1. 2014 TCO Marathon Round 32014 TCO Marathon Round 3
CollageMakerCollageMaker
-- 画像を敷き詰めて画像を作る画像を敷き詰めて画像を作る --
参加メモ参加メモ
@yowa

2. どんな問題？
● 一つの大きな画像(原画像: 長辺 300px)と、

3. どんな問題？
● 一つの大きな画像(原画像: 長辺 300px)と、
●
200個の小さな画像(長辺 100px)が与えられる

4. どんな問題？
● 小さい画像群から
– 使うやつを選んで
– 縮小させて(縦横スケールは任意。拡大・回転はダメ)
– 敷き詰めることで、

5. どんな問題？
● 原画像を再現したい！
– スコアは sqrt((pixel ごとの輝度差)^2 の平均)
● ようするに、輝度誤差の標準偏差

6. 出力例
● 目を細めれば、なんとなくわかる

7. 出力例
● 目を細めれば、なんとなくわかる

8. 出力例
● 目を細めれば、なんとなくわかる…？？

9. 出力例
● 目を細めれば、なんとなくわかるわ

10. 画像のパターンマッチ
● 小画像をいろんなサイズに縮小して、
● 原画像のいろんな場所にマッチさせてみて、
● 誤差が少なかったとこを採用して、
● 原画像全体を、重なりや余りナシで覆い尽くす

11. 画像のパターンマッチ
● 小画像をいろんなサイズに縮小して、
● 原画像のいろんな場所にマッチさせてみて、
● 誤差が少なかったとこを採用して、
● 原画像全体を、重なりや余りナシで覆い尽くす
いかにも重くてめんどそう！

12. やったこと(概要)
● 原画像を覆う長方形領域1つからスタート
● 領域が200個になるまで…
– 領域を1つ選んで、分散が小さくなるように2分割
– いちばん分散が小さくなった分割を採用
● 領域が1個ふえる
– 各領域に画像を割り当てる
– スコアがよくなってたら採用、ループ継続
●
スコア悪化なら、領域選択からやりなおし

13. やったこと(概要)
● 原画像を覆う長方形領域1つからスタート
● 領域が200個になるまで…
– 領域を1つ選んで、分散が小さくなるように2分割
– いちばん分散が小さくなった分割を採用
● 領域が1個ふえる
– 各領域に画像を割り当てる
– スコアがよくなってたら採用、ループ継続
●
スコア悪化なら、領域選択からやりなおし

14. 分散が小さくなる分割？
● 分散 = 平均値との2乗誤差の総和の平均
● スコア^2 = 作成画像との2乗誤差の総和の平均
分散 =
領域内を平均値で塗りつぶした時のスコア^2

15. 分散が小さくなる分割？
● 分散が小さくなるように分割してゆく
Score: 59.45 Score: 47.58 Score: 44.08 Score: 41.49
分割
領域を
平均色で
塗りつぶし

16. 何がうれしいの？
● 小画像は200個もあるし、
● 小画像は縮小して貼るから
細かいデティールは消えるし、
● 各領域の「平均色塗りつぶし」に
近い画像が1個くらい
みつかるんじゃね？

17. 何がうれしいの？
● 小画像は200個もあるし、
● 小画像は縮小して貼るから
細かいデティールは消えるし、
● 各領域の「平均色塗りつぶし」に
近い画像が1個くらい
みつかるんじゃね？
＼ て き と う ／

18. やったこと(概要)
● 原画像を覆う長方形領域1つからスタート
● 領域が200個になるまで…
– 領域を1つ選んで、分散が小さくなるように2分割
– いちばん分散が小さくなった分割を採用
● 領域が1個ふえる
– 各領域に画像を割り当てる
– スコアがよくなってたら採用、ループ継続
●
スコア悪化なら、領域選択からやりなおし

19. 各領域に小画像を割り当てる
● 領域(M個)と小画像(N個)について、
– 領域のサイズに合わせて小画像を縮小し
– 領域内での2乗誤差を計算
● 領域と小画像の最適な組み合わせを求める
– 上で求めた2乗誤差の和が最小になる組み合わせ

20. 画像の縮小
● 小画像(W, H)を領域(w, h)に縮小 (W w, H h)≧ ≧
● 縮小は面積平均法で行う（問題仕様で定義）
● 定義通りだと whWH 回の演算
● とりあえず WH になる
●
それでも重い
●
wh くらいにできない？
4x4 → 3x3
3倍して、各区画を平均
(多くの場合で WH と wh は 10倍以上違う)

21. 画像の(不正確な)縮小
● 整数pixelで小画像を(w,h)に分割
● 各分割領域の平均は、累積和を使って O(1)
● よって O(wh) で求まる
● 本来の縮小方法じゃないから
もちろん誤差がある（気にしない)
● 端の処理をちゃんとやれば
正確な値も O(wh) でいける気がする（めんどい）
4x4 → 3x3

22. (累積和)
● 左上からの総和をあらかじめ求めておく O(WH)
● 任意の領域の総和が O(1) で計算できる
● 二乗の総和も同じように求めておくと
任意の領域の分散も O(1) でいける
赤い領域の総和を求める

23. 各領域に小画像を割り当てる
● 領域(M個)と小画像(N個)について、
– 領域のサイズに合わせて小画像を縮小し
– 領域内での2乗誤差を計算
● 領域と小画像の最適な組み合わせを求める
– 上で求めた2乗誤差の和が最小になる組み合わせ

24. 割当て問題 (assignment problem)
● 完全2部グラフ(V,W)と、コスト関数 c: V×W→R
● コスト総和が最小になる最大マッチングを求める
● 最大流の応用で O(|V|^2|W|)で求まる
(ハンガリアン法)

25. 割当て問題 (assignment problem)
● 完全2部グラフ(V,W)と、コスト関数 c: V×W→R
● コスト総和が最小になる最大マッチングを求める
● 最大流の応用で O(|V|^2|W|)で求まる
(ハンガリアン法)
● オレには実装できなかったよ…
●
2-opt （2箇所の画像を入替え改善するなら採用）
でごまかした（= 最適解ではない）

26. やったことまとめ
● 分割して割当て
● スコアは良くなった？
– YES: さらに分割しよう
– NO: いまの分割は undo してやりなおし

27. やった細かいこと
● もとまった best 解の分割位置を調整
– 各領域に対する画像の割当ては固定して、
分割線を動かして改善しないか見てみる
(全体で2%くらいスコア改善した)

28. やった細かいこと
● 領域分割の undo があったら、
「さっき縦分割だったからこんどは横分割な」
みたいに方向を変えてる
● 同じ領域で何回も undo 発生したら、
「もうこの領域は分割しません！」宣言しとく
● その領域に割当てられる画像が変わったら
宣言撤回する

29. やらなかった(やれなかった)こと
● 画像の特徴をつかって先に割当て位置を決める
● 目標画像を縮小しといて概算を高速にする
● 分割に分散以外の評価値を入れる
上半分と下半分の平均が同じ
→ 分割しても分散へらない
→ 今回のやり方だと分割できない

30. やれなかったこと
● 領域を一度に3分割(以上)する
or スコアの落ちる分割を(特定の条件で)許す
現
状
の
問
題
点

31. 雑感
● 割り算は重い
– 画像縮小時、こんなコードで WH 回割り算してた
– ループ外で事前計算にした (割り算: W+H 回)
– 全体の実行時間が半分くらいになった（脱力）
(ブレゼンハムっぽくやれば割り算いらないんじゃね？)

32. 雑感
● 実行時間、不安定じゃね？
– 昔のマラソンマッチは、example に同じコード投げたら
10ms くらいの誤差しかなかった気がする
– でも今回は（最近は？） 簡単に100ms くらいブレる
– 時間調整むずいよなー

33. どうでもいい個人情報
●
example submit は full submit の直前しかやらない
● なので基本的に両者の数は等しくなる
●
standing を見て両者の数がズレてたら、
– submit するソース間違えてるよｗｗｗ
– 想定外のエラーやTLEで戸惑ってるよｗｗｗ
みたいな想像をしましょう

34. おしまい
――――――――――
製作・著作 @yowa