SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 11
Mesataret algjebrike dhe të
         pozicionit në statistikë




Kandidati:               Mësimdhënësi:
Yll Ferizi               Dr. Sc. Faruk Belegu
Nr. Index: 21/10/001
Përmbajtja
Përmbajtja
MADHËSITË MESATARE STATISTIKORE .............................................................................2
LLOJET E MADHËSIVE .................................................................................................2
MESATARJA ARITMETIKE .............................................................................................3
  MESATARJA ARITMETIKE E THJESHTË............................................................................3
  MESATARJA ARITMETIKE E PONDERUAR ........................................................................3
MESATARJA HARMONIKE ............................................................................................4
  MESATARJA HARMONIKE E THJESHTË ...........................................................................4
  MESATARJA HARMONIKE E PONDERUAR........................................................................4
MESATARJA GJEOMETRIKE ...........................................................................................5
  MESATARJA GJEOMETRIKE E THJESHTE .........................................................................6
  MESATARJA GJEOMETRIKE E PONDERUAR ......................................................................6
MADHËSITË MESARE TË POZICIONIT ................................................................................8
  MESORJA (MEDIANA) .............................................................................................8
  GJETJA E MEDIANS .................................................................................................8
  MODA ............................................................................................................. 10
  LITERATURA...................................................................................................... 10




                                                                                                                          1
Madhësitë mesatare statistikore
Madhësit mesatare shprehin anën sasiore të serive statistikore dhe llogariten vetëm tek seritë
statistikore, ndërsa tek ato cilësore pamundësohet llogaritja e tyre.
Madhësit mesatare në vargun e të dhënave të njësisë statistikore gjenden gjithmonë në mes
të modalitetit (të dhënës) më të vogel dhe modalitetit më të madh të asaj serie.
Llojet e madhësive
Mesatare Algjebrike:
       Aritmetike
       Harmonike
       Gjeometrike
Mesatare të Pozicionit:
       Mediana
       Moda




                                                                                             2
Mesatarja aritmetike

      Mesatarja aritmetike përdoret më së shumti nga të gjitha mesataret tjera në hulumtimin e dukurive
      masive.
      Dallojm dy lloje të mesatares aritmetike:
              1. Mesatarja aritmetike e thjeshtë
              2. Mesatarja aritmetike e ponderuar

Mesatarja aritmetike e thjeshtë
Mesatarja e thjeshtë aritmetike shprehet në bazë të kësaj formule:                ___
                                                                                  X =
                                                                                        ∑x
Shembull:                                                                                n

Për llogaritjen e mesatarës së thjeshtë aritmetike merret mosha e 6 studenteve e cila në mënyrë individuale
është: 19, 20, 21, 23, 25, 26, atëherë mosha mesatare do të ishte:

___
        x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 19 + 20 + 21 + 23 + 25 + 26 134
X =                                =                           =    = 22.33
                     6                           6               6

Mesatarja aritmeti ke e ponderuar


Mesatarja aritmetike e ponderuar përdoret në rastet kur frekuencat e të dhënave të serisë janë të ndryshme
ose të grupuara.                                                                      n

                                                                               ___   ∑ xi * f i
Formula për llogaritjën e mesatarës aritmetike të ponderuar:                   X = i =1 n
Llogaritja e mesatares aritmetike paraqitet përmes shembullit në vijim:                 ∑ fi
                                                                                        i =1


                                                                             Shuma e celularëve të
  Celularët (Copë) "X"                   Nr. i punëtorve "F"
                                                                                 prodhuar "X*F"

                15                                   4                                         60

                20                                   6                                    120
                30                                   8                                    240
                32                                  10                                    320
                35                                  11                                    385
                40                                  13                                    520
                 Σ                                  52                                   1645


                                                                                                              3
n

___   ∑x * f     i       i
                                 15 * 4 + 20 * 6 + 30 * 8 + 32 *10 + 35 *11 + 40 *13 1645
X =   i =1
                             =                                                      =     = 31.63
             n
                                                4 + 6 + 8 + 10 + 11 + 13              52
           ∑f
           i =1
                     i




 Mesatarja harmonike

      Mesatarja harmonike definohet si vlerë reciproke e mesatares aritmetike të vlerave reciproke të
      dukurisë së caktuar.

      Mesatarja harmonike ndahet në:
      1. Mesatare të thjeshtë
      2. Mesatare të ponderuar

 Mesatarja harmonike e thjeshtë
                                                                                 n
 Formula për llogaritje e mesatares së thjeshtë harmonike:                H=
                                                                                     1
                                                                               ∑x
 Shembull:
 Gjeni mesataren e thjeshtë harmonike për numrat: 3, 5, 7, 9 dhe 8.

             n                   5                    5                  5
 H=                  =                 =                               =     = 5.55
        1                    1 1 1 1 1 0.33 + 0.20 + 0.14 + 0.11 + 0.12 0.90
       ∑x                     + + + +
                             3 5 7 9 8


 Mesatarja harmonike e ponderuar
 Formula për llogaritjen e mesatares harmonike te pondoruar:                 H=
                                                                                  ∑f
                                                                                   f
                                                                                  ∑x
 Shembull:
 Nga të dhënat në tabelën vijuese për sasinë e prodhuar të lëngjeve të gjendet koha e hargjuar (në orë) për
 çdo puntor përmes mesatares harmonike të ponderuar:




                                                                                                              4
Koha e hargjuar për        Sasia e prodhuar
 Nr.          Emri i ndermarrjës       Nr. i puntoreve "F"        njësi prodhimi (në orë)
                                                                  "X"                        (në mijë)


 1            FRUTI                    120                        8                          15

 2            DONA                     180                        6                          30

 3            EKS                      230                        5                          46

 4            FLUIDI                   250                        2                          125

              Σ                        780                                                   216




H=
       ∑f    =
                  120 + 180 + 230 + 250
                                        =
                                          780
                                                    =
                                                      780
                                                          = 3.61orë
        f         120 180 230 250 15 + 30 + 46 + 125 216
       ∑x          8
                     +
                         6
                            +
                               5
                                  +
                                     2

 Nëse e përdorim mesataren aritmetike do të kemi:

___
X =
        ∑ f * x = 120 * 8 + 180 * 6 + 230 * 5 + 250 * 2 = 3690 = 4.73orë
         ∑f             120 + 180 + 230 + 250              780

 Prova: Gjithsejtë 780 punëtorë prodhuan 216 njësi prodhim (në mijë)
 1. Mesatarja harmonike e ponderuar:
      216 * 3.61 = 780 punëtorë
 2. Mesatarja aritmetike e ponderuar:
      216 * 4.73 = 1022 punëtorë



 Mesatarja gjeometrike
 Mesatarja gjeometrike përdoret për llogaritjen e normës mesatare të zhvillimit të dukuris së analizuar.
 Dallojmë dy lloje të mesatares gjeometrike:
 1. Mesatarja gjeometrike e thjeshte dhe
 2. Mesatarja gjeometrike e ponderuar


                                                                                                           5
Mesatarja gjeometrike e thjeshte


Llogaritja e mesatares gjeometrike të thjeshtë:                G = n x1 * x2 * x3 ...xn

Shembull:
Gjeni mesataren gjeometrike të thjeshtë për numrat 5, 7, 9, 12, 13

G     =   n    x1 * x      2   * x   3   * x   4   * x     5   =   5
                                                                       5 * 7 * 9 * 12 * 13                   =   5
                                                                                                                     49140        log
                       1                               1                       4 . 69
log       G    =         log    49140              =     * 4 . 69          =                    = 0 . 94         anti   log
                       5                               5                          5
G     = 8 . 71


Mesatarja gjeometrike e ponderuar


                                                                   G = ∑ x1 1 * x 2 2 * x3 3 ...x n
                                                                           f   f        f         f    fn
Llogaritja e mesatares gjeometrike të ponderuar:

Shembull:
Për të dhënat në vijim llogariteni mesataren gjeometrike të ponderuar?

 x                 2             3                     5               7                    6               Σ

 f                 4             5                     3               6                    8               26


 G =      26
          2 4 * 35 * 53 * 7 6 * 68     log
              1
 log G =         ( 4 log 2 + 5 log 3 + 3 log 5 + 6 log 7 + 8 log 6 ) =
             26
  1
     ( 4 * 0 . 30 + 5 * 0 . 47 + 3 * 0 . 70 + 6 * 0 . 84 + 8 * 0 . 78 ) =
 26
  1                16 . 93
     * 16 . 93 =            = 0 . 6511       anti log
 26                   26
 G = 4 . 48




                                                                                                                              6
Shembull:
Ndërmarrja “Riza Commerce” në Drenas gjatë përiudhës 2002 – 2007 ka realizuar prodhim si në tabelen
vijues (prodhimi i shprehur në mijë)

                                                                                                       Koeficientet Zingjire *
Vitet                             Sasia e prodhimit(në mijë)         Koeficientet(Zingjir)
                                                                                                       100 = indeksat zingjir


2002                              650                                ___                               ___

2003                              800                                1.23                              123 - 100 = 23%

2004                              700                                0.87                              87 – 100 = -13%

2005                              630                                0.9                               90 – 100 = -10%

2006                              860                                1.36                              136 – 100 = 36%


2007                              900                                1.05                              105 – 100 = 5%



Sa është norma mesatare e shtimit për një vitë?

G =     n −1   k1 * k 2 * k 3 * k 4 * k 5 =   5
                                                  1 . 23 * 0 . 87 * 0 . 90 * 1 . 36 * 1 . 05 =   5
                                                                                                     1 . 375    log
          1              1           0 . 14
log G =     log 1 . 375 = * 0 . 14 =        = 0 . 028                         anti log
          5              5              5
G = 1 . 066 * 100 = 106 . 6 − 100 = 6 . 6 %

Norma mesatare e shtimit është 6.6% brenda vitit.




                                                                                                                         7
Madhësitë mesare të pozicionit

Mesataret e pozicionit për dallim nga mesataret algjebrike gjinden në bazë të pozitës që e marrin në serinë
statistikore.
Te këto mesatare nuk kanë ndikim vlerat ekstreme, gjegjësisht vlerat minimale dhe maksimale.
Në mesatare të pozicionit bëjnë pjesë:
    1. Mediana
    2. Moda

Mesorja (Mediana)


Mesorja apo mediana paraqet variantin (madhesinë) e tiparit, i cili ndodhet në mes të serisë statistikore. Pra,
mesorja serinë e tiparit e ndan në dy pjesë të barabarta, në pjesen ku variantet janë më të vogla ose të
barabarta dhe në pjesën tjetër ku variantet janë të barabarta ose më të mëdha se mesorja.
Mesorja mund të jetë :
    1. Mesore e serive të thjeshta
    2. Mesore e ponderuar

Gjetja e medians

                   n +1
Pozita e medianes = 2             pozita në të dhënat e rregulluara
Nëse numri i të dhënave është qift, mediana është mesatare e dy numrave të mesit.
          n +1
Kujdes : 2              nuk është vlera e medianës , por vetëm pozita e medianës (vendi ku gjindet
mediana) në të dhënat e rregulluara.
Shembull 1: Të llogaritet mesorja nga seria e të dhënave në vijim: A = 13,17,20,23,27
                                                                               1     {                     }
                                                                     n +1           n +1 5 +1
Pozicioni i mesores në serinë e dhënë caktohet në bazë të formulës:         prandaj     =     =3
                                                                       2              2    2
Pra madhësia e tretë paraqet mesoren e serisë së dhënë, e ky është numri 20, pra, Me A = 20
                                                                                           { 1}
Shembulli 2: Të llogaritet mesorja nga seria e të dhënave në vijim:

E1 = {22, 22, 28, 28, 28,33,39, 42, 45, 45, 45, 48,51}
Meqë seria e të dhënave është e ponderuar pozicioni i mesores caktohet përmes formulës

∑f     + 1 13 + 1 14                     pra,   Me { E1} = 39
      i
          =      =   =7
     2       2     2



                                                                                                               8
22          28         33           39        42            45        48          51

            2           3          1            1         1             3         1           1

Komul.      2           5          6            7         8             11        12          13



Shembulli 3:
Në bazë të anketave të realizuara me198 punëtorë në Drenas del se 20 punëtorë realizojnë paga deri në 80
€, 50 punëtorë 80-140 €, 100 punëtorë 140-200 €, 15 punëtorë 200-260 €, 8 punëtorë 260-320 €, 5
punëtorë realizojnë të ardhura mbi 320. Të llogaritet mesorja e kësaj dukurie.

Paga ( )         Punëtorët ( )     kumulativi

1                2                 3

Deri 80          20                20

80-140           50                70

140-200          100               170

200-260          15                185

260-320          8                 193

320 e mbi        5                 198                         ∑f   i        ∑f   i
                                                                                      =
                                                                                          198
                                                                                              = 99
                                                                2            2             2
-                198               -

(nëse numri i madhësive është çift), prandaj


Së pari përcaktohet pozicioni i mesores në bazë të formulës


           x − x  ∑ f i  
Me = x1 +  2 1           
           w − w  2 − w1 
           2    1        

Pra, vlera e modës është 26.82 vjeç si moshë mesatare e punësimit të anketuarve.




                                                                                                           9
oda
M od a


Moda është vlera e vrojtimeve që shfaqet më së shpeshti, gjegjësisht vlera e karakteristikës që e ka
frekuencën më të madhe.
Te seritë e thjeshta nuk ka modë.
Shembulli 1: Të gjendet moda nga anketa e realizuar me 303 të punësuar prej të cilëve 90 vetë janë
punësuar në moshën 20-25 vjeçare, 130 në moshën 25-30, 60 në moshën 30-35 , 20 në moshën 35-40 dhe
vetëm 3 në moshën 40-45 vjeçare:

               Numri i të
Mosha ( )      punësuarve( )

1              2

20-25          90

25-30          130

30-35          60

35-40          20

40-45          3

-              303

                               f m2 − f m1                                  130 − 90                        40
M0 = X0 + d ⋅                                           = 25 + 5 ⋅                             = 25 + 5 ⋅         =
                    ( f m2 − f m1 ) + ( f m2 − f m3 )                (130 − 90 ) + (130 − 60 )            40 + 70

              40
= 25 + 5 ⋅       = 25 + 5 ⋅ 0.36 = 25 + 1.82 = 26.82
             110

Pra, vlera e modës është 26.82 vjeç si moshë mesatare e punësimit të anketuarve.

Li t er at ura


Bazat e statistikes – Prof. Dr. Sc. Rahmil Nuhiu dhe Mr. Sc. Ahmet Shala
Nga ligjersatat e Prof. Dr. Faruk Belegu




                                                                                                                      10

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Numrat indeksor
Numrat indeksorNumrat indeksor
Numrat indeksorMenaxherat
 
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)fatonbajrami1
 
Bazat e Statistikes
Bazat e StatistikesBazat e Statistikes
Bazat e Statistikesguestc49863
 
Ushtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikesUshtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikescoupletea
 
Ligjerata 8 indekset
Ligjerata 8   indeksetLigjerata 8   indekset
Ligjerata 8 indeksetcoupletea
 
Madhesite mesatare
Madhesite mesatareMadhesite mesatare
Madhesite mesatareMenaxherat
 
Analiza e regresionit dhe korrelacionit
Analiza e regresionit dhe korrelacionitAnaliza e regresionit dhe korrelacionit
Analiza e regresionit dhe korrelacionitMenaxherat
 
Ushtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikesUshtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikeskulla 2010
 
Konceptet baze te probabilitetit 1
Konceptet baze te probabilitetit 1Konceptet baze te probabilitetit 1
Konceptet baze te probabilitetit 1Menaxherat
 
Statistike nocionet kryesore dhe mostra ligjerata 2 - ardiana gashi
Statistike   nocionet kryesore dhe mostra ligjerata 2 - ardiana gashiStatistike   nocionet kryesore dhe mostra ligjerata 2 - ardiana gashi
Statistike nocionet kryesore dhe mostra ligjerata 2 - ardiana gashiMenaxherat
 
Analize statistikore
Analize statistikoreAnalize statistikore
Analize statistikoreMenaxherat
 
Statistik ligjeraten 1 2dhe 3
Statistik ligjeraten 1 2dhe 3Statistik ligjeraten 1 2dhe 3
Statistik ligjeraten 1 2dhe 3coupletea
 
Ligjerata 5 mesatarja e ponderuar dhe frekuenca
Ligjerata 5   mesatarja e ponderuar dhe frekuencaLigjerata 5   mesatarja e ponderuar dhe frekuenca
Ligjerata 5 mesatarja e ponderuar dhe frekuencacoupletea
 
Analiza e thjeshte e regresionit
Analiza e thjeshte e regresionitAnaliza e thjeshte e regresionit
Analiza e thjeshte e regresionitMenaxherat
 
Nocioni i statistikes
Nocioni i statistikesNocioni i statistikes
Nocioni i statistikesMenaxherat
 
Statistike treguesit statistikor te pozicionit ardiana gashi
Statistike treguesit statistikor te pozicionit   ardiana gashiStatistike treguesit statistikor te pozicionit   ardiana gashi
Statistike treguesit statistikor te pozicionit ardiana gashiMenaxherat
 
Ligjerata 4 treguesit e tendences qendrore dhe kuartilet
Ligjerata 4   treguesit e tendences qendrore dhe kuartiletLigjerata 4   treguesit e tendences qendrore dhe kuartilet
Ligjerata 4 treguesit e tendences qendrore dhe kuartiletcoupletea
 

Mais procurados (20)

Statistika
StatistikaStatistika
Statistika
 
Numrat indeksor
Numrat indeksorNumrat indeksor
Numrat indeksor
 
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)
 
Bazat e Statistikes
Bazat e StatistikesBazat e Statistikes
Bazat e Statistikes
 
Ushtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikesUshtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikes
 
Ligjerata 8 indekset
Ligjerata 8   indeksetLigjerata 8   indekset
Ligjerata 8 indekset
 
Madhesite mesatare
Madhesite mesatareMadhesite mesatare
Madhesite mesatare
 
Varianca
VariancaVarianca
Varianca
 
Analiza e regresionit dhe korrelacionit
Analiza e regresionit dhe korrelacionitAnaliza e regresionit dhe korrelacionit
Analiza e regresionit dhe korrelacionit
 
Ushtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikesUshtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikes
 
Konceptet baze te probabilitetit 1
Konceptet baze te probabilitetit 1Konceptet baze te probabilitetit 1
Konceptet baze te probabilitetit 1
 
Statistike nocionet kryesore dhe mostra ligjerata 2 - ardiana gashi
Statistike   nocionet kryesore dhe mostra ligjerata 2 - ardiana gashiStatistike   nocionet kryesore dhe mostra ligjerata 2 - ardiana gashi
Statistike nocionet kryesore dhe mostra ligjerata 2 - ardiana gashi
 
Analize statistikore
Analize statistikoreAnalize statistikore
Analize statistikore
 
Statistik ligjeraten 1 2dhe 3
Statistik ligjeraten 1 2dhe 3Statistik ligjeraten 1 2dhe 3
Statistik ligjeraten 1 2dhe 3
 
Ligjerata 5 mesatarja e ponderuar dhe frekuenca
Ligjerata 5   mesatarja e ponderuar dhe frekuencaLigjerata 5   mesatarja e ponderuar dhe frekuenca
Ligjerata 5 mesatarja e ponderuar dhe frekuenca
 
Analiza e thjeshte e regresionit
Analiza e thjeshte e regresionitAnaliza e thjeshte e regresionit
Analiza e thjeshte e regresionit
 
Nocioni i statistikes
Nocioni i statistikesNocioni i statistikes
Nocioni i statistikes
 
Ushtrime në Statistikë
Ushtrime në StatistikëUshtrime në Statistikë
Ushtrime në Statistikë
 
Statistike treguesit statistikor te pozicionit ardiana gashi
Statistike treguesit statistikor te pozicionit   ardiana gashiStatistike treguesit statistikor te pozicionit   ardiana gashi
Statistike treguesit statistikor te pozicionit ardiana gashi
 
Ligjerata 4 treguesit e tendences qendrore dhe kuartilet
Ligjerata 4   treguesit e tendences qendrore dhe kuartiletLigjerata 4   treguesit e tendences qendrore dhe kuartilet
Ligjerata 4 treguesit e tendences qendrore dhe kuartilet
 

Destaque

Fazat e studimit statistikor
Fazat e studimit statistikorFazat e studimit statistikor
Fazat e studimit statistikorVeton Sopjani
 
Pune me projekt statistika
Pune me projekt statistikaPune me projekt statistika
Pune me projekt statistikaArnold Beqiri
 
Ligjerata 7 indekset (perqindjet)
Ligjerata 7   indekset (perqindjet)Ligjerata 7   indekset (perqindjet)
Ligjerata 7 indekset (perqindjet)coupletea
 
Perqindja thyesa dhjetore-numri dhetor
Perqindja thyesa dhjetore-numri dhetorPerqindja thyesa dhjetore-numri dhetor
Perqindja thyesa dhjetore-numri dhetorTefik Rika
 
Funksione matematikore
Funksione matematikoreFunksione matematikore
Funksione matematikoreKlea Vyshka
 
Treguesit e dispersionit shperndarjes
Treguesit e dispersionit   shperndarjesTreguesit e dispersionit   shperndarjes
Treguesit e dispersionit shperndarjesMenaxherat
 
Paraqitjet grafike
Paraqitjet grafikeParaqitjet grafike
Paraqitjet grafikeMenaxherat
 
Të ardhurat nga pagat dhe progresi i tatimit mbi to
Të ardhurat nga pagat dhe progresi i tatimit mbi toTë ardhurat nga pagat dhe progresi i tatimit mbi to
Të ardhurat nga pagat dhe progresi i tatimit mbi toALTAX Consulting
 
Intervali i përkufizimit dhe zerot e funksionit
Intervali i përkufizimit dhe zerot e funksionitIntervali i përkufizimit dhe zerot e funksionit
Intervali i përkufizimit dhe zerot e funksionitlinditasadrija
 
Ligjerata 9 treguesit e variacionit
Ligjerata 9   treguesit e variacionitLigjerata 9   treguesit e variacionit
Ligjerata 9 treguesit e variacionitcoupletea
 
Projekt Grumbullimi, organizimi dhe perpunimi i te dhenave
Projekt   Grumbullimi, organizimi dhe perpunimi i te dhenaveProjekt   Grumbullimi, organizimi dhe perpunimi i te dhenave
Projekt Grumbullimi, organizimi dhe perpunimi i te dhenaveGenti Germizi
 
Hyrje ne kontabilitetin e tatimeve
Hyrje ne kontabilitetin e tatimeveHyrje ne kontabilitetin e tatimeve
Hyrje ne kontabilitetin e tatimeveFisnik Morina
 
Treguesit e pozicionit ushtrime
Treguesit e pozicionit ushtrimeTreguesit e pozicionit ushtrime
Treguesit e pozicionit ushtrimeMenaxherat
 
Tatimet detyra
Tatimet detyra  Tatimet detyra
Tatimet detyra student
 
Gjuhe Programuese ushtrimet C++
Gjuhe Programuese   ushtrimet   C++Gjuhe Programuese   ushtrimet   C++
Gjuhe Programuese ushtrimet C++Ajla Hasani
 

Destaque (17)

Fazat e studimit statistikor
Fazat e studimit statistikorFazat e studimit statistikor
Fazat e studimit statistikor
 
Pune me projekt statistika
Pune me projekt statistikaPune me projekt statistika
Pune me projekt statistika
 
Ligjerata 7 indekset (perqindjet)
Ligjerata 7   indekset (perqindjet)Ligjerata 7   indekset (perqindjet)
Ligjerata 7 indekset (perqindjet)
 
Perqindja thyesa dhjetore-numri dhetor
Perqindja thyesa dhjetore-numri dhetorPerqindja thyesa dhjetore-numri dhetor
Perqindja thyesa dhjetore-numri dhetor
 
Funksione matematikore
Funksione matematikoreFunksione matematikore
Funksione matematikore
 
Treguesit e dispersionit shperndarjes
Treguesit e dispersionit   shperndarjesTreguesit e dispersionit   shperndarjes
Treguesit e dispersionit shperndarjes
 
Paraqitjet grafike
Paraqitjet grafikeParaqitjet grafike
Paraqitjet grafike
 
Të ardhurat nga pagat dhe progresi i tatimit mbi to
Të ardhurat nga pagat dhe progresi i tatimit mbi toTë ardhurat nga pagat dhe progresi i tatimit mbi to
Të ardhurat nga pagat dhe progresi i tatimit mbi to
 
Vendlindja iime
Vendlindja iimeVendlindja iime
Vendlindja iime
 
Intervali i përkufizimit dhe zerot e funksionit
Intervali i përkufizimit dhe zerot e funksionitIntervali i përkufizimit dhe zerot e funksionit
Intervali i përkufizimit dhe zerot e funksionit
 
Ligjerata 9 treguesit e variacionit
Ligjerata 9   treguesit e variacionitLigjerata 9   treguesit e variacionit
Ligjerata 9 treguesit e variacionit
 
Raport hulumtimi
Raport hulumtimiRaport hulumtimi
Raport hulumtimi
 
Projekt Grumbullimi, organizimi dhe perpunimi i te dhenave
Projekt   Grumbullimi, organizimi dhe perpunimi i te dhenaveProjekt   Grumbullimi, organizimi dhe perpunimi i te dhenave
Projekt Grumbullimi, organizimi dhe perpunimi i te dhenave
 
Hyrje ne kontabilitetin e tatimeve
Hyrje ne kontabilitetin e tatimeveHyrje ne kontabilitetin e tatimeve
Hyrje ne kontabilitetin e tatimeve
 
Treguesit e pozicionit ushtrime
Treguesit e pozicionit ushtrimeTreguesit e pozicionit ushtrime
Treguesit e pozicionit ushtrime
 
Tatimet detyra
Tatimet detyra  Tatimet detyra
Tatimet detyra
 
Gjuhe Programuese ushtrimet C++
Gjuhe Programuese   ushtrimet   C++Gjuhe Programuese   ushtrimet   C++
Gjuhe Programuese ushtrimet C++
 

Mais de yllferizi

GIS as tool for cultural heritage management
GIS as tool for cultural heritage managementGIS as tool for cultural heritage management
GIS as tool for cultural heritage managementyllferizi
 
Open Maps - Their usage and our contribution to make them better
Open Maps - Their usage and our contribution to make them betterOpen Maps - Their usage and our contribution to make them better
Open Maps - Their usage and our contribution to make them betteryllferizi
 
GIS WORKSHOP 18.11.2015
GIS WORKSHOP 18.11.2015GIS WORKSHOP 18.11.2015
GIS WORKSHOP 18.11.2015yllferizi
 
Kontrolli i qasjes përmes Fingerprint
Kontrolli i qasjes përmes FingerprintKontrolli i qasjes përmes Fingerprint
Kontrolli i qasjes përmes Fingerprintyllferizi
 
Open Source E-Commerce Platforms - Shqip
Open Source E-Commerce Platforms - ShqipOpen Source E-Commerce Platforms - Shqip
Open Source E-Commerce Platforms - Shqipyllferizi
 
JSON-RPC- Shqip
JSON-RPC- ShqipJSON-RPC- Shqip
JSON-RPC- Shqipyllferizi
 
M-commerce and M-payments - Shqip
M-commerce and M-payments - ShqipM-commerce and M-payments - Shqip
M-commerce and M-payments - Shqipyllferizi
 
IPTV over FTTH - Albanian
IPTV over FTTH - AlbanianIPTV over FTTH - Albanian
IPTV over FTTH - Albanianyllferizi
 
Promovimi i trashegimise kulturore dhe turizmit permes teknologjive te webit.
Promovimi i trashegimise kulturore dhe turizmit permes teknologjive te webit.Promovimi i trashegimise kulturore dhe turizmit permes teknologjive te webit.
Promovimi i trashegimise kulturore dhe turizmit permes teknologjive te webit.yllferizi
 
Menaxhimi i projekteve përmes aplikacioneve on-line (dotProject)
Menaxhimi i projekteve përmes aplikacioneve on-line (dotProject)Menaxhimi i projekteve përmes aplikacioneve on-line (dotProject)
Menaxhimi i projekteve përmes aplikacioneve on-line (dotProject)yllferizi
 
Krahasimi i procesoreve INTEL dhe AMD
Krahasimi i procesoreve INTEL dhe AMDKrahasimi i procesoreve INTEL dhe AMD
Krahasimi i procesoreve INTEL dhe AMDyllferizi
 
E-Komuna - Nevojat, Sfidat dhe Implementimi
E-Komuna - Nevojat, Sfidat dhe ImplementimiE-Komuna - Nevojat, Sfidat dhe Implementimi
E-Komuna - Nevojat, Sfidat dhe Implementimiyllferizi
 
Instalimi i web serverit ne windows - XAMPP
Instalimi i web serverit ne windows - XAMPPInstalimi i web serverit ne windows - XAMPP
Instalimi i web serverit ne windows - XAMPPyllferizi
 
Algoritmet ne praktike
Algoritmet ne praktikeAlgoritmet ne praktike
Algoritmet ne praktikeyllferizi
 
Customer Relationship Management (CRM) sistemet
Customer Relationship Management (CRM) sistemetCustomer Relationship Management (CRM) sistemet
Customer Relationship Management (CRM) sistemetyllferizi
 
Menaxhimi i personelit dhe vlerësimi i performancës
Menaxhimi i personelit dhe vlerësimi i performancësMenaxhimi i personelit dhe vlerësimi i performancës
Menaxhimi i personelit dhe vlerësimi i performancësyllferizi
 

Mais de yllferizi (16)

GIS as tool for cultural heritage management
GIS as tool for cultural heritage managementGIS as tool for cultural heritage management
GIS as tool for cultural heritage management
 
Open Maps - Their usage and our contribution to make them better
Open Maps - Their usage and our contribution to make them betterOpen Maps - Their usage and our contribution to make them better
Open Maps - Their usage and our contribution to make them better
 
GIS WORKSHOP 18.11.2015
GIS WORKSHOP 18.11.2015GIS WORKSHOP 18.11.2015
GIS WORKSHOP 18.11.2015
 
Kontrolli i qasjes përmes Fingerprint
Kontrolli i qasjes përmes FingerprintKontrolli i qasjes përmes Fingerprint
Kontrolli i qasjes përmes Fingerprint
 
Open Source E-Commerce Platforms - Shqip
Open Source E-Commerce Platforms - ShqipOpen Source E-Commerce Platforms - Shqip
Open Source E-Commerce Platforms - Shqip
 
JSON-RPC- Shqip
JSON-RPC- ShqipJSON-RPC- Shqip
JSON-RPC- Shqip
 
M-commerce and M-payments - Shqip
M-commerce and M-payments - ShqipM-commerce and M-payments - Shqip
M-commerce and M-payments - Shqip
 
IPTV over FTTH - Albanian
IPTV over FTTH - AlbanianIPTV over FTTH - Albanian
IPTV over FTTH - Albanian
 
Promovimi i trashegimise kulturore dhe turizmit permes teknologjive te webit.
Promovimi i trashegimise kulturore dhe turizmit permes teknologjive te webit.Promovimi i trashegimise kulturore dhe turizmit permes teknologjive te webit.
Promovimi i trashegimise kulturore dhe turizmit permes teknologjive te webit.
 
Menaxhimi i projekteve përmes aplikacioneve on-line (dotProject)
Menaxhimi i projekteve përmes aplikacioneve on-line (dotProject)Menaxhimi i projekteve përmes aplikacioneve on-line (dotProject)
Menaxhimi i projekteve përmes aplikacioneve on-line (dotProject)
 
Krahasimi i procesoreve INTEL dhe AMD
Krahasimi i procesoreve INTEL dhe AMDKrahasimi i procesoreve INTEL dhe AMD
Krahasimi i procesoreve INTEL dhe AMD
 
E-Komuna - Nevojat, Sfidat dhe Implementimi
E-Komuna - Nevojat, Sfidat dhe ImplementimiE-Komuna - Nevojat, Sfidat dhe Implementimi
E-Komuna - Nevojat, Sfidat dhe Implementimi
 
Instalimi i web serverit ne windows - XAMPP
Instalimi i web serverit ne windows - XAMPPInstalimi i web serverit ne windows - XAMPP
Instalimi i web serverit ne windows - XAMPP
 
Algoritmet ne praktike
Algoritmet ne praktikeAlgoritmet ne praktike
Algoritmet ne praktike
 
Customer Relationship Management (CRM) sistemet
Customer Relationship Management (CRM) sistemetCustomer Relationship Management (CRM) sistemet
Customer Relationship Management (CRM) sistemet
 
Menaxhimi i personelit dhe vlerësimi i performancës
Menaxhimi i personelit dhe vlerësimi i performancësMenaxhimi i personelit dhe vlerësimi i performancës
Menaxhimi i personelit dhe vlerësimi i performancës
 

Mesataret algjebrike dhe të pozicionit në statistikë

  • 1. Mesataret algjebrike dhe të pozicionit në statistikë Kandidati: Mësimdhënësi: Yll Ferizi Dr. Sc. Faruk Belegu Nr. Index: 21/10/001
  • 2. Përmbajtja Përmbajtja MADHËSITË MESATARE STATISTIKORE .............................................................................2 LLOJET E MADHËSIVE .................................................................................................2 MESATARJA ARITMETIKE .............................................................................................3 MESATARJA ARITMETIKE E THJESHTË............................................................................3 MESATARJA ARITMETIKE E PONDERUAR ........................................................................3 MESATARJA HARMONIKE ............................................................................................4 MESATARJA HARMONIKE E THJESHTË ...........................................................................4 MESATARJA HARMONIKE E PONDERUAR........................................................................4 MESATARJA GJEOMETRIKE ...........................................................................................5 MESATARJA GJEOMETRIKE E THJESHTE .........................................................................6 MESATARJA GJEOMETRIKE E PONDERUAR ......................................................................6 MADHËSITË MESARE TË POZICIONIT ................................................................................8 MESORJA (MEDIANA) .............................................................................................8 GJETJA E MEDIANS .................................................................................................8 MODA ............................................................................................................. 10 LITERATURA...................................................................................................... 10 1
  • 3. Madhësitë mesatare statistikore Madhësit mesatare shprehin anën sasiore të serive statistikore dhe llogariten vetëm tek seritë statistikore, ndërsa tek ato cilësore pamundësohet llogaritja e tyre. Madhësit mesatare në vargun e të dhënave të njësisë statistikore gjenden gjithmonë në mes të modalitetit (të dhënës) më të vogel dhe modalitetit më të madh të asaj serie. Llojet e madhësive Mesatare Algjebrike: Aritmetike Harmonike Gjeometrike Mesatare të Pozicionit: Mediana Moda 2
  • 4. Mesatarja aritmetike Mesatarja aritmetike përdoret më së shumti nga të gjitha mesataret tjera në hulumtimin e dukurive masive. Dallojm dy lloje të mesatares aritmetike: 1. Mesatarja aritmetike e thjeshtë 2. Mesatarja aritmetike e ponderuar Mesatarja aritmetike e thjeshtë Mesatarja e thjeshtë aritmetike shprehet në bazë të kësaj formule: ___ X = ∑x Shembull: n Për llogaritjen e mesatarës së thjeshtë aritmetike merret mosha e 6 studenteve e cila në mënyrë individuale është: 19, 20, 21, 23, 25, 26, atëherë mosha mesatare do të ishte: ___ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 19 + 20 + 21 + 23 + 25 + 26 134 X = = = = 22.33 6 6 6 Mesatarja aritmeti ke e ponderuar Mesatarja aritmetike e ponderuar përdoret në rastet kur frekuencat e të dhënave të serisë janë të ndryshme ose të grupuara. n ___ ∑ xi * f i Formula për llogaritjën e mesatarës aritmetike të ponderuar: X = i =1 n Llogaritja e mesatares aritmetike paraqitet përmes shembullit në vijim: ∑ fi i =1 Shuma e celularëve të Celularët (Copë) "X" Nr. i punëtorve "F" prodhuar "X*F" 15 4 60 20 6 120 30 8 240 32 10 320 35 11 385 40 13 520 Σ 52 1645 3
  • 5. n ___ ∑x * f i i 15 * 4 + 20 * 6 + 30 * 8 + 32 *10 + 35 *11 + 40 *13 1645 X = i =1 = = = 31.63 n 4 + 6 + 8 + 10 + 11 + 13 52 ∑f i =1 i Mesatarja harmonike Mesatarja harmonike definohet si vlerë reciproke e mesatares aritmetike të vlerave reciproke të dukurisë së caktuar. Mesatarja harmonike ndahet në: 1. Mesatare të thjeshtë 2. Mesatare të ponderuar Mesatarja harmonike e thjeshtë n Formula për llogaritje e mesatares së thjeshtë harmonike: H= 1 ∑x Shembull: Gjeni mesataren e thjeshtë harmonike për numrat: 3, 5, 7, 9 dhe 8. n 5 5 5 H= = = = = 5.55 1 1 1 1 1 1 0.33 + 0.20 + 0.14 + 0.11 + 0.12 0.90 ∑x + + + + 3 5 7 9 8 Mesatarja harmonike e ponderuar Formula për llogaritjen e mesatares harmonike te pondoruar: H= ∑f f ∑x Shembull: Nga të dhënat në tabelën vijuese për sasinë e prodhuar të lëngjeve të gjendet koha e hargjuar (në orë) për çdo puntor përmes mesatares harmonike të ponderuar: 4
  • 6. Koha e hargjuar për Sasia e prodhuar Nr. Emri i ndermarrjës Nr. i puntoreve "F" njësi prodhimi (në orë) "X" (në mijë) 1 FRUTI 120 8 15 2 DONA 180 6 30 3 EKS 230 5 46 4 FLUIDI 250 2 125 Σ 780 216 H= ∑f = 120 + 180 + 230 + 250 = 780 = 780 = 3.61orë f 120 180 230 250 15 + 30 + 46 + 125 216 ∑x 8 + 6 + 5 + 2 Nëse e përdorim mesataren aritmetike do të kemi: ___ X = ∑ f * x = 120 * 8 + 180 * 6 + 230 * 5 + 250 * 2 = 3690 = 4.73orë ∑f 120 + 180 + 230 + 250 780 Prova: Gjithsejtë 780 punëtorë prodhuan 216 njësi prodhim (në mijë) 1. Mesatarja harmonike e ponderuar: 216 * 3.61 = 780 punëtorë 2. Mesatarja aritmetike e ponderuar: 216 * 4.73 = 1022 punëtorë Mesatarja gjeometrike Mesatarja gjeometrike përdoret për llogaritjen e normës mesatare të zhvillimit të dukuris së analizuar. Dallojmë dy lloje të mesatares gjeometrike: 1. Mesatarja gjeometrike e thjeshte dhe 2. Mesatarja gjeometrike e ponderuar 5
  • 7. Mesatarja gjeometrike e thjeshte Llogaritja e mesatares gjeometrike të thjeshtë: G = n x1 * x2 * x3 ...xn Shembull: Gjeni mesataren gjeometrike të thjeshtë për numrat 5, 7, 9, 12, 13 G = n x1 * x 2 * x 3 * x 4 * x 5 = 5 5 * 7 * 9 * 12 * 13 = 5 49140 log 1 1 4 . 69 log G = log 49140 = * 4 . 69 = = 0 . 94 anti log 5 5 5 G = 8 . 71 Mesatarja gjeometrike e ponderuar G = ∑ x1 1 * x 2 2 * x3 3 ...x n f f f f fn Llogaritja e mesatares gjeometrike të ponderuar: Shembull: Për të dhënat në vijim llogariteni mesataren gjeometrike të ponderuar? x 2 3 5 7 6 Σ f 4 5 3 6 8 26 G = 26 2 4 * 35 * 53 * 7 6 * 68 log 1 log G = ( 4 log 2 + 5 log 3 + 3 log 5 + 6 log 7 + 8 log 6 ) = 26 1 ( 4 * 0 . 30 + 5 * 0 . 47 + 3 * 0 . 70 + 6 * 0 . 84 + 8 * 0 . 78 ) = 26 1 16 . 93 * 16 . 93 = = 0 . 6511 anti log 26 26 G = 4 . 48 6
  • 8. Shembull: Ndërmarrja “Riza Commerce” në Drenas gjatë përiudhës 2002 – 2007 ka realizuar prodhim si në tabelen vijues (prodhimi i shprehur në mijë) Koeficientet Zingjire * Vitet Sasia e prodhimit(në mijë) Koeficientet(Zingjir) 100 = indeksat zingjir 2002 650 ___ ___ 2003 800 1.23 123 - 100 = 23% 2004 700 0.87 87 – 100 = -13% 2005 630 0.9 90 – 100 = -10% 2006 860 1.36 136 – 100 = 36% 2007 900 1.05 105 – 100 = 5% Sa është norma mesatare e shtimit për një vitë? G = n −1 k1 * k 2 * k 3 * k 4 * k 5 = 5 1 . 23 * 0 . 87 * 0 . 90 * 1 . 36 * 1 . 05 = 5 1 . 375 log 1 1 0 . 14 log G = log 1 . 375 = * 0 . 14 = = 0 . 028 anti log 5 5 5 G = 1 . 066 * 100 = 106 . 6 − 100 = 6 . 6 % Norma mesatare e shtimit është 6.6% brenda vitit. 7
  • 9. Madhësitë mesare të pozicionit Mesataret e pozicionit për dallim nga mesataret algjebrike gjinden në bazë të pozitës që e marrin në serinë statistikore. Te këto mesatare nuk kanë ndikim vlerat ekstreme, gjegjësisht vlerat minimale dhe maksimale. Në mesatare të pozicionit bëjnë pjesë: 1. Mediana 2. Moda Mesorja (Mediana) Mesorja apo mediana paraqet variantin (madhesinë) e tiparit, i cili ndodhet në mes të serisë statistikore. Pra, mesorja serinë e tiparit e ndan në dy pjesë të barabarta, në pjesen ku variantet janë më të vogla ose të barabarta dhe në pjesën tjetër ku variantet janë të barabarta ose më të mëdha se mesorja. Mesorja mund të jetë : 1. Mesore e serive të thjeshta 2. Mesore e ponderuar Gjetja e medians n +1 Pozita e medianes = 2 pozita në të dhënat e rregulluara Nëse numri i të dhënave është qift, mediana është mesatare e dy numrave të mesit. n +1 Kujdes : 2 nuk është vlera e medianës , por vetëm pozita e medianës (vendi ku gjindet mediana) në të dhënat e rregulluara. Shembull 1: Të llogaritet mesorja nga seria e të dhënave në vijim: A = 13,17,20,23,27 1 { } n +1 n +1 5 +1 Pozicioni i mesores në serinë e dhënë caktohet në bazë të formulës: prandaj = =3 2 2 2 Pra madhësia e tretë paraqet mesoren e serisë së dhënë, e ky është numri 20, pra, Me A = 20 { 1} Shembulli 2: Të llogaritet mesorja nga seria e të dhënave në vijim: E1 = {22, 22, 28, 28, 28,33,39, 42, 45, 45, 45, 48,51} Meqë seria e të dhënave është e ponderuar pozicioni i mesores caktohet përmes formulës ∑f + 1 13 + 1 14 pra, Me { E1} = 39 i = = =7 2 2 2 8
  • 10. 22 28 33 39 42 45 48 51 2 3 1 1 1 3 1 1 Komul. 2 5 6 7 8 11 12 13 Shembulli 3: Në bazë të anketave të realizuara me198 punëtorë në Drenas del se 20 punëtorë realizojnë paga deri në 80 €, 50 punëtorë 80-140 €, 100 punëtorë 140-200 €, 15 punëtorë 200-260 €, 8 punëtorë 260-320 €, 5 punëtorë realizojnë të ardhura mbi 320. Të llogaritet mesorja e kësaj dukurie. Paga ( ) Punëtorët ( ) kumulativi 1 2 3 Deri 80 20 20 80-140 50 70 140-200 100 170 200-260 15 185 260-320 8 193 320 e mbi 5 198 ∑f i ∑f i = 198 = 99 2 2 2 - 198 - (nëse numri i madhësive është çift), prandaj Së pari përcaktohet pozicioni i mesores në bazë të formulës  x − x  ∑ f i  Me = x1 +  2 1    w − w  2 − w1   2 1   Pra, vlera e modës është 26.82 vjeç si moshë mesatare e punësimit të anketuarve. 9
  • 11. oda M od a Moda është vlera e vrojtimeve që shfaqet më së shpeshti, gjegjësisht vlera e karakteristikës që e ka frekuencën më të madhe. Te seritë e thjeshta nuk ka modë. Shembulli 1: Të gjendet moda nga anketa e realizuar me 303 të punësuar prej të cilëve 90 vetë janë punësuar në moshën 20-25 vjeçare, 130 në moshën 25-30, 60 në moshën 30-35 , 20 në moshën 35-40 dhe vetëm 3 në moshën 40-45 vjeçare: Numri i të Mosha ( ) punësuarve( ) 1 2 20-25 90 25-30 130 30-35 60 35-40 20 40-45 3 - 303 f m2 − f m1 130 − 90 40 M0 = X0 + d ⋅ = 25 + 5 ⋅ = 25 + 5 ⋅ = ( f m2 − f m1 ) + ( f m2 − f m3 ) (130 − 90 ) + (130 − 60 ) 40 + 70 40 = 25 + 5 ⋅ = 25 + 5 ⋅ 0.36 = 25 + 1.82 = 26.82 110 Pra, vlera e modës është 26.82 vjeç si moshë mesatare e punësimit të anketuarve. Li t er at ura Bazat e statistikes – Prof. Dr. Sc. Rahmil Nuhiu dhe Mr. Sc. Ahmet Shala Nga ligjersatat e Prof. Dr. Faruk Belegu 10