เรื่อง ความเท่ากันทุกประการ

1. ¤ÇÒÁà·Ò¡¹·¡»ÃСÒÃ
è Ñ Ø
1. ¹ÂÒÁ ÃÙ»ÊͧÃÙ»à·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒà ¡çµÍàÁ×ÍÃٻ˹֧·ÑºÍÕ¡Ãٻ˹֧ä´éʹԷ¾Í´Õ
Ô è è è è
ãªéÊ­Åѡɳì " ≅ " á·¹¤ÓÇèÒ "à·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒÃ" àªè¹
Ñ
ÃÙ» A à·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒáѺÃÙ» B à¢Õ¹᷹´éÇ ÃÙ» A ≅ ÃÙ» B
2. ¹ÂÒÁ Êèǹ¢Í§àÊ鹵çÊͧàÊ鹨Ðà·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒà ¡çµÍàÁ×ÍÊèǹ¢Í§àÊ鹵çÊͧàÊ鹹ѹÂÒÇ
Ô è è é
à·èҡѹ
Êèǹ¢Í§àÊ鹵ç AB à¢Õ¹᷹´éÇ AB
Êèǹ¢Í§àÊ鹵ç CD à¢Õ¹᷹´éÇ CD
¤ÇÒÁÂÒǢͧÊèǹ¢Í§àÊ鹵ç AB à¢Õ¹᷹´éÇ m( CD )
¶éÒ AB ≅ CD áÅéǨÐä´é m( AB ) = m( CD ) ËÃ×Í m( AB ) = m( CD ) áÅéǨÐä´é AB ≅ CD
áÅÐàÃÒ¹ÔÂÁà¢Õ¹ AB = CD á·¹ AB ≅ CD ËÃ×Í m( AB ) = m( CD )
3. ¹ÂÒÁ ÁØÁÊͧÁØÁ¨Ðà·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒà ¡çµÍàÁ×ÍÁØÁ·Ñ§Êͧ¹Ñ¹ÁÕ¢¹Ò´à·èҡѹ
Ô è è é é
ÁØÁ A à¢Õ¹᷹´éÇ A áÅТ¹Ò´¢Í§ÁØÁ A à¢Õ¹᷹´éÇ m( A )
ÁØÁ B à¢Õ¹᷹´éÇ B áÅТ¹Ò´¢Í§ÁØÁ B à¢Õ¹᷹´éÇ m( B )
â´Â¹ÔÂÒÁ¢éÒ§µé¹ ¶éÒ A ≅ B áÅéǨÐä´é m( A ) = m( B ) áÅÐ ¶éÒ m( A ) = m( B ) áÅéǨÐä´é
Ñ é
A ≅ B áµèàÃÒ¹ÔÂÁãªéÊ­Åѡɳì A á·¹ m( A ) ´Ñ§¹Ñ¹ àÃÒ¨Ö§¹ÔÂÁãªé A = B á·¹ m( A ) = m( B )
áÅÐ ãªé A = B á·¹ B ≅ B
4. ·Äɮպ· ¶éÒàÊ鹵çÊͧàÊ鹵Ѵ¡Ñ¹ ÁØÁµÃ§¢éÒÁ·Õàè ¡Ô´¢Ö¹¨ÐÁÕ¢¹Ò´à·èҡѹ
é
A
IH IH
D ¡Ó˹´ãËé AB áÅÐ CD µÑ´¡Ñ¹·Õ¨´ O èØ
1 àÃÕ¡ 1 ¡Ñº áÅÐ ¡Ñº ÇèÒà»ç¹ÁØÁµÃ§¢éÒÁ
3 2 4
4 2
O µÒÁ·Äɮպ·¹Õé àÃÒ¨Ðä´éÇÒ 1 = áÅÐ =
è 3 2 4
3
B
C

2. 5. ¤ÇÒÁà·Ò¡¹·¡»ÃСÒâͧûÊÒÁàËÅÂÁ
è Ñ Ø Ù èÕ
¹ÔÂÒÁ ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ¤×Í ÃÙ»·Õ»ÃСͺ´éÇÂÊèǹ¢Í§àÊ鹵çÊÒÁàÊé¹
è è
àª×ÍÁµèͨشÊÒÁ¨Ø´·ÕäÁèÍÂÙº¹àÊ鹵çà´ÕÂǡѹ áÅÐàÃÒàÃÕ¡¨Ø´·Ñ§ÊÒÁ¨Ø´¹ÕÇÒ ¨Ø´ÂÍ´¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ
è è è é éè è
X
¨Ò¡ÃÙ» ¨Ø´ X ,Y , Z à»ç¹¨Ø´ÊÒÁ¨Ø´«Ö§äÁèÍÂÙè
è
º¹àÊ鹵çà´ÕÂǡѹ XY , YZ áÅÐ ZX
àª×ÍÁµèͨش X ,Y áÅÐ Z à¡Ô´à»ç¹ÃÙ»
è
Y Z ÊÒÁàËÅÕÂÁ XYZ «Ö§à¢Õ¹᷹´éÇ ∆ XYZ
è è
A D
B C E F
¶éÒ ∆ ABC ≅ ∆ DEF ¡çáÊ´§ÇèÒÃÙ» ∆ ABC ¨Ð·Ñº¡Ñ¹Ê¹Ô·¡ÑºÃÙ» ∆ DEF
¨Ø´ A ¨Ð·Ñº¨Ø´ D ¨Ø´ B ¨Ð·Ñº¨Ø´ E áÅШش C ¨Ð·Ñº¨Ø´ F
AB ¨Ð·Ñº DE BC ¨Ð·Ñº EF áÅÐ CA ¨Ð·Ñº FD
A ¨Ð·Ñº D
B ¨Ð·Ñº E áÅÐ C ¨Ð·Ñº
F
¨Ò¡¤Ø³ÊÁºÑµ´§¡ÅèÒÇ àÃÒ¨ÐÊÃØ»ä´éÇÒ ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃÙ»à·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒà àÁ×Í´éÒ¹áÅÐÁØÁ
ÔÑ è è è
¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ·Ñ§ÊͧÁÕ¢¹Ò´à·èҡѹà»ç¹¤Ùè æ
è é
6. ûÊÒÁàËÅÂÁ·ÊÁ¾¹¸¡¹áºº ´Ò¹-ÁÁ-´Ò¹ (´.Á.´.)
Ù èÕ èÕ Ñ Ñ ì Ñ é Ø é
¶éÒÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃٻ㴠æ ÁÕ´Ò¹à·èҡѹÊͧ¤Ùè áÅТ¹Ò´¢Í§ÁØÁã¹ÃÐËÇèÒ§´éÒ¹¤Ù·àèÕ ·èҡѹáÅéÇ
è é è
ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃÙ»¹Ñ¹¨Ðà·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒÃ
è é
A D
B C E F
ãËé ∆ ABC áÅÐ ∆ DEF ÁÕ AB = DF , BAC = EDF áÅÐ AC = DE
¨Ðä´éÇÒ ∆ ABC ≅ ∆ DEF (´.Á.´.)
è

3. 7. ûÊÒÁàËÅÂÁ·Á¤ÇÒÁÊÁ¾¹¸¡¹áºº ÁÁ-´Ò¹-ÁÁ (Á.´.Á.)
Ù èÕ èÕ Õ Ñ Ñ ìÑ Ø é Ø
¶éÒÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃٻ㴠æ ÁÕÁÁà·èҡѹÊͧ¤Ùè áÅдéÒ¹·Õàè »ç¹á¢¹ÃèÇÁ¢Í§ÁØÁ·Ñ§ÊͧÂÒÇà·èҡѹ áÅéÇ
è Ø é
ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃÙ»¹Ñ¹¨Ðà·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒÃ
è é
A D
B C E F
ãËé ∆ ABC áÅÐ ∆ DEFÁÕA B C = D E F, BC = EF áÅÐ A C B = D E
F
¨Ðä´éÇÒ ∆ ABC ≅ ∆ DEF (Á.´.Á.)
è
8. ûÊÒÁàËÅÂÁ·Á¤ÇÒÁÊÁ¾¹¸¡¹áºº ´Ò¹-´Ò¹-´Ò¹ (´.´.´.)
Ù èÕ èÕ Õ Ñ Ñ ìÑ é é é
¶éÒÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃٻ㴠æ ÁÕ´Ò¹à·èҡѹÊÒÁ¤ÙáÅéÇ ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃÙ»¹Ñ¹¨Ðà·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒÃ
è é è è é
A| D
B C E F
ãËé ∆ ABC áÅÐ ∆ DEF ÁÕ´Ò¹ AB = DE , BC = EF áÅÐ AC = DF
é
¨Ðä´éÇÒ ∆ ABC ≅ ∆ DEF (´.´.´.)
è
9. ûÊÒÁàËÅÂÁÊͧû·ÊÁ¾¹¸¡¹áºº ÁÁ-ÁÁ-´Ò¹ (Á.Á.´.)
Ù èÕ Ù èÕ Ñ Ñ ì Ñ Ø Ø é
¶éÒÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃٻ㴠æ ÁÕÁÁ·ÕÁ¢¹Ò´à·èҡѹÊͧ¤Ùè áÅÐÁÕ´Ò¹à·èҡѹ¤Ù˹֧áÅéÇ ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ
è Ø èÕ é è è è
ÊͧÃÙ»¹Ñ¹¨Ðà·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒÃ
é
O R
M N P Q

4. ¨Ò¡ÃÙ» OMN = R Q
P (ÁØÁ)
M N O = PQR
(ÁØÁ)
OM = RP (´éÒ¹)
´Ñ§¹Ñ¹
é ∆ MNO ≅ ∆ PQR à¾ÃÒÐÁÕ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì¡¹áºº Á.Á.´.
Ñ
10. ûÊÒÁàËÅÂÁÊͧû·ÊÁ¾¹¸¡¹áºº ©Ò¡-´Ò¹-´Ò¹ (©.´.´.)
Ù èÕ Ù èÕ Ñ Ñ ì Ñ é é
¶éÒÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁÁØÁ©Ò¡ 2 ÃÙ» ÁÕ´Ò¹µÃ§¢éÒÁÁØÁ©Ò¡ÂÒÇà·èҡѹ áÅÐÁÕ´Ò¹ÍÕ¡´éҹ˹֧ÂÒÇà·èҡѹ áÅéÇ
è é é è
ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃÙ»¹Ñ¹¨Ðà·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒÃ
è é
M P
N O Q R
¨Ò¡ÃÙ»
M N O = PQR
(ÁØÁ©Ò¡)
MO = PR (´éÒ¹µÃ§¢éÒÁÁØÁ©Ò¡)
NO = QR (´éÒ¹)
´Ñ§¹Ñ¹
é ∆ MNO ≅ ∆ PQR à¾ÃÒÐÁÕ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì¡¹áºº ©.´.´.
Ñ
11. ûÊÒÁàËÅÂÁ˹ҨÇ
Ù èÕ é èÑ
¹ÔÂÒÁ ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑÇ ¤×Í ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ·ÕÁ´Ò¹Êͧ´éÒ¹ÂÒÇà·èҡѹ
è è è èÕé
A
ÁØÁÂÍ´
´éÒ¹»ÃСͺÁØÁÂÍ´ ´éÒ¹»ÃСͺÁØÁÂÍ´
°Ò¹
ÁØÁ·Õ°Ò¹
è ÁØÁ·Õ°Ò¹
è
B C
∆ ABC à»ç¹ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑÇ ÁÕ AB = AC
è è
àÃÕ¡ BC ÇèÒ °Ò¹
àÃÕ¡
A B C áÅÐ A C B ÇèÒ ÁØÁ·Õ°Ò¹
è
àÃÕ¡
BAC ÇèÒ ÁØÁÂÍ´
àÃÕ¡ AB áÅÐ AC ÇèÒ ´éÒ¹»ÃСͺÁØÁÂÍ´

5. 12. ¤Ø³ÊÁºÑµ¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑÇ
Ô è è
A
B| C
D
ãËé ∆ ABC à»ç¹ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑÇ ÁÕ AB = AC
è è
1. ÁØÁ·Õ°Ò¹¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑǨÐÁÕ¢¹Ò´à·èҡѹ (A B D = A C D)
è è è
2. ¶éÒÅÒ¡àÊé¹áºè§¤ÃÖ§ÁØÁÂÍ´¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑǨÐáºè§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑÇÍÍ¡à»ç¹ÃÙ»
è è è è è
ÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃÙ»à·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒÃ
è
3. ¶éÒÅÒ¡àÊé¹áºè§¤ÃÖ§ÁØÁÂÍ´¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑǨÐáºè§¤ÃÖ§°Ò¹¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑÇ
è è è è è è
4. ¶éÒÅÒ¡àÊé¹áºè§¤ÃÖ§ÁØÁÂÍ´¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑǨеѧ©Ò¡¡Ñº°Ò¹¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑÇ
è è è é è è
µÑÇÍÂèÒ§·Õè 1 ¡Ó˹´ãËé AB = AC áÅÐ B A D = C A D ¨§¾Ôʨ¹ìÇÒ ∆ ABD ≅ ∆ ADC
Ù è
A ÇÔ¸·Ó 1. AB = AC
Õ ( _______________ )
2. B A D= C A D ( _______________ )
3. AD = AD ( _______________ )
´Ñ§¹Ñ¹ ∆ ABD ≅ ∆ ADC ( _______________ )
é
B| C|
D
µÑÇÍÂèÒ§·Õè 2 ¡Ó˹´ãËé C A E = D B E áÅÐ AE = BE
¨§Í¸ÔºÒÂÇèÒà¾ÃÒÐà˵Øã´ ∆ ACE ≅ ∆ BDE
A| D
1. C A E = D B E ( _______________ )
2. AE = BE ( _______________ )
E|
3. A E C = B E D ( _______________ )
´Ñ§¹Ñ¹ ∆ ACE ≅ ∆ BDE
é ( _______________ )
C| B

6. è
µÑÇÍÂèÒ§·Õè 3 ¡Ó˹´ãËé PQ = PR áÅÐ QS = RS ¨§Í¸ÔºÒÂÇèÒ à¾ÃÒÐà˵Øã´ PS áºè§¤ÃÖ§ QPR
Q
1. _______________ ( _______________ )
2. _______________ ( _______________ )
P S| 3. _______________ ( _______________ )
4. _______________ ( _______________ )
∴ _______________ ( _______________ )
R
µÑÇÍÂèÒ§·Õè 4 ¡Ó˹´ãËé PQR áÅÐ SQR à»ç¹ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑÇÊͧÃÙ»·ÕÁ°Ò¹ QR ÃèÇÁ¡Ñ¹
è è èÕ
∆ PQS ≅ ∆ PRS ËÃ×ÍäÁèà¾ÃÒÐà˵Øã´
P
1. _______________ ( _______________ )
S 2. _______________ ( _______________ )
3. _______________ ( _______________ )
∴ _______________ ( _______________ )
Q R
µÑÇÍÂèÒ§·Õè 5 ¾Ô¨ÒóÒÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ·Õ¡Ó˹´ãËéã¹áµèÅТé͵èÍ仹ÕÇÒÁÕ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ìẺã´
è è éè
2. 4.
1.
3.
5. 7.
6.
8.
9.