício está M 0 M 0 0penalizado para a cidade Rio Ficticio 50 1. Procura 30 20 70 30 60 O rio fictício está penalizado para a cidade 2 
  31. 31. Problema de Transporte. Propriedadesfundamentais(1).  Se um problema de transporte está equilibrado, i.e., a oferta total é igual à procura total, então tem sempre soluções admissíveis.  Se um problema de transporte não está equilibrado,i.e., a oferta total não é igual à procura total, então pode ser introduzida uma origem ou um destino fictício para converter as restrições de desigualdade em igualdade e poder obter assim um problema equilibrado.  O problema de transporte tem sempre óptimo finito.  Qualquer SBA do problema de transporte tem no máximo m+n-1 variáveis básicas Do total de m+n equações só m+n-1 são linearmente independentes, existindo sempre uma equação redundante, i.e., uma equação pode ser obtida como combinação linear das restantes. 
  32. 32. Problema de Transporte. Propriedadesfundamentais(2). A base correspondente a qualquer SBA do problema de transporte é uma matriz triangular. 1 1 0 …0 0 0 1 1 …0 0 0 0 1 …0 0 B= ... 0 0 0 …1 1 0 0 0 …0 1 Se as quantidades das ofertas e procuras são valores inteiros, então qualquer SBA tem sempre valores inteiros.Como a matriz da base é uma matriz triangular composta por 0 e 1, a resoluçãodo sistema conduz necessariamente a uma solução cujas variáveis assumemapenas valores inteiros, pois apenas exige adições e subtracções. 
  33. 33. Base e Solução Básica Admissível para o PT. Minimizar z = x11 + 2 x12 + 3 x13 + 4 x14 + 4 x21 + 3 x22 + 2 x23 + 4 x24 + sujeito a: 2 x32 + 2 x33 + x34 Como m=3 e n=4 e a característica de A, c(A)=m+n-1=6, = qualquer base B tem dimensão 6x6. Uma base pode ser x11 + x12 + x13+ x14 6 x21 + x22 + x23+ x24 = 8 x31 + x32 + x33+ x34 = 10 x11 x12 + x21 + x22 + x31 + x32 = = 4 7 obtida, por exemplo, tomando as colunas P11, P12, P22, P23, x13 + x23 + x33 = 6 x14 + x24 + x34 = 7 P33, P34 e eliminando à restrição 4. xij ≥ 0 ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 ) P11 P12 P13 P14P21P22P23P24P31P32P33P34 P11 P12P22P23P33P34 (1) 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 (1) 1 1 0 0 0 0 (2) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 (2) 0 0 1 1 0 0A= (3) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 B= (3) 0 0 0 0 1 1 (4) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 (5) 0 1 1 0 0 0 (5) 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 (6) 0 0 0 1 1 0 (6) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 (7) 0 0 0 0 0 1 (7) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Trocando as P11 P12P22P23P33P34 linhas obtém-se uma matriz B (1) 1 1 0 0 0 0 triangular (5) 0 1 1 0 0 0 B= (2) 0 0 1 1 0 0 (6) 0 0 0 1 1 0 (3) 0 0 0 0 1 1 (7) 0 0 0 0 0 1 
  34. 34. Uma Solução básica Admissível para o PT.Como a matriz B é triangular a solução do sistema é imediata: XB xx =7 34 =7 34 P11 P12P22P23P33P34 x11 6 x33 + x34 =10 xx =3 (1) 1 1 0 0 0 0 33 =3 (5) 0 1 1 0 0 0 x12 7 33 (2) 0 0 1 1 0 0 x22 = 8 x23 + x33 = 6 xx =3 23 =3 23 (6) 0 0 0 1 1 0 x23 6 (3) 0 0 0 0 1 1 10 x22 + x23 = 8 xx =5 22 =5 x33 22 (7) 0 0 0 0 0 1 x34 7 x12 + x22 = 7 xx =2 12 =2 12 x11 + x12 = 6 xx =4 11 =4 11Uma SBA do problema é: X = (4, 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7)Uma SBA do problema é: X = (4, 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7) 

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